【文档说明】重庆市第八中学2021届高三下学期5月第五次模拟考试数学试题 PDF版含答案.pdf，共(28)页，527.627 KB，由小赞的店铺上传

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试卷第1页，总7页2021届重庆市八中高三下期第五次模拟考试数学试题数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将

答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）。1．已知集合24

Axyx，exByy，其中e是自然对数的底数，则AB（）A．B．(0,2]C．[2,)D．[2,)2．已知s，r都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，则（）A．s是

r的既不充分也不必要条件B．s是p的必要条件C．q是r的必要不充分条件D．p是r的充要条件3．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮

，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）A．1021B．1121C．1142D．521试卷第2页，总7页4．已知点(4,)Pm是直线13,:5xtlyt（Rtt，是参数）和圆15cos,:5sinxCy

（R,是参数）的公共点，过点P作圆C的切线1l，则切线1l的方程是（）A．34280xyB．34280xyC．3130xyD．3160xy5．在正方体1111ABCDABCD中，E是

1CC的中点，则直线BE与平面1BBD所成角的正弦值为（）A．105B．105C．155D．1556．已知函数sin2fxx，exgx，则下列图象对应的函数可能为（）A．2πln4y

fxgxB．πln2yfxgxC．3πln4yfxgxD．πln4yfxgx7．已知直线:40lxy与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆224xy的两条切线，切点分别为C，D

两点，记M是CD的中点，则AM的最小值为（）A．22B．32C．17D．38．已知函数1ee21xxxfx，若不等式2121faxfax对xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0,eB．

0,eC．0,1D．0,1试卷第3页，总7页二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）。9．关于函数111fxxx的结论正确的是（）A．fx在定义

域内单调递减B．fx的值域为RC．fx在定义城内有两个零点D．12yfx是奇函数10．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他

最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若831mfxxnx，则（）A．fx的展开式中的常数项是56B．

fx的展开式中的各项系数之和为0C．fx的展开式中的二项式系数最大值是70D．16fi，其中i为虚数单位11．如图，在矩形ABCD中，2ABAD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1A

DE△，若M为线段1AC的中点，则ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）试卷第4页，总7页A．存在某个位置，使1DEACB．MB为定值C．存在某个位置，使MB平面1ADED．若1AD，当三棱锥1ADEC的体积最大时，该三棱锥的外接球表面积是412．

已知函数()sin()(0)fxx满足00112fxfx，且()fx在00,1xx上有最小值，无最大值.则（）A．0112fxB．若00x，则()sin26fxxC．

()fx的最小正周期为3D．()fx在(0,2019)上的零点个数最少为1346个第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。13．已知F是抛物线24yx的焦点，点00,Pxy

在抛物线上，且2PF，则0y______.14．已知sina=35，则cos(4+a)sin(4-a)=___________.15．已知函数2()2fxxaxb，()xR.下列四个命题：①

aR，使()fx为偶函数；②若(0)(2)ff，则()fx的图象关于直线1x对称；③若20ab，则()fx在区间[,)a上是增函数；试卷第5页，总7页④若220ab，则函数()()2hxfx有两个零点.其中所有真命题的序号是__

_________.16．用()gn表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g，10的因数有1，2，5，10，(10)5g，那么2015(1)(2)(3)(21)gggg__________．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17．已知正项等比数列na的前n项和为nS，若1a，3a，210a成等差数列，3210Sa.（Ⅰ）求na与nS；（Ⅱ）设2log2nnnbSa，数列nb的前

n项和记为nT，求nT.18．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22232sinacbbcA．（1）求B；（2）若ABC的面积是233，2ca，求b．19．某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从

一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程

，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；数学成绩x4665798999109110116123134140物理成绩y505460636668070737680试卷第6页，总7页（2）已知参加该次考试的

10000名考生的物理成绩服从正态分布2(,)N，用剔除异常数据后的样本平均值作为的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望.附：参考数据：111i

ix111iiy111iiixy1121iix1121iiyy2586832611106606858612042647700.31上表中的x；表示样本中第i名考生的数学成绩，y；表示样本中第i名考生的物理成绩，111111iiyy.参考公式：①对于

一组数据：12,,,nuuu，其方差：22221111nniiiisuuuunn.②对于一组数据1122,,,,,,nnuvuvuv，其回归直线ˆˆˆvabu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆ

niiiniiuvnuvbunu，ˆˆavbu.③若随机变量服从2,N，则()0.683P，220.55()9P，330.97()9P.20．如图，在直棱柱111ABCABC中，12AAA

BAC，ABAC，,,DEF分别是111,,ABCCBC的中点．（1）求证：AEDF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．试卷第7页，总7页21．如图，已知双曲线22:13yCx的

左右焦点分别为1F、2F，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足128PFPF，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.（1）求四边形OAPB的面积；（2）若对于更一般的双曲线2222:10,0xyCabab，点P为双曲线

C上任意一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.请问四边形OAPB的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a、b表示该定值）；若不是定值，请说明理由.22．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.

