【文档说明】重庆市第八中学2021届高三下学期5月第五次模拟考试数学试题含答案.docx，共(25)页，1.234 MB，由小赞的店铺上传

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2021届重庆市八中高三下期第五次模拟考试数学试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动

，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合24,==−==xAxyxByye，其中e是自然对数的底数，则AB=（）A．B．(0,2]C．[2,)+D．[2,)−+2．已知,sr都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p

的必要条件，则（）A．s是r的既不充分也不必要条件B．s是p的必要条件C．q是r的必要不充分条件D．p是r的充要条件3．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用，北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星

分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）A．1021B．1121C．1142D．5214．已知点(4,)Pm是直线13,:5xtlyt=+

=−+（Rtt，是参数）和圆15cos,:5sinxCy=+=（R，是参数）的公共点，过点P作圆C的切线1l，则切线1l的方程是（）A．34280xy−−=B．34280xy+−=C．3130xy−−=D．3160xy−−=5．在正方体1111AB

CDABCD−中，E是1CC的中点，则直线BE与平面1BBD所成角的正弦值为（）A．105−B．105C．155−D．1556．已知函数()sin2,()xfxxgxe==，则下列图象对应的函数可能为

（）A．()2ln4yfxgx=−+B．(ln||)2yfxgx=−+C．()3ln4yfxgx=++D．(ln||)4yfxgx=++7．已知直线:40lxy−+=与

x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆224xy+=的两条切线，切点分别为,CD两点，记M是CD的中点，则||AM的最小值为（）A．22B．32C．17D．38．已知函数1()21xxxfxee−=+−+，若不

等式()2(12)1faxfax+−对xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(0,]eB．[0,]eC．(0,1]D．[0,1]二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．9．关于

函数11()1fxxx=++，的结论正确的是（）A．()fx在定义域内单调递减B．()fx的值域为RC．()fx在定义城内有两个零点D．12yfx=−是奇函数10．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内

有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若831()mfxxnx=−，则（）

A．()fx的展开式中的常数项是56B．()fx的展开式中的各项系数之和为0C．()fx的展开式中的二项式系数最大值是70D．()16fi=−，其中i为虚数单位11．如图，在矩形ABCD中，2,ABADE=为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE，若M为线段

1AC的中点，则ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．存在某个位置，使1DEAC⊥B．MB为定值C．存在某个位置，使MB⊥平面1ADED．若1AD=，当三棱锥1ADEC−的体积最大时，该三棱锥的外接球表面积是412．已知函数()sin()

(0)fxx=+满足()()00112fxfx=+=−，且()fx在()00,1xx+上有最小值，无最大值．则（）A．0112fx+=−B．若00x=，则()sin26fxx

=−C．()fx的最小正周期为3D．()fx在(0,2019)上的零点个数最少为1346个第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知F是抛物线24yx=的焦点，点()00,Pxy在抛物线上，且||2PF=，则0y=_______

．14．已知3sin5a=，则cossin44aa+−=_________．15．已知函数2()2,()fxxaxbxR=−+．下列四个命题：①aR，使()fx为偶函数；②若(0

)(2)ff=，则()fx的图象关于直线1x=对称；③若20ab−，则()fx在区间[,)a+上是增函数；④若220ab−−，则函数()()2hxfx=−有两个零点．其中所有真命题的序号是__________．16．用()gn表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1

,3,9,(9)9,10g=的因数有1,2,5,10,(10)5g=，那么()2015(1)(2)(3)21gggg++++−=__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．已知正项等比数列na的前n项和为nS，若132

10aaa+，，成等差数列，3210Sa−=．（I）求na与nS；（Ⅱ）设()2log2nnnbSa=+，数列nb的前n项和记为nT，求nT．18．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且()22232sinacbbcA+−=．（1）求B；（2）若ABC的面积是23,23c

a=，求b．19．某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽数学成绩x4665798999109110116123134140物理成绩y505460636668070737680

