【文档说明】河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 含解析.docx，共(17)页，770.288 KB，由管理员店铺上传

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2024学年郑州市宇华实验学校高二下学期开学摸底考试数学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后

，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列na的首项11a，公比为q，记12nnTaaa=（*

nN），则“01q”是“数列nT为递减数列”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．已知函数()32,,xxafxxxa−=−，若存在实数m，使函数()()gxfxm=−+有两个零点，则a的取值范围

是（）A．()),01,−+B．()(),01,−+C．(),12,−−+D．((),12,−−+3．函数()224fxxx=+−的最大值是（）A．5B．25C．23+D．44．已知P为椭圆2222:1(0)xyCabab+=上的点，12,FF分

别为椭圆C的左､右焦点，椭圆C的离心率为12，12FPF的平分线交线段12FF于点Q，则11PFQF=（）A．2B．33C．2D．325．已知,AF分别为椭圆22221(0)xyabab+=的左顶点和左焦点，,

BC是椭圆上关于原点对称的点，若直线CF交线段AB于1,2MAMMB=，则椭圆的离心率为（）A．23B．12C．154D．2656．在三棱锥ABCD−中，3ABACBDCD====，4ADBC==，E是BC的中点，F满足14AFAD=，则异面直线A

E，CF所成角的余弦值为（）A．15B．265C．7010D．30107．甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说

：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为（）A．54B．48C．42D．368．下列命题中，真命题的是（）A．若回归方程0.450.6yx=−+，则变量y与x正相关B．线性回归分析

中决定系数2R用来刻画回归的效果，若2R值越小，则模型的拟合效果越好C．若样本数据1210,,,xxx的方差为2，则数据121021,21,,21xxx−−−的方差为18D．若()()()()0,0,PAPBPBAPB=∣，则()()PABPA=∣二、多项选择题：本

题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB=，2PA=

，点C在底面圆周上，且点O到平面PAC的距离为22，则（）A．该圆锥的体积为3πB．直线OP与平面PAC所成的角为45C．二面角PACO−−为45D．直线PA与BC所成的角为6010．已知函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，π

）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．π6fx+为奇函数B．函数()fx的图象关于点π,012−对称C．()fx在ππ,124上单调递增D．若函数()()0yfx=在0,π上没有零点

，则50,1211．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形，122ABAA==，，且112coscos4BCCDCC==，则（）A．11AABC=B．1AABD⊥C．12

AC=D．直线1AA与平面ABCD所成的角为π3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．设函数()()21ln1fxxx=+−，则满足()()21fxfx+的x的取值范围为.13．已知A是抛物线()220xpyp=上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点.当4

AF=时，2π3OFA=，则OA=.14．位于坐标原点的一个点A按下述规则移动：A每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为15.那么A移动5次后位于点()4,1--的概率是.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.15．（13分）已知函数()22gxmxmxn=−+，(0,0)mn在1,2x时最大值为1，最小值为0.设()()gxfxx=.(1)求实数m，n的值；(2)若关于x的方程()332log310logafxax+−−=有四个不同

的实数解，求实数a的取值范围.16．（15分）平面直角坐标系xOy中，单位圆与x轴正半轴交于点A，角的终边与单位圆的交点P位于第二象限.(1)若弧AP的长为2π3，写出P的坐标，并计算扇形AOP的面积；(2)角的终边绕点O逆时针旋转π4后恰与角的终边重合，若1tan

3=，求tan的值.17．（15分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面,,ABCACCBD⊥为AB的中点，12ACCBCC===．(1)求证：1//AC平面1BCD；(2)求点1A到平面1BCD的距离．18．（17

分）已知双曲线C：()222102xyaa−=的右焦点2F与抛物线28yx=的焦点重合.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为3的直线l经过右焦点2F，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点

为1F，求1ABF的周长.19．（17分）在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、ABC三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表:（单位:个）纪念品A纪念品B纪念品C精品型100150n普通型300450600现采用分层抽

样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个.(1)求n的值；(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样木，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率；(3)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下