在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝23，.计划在BC上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ(0)2.（1）当θ＝3时，求∠OPQ的大小；（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．答案第

1页，总20页参考答案一.单选题。1．B【分析】根据函数的定义域求法以及指数函数的值域求出集合,AB，再由集合的交运算即可求解.【详解】24222,2Axyxxx，e00,xByyyy，所以AB(0,2].故选：B2

．D【分析】根据题意得到,,qpprqr，再逐项判断.【详解】由题意得,,,sqrqqppr，所以,,qpprqr，所以sr，所以s是r的充分条件，故A错误；s是p的充分条件，故B错

误；q是r的充要条件，故C错误；p是r的充要条件，故D正确；故选：D.3．B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为25271021CPC，答案第2页，总20页所以玉衡和天权至少一颗

被选中的概率为101112121.故选：B.4．A【分析】求出P点坐标，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．【详解】由134t得1t，则514y，所以(4,4)P，圆C的普通方程为22(1)25xy，圆心

为(1,0)C，404413CPk，所以切线的斜率为34k，方程为34(4)4yx，即34280xy．故选：A．5．B【分析】以D为坐标原点,建立空间直角坐标系，求出平面1BBD的

法向量(,,)nxyz，然后利用向量法可求cos,nBE，从而求直线BE与平面1BBD所成角的正弦值.【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以1DD为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0,0,0)D，

(2,2,0)B，1(2,2,2)B，(0,2,1)E答案第3页，总20页(2,2,0)BD，1(0,0,2)BB，(2,0,1)BE设平面1BBD的法向量为(,,)n

xyz，BDn，1nBB，22020xyz，令1y，则(1,1,0)n，10cos,5||||BEnBEnBEn，设直

线BE与平面1BBD所成角为，则10sin|cos,|5BEn，故选：B．6．D【分析】A.当0x时，1y，不符合题意；B.其图象不关于y轴对称，不符合题意；C.其图象不关于y轴对称，不符合题意；D.其图象关于y轴对称，当0

x时，1y，符合题意.【详解】A.222ππlnsin2cos242yfxgxxxxx，当0x时，1y，不符合题意；B.πlnsin2πsin22yfxgxxxxx，其图象不关于y轴对称，不符

合题意；C.333ππlnsin2cos242yfxgxxxxx，其图象不关于y轴对称，不符合题意；D.πlnsin2cos242yfxgxxxxx，其图象关于y轴对答案第4页，总20页称，当0x时，1

y，符合题意.故选：D.【点睛】方法点睛：根据图象找解析式，一般先找差异，再验证，即得解.7．A【分析】设点+4Ptt，，1122,,CxyDxy，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆224xy上，可得直线CD的方程，求得直线C

D恒过定点11Q，，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得AM的最小值．【详解】设点+4Ptt，，1122,,CxyDxy，，因为PD，PC是圆的切线，所以,ODPDOCPC，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为2222++

4+4224tttxty，又C，D在圆224xy上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：++440txty，即410txyy，所以直线CD恒过定点11Q，，又因为OMCD，M，Q，

C，D四点共线，所以OMMQ，即M在以OQ为直径的圆22111+222xy上，其圆心为'1122O，，半径为22r=，所以22min112422222AMAOr

，所以AM的最小值为22，故选：A．答案第5页，总20页【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成ykxab，将xa带入原方程之后，所以直线过定点

ab，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.8．D【分析】构造函数12gxfx

，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为2111222faxfax，即221gaxgax，再利用函数单调性解不等式即可.【详解】1ee21xxxfxQ，1111eeee121212121xxxx

xxxxfxfx令12gxfx，则0gxgx，可得gx是奇函数，又2121eeeee21e21ln2ln2++2122xxxxxxxxxxxgx

，又利用基本不等式知e2+1exx当且仅当1eexx，即0x时等号成立；ln2ln214222xx当且仅当122xx，即0x时等号成立；答案第6页，总20页故0gx，可得gx是单调增函数，由21