取11名考生的数据，统计如下表：（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参

加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布()2,N，用剔除异常数据后的样本平均值作为的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．附：参考数据：111iix=111iiy=111iiixy=1121iix=()111i

iyy=−2586832611106606858612042647700.31上表中的x；表示样本中第i名考生的数学成绩，y；表示样本中第i名考生的物理成绩，111111iiyy==．参考公式：①对于一组数据：12,

,,nuuu，其方差：()22221111nniiiisuuuunn===−=−．②对于一组数据()()()1122,,,,,,nnuvuvuv，其回归直线ˆˆˆvabu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆniiiniiuvnuvbunu==−=−，ˆˆavbu=−．③若随

机变量服从()2,N，则()0.683P−+，(22)0.955,(33)0.997PP−+−+．20．如图，在直棱柱111ABCABC−中，12,,,,AAABACABAC

DEF===⊥分别是111,,ABCCBC的中点．（1）求证：AEDF⊥；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．21．如图，已知双曲线22:13yCx−=的左右焦点分别为12FF

、，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足128PFPF+=，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PAPB、与渐近线的交点分别是A和B．（1）求四边形OAPB的面积；（2）若对于更一般的双曲线2222:1(0,0)xyC

abab−=，点P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PAPB、与渐近线的交点分别是A和B．请问四边形OAPB的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用ab、表示该定值）；若不是定值，请说明理由．22．如图，

某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OCAB⊥．在OC上有一座观赏亭Q，其中23AQC=，计划在BC上再建一座观赏亭P，记02POB=．（1）当3=时，求OPQ的大小；（2）当OPQ越大时，游客在

观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角的正弦值．参考答案一、单选题．1．B【分析】根据函数的定义域求法以及指数函数的值域求出集合,AB，再由集合的交运算即可求解．【详解】24{22}[2,2]Axyxxx==−=−=−∣∣，e{0

}(0,)xByyyy====+∣∣，所以(0,2]AB=．故选：B2．D【分析】根据题意得到,,qpprqr，再逐项判断．【详解】由题意得,,,sqrqqppr，所以,,qpprqr，所以s

r，所以s是r的充分条件，故A错误；s是p的充分条件，故B错误；q是r的充要条件，故C错误；p是r的充要条件，故D正确；故选：D．3．B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可．【详解】因为玉衡和天权都没有

被选中的概率为25271021CPC==，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为101112121−=．故选：B．4．A【分析】求出P点坐标，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．【详解】由134t+=得1t=，则514y=−+=−，

所以(4,4)P−，圆C的普通方程为22(1)25xy−+=，圆心为(1,0)C，404413CPk−−==−−，所以切线的斜率为34k=，方程为34(4)4yx+=−，即34280xy−−=．故选：A．5．B【分析】以D为坐标原点，建立空间直

角坐标系，求出平面1BBD的法向量(,,)nxyz−，然后利用向量法可求cos,nBE，从而求直线BE与平面1BBD所成角的正弦值．【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以1DD为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则1(0,0,0),

(2,2,0),(2,2,2),(0,2,1)DBBE1(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)BDBBBE=−−==−设平面1BBD的法向量为(,,)nxyz=，1,nBDnBB⊥⊥，22020xyz−−==

，令1y=，则(1,1,0)n=−，10cos,5||||nBEnBEnBE==，设直线BE与平面1BBD所成角为，则10sincos,|5nBE==∣，故选：B．6．D【分析】A．当0x→时，1y→−，不符合题意；B．其图象不关于y轴对称，不符合题意；C．其图象不关于y轴对称，

不符合题意；D．其图象关于y轴对称，当0x→时，1y→，符合题意．【详解】A．()222lnsin2cos242yfxgxxxxx=−+=−+=−+，当0x→时，1y→−，不符合题意；B

．(ln||)sin(2)||sin2||2yfxgxxxxx=−+=−+=−+，其图象不关于y轴对称，不符合题意；C．()333lnsin2cos242yfxgxxxxx=++=++=+

