【文档说明】重庆市松树桥中学校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.264 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市松树桥中学高2026届高二上期第一次质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择照时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选除其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知直线l的倾斜角为π4，

则直线l的斜率为（）A.33B.1−C.1D.3【答案】C【解析】【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可.【详解】由直线l的倾斜角为π4，则直线l的斜率πtan14k==，故选：C.2.已知空间向量()()1,3,5,2,,

abxy=−=，且a∥b，则xy+=（）A.10B.6C.4D.4−【答案】C【解析】【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为a∥b，所以352xy−==1,即6,10xy=−=，则4xy+=.故选：C.3.设()1,2,1a=是直线l的方向向量，()1,1,1n=−是平面的

法向量，则（）A.l//或lB.l⊥或lC.l⊥D.l//【答案】A【解析】【分析】依题意可得0an=，即可an⊥，即可判断.【详解】因为()1,2,1a=是直线l的方向向量，()1,1,1n=−是平面的法向量，所以()1121110

an=+−+=，所以an⊥，所以l//或l.故选：A4.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由()1253OPOAOBOC=++R确定的一点P与A，B，C三点共面，则的值为（）A.215B.13C.35D.25【

答案】A【解析】【分析】根据点P与A，B，C三点共面，可得12153++=，从而可得答案.【详解】因为A，B，C三点不共线，点P与A，B，C三点共面，又()1253OPOAOBOC=++R，所以12153++=，解得215=.故选：A.5.已知三点()()()2,,1,4,3,8A

yBC共线，则y=（）A.6−B.6C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】根据三点共线列方程，从而求得y的值.【详解】由题可得ABBCkk=，即4841231y−−=−−，解得6y=．故选：B6.如图，在平行六面体

ABCDABCD−中，点E，F分别为AB，DD的中点，则EF=（）A.1122ABAAAD−++B.1122ABAAAD++C.111222ABAAAD−++D.111222ABAAAD++【答案】A【解析】【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的

基底表示向量EF.【详解】在平行六面体ABCDABCD−中，点E，F分别为AB，DD的中点，则1122EFEAADDFABAAAD=++=−++.故选：A7.已知()1,2,attt=−−，()2,,btt=，则ab−的最小值为（）A.55B.5

55C.115D.455【答案】D【解析】【分析】利用向量模的计算公式即可得出．【详解】()1,22,0abtt−=−−−，∴()()2221220abtt−=−−+−+22316455655555ttt=−+=−+，当且仅当35t=时取等号．∴ab−的最小值为455．

故选：D.8.如图所示，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点,,EFG分别为11,,BCCCBB的中点，则下列说法正确的是（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.三棱锥FABE−的体积为18D.直线

BC与平面AEF所成的角为45【答案】B【解析】【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可.【详解】A选项：1111ABCDABCD−为正方体，所以11//DDCC，直线AF与直

线1CC不垂直，所以直线AF与直线1DD不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，则()()11111,0,0,,1,0,0,1,,1,1,,1,0,1222AEFGA，对于B，

设平面AEF的法向量为(,,)nxyz=，则1·021·02AEnxyAFnxyz=−+==−++=，令1y=，则(2,1,2)n=，因为110,1,2AG=−，所以11·0211202AGn=+−=，所以1AG

n⊥，因为1AG在平面AEF外，所以直线1AG与平面AEF平行，所以B正确，对于C，111112224ABESBEAB===，所以三棱锥FABE−的体积为11111334224AEBSd==，所

以C错误，对于D，()()()1,1,0,0,1,0,1,0,0BCBC=−，直线BC与平面AEF所成角为，22222sin31212BCnBCn−===++，所以D错误，故选：B.二、多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共1

8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得2分有选错的得0分．9.如图，直线1l，2l，3l的斜率分别为1k，2k，3k，倾斜角分别为1，2，3，则下列选项正确的是（）A.132kkkB.321kkkC.

132D.321【答案】AD【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得1320kkk，321，故A、D正确.故选：AD.10.已知,,abc

是空间的一组基底，则下列说法正确的是（）A.()()abcabc=B.若0xaybzc++=，则0xyz===的C.a在b上的投影向量为()2abbbD.,,2abbcca+−+一定能构成空间的一组基底【答案】BCD【解析】【分析】A选项，()abc与a共线，()abc

与c共线，根据基底概念得到,ac不共线，故A错误；B选项，假设x，y，z不全为0，推出矛盾，故假设不成立，B正确；C选项，根据投影向量的公式得到C正确；D选项，设()()2abmbcnca+=++−

，得到方程组，无解，故,,2abbcca+−+不共面，一定能构成基底.【详解】A选项，()abc与a共线，()abc与c共线，,,abc为一组基底，故,ac不共线，故()()abcabc=不可能成立，故A不正确；B选项，,,abc是空间的一组基底，故三个

向量不共面且两两共面不共线，假设x，y，z不全为0，不妨设0x，0yz==，此时有0xa=，故0a=，矛盾；不妨设0,0,0xyz=，此时0xayb+=，故,ab共线，矛盾；若三者均不为0，即0xaybzc++=，此时,,abc共面，矛盾，综上，假设不成立，故0xyz===，B正确．C选