21faxfax得21111212222faxfaxfax，即21221gaxgaxgax，即2210axax对xR恒成立.当0a时显然成立；当0a时，需20440aaa，得01

a，综上可得01a，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：（1）把不等式转化为()()fgxfhx的模型；（2）判断fx的单调性，再根据函数的单调性将“f”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的

区别.二.多选题。9．BD【分析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解.【详解】111fxxx的定义域为(,1)(1,0)(0,)UU，而1x和11x在各段定义域内均为减函数，故()fx在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A错误；当(

1,0)x，1x时，有111fxxx，当0x时，有111fxxx，答案第7页，总20页所以fx的值域为R，故B正确；令2112101xfxxxxx，可得12x，所以fx在定义城内有一个零点，故C错误

；2211128111241224xxyfxxxxx，令28()41xgxx，易知12x，此时定义域关于原点对称，且28()()41xgxgxx，故()gx为奇函数，所以12yfx是奇函数，故D正确，故选：BD.10．BC

【分析】设内切球的半径为r，由圆柱和球的体积和表面积公式可求得,mn，进而得到fx；对于A，利用二项式定理得到展开式通项，令2440r可求得r，代入得到常数项，知A错误；对于B，采用赋值法，令1x可得各项系数和，知B正确

；对于C，由二项式系数性质知最大值为48C，知C正确；对于D，根据复数的运算可知D错误.【详解】设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，2323423rrmr，22222342rrrnr，则1mn，831fxxx；对于A，fx展开式通项公式为：

24324418811rrrrrrrTCxCxx，令2440r，解得：6r，fx展开式的常数项为668128C，A错误；答案第8页，总20页对于B，10f，即fx展开式的各项系数之和为0，B正确；

对于C，fx展开式中二项式系数最大值为4870C，C正确；对于D，88310fiiiii，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题以立体几何的知识为载体，重点考查了二项式定理的知识，解题关键是能够利用球和圆柱的表面积及体积公式

确定二项展开式的表达式.11．BD【分析】对于选项A，先假设存在某个位置使得1DEAC，通过说明1DEAE与11DAAE矛盾来判断；对于选项B，取CD中点F，利用中位线得平行关系以及余弦定理来计算得出MB是定值；对于选项C，通过利用中

位线、平行四边形说明面面平行，得到BM1ADE面.对于选项D，当1DAEDCE面面时，三棱锥1ADCE的体积最大，1OFDAE面，F为三棱锥1ADCE的外接球球心，进而进行计算得出结果.【详解】若存在某个位置使1DEAC,由已知得45oAEDBEC，则DEEC，

又1CEACC，答案第9页，总20页1DEAEC面,得1DEAE，这与使11DAAE矛盾，故A错误;取CD中点F，连接MF,BF，则1MFDA，BFDE，由1ADEMFB，112MFAD为定值，又FB=DE为定值,所以由余弦定理可得2222MBMFFB

MFFBcosMFB，即MB是定值，故B正确.因为M,F分别为1AC、CD的中点，所以1MFDA，因为11ADADE面,1MFADE面,所以1MFADE面，因为DFBE∥且DFBE，所以四边形BEDF为平行四边形，所以BF

DE，1DEADE面,1,BFADE面所以1BFADE面，又BFMFF,BF、MFBMF面,1BMFADE面面，因为BMBMF面,BM1ADE面,故C错误；若AD=1，则111ADAE，1DAE是等腰直角三角形，DC

E是等腰直角三角形，当1DAEDCE面面时，三棱锥1ADCE的体积最大，取DE中点O，连接OF，则OFDE，由1DAEDCE面面，且1DAEDCEED面面，可得1OFDAE面，又F为DCE的外心，所以F为

三棱锥1ADCE的外接球球心，半径为12CD=1，外接球的表面积为4，故D正确.故选：BD【点睛】对于图形的特点要有一定的认识，证明线线平行、线面平行、面面平行要熟练掌握，对图形的空间立体感要建立起来.12．AC答案第10

页，总20页【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6xkkZ，0(1)2,6xkkZ，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断B和C选项；因为3T，所以函数()fx在区间(0,