，其图象不关于y轴对称，不符合题意；D．(ln||)sin2||cos2||42yfxgxxxxx=++=++=+，其图象关于y轴对称，当0x→时，1y→，符合题意．故选：D．【点睛】方法点睛：根据图象找解析式，一般先找差异，再验证，即得解．7．A【分

析】设点()()1122(,4),,,,PttCxyDxy+，根据圆的切线的性质可得,CD在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由,CD在圆224xy+=上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点(1,1)Q−，从而得M在以OQ为直径

的圆，得出圆的方程可求得||AM的最小值．【详解】设点()()1122(,4),,,,PttCxyDxy+，因为,PDPC是圆的切线，所以,ODPDOCPC⊥⊥，所以,CD在以OP为直径的圆上，其圆的方程为2222

4(4)224ttttxy+++−+−=，又,CD在圆224xy+=上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：(4)40txty++−=，即()4(1)0txyy++−=，所以直线CD恒过定点(1,1)Q−，又因为,,

,,OMCDMQCD⊥四点共线，所以OMMQ⊥，即M在以OQ为直径的圆22111222xy++−=上，其圆心为11,22O−，半径为22r=，所以22min112||422222AMAOr

=−=−++−=，所以||AM的最小值为22，故选：A．【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()ykxab=−+，将xa=带入原方程之后，所以直线过定点(,)ab

；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．8．D【分析】构造函数1()()2gxf

x=−，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()211(12)22faxfax−−−−，即()2(21)gaxgax−，再利用函单调性解不等式即可．【详解】1()21xxQfxee=

+−+，1111()()121212121xxxxxxxxfxfxeeee−−−−+−=+−++−=+=++++令1()()2gxfx=−，则()()0gxgx+−=，可得()gx是奇函数，又()()2

12ln21ln2()12121222xxxxxxxxxxxgxeeeeee−−=+−=+−=+−++++，又利用基本不等式知12xxee+当且仅当1xxee=，即0x=时等号成立；ln2ln214222xx++当且仅当122xx=，即0x=时等号成立；故()0gx，可得

()gx是单调增函数，由()2(12)1faxfax+−得()2111(12)(12)222faxfaxfax−−−+=−−−，即()2(12)(21)gaxgaxgax−−=−，即2210axax−+对xR恒成立．当0a=时显

然成立；当0a时，需20440aaa=−，得01a，综上可得01a，故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：（1）把不等式转化为[()][()]fgxfhx的模型；（2

）判断()fx的单调性，再根据函数的单调性将“f”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别．二、多选题．9．BD【分析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解．【详解】11()1fxxx=++的定义域为(,1)(1,0)(0,)−−−+，而1x和11x+在各段定

义域内均为减函数，故()fx在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A错误；当(1,0),1xx−→−时，有11()1fxxx=+→++，当0x→时，有11()1fxxx=+→−+，所以()fx的值域为R，故B正确；令21121

()01xfxxxxx+=+==++，可得12x=−，所以()fx在定义城内有一个零点，故C错误；2211128111241224xxyfxxxxx=−=+==−−+−，令28()41xgxx=−，易知12x，此时定义域关于原点对称，且28(

)()41xgxgxx−−==−−，故()gx为奇函数，所以12yfx=−是奇函数，故D正确，故选：BD．10．BC【分析】设内切球的半径为r，由圆柱和球的体积和表面积公式可求得,mn，进而得到()fx；对于A，利用二项式定理得到展开式通项，令2440r−=

可求得r，代入得到常数项，知A错误；对于B，采用赋值法，令1x=可得各项系数和，知B正确；对于C，由二项式系数性质知最大值为48C，知C正确；对于D，根据复数的运算可知D错误．【详解】设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，2223

232223,42423rrrrrmnrr+====，则8311,()mfxxnx==−；对于A，()fx展开式通项公式为：2432441881(1)rrrrrrrTCxCxx−−+=−