项，a在b上的投影向量为()2abbb，C正确．D选项，设()()2abmbcnca+=++−，则()2abnambnmc++−=+，即2110nmmn==−+=，无解，故,,2abbcca+−+

不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确．故选：BCD．11.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF在平面互相垂直，动点,MN分别在正方形对角线AC和BF上移动，且()02CMBNaa==，则下列结论中正确的有（）A.()0,2a

，使12MNCE=B.线段MN存在最小值，最小值23C.直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D.()0,2a，都存在过MN且与平面BEC平行的平面【答案】AD【解析】【分析】利用向量的线性运算可得()1MNaBCaBE=−+，

结合向量的模的计算可判断B的正误，结合向量夹角的计算可判断C的正误，结合共面向量可判断D的正误.【详解】因为四边形ABCD正方形，故CBAB⊥，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，CB平面ABCD，故CB⊥平面ABEF，而BE平面ABEF，故CBBE⊥.设MC

AC=，则=BNBF，其中()0,12a=，由题设可得MNMCCBBNACCBBF=++=++，()()()1BCBACBBABEBCBE=−+++=−+，对于A，当12=即22a=时，111222MNBCBECE=−+=，故A正确；对于B，()22222111221222M

N=−+=−+=−+，故22MN，当且仅当12=即22a=时等号成立，故min22MN=，故B错误；对于C，由B的分析可得()1MNBCBE=−+，为而平面ABEF的法向量为BC且()211MN

BCBC=−=−，故21cos,221MNBC−=−+，此值不是常数，故直线MN与平面ABEF所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，由B的分析可得()1MNBCBE=−+，故,,MNBCBE为共面向量，而

MN平面BCE，故//MN平面BCE，故D正确；故选：AD三、填空题．本题共3小题．每小题5分，共15分12.点()9,7,1−关于xOy平面对称点是___________.【答案】()9,7,1−−【解析】【分析】

根据关于什么对称什么不变来得答案.【详解】点()9,7,1−关于xOy平面对称点是()9,7,1−−故答案为：()9,7,1−−13.已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A、()0,0,1B、()2,2,2C，则点A到

直线BC的距离为______．【答案】253##253【解析】【分析】求出直线的方向向量，再利用点到直线距离公式计算即得.【详解】依题意，(2,2,1),(2,0,1)BCBA==，所以点A到直线BC的距

离222||525||()5()33||BABCdBABC=−=−=.故答案：25314.在正三棱锥PABC−中，O是ABC的中心，23PAAB==，则()POPAPB+=______________．【答案】16为

【解析】【分析】选择,,PAPBPC为空间向量的基底，表示向量PO，再计算数量积即可.【详解】如图：首先：1232362PAPBPAPCPBPC====，22212PAPBPC===.又POPAAO=+23PAAD=+()2132P

AABAC=++()13PAPBPAPCPA=+−+−()13PAPBPC=++.所以()POPAPB+=()()13PAPBPCPAPB+++()22123PAPAPBPBPAPCPBPC=++++()112121266163=++++=.故答案为：1

6四、解答题本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知直线l经过两点()()1,,,1AmBm−，同当m取何值时；（1）直线l与x轴平行？（2）直线l斜率不存在；（3）直线的倾斜角为锐角？【答案】（1）1m=（2）1m=−（3）11m−【解析】【

分析】根据直线斜率的定义以及公式，解得直线位置关系，可得答案.【小问1详解】若直线l与x轴平行，则直线l的斜率101mkm−==+，所以1m=．【小问2详解】若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以1m=−.【小问3详解】由题意可知，直线l的斜率0k，即101mm−+，解得11m−

．16.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，1160AABAADBAD===.（1）求体对角线1AC的长度；（2）求证：四边形11BDDB为正方形.【答案】（1）16AC=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据

给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出1AC.（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得.【小问1详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，111ACABBCCCADABAA=++=++，由11ABADAA===，1160BADBAADAA=

==，得11111122ADABABAAADAA====，所以222211111||()222ACADABAAADABAAADABABAAADAA=++=+++++6=.【小问2详解】在平行

六面体1111ABCDABCD−中，111111////,BBAADDBBAADD==，则四边形11BDDB为平行四边形，由1ABAD==，60BAD=，得ABD△是等边三角形，即11BDDD==，则11BDDB为菱形；又111111()022BDBBADABAAADAA

ABAA=−=−=−=，则1BDBB⊥，即1BDBB⊥，所以四边形11BDDB为正方形.17.如图，在多面体111ABCABC−中，14AAAC==，12CC=，3AB=.侧面11ABBA为矩形，CA⊥平面11ABBA，1CC⊥平面ABC

，（1）求直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值（2）求直线11AB到平面1ABC的距离.【答案】（1）45（2）855【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可【小问1详解】因为侧