：10119xy、、、、，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求xy-的值.参考答案一、单项选择题1．【答案】C【解析】由题意，()()1123(1)1121211110nnnnnnnnaaqaqaTqaq

aaaa−−+++−====，(1)12111(1)21nnnnnnnnnTaqaqTaq+++−==，当11,01aq时，11naq对于Nn不一定恒成立，例如122,3aq==；当nT为递减数列时，0q且11naq对于Nn

恒成立，又因为11a，所以得01q，因此“01q”是“数列nT为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.2．【答案】B【解析】因为函数()()gxfxm=−+有两个零点，令()0gx=，可得()mfx−=−，

即()yfx=−与ym=−的图象有两个交点，由32xx=可得，0x=或1x=.①当1a时，函数()yfx=−的图象如图所示，此时存在m使得()yfx=−与ym=−有两个交点，满足题意，故1a满足题意；②当1a=时，由于函数

()yfx=−在R上单调递增，故不符合题意；③当01a时，函数()yfx=−单调递增，故不符合题意；④当0a=时，()yfx=−单调递增，故不符合题意；⑤当a<0时，函数()yfx=−的图象如图所示，此时存在m使

得()yfx=−与ym=−有两个交点.综上可得，a<0或1a.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参

数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．【答案】B【解

析】由240x−，解得22x−，故()fx的定义域为22−,.设ππ2sin,,22x=−，则()24sin44sin4sin2cos25siny=+−=+=+，其中，255πcos,sin,0

,552==，∵ππ,22−，则ππππ222−−+++，∴当π2+=，即π25π5sinsincos,coscossin2525=−===−

==时，()25siny=+取最大值25，即函数()fx的最大值是25.故选：B.4．【答案】A【解析】因为12FPF的平分线交线段12FF于点Q，所以12FPQFPQ=，由正弦定理得1111sinsinPFQFP

QFFPQ=，2222sinsinPFQFPQFFPQ=，.又因为12sinsinPQFPQF=，12sinsinFPQFPQ=，所以1212PFPFQFQF=，即1122PFQFPFQF=.不妨设()1,,0PFxQn=−，则

2xcnaxcn−=−+，解得()acnxc−=，所以()1112acnPFxacQFcncnce−=====−−.故选：A.5．【答案】B【解析】由题意得(,0),(,0)AaFc−−，设()()1111,,,CxyBxy−−，又12AMMB=，所

以12AMMB=，即()()111212MMMMxaxxyyy+=−−=−−，解得11123313MMaxxyy=−−=−，即11121,333aMxy−−−，又由,,

CFM三点共线得FCFMkk=.所以1111131233yxccyax−=−−++，整理得2433ca=，所以12cea==.故选：B.6．【答案】D【解析】解：三棱锥ABCD−中，由于3ABACBD

CD====，4ADBC==，则三棱锥ABCD−可以补在长方体AGBIHCJD−，则设长方体的长宽高分别为,,AGaAIbAHc===，则2222222229,9,16acACabABbcAD+==+==+==，解得1,22,22abc===，如图以C为原点，,,CHCJ

CG分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,22,0,22,22,0,0,0,1,22,0,0,2,2ABCDE，所以()11220,22,220,,4422AFAD==−=−，则()1,2,

2AE=−−，()222321,0,220,,1,,2222CFCAAF=+=+−=，所以11330cos,1056AECFAECFAECF−+−===−，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为3010.故选：D.7．【答案

】C【解析】由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A6=种情况；第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有123323AAA36

=种；综上可得共有64362+=种不同的情况.故选：C.8．【答案】D【解析】因为0.450b=−$，所以变量y与x负相关，故A错误；在线性回归分析中2R越大，则模型拟合效果越好，故B选项错误；若样本数据1210,,,xxx的方差为2，则

数据121021,21,,21xxx−−−的方差为2228=，故C选项错误；因为()()()()0,0,PAPBPBAPB=∣，所以()()()()PABPBAPBPA==∣，所以()()()PABPAPB=，所以()()()()()()

