【文档说明】河北省唐山市2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.979 MB，由小赞的店铺上传

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唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，集合2Axx=−，40Bxx=−

，则AB=（）A.42xx−−B.0xxC.20xx−D.4xx−【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求解．【详解】由已知{|0}ABxx=，故选：B．2.()i3i−的共轭复数为（）A.

3i+B.3i−C.13i+D.13i−【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法运算求出z，再求出共轭复数即可.【详解】由题意得i(3i)13iz=−=+，所以13iz=−，故选：D3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数

学成绩不小于103分的人数至少为（）A.220B.240C.250D.300【答案】B【解析】【分析】因为第80百分位数是103分，所以小于103分的学生占总数最多为80%，即成绩不小于103分的人数至少为总数的20%.【详解】由120080%960=人，所以小于103分学生最

多有960人，所以大于或等于103分的学生有1200960240−=人.故选：B4.函数()π2sin23fxx=+的单调递减区间为（）A.π7ππ+,π+1212kk，kZB.π5ππ+,π+126kk

，kZC.π5ππ+,π+66kk，kZD.π7ππ+,π+612kk，kZ【答案】A【解析】【分析】根据整体法即可列不等式求解.【详解】ππ3π2π22π,Z232kxkk+++,解得π7πππ

,Z1212kxkk++，故单调递增区间为π7ππ+,π+,Z1212kkk，故选：A5.已知圆1C：2220xyx+−=，圆2C：()()22314xy−+−=，则1C与2C的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离【答案】C【解析】【分析】算出两圆圆心的

距离，然后与两圆半径之和、差比较即可.【详解】圆1C圆心为()1,0，11r=圆2C的圆心为()3,1，22r=所以()2221122131(10)5rrCCrr−=−+−=+所以圆1C与2C的位置关系是相交.的故选:C.6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻

任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为（）A.336B.252C.216D.180【答案】C【解析】【分析】先用排除法，由8艘舰艇选3艘，减去3艘全是护卫舰的选法即得选法，然后安排它们去担任不同的任

务．【详解】由题意方法数为333863(CC)A216−=，故选：C．7.椭圆E：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过2F与E交于A，B两点，1ABF为直角三角形，且1AF，AB，1BF成等差数列，则E的离

心率为（）A12B.22C.32D.34【答案】B【解析】【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中21FBF中由1221,2BFBFaFFc===求解.【详解】由1ABF为直角三角形，且1AF，AB，1BF成等差数列，可知AB不是最长

的边，故为直角边，结合椭圆的对称性，不妨设1BFAB⊥,由椭圆的定义可知1ABF的周长为114AFBFABa++=，又112AFBFAB+=，所以43ABa=，进而可得11843AFBFaABa+=−=，由()()2221111111123AFBFAFBFAFBFABAF

BFa−=+−=−=，故115,3AFaBFa==，222512,33AFaaaBFABAFa=−==−=，在21FBF中，1221,2BFBFaFFc===，所以222242ace==，故选：B.8.已知函数()2eexx

fxax−+=−有三个极值点，则实数a的取值范围是（）A.(),1−B.(,1−C.)1,+D.()1,+【答案】D【解析】【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得a的取值范围.【详解】()fx的定义域是R，()ee20xxfxax−=−−=有三个零点，令()()ee2,e+e

2xxxxhxaxhxa−−=−−=−，当1a时,()e+e22ee2220xxxxhxaaa−−=−−=−所以()hx在区间()()(),,0,hxhx−+单调递增；()ee2xxhxax−=−−至多有一个零点不合题意，A

，B，C选项错误；令()()e+e2xxhxagx−=−=,()=eexxgx−−,单调递增()()0,,0xgx+,()gx单调递增;()(),0,0xgx−,()gx单调递减;()()min02201gxgaa==−，,且()(),,,,xgxxgx→+

→+→−→+()()()()1212,0,0,,g0xxxgx−+==()()12,,0,xxxhx()hx单调递减;()()()()120,01100hxhhxh=−−=()()10,,hxxhx→−→

−,()()20,,hxxhx→+→+,()()()()()314212,,,,0,00,xxxxhxhxh−+===()ee2xxhxax−=−−有三个极值点，所以实数a的取值范围()1,+.故选：

D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的所有棱长均为2，60BAD=，则（）A.