2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f，进而可判断D．【详解】解：由题意得，()fx在00,1xx的区间中点处取得最小值，即0112fx，所以A正

确；因为00112fxfx，且()fx在00,1xx上有最小值，无最大值，所以不妨令052,6kkZ，012,6xkkZ，两式相减得，23，所以23T，即B错误，C正确；因为3T，所以函数()fx在区间(0,201

9)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f，即k时，()fx在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345个，即D错误.故选:AC.【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的

关键，综合性较强．三．填空题。答案第11页，总20页13．3116【分析】本题可根据抛物线的定义得出结果.【详解】抛物线24yx即214xy，焦点10,16F，因为点00,Pxy在抛物线上且2PF，所以结合抛物线定义易

知，013121616y=-=，故答案为：3116.14．4915050或【分析】利用恒等变换公式化简三角函数表达式，代入三角函数值计算即可.【详解】由3sin5a，则4cos5a，2222cos()sin()(cossin)(cossin)442222aaaaaa221

1113449cossinsincossincos22225550aaaaaa或150，故答案为：4950或15015．①③【分析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.【详解】若()fx为偶函数，则22()2

()2fxxaxbfxxaxb，则22222224()0xaxbxaxbaxxb对xR恒成立，则0a，故①正确；答案第12页，总20页(0)fb，(2)44fab，若(0)(2)ff，即44bab，则441baba或4422bab

ab，若取0,2ab，则2()2fxx关于0x对称，②错误；若20ab，函数22yxaxb的判别式2440ab，即220yxaxb，22()22fxxaxbxaxb，由二次函数性质

，知()fx在区间[,)a上是增函数，③正确；取0,4ab，满足220ab，则22()4242fxxx或2，解得2x或6，即()()2hxfx有4个零点，④错误；故答案为：①③【点睛】关键点点睛：对函数的综合性质考察比较综合，除解出参数关系

或值外，判断正误也可以通过取一些特殊值快速的找到答案.16．2015413【解析】由题意得(),(),()(),(),2ngnnngngn为奇数为偶数所以20152015201521(1)(2)(3)(4)(22)(21)Sgggggg20142015(1)(1)(

3)(2)(21)(21)gggggg20142015(1)(2)(3)(21)13(21)gggg201420142013201420152014201320142

121212(121)4442SSS1201520151201320141201320142114414441444.143S四．解答题。17．（Ⅰ）2nna，122nnS；（Ⅱ）12nnTn.答案第13页，总2

0页【分析】（Ⅰ）设公比为q，由题设列方程求q、1a，根据等比数列的通项公式、前n项和公式写出na、nS.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(1)nnbn，应用错位相减法求前n项和nT即可.【详解】（Ⅰ）设正项等比数列na的公比为q，由题意有3123213

21010aaaSaaa，∴220qq，而0q，解得2q=，则有118310aa，即12a，∴2nna，122nnS，*nN.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：22(1log2)nnnnbSan.∴23223242...(1)2nnTn

，23412223242...2(1)2nnnTnn，∴22311222...2(1)22nnnnTnn，12nnTn.18．（1）3B；（2）2.【分析】（1

）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：（1）由22232sinacbbcA，得222sin32acbbAaca，得sin3cosbABa，得3cossinaBbA，由正弦定理得3sinc

ossinsinABBA，因为sin0A，所以3cossinBB，答案第14页，总20页所以tan3B，因为0B，所以3B．（2）若ABC的面积是233，则11323sin22223acBaa，解得23

3a，所以433c．由余弦定理2222cosbacacB，可得222234323431233332b，所以2b．19．（1）ˆ0.3135yx，物理成绩为69.1；（2）1585.【分析

】（1）结合题中数据以及公式可得ˆ0.3135yx，将110代入即可得结果；（2）先得考生的物理成绩服从正态分布266,9N，根据正态分布的概率特征不低于75分的概率，进而得期望.【详解】（1）设根据剔除后数据建立的y关于x的回归直线方程为ˆ

ˆˆybxa，剔除异常数据后的数学平均分为111011010010，剔除异常数据后的物理平均分为66006610，则2268586110010661002586ˆ0.31120426110101008326b

，则ˆ660.3110035a，所以所求回归直线方程为ˆ0.3135yx.答案第15页，总20页又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为ˆ0.311103569.1y.（2）由题意知66，因为2111122211660114770114

437011iiiiyyyy，所以21443706681910，所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布266,9N，则物理成绩不低于75分的概率为10.6830.15852