()PABPAPBPABPAPBPB===∣，故D正确.故选：D二、多项选择题9．【答案】BCD【解析】取线段AC的中点M，连接PM，过O作ONPM⊥，垂足为N，易知,ACOMACPM⊥⊥，又OMPMM=，,OMPM面PMO，所以AC⊥面PMO，又ON面

PMO，所以ACON⊥，又ONPM⊥，且ACPMM=，,ACPM面PAC，所以ON⊥面PAC，所以线段ON的长为点O到平面PAC的距离，即22ON=，对于A：在等腰三角形APB中，60APO=，2PA=，所以2cos601,2sin60

3POAO====，所以该圆锥的体积为()21π31π3=，A错误；对于B：由ON⊥面PAC可得直线OP与平面PAC所成的角为OPN，在直角三角形OPN中，2sin2ONOPNOP==，所以45OPN=，B正确；对于C：由AC⊥面PMO可得二面角PACO−−的平面角为

PMO，在直角三角形PMO中，2coscos2ONPMOPONOP===，所以45PMO=，C正确；对于D：取线段PC的中点D，连接,DMDO,,DMDOOM，明显有,BCOMAPMD∥∥，则直线PA与BC所成的角为DMO或其补角，因为45P

MO=，则1,2OMOPPM===，在直角三角形POC中，112ODPC==，在直角三角形PMC中，112MDPC==，在DMO中，2221111cos222MDMODODMOMDMO+−+−===，所以60DMO=，D正确.故选：BCD.10．【

答案】BD【解析】依题意，可得2A=，又0，则12π2ππ4312=−，所以2=，结合五点法作图，可得5π2π12+=，则π6=，所以π()2sin26fxx=+，对于A，ππ2sin22cos262fxxx+=+=，显然是

偶函数，故A错误；对于B，πππ2sin01266f−=−+=，故函数()fx的图象关于点π,012−对称，故B正确；对于C，当π6x=时，ππ262x+=，函数取得最大值，所以()fx在ππ,12

4上不是单调增函数，故C错误；对于D，因为π()2sin26fxx=+，则π()2sin26fxx=+，因为0，当0,πx时，πππ2,2π666x++，因为()(0)yfx=在0,π上没有零点，

可得π2ππ6+，解得50,12，故D正确，故选：BD.11．【答案】BD【解析】对于选项A:在四棱柱1111ABCDABCD−中，易得11AACC=,112cos,cos4CCBCBCC=−=−，所以11112cos,2214AABCCCBCCCBCCC

BC===−=−，故选项A错误；对于选项B:因为BDCDCB=−,所以()1111AABDCCCDCBCCCDCCCB=−=−111122coscos22220,44CCCDCCDCCCBCCB=−=−=所

以1AABD⊥，即1AABD⊥,故选项B正确；对于选项C:由111ACCCCACCCBCD=−=−−,所以()222211112224CCCBCDCCCBCDCCCBCCCDCDCB−−=++−−

+=所以()2112ACCCCBCD=−−=,故选项C错误；对于选项D:取,ACBD的交点O,连接11,CBCD,因为底面ABCD是正方形，且112coscos4BCCDCC==，所以11CCBCCD,所以11CB

CD=，所以1COBD⊥,因为()11112CCCACCCBCDCCCBCCCD=+=+=,所以()1110COCACOCCCACOCACCCA=−=−=,所以1COCA⊥，即1COCA⊥.因为,

,CABDCOABD=面ABCD，所以1CO⊥面ABCD.所以CO为1CC在面ABCD的投影，即1CCO为直线1AA与平面ABCD所成的角.在1CCA△中，易得112ACCCCA===，所以1π3CCO=,故选项D

正确.故选：BD.三、填空题12．【答案】1111,,223−−−−【解析】()()21ln1fxxx=+−，则()fx的定义域为{|0}xx；又()()fxfx=−，故()fx为偶函数；当0x时，()()21ln1fxxx=+−，又()2

1ln1,yxyx=+=−在()0,+上都是单调增函数，故()fx在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减；因为()()21fxfx+，所以021021xxxx++∣∣∣∣，解得012113xxx−

−−，故x的取值范围为1111,,223−−−−.故答案为：1111,,223−−−−.13．【答案】21【解析】由抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线