=−，令2440r−=，解得：6,()rfx=展开式的常数项为668(1)28C−=，A错误；对于B，(1)0f=，即()fx展开式的各项系数之和为0，B正确：对于C，()fx展开式中二项式系数最大值为4870C=，C正确；对于D，8381()()0fi

iiii=−=−+=，D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：本题以立体几何的知识为载体，重点考查了二项式定理的知识，解题关键是能够利用球和圆柱的表面积及体积公式确定二项展开式的表达式．11．BD【分析】对于选项A，先假设存在某个位置使得1DEAC⊥，通过说明1DEAE⊥与11DAAE

⊥矛盾来判断；对于选项B，取CD中点F，利用中位线得平行关系以及余弦定理来计算得出MB是定值；对于选项C，通过利用中位线、平行四边形说明面面平行，得到//BM面1ADE．对于选项D，当面1DAE⊥面DCE时，三棱锥1ADCE−的体积最大，OF⊥面1DAEF，为三

棱锥1ADCE−的外接球球心，进而进行计算得出结果．【详解】若存在某个位置使1DEAC⊥，由已知得45AEDBEC==，则DEEC⊥，又1CEACC=，DE⊥面1AEC，得1DEAE⊥，这与使11DAAE⊥矛盾，故A错误；取CD中点F，连接,MFBF，则1//,//M

FDABFDE，由111,2ADEMFBMFAD==为定值，又FBDE=为定值，所以由余弦定理可得2222cosMBMFFBMFFBMFB=+−，即MB是定值，故B正确．因为,MF分别为1ACCD、的中点，所以1//MFDA，因为1AD面1,ADE

MF面1ADE，所以//MF面1ADE，因为//DFBE且DFBE=，所以四边形BEDF为平行四边形，所以//BFDE，DE面1,ADEBF面1ADE，所以//BF面1ADE，又BFMFFBFMF=，、面BMF，面//BMF面1ADE，因为BM面,//BMFB

M面1ADE，故C错误；若1AD=，则1111,ADAEDAE==是等腰直角三角形，DCE是等腰直角三角形，当面1DAE⊥面DCE时，三棱锥1ADCE−的体积最大，取DE中点O，连接OF，则OFDE⊥，由面1DAE⊥面DCE，且面1DAE面DCEED=，可得OF⊥面1DAE，又

F为DCE的外心，所以F为三棱锥1ADCE−的外接球球心，半径为112CD=，外接球的表面积为4，故D正确．故选：BD【点睛】对于图形的特点要有一定的认识，证明线线平行、线面平行、面面平行要熟练掌握，对图形的空间立体感要建立起

来．12．AC【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A；根据已知三角函数值求角的方法，可得()0052,,12,66xkkZxkkZ+=−++=−，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断B和C选

项；因为3T=，所以函数()fx在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f=，进而可判断D．【详解】解：由题意得，()fx在()00,1xx+的区间中点处取得最小值，即0112fx

+=−，所以A正确；因为()()00112fxfx=+=−，且()fx在()00,1xx+上有最小值，无最大值，所以不妨令052,6kkZ+=−，()012,6xkkZ++=−，两式相减得，23=，所以23T==，即B错误，C正确；因为3T=，所以函数()

fx在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f=，即k=时，()fx在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345−=个，即D错误．故选：AC．【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，

利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．三、填空题．13．3116【分析】本题可根据抛物线的定义得出结果．【详解】抛物线24yx=即214xy=，焦点10,16F，因为点()00,Pxy在抛物线上且||2PF=，所以结合抛物线定义易知，013121616y=−=，故答案

为：3116．14．4950或150【分析】利用恒等变换公式化简三角函数表达式，代入三角函数值计算即可．【详解】由3sin5a=则4cos5a=，2222cossincossincossin442222aaaaaa+−=−−

2211113449cossinsincossincos22225550aaaaaa=+−=−==或150，故答案为：4950或15015．①③【分析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可．【详解】若()fx为偶函数，则22()

2()2fxxaxbfxxaxb−=++==−+，则()222222240xaxbxaxbaxxb++=−++=对xR恒成立，则0a=，故①正确；(0)||,(2)|44|fbfab==−+，若(0)(2)ff=，即|||44|bab=