面11ABBA为矩形，所以1ABAA⊥，因为CA⊥平面11ABBA，1,AAAB平面11ABBA，所以1,ACAAACAB⊥⊥，于是建立如图所示的空间直角坐标系，.()()()()110,0,0,0,0,4,0,4,2,3,0,0AACB，(

)110,4,2AC=−，()3,0,0AB=，()10,4,2AC=，设平面1ABC的法向量为(),,mxyz=，()14200,1,230mACyzmmABx=+==−==，直线11AC与平面1ABC所成角

的正弦值为()()112222118454212ACmACm==+−+−；【小问2详解】因为侧面11ABBA为矩形，所以11//ABAB，而AB平面1ABC，11AB平面1ABC，所以11//AB平面1ABC，因此直线11AB到平面1ABC的距离就是点1A到平面1ABC的距离，设为h

，即()11111111112211885cos512ACmACmhACACmACACmm=====+−.18.如图，在四棱锥PABCD−中，//CDAB，90ABC=，224ABBCCD===，三棱锥BPAD−的体积为423.（1）求点P到平面ABCD的距离；

（2）若PAPD=，平面PAD⊥平面ABCD，点N在线段AP上，2ANNP=，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）63【解析】【分析】（1）根据等体积法求得点P到平面ABCD的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面NCD与平面AB

CD夹角的余弦值.【小问1详解】设点P到平面ABCD距离为h，则14233BPADPABDABDVVhS−−===△，由题可知142ABDSABBC==，所以34224PABDABDVhS−===，所以点P到平面ABCD的距离为2.【小

问2详解】取AD的中点M，连接PM，因为,PAPDPMAD=⊥，又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PM平面PAD，PMAD⊥，所以PM⊥平面ABCD，由（1）知2PM=.由题意可得()2222,42222BDAD==−+=，所以222ADBDAB+=，所以ADBD⊥.以D点为坐标原点，D

A为x轴，DB为y轴，过点D作PM的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()22,0,0,2,0,2,2,2,0APC−，依题意()()222222,2,0,2,0,2,,0,333DCAPANAP=−=−==−，的所以4222,0,33DNDAAN=+=

.设平面NCD的法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则1111112204222033nDCxynDNxz=−+==+=，故可设()11,1,2n=−，平面ABCD的一个法向量为()

20,0,1n=，设平面NCD与平面ABCD的夹角为，则12121226coscos,361nnnnnn−====，所以平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值为63.19.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角AEFC−−的大

小为60°，点M在线段AB上.（1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线//OD平面EMC；（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角MECF−−的余弦值，若不存在，说明理由.【答案】（1）2OA=；证明见解析；（2）存

在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60o；此时二面角MECF−−的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA，由//MNOD，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA=，取,AEBF中点,OP，由线面垂直的判

定和勾股定理可知,,ODOAOP两两互相垂直，则以O为坐标原点建立空间直角坐标系；设()()1,,004Mmm，利用线面角的向量求法可求得m；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,EF分别为,ADBC中点，////EFABCD，且2AEFB==，又M为AB中点，且,ABOEAB

BF⊥⊥，易得2OAMFBMOAFBAE===，连接,CEDF，交于点N，连接MN，由题设，易知四边形CDEF为平行四边形，N为DF中点，//,AMEFA是OE的中点，M为OF中点，//MNOD，又MN平面EMC，OD平面EMC，//OD平面EMC；【小问2详解】///

/EFABCD，EFDE⊥，EFAE⊥，又DE平面CEF，AE平面AEF，DEA即为二面角AEFC−−的平面角，60DEA=；取,AEBF中点,OP，连接,ODOP，如图，60DEA=，112OEDE==，2414cos603OD=+−=，222ODOE

DE+=，ODAE⊥，//OPEF，OPDE⊥，OPAE⊥，又,AEDE平面AED，AEDEE=，OP⊥平面AED，,ODAE平面AED，,ODOPAEOP⊥⊥，则以O为坐标原点，,,OAOPOD方向为,,xy

z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则()0,0,3D，()1,0,0E−，()1,4,0F−，()0,4,3C，设()()1,,004Mmm，则()1,0,3DE=−−，()2,,0EMm=，()1,4,3EC=，设平面EMC的法向量𝑛

1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则111111120430EMnxmyECnxyz=+==++=，令12y=，则1xm=-，183mz−=，18,2,3mnm−=−，直线DE与平面EMC所成的角为60o，()1121283sin6

0cos,28243DEnDEnDEnmm====−++，解得1m=或3m=，存在点M，当1AM=或3AM=时，使得直线DE与平面EMC所成的角为60o；设平面CEF的法向量()2222,,nxyz=，又()1,4,

3EC=，()1,0,3FC=，222222243030ECnxyzFCnxz=++==+=，令21z=，则23x=−，20y=，()23,0,1n=−；当1m=时，171,2,3n=−−，1212124313cos,8423nnnnnn==

=；当3m=时，153,2,3n=−−，1212124313cos,48323nnnnnn===；综上所述：二面角MECF−−的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂

直，建立空间直角坐标系，设出动点M的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.