，垂足分别为,CB．如图所示，由题意知π2πππ2326BFAOFA=−==-，因为4AF=，易知2AB=，又A点到准线的距离为：24dABBCp=+=+=，解得2p=，在AFOV中，1,4OFAF==，2π3OFA=，由余弦定理得22212cos161214()2

12OAOFFAOFFAOFA=+−=+−−=，所以21OA=，故答案为：21.14．【答案】4625【解析】因为向左移动的概率为15，所以向下移动的概率为45，由题意得A必须向左移动4次，向下移动1次

，所以所求的概率为415114C155625−=.故答案为：4625四、解答题15．（13分）【答案】(1)1m=，1n=(2)1,2−+【解析】（1）由()()2221gxmxmxnmxnm=−+=−+−可知，

函数()gx关于1x=对称，又0m，所以函数()gx在1,2单调递增，可得()()1021gg==，即01nmn−==，解得1m=，1n=.（2）易知()()12gxfxxxx==+−，所以()332log310logafxax+−−=即为333

12log2310loglogaxaxx+−+−−=，可化为()233log31log210xaxa−+++=，令()3log0,x=+，即()231210aa−+++=；则关于x的方程()332log310logafxax+−−=有四个不同的实数解等价为于关于的一元二次方程

()231210aa−+++=有两个不相等的正实数根1，2，需满足()()()21212Δ914210310210aaaa=+−++=+=+，解得12a−；所以实数a的取

值范围为1,2−+.16．（15分）【答案】(1)13(,)22P−，π3，(2)12−【解析】（1）AP的长为2π3，2π13=，解得2π3=，若点P位于第二象限，且在单位圆上，设(,)Pxy，扇

形AOP的面积为S，故有2π1cos32x==−，2π3sin32y==，故13(,)22P−，结合扇形面积公式得21ππ1323S==，（2）易知角的终边绕点O逆时针旋转π4后恰与角的终边重合，1tan

3=故11π13tantan()14213−=−==−+，即1tan2=−.17．（15分）【答案】(1)证明见解析(2)433【解析】（1）连接1BC交1BC于E，连接DE，侧面11BCCB为平行四边形，E为1BC的中点，又D为AB的中点，1/

/DEAC,1ACQ平面1,BCDDE平面1BCD，所以1//AC平面1BCD；（2）以C为原点，1,,CACBCC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()111,1,

0,0,2,2,2,0,2DBA，()()()111,1,0,0,2,2,2,0,2CDCBCA===，设平面1BCD的法向量为(),,nxyz=，则100nCDnCB==即0220xyyz+=+=，取1x=，则1,1yz=−=

，()1,1,1n=−，1A到平面1BCD的距离11cos,dCACAn=144333CAnn===.18．（17分）【答案】(1)22122xy−=；(2)122.【解析】（1）拋物线28yx=的焦点坐标为

()2,0，则双曲线C的半焦距2c=，由224a+=，得22a=，所以双曲线C的方程为22122xy−=.（2）由（1）知2(2,0)F，直线AB的方程为()32yx=−，设()11,Axy，()22

,Bxy，由()2212232xyyx−==−，得2670xx−+=，显然0，则126xx+=，127xx=，12221221(3)(262842)4ABxxxx=++==−−，因此2121||||482||||2||2AFBFABBaAFaFa=+=++=++，所以1ABF的周

长为122.19．（17分）【答案】(1)400(2)710(3)4【解析】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的纪念品数为1003001504506001600.nn+++++=+现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个，则400

401600200n=+，解得400.n=（2）设所抽取的样本中有p个精品型纪念品，则40051000p=，解得2,p=所以，容量为5的样本中，有2个精品型纪念品，3个普通型纪念品.因此，至少有1个精品型纪念品的概率为225325CC7.C10−=（3）由题意可得101191

05xy++++=，得20.xy+=由于总体的方差为2，则()()22101001125xy−+−+++=，可得22208,xy+=所以，()()()222222224.xyxyxyxyxyxy−=−=

+−=+−+=