−+，则441baba=−+=或4422babab−=−+−=，若取0,2ab==−，则2()2fxx=−关于0x=对称，②错误；若20ab−，函数22yxaxb=−+的判别式2440ab=−，即22220,()22yxaxbfxxaxbxaxb=−+=−+=−+，由二次函数性质，知()

fx在区间[,)a+上是增函数，③正确；取0,4ab==−，满足220ab−−，则22()4242fxxx=−=−=或2−，解得2x=或6，即()()2hxfx=−有4个零点，④错误；故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：对函数的综合性质考察比较综合，除解出参数关系或值外，判断正误也可以通过取一些特殊值快速的找到答案．16．2015413−【解析】由题意得()gnn=，（n为奇数），()2ngng=，（n为偶

数），所以()()20152015201521(1)(2)(3)(4)2221Sgggggg−=+++++−+−()()20142015(1)(1)(3)(2)2121gggggg=+++++−+−()()20142015(1)(2)(3)211321gggg=+++++−++++−()2

014201420132014201520142013201421212121214442SSS−−−+−=+=+=++1201520151201320141201320142114414441444143S−−−==++++=++++==−．四、解答题．17．（I

）12,22nnnnaS+==−；（I）12nnTn+=．【分析】（Ⅰ）设公比为q，由题设列方程求1qa、，根据等比数列的通项公式、前n项和公式写出nnaS、．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(1)nnbn=+，应用错位相减法求前n项和nT即可．【详解】（Ⅰ）设正项等比数列na

的公比为q，由题意有312321321010aaaSaaa=++−=+=，220qq−−=，而0q，解得2q=，则有118310aa=+，即12a=，1*222nnnnaSnN+==−，，．（Ⅱ）由（I）知：()2log22(1)nnnnbS

an=+=+．23223242(1)2nnTn=+++++，234122232422(1)2nnnTnn+=++++++，223112222(1)22nnnnTnn++−=++++−+=−，12nnTn+=

．18．（1）3B=；（2）2．【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可．【详解】解：（1）由()22232sinacbbcA+−=，得222sin32acbbAaca

+−=，得sin3cosbABa=，得3cossinaBbA=，由正弦定理得3sincossinsinABBA=，因为sin0A，所以3cossinBB=，所以tan3B=，因为0B，所以3B=．

（2）若ABC的面积是233，则11323sin22223acBaa==，解得233a=，所以433c=．由余弦定理2222cosbacacB=+−，可得222234323431233332b

=+−，所以2b=．19．（1）ˆ0.3135yx=+，物理成绩为69.1；（2）1585．【分析】（1）结合题中数据以及公式可得ˆ0.3135yx=+，将110代入即可得结果；（2）

先得考生的物理成绩服从正态分布()266,9N，根据正态分布的概率特征不低于75分的概率，进而得期望．【详解】（1）设根据剔除后数据建立的y关于x的回归直线方程为ˆˆˆybxa=+，剔除异常数据后的数学平均分为111011010010−=，剔除异常数据后的物理平均分为66006610−

=，则2268586110010661002586ˆ0.31120426110101008326b−−==−−，则ˆ660.3110035a=−=，所以所求回归直线方程为ˆ0.3135yx=+．

又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为ˆ0.311103569.1y=+=．（2）由题意知66=，因为()2111122211660114770114437011iiiiyyyy===−+=+=，所以21443706681910

=−==，所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布()266,9N，则物理成绩不低于75分的概率为10.6830.15852−=，由题意可知~(10000,0.1585)YB，所以物理成绩不低于

75分的人数Y的期望100000.15851585EY==．20．（1）见解析（2）51414【解析】试题分析：直三棱柱底面为,ABCABAC⊥，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量数量积为0，易证AEDF⊥；再借助求平面的法向量，利用线面角公式及点到平面的距离公式求出对应