，由题意可知~10000,0.1585YB，所以物理成绩不低于75分的人数Y的期望100000.15851585EY.20．（1）见解析（2）51414【解析】试题分析：直三棱柱底面为,ABCABAC，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量数量积为0，易证AEDF

；再借助求平面的法向量，利用线面角公式及点到平面的距离公式求出对应的值.试题解析：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、1AA为z轴建立如图的空间直角坐标系．答案第16页，总20页由题意可知

0,0,0,0,1,2,2,0,1,1,1,0ADEF，故2,0,1,1,0,2AEDF，由21120AEDF，可知AEDF，即AEDF．（2）设,,1nxy是平面DE

F的一个法向量，又1,0,21,1,1DFEF，，故由20,{10,nDFxnEFxy解得2,{3,xy故2,3,1n．设AE与平面DEF所成角为，

则570sin14145nAEnAE，所以AE与平面DEF所成角为70arcsin14，点A到平面DEF的距离为5sin1414AE．【点睛】根据几何体的特征建立适合的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明

线线垂直，只需说明数量积为零，求点到平面的距离，只需求出平面的法向量，利用点到平面距离公式计算出结果.证明线面、面面的平行或垂直问题，要把握平行与垂直的判定定理和性质定理，严格根据定理进行逻辑推理，有关角和距离的计算大多使用空间向量，借助法向量进行计算.21

．（1）32；（2）是，且定值为12ab.【分析】（1）求出点P、B的坐标，计算出点B到直线OP的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形OAPB的面积；（2）设点00,Pxy，求出点B的坐标，计算出点B到直线OP的距离d，利用平行四边形的面积公式

化简可得结果.【详解】答案第17页，总20页（1）因为双曲线22:13yCx，由双曲线的定义可得122PFPF，又因为128PFPF，15PF，23PF，因为122134FF，所以，2222121PFFFPF，2PF

x轴，点P的横坐标为2Px，所以，22213Py，0Py，可得3Py，即点2,3P，过点P且与渐近线3yx平行的直线的方程为332yx，联立3332yxyx，解得312332xy，即点331,322B

，直线OP的方程为320xy，点B到直线OP的距离为33213213d，且13OP，因此，四边形OAPB的面积为322OAPBOBPSSOPd△；（2）四边形OAPB的面积为定值12ab，理由如下：设点00,Pxy，双曲线22221xyab

的渐近线方程为byxa，则直线PB的方程为00byyxxa，联立00byyxxabyxa，解得00002222xaxybybyxa，即点0000,2222xyabByxba，直线OP的方程为00yyxx，即

000yxxy，答案第18页，总20页点B到直线OP的距离为0022220000002222000022222xyabyyxxaybxbadxyabxy222222000022abababxyxy，且2200OPxy，

因此，22002200222OAPBOBPababSSOPdxyxy△（定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算

，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．（1）6.（2）3sin3.【分析】（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理sinsinOQOPOPQOQP可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanα＝cos3sin，将

θ＝3代入得答案；（2）令f(θ)＝cos3sin并利用导数求得f(θ)的最大值，即此时的sin，由（1）可知tanα＝cos3sin，得答案.【详解】（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用

正弦定理可得含α，θ的关系式．因为∠AQC＝23，所以∠AQO＝3.又OA＝OB＝3，所以OQ＝3在△OPQ中，OQ＝3，OP＝3，∠POQ＝2－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝2－α＋θ.由正弦定理，得3sin2＝3sin，即3s

inα＝cos(α－θ)．答案第19页，总20页展开并整理，得tanα＝cos3sin，其中θ∈0,2.此时当θ＝3时，tanα＝33.因为α∈(0，π)，所以α＝6.故当θ＝3时，∠OPQ＝6.（2）设f(θ)＝cos3sin，θ∈0,2.则

f′(θ)＝22sin(3sin)cos(3sin)＝213sin(3sin).令f′(θ)＝0，得sinθ＝33，记锐角θ0满足03sin3，则20023cos1sin3，即00023

cos2323sin333f列表如下：θ(0，θ0)θ00,2f′(θ)＋0－f(θ)单调递增22单调递减由上表可知，f(θ0)＝22是极大值，也是最大值．由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则0,2，tanα单调递增则当tanα取最大值22时

，α也取得最大值．答案第20页，总20页故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝33.【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.