1AB与1BC所成角的余弦值为14B.1AB与1BC所成角的余弦值为34C.1AB与平面11BCCB所成角的正弦值为64D.1AB与平面11BCCB所成角的正弦值为104【答案】BC【解析】【分析】证明11BAD是异面直线1AB与1BC所成角或其补角，求出其余弦值，作AEBC

⊥于E，证明1ABE是1AB与平面11BCCB所成角，然后求出其正弦值．【详解】连接111,ADBD，直四棱柱1111ABCDABCD−中,由AB与11CD平行且相等得平行四边形11ABCD，从而11//ADBC，11BAD是异面直线1AB与1BC所成角或其补

角，又由已知易得1122ABAD==，112BD=，118843cos422222BAD+−==，所以1AB与1BC所成角的余弦值为34，A错B正确；作AEBC⊥于E，连接1EB，因为平面11BCCB⊥平面ABCD，平面11B

CCB平面ABCDBC=，AE平面ABCD，所以⊥AE平面11BBCC，从而可得1AEBE⊥（因EB平面11BBCC），则1ABE是1AB与平面11BCCB所成角，由60BAD=得60ABE=，sin603A

EAB==，1136sin422AEABEAB===，C正确，D错误．故选：BC．10.如图，ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111ABC△，再连接111ABC△的各边中点得到222ABC△

，…，如此继续下去，设nnnABC的边长为na，nnnABC的面积为nM，则（）为A.234nnMa=B.2435aaa=C.21222nnaaa−+++=−D.1233nMMM+++【答案】ABD【解析】

【分析】由中位线性质得{}na是等比数列，公比为12，从而由正三角形面积公式得{}nM也是等比数列，公比是14，再由等比数列的前n项和公式计算后可判断各选项．【详解】显然nnnABC是正三角形，因此234nnMa=，A正确；由中位线性质易得112nnaa−=，即{}na是等比数列，公比为1

2，因此2435aaa=，B正确；1112aAB==，11211()222112nnnaaa−−+++==−−，C错；2133144M==，{}na是等比数列，公比为12，则{}nM也是等比数列，公比是14，1231[1()]31344(1)134314nnnMMM−+++

==−−，D正确．故选：ABD．11.已知向量()cos,cosa=，()sin,sinb=，()1,1c=，下列命题成立的是（）A.若//abrr，则()πkk=+ZB.若1ab=，则()π2π

2kk+=+ZC.若()()abab+⊥−，则()ππ2kk+=+ZD.设acm=，bcn=，当22mn+取得最大值时，()2πkk=+Z【答案】AD【解析】【分析】若//abrr，则cossinsincos0−=，

结合两角差的正弦公式即可判断A；若1ab=，则cossincossin1+=，再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B；若()()abab+⊥−，则()()0abab+−=，再结合二倍

角的余弦公式即可判断C；求出,mn再结合两角差的余弦公式即可判断D.【详解】对于A，若//abrr，则cossinsincos0−=，即()sin0−=，所以πk−=，即()πkk=+Z，故A正确；对于B，若1a

b=，则cossincossin1+=，即11sin2sin2122+=，即sin2sin22+=，因为sin21,sin21，所以sin2sin21==，所以1211ππ22π,22π,,Z22kkkk=+=+，所以1211222π2ππ

2ππ,,,Zkkkkkk+=++=+，所以()ππ2kk+=+Z，故B错误；对于C，()()cossin,cossin,cossin,cossinabab+=++−=−−，由()()abab+⊥−，得(

)()0abab+−=，即()()()()cossincossincossincossin0−++−+=，即cos2cos20+=，则cos2cos2=−，则22π2πk=++或2π22π,Zkk=−+，所以ππ2k−=+或()ππ2kk+=

+Z，故C错误；对于D，coscosacm==+，sinsinbcn==+，则222222coscos2coscossinsin2sinsinmn+=+++++()22cos=+−，当22mn+取得最大值时，()cos1−=，此时2πk

−=，所以()2πkk=+Z，故D正确.故选：AD.12.已知函数()fx及其导函数()gx的定义域均为R．()()242fxfx=−，()()0fxfx+−=，当2,4x时，()0gx，()11g=，则（）A.()fx