的值．试题解析：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、1AA为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(1,1,0)ADEF−−，故(2,0,1),(1,0,2)AEDF=−=−−，由2(1)1(2)0AEDF=−−+

−=，可知AEDF⊥，即AEDF⊥．（2）设(,,1)nxy=是平面DEF的一个法向量，又(1,0,2),(1,1,1)DFEF=−−=−，故由20,10,nDFxnEFxy=−−==+−=解得2,3,xy=−=故(2,3,1)n=−．设AE

与平面DEF所成角为，则||570sin14||||145nAEnAE===，所以AE与平面DEF所成角为70arcsin14，点A到平面DEF的距离为5sin1414AE=．【点睛】根据几何体的特征建立适合的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明

线线垂直，只需说明数量积为零，求点到平面的距离，只需求出平面的法向量，利用点到平面距离公式计算出结果．证明线面、面面的平行或垂直问题，要把握平行与垂直的判定定理和性质定理，严格根据定理进行逻辑推理，有关角和距离的计算大多使用空间向量

，借助法向量进行计算．21．（1）32；（2）是，且定值为12ab．【分析】（1）求出点PB、的坐标，计算出点B到直线OP的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形OAPB的面积；（2）设点()00,Pxy

，求出点B的坐标，计算出点B到直线OP的距离d，利用平行四边形的面积公式化简可得结果．【详解】（1）因为双曲线22:13yCx−=，由双曲线的定义可得122PFPF−=，又因为12128,5,3PFPFPFPF+===，因为122134

FF=+=，所以，22221212,PFFFPFPFx+=⊥轴，点P的横坐标为2Px=，所以，2221,03PPyy−=，可得3Py=，即点(2,3)P，过点P且与渐近线3yx=−平行的直线的方程为33(2)yx−=−

−，联立333(2)yxyx=−=−−，解得312332xy=+=+，即点331,322B++，直线OP的方程为320xy−=，点B到直线OP的距离为33213213d==，且||13OP=，因此，四边形O

APB的面积为32||2OAPBOBPSSOPd===；（2）四边形OAPB的面积为定值12ab，理由如下：设点()00,Pxy，双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byxa=，则直线PB的方程为()00byyxxa−=−−，联立()00byyxxabyxa−

=−−=，解得00002222xaxybybyxa=+=+，即点0000,2222xyabByxba++，直线OP的方程为00yyxx=，即000yxxy−=，点B到直线OP的距离为，00

22220000002222000022222xyabyyxxaybxbadxyabxy+−+−==++222222000022abababxyxy==++，且2200OPxy=+，因此，22002200222OAPBOBPababSSOPdxyxy=

==+=+（定值）．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．（1）6．（2）3sin3=．【分析】（1）设OP

Q=，在POQ中，用正弦定理sinsinOQOPOPQOQP=可得含,的关系式，将其展开化简并整理后得costan3sin=−，将3=代入得答案；（2）令cos()3sinf=−并利用导数求得()f的最大值，即此

时的sin，由（1）可知costan3sin=−，得答案．【详解】（1）设OPQ=，在POQ中，用正弦定理可得含,的关系式．因为23AQC=，所以3AQO=，又3OAOB==，所以3OQ=在OPQ中，3,3,2OQOPPOQ===−，设OPQ

=，则2PQO=−+．由正弦定理，得33sinsin2=−+，即3sincos()=−．展开并整理，得costan3sin=−，其中0,2．此时当3=时，3tan3=．因为(0,)，所以6=．故当3

=时，6OPQ=．（2）设cos(),0,23sinf=−．则222sin(3sin)cos13sin()(3sin)(3sin)f−−+−==−−．令()0f=，得3s

in3=，记锐角0满足03sin3=，则20023cos1sin3=−=，即()00023cos2323sin333f===−−列表如下：()00,00,2()f+0−

()f单调递增22单调递减由上表可知，()022f=是极大值，也是最大值．由（1）可知tan()0f=，则0,,tan2单调增则当tan取最大值22时，也取得最大值．故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，3s

in3=．【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题．