的图象关于1x=对称B.()gx为偶函数C.()()40gxgx++=D.不等式()e1xg的解集为(()()(),0ln81,ln81kkk−−+N【答案】BCD【解析】【分析】根据()()4fx

fx=−可判断A,求导即可根据()()fxgx=判断B，由()gx为偶函数以及对称可判断C，根据函数的性质画出大致图象，即可由1818,Zkxkk−++时，()1gx求解D.【详解】由()()242f

xfx=−可得()()4fxfx=−，故可知()fx的图象关于2x=对称，故A错误，由()()0fxfx+−=得()()0fxfx−−=，由()()fxgx=得()()0gxgx−−=，故()gx偶函数，故B正确，由()()4fxfx=−可得()()4fxfx=−−，所以(

)()4gxgx=−−，又()gx为偶函数，所以()()()()()4440gxgxgxgxgx=−−=−−+−=，即()()40gxgx++=，故C正确，由()gx为偶函数且()()40gxgx++=可得()()()()488gx

gxgxgx=−+=−−+=+，所以()gx是周期函数，且周期为8，又当2,4x时，()0gx，可知()gx在2,4x单调递减故结合()gx的性质可画出符合条件的()gx的大致图象：为由性质结合图可知：当1818,Zkxkk−++时，()1gx，由()11g=得()

()e11xgg=，故18e18,Zxkkk−++，当0k且Zk时，18e18,xkk−++此时无解，当0k=时，1e1x−，解得0x，当0k且Zk时，由18e18,xkk−++得()()ln18ln18,kxk−+

+综上可得()e1xg的解集为(()()(),0ln81,ln81kkk−−+N，故D正确，故选：BCD【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象

求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3

)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据

：x13457y1520304045根据上表数据得到y关于x的经验回归方程4.5yxa=+，则a的值为______．【答案】12【解析】【分析】先求样本中心点()4,30,再由4.5yxa=+过()4,30,计算可

得a.【详解】134574,5x++++==152030404530,5y++++==可得样本中心点()4,304.5yxa=+过()4,30,可得304.54a=+,所以12a=.故答案为:12.14

.已知直线l：3230xy−−=过双曲线C：()222210,0xyabab−=的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为______．【答案】2【解析】【分析】求出直线与x轴的交点坐标和斜率，然后列方程组求得,ab得实轴长

．【详解】直线3230xy−−=与x轴交点为(2,0)，斜率为3，由题意22223abba+==，解得13ab==，所以双曲线的实轴长为22a=．故答案为：2.15.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F分别为

棱AB，BC的中点，过1D，E，F做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为______．【答案】①.五边形②.2132+【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系及平面性质作出截面图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段

长，即可求出周长.【详解】连接EF并延长交DC的延长线于N，连接1DN交1CC于Q，连接QF，延长FE交DA的延长线于M，连接1DM交1AA于P，连接EP，顺次连接1,,,,DQFEP，则五边形1DQFEP即为平面1DEF截正方体

ABCDABCD−的截面多边形，如图：由题意，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则1AE=，45AEMBEF==，则AME△为等腰直角三角形，则1AM=，根据AMP∽11ADP得，11112APAMAPAD==，则142,33APAP==，则22142

13233DP=+=，22213133EP=+=，同理可得12133DQ=，133FQ=，而2EF=，则五边形1DQFEP的周长为2131322213233++=+.故答案

为：五边形，2132+.16.0x，elnln0xaxa−+，则实数a的取值范围是______．【答案】1,e+【解析】【分析】将不等式变形得到elnxxaa对0x恒成立，利用反函数的性质，将问题进一步转化为ex

xa对0x恒成立，构造函数()exxfx=，利用导数求解最值即可.【详解】0x，elnln0xaxa−+,所以elnlnxaxa−对0x恒成立，即elnxxaa对0x恒成立，由

于函数exya=与函数lnxya=互为反函数，则只需要exax对0x恒成立，故exxa对0x恒成立，令()exxfx=()0x，则()1exxfx−=，当()()1,0,xfxfx单调递减，当()()01,0,

xfxfx单调递增，故当1x=时，()fx取到最大值()11ef=，故1ea≥，故答案为：1,e+【点睛】本题考查了导数的综合运用.构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在求解不等式恒成立问题时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论

是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，22sinsincossinABCC=（1）求222a

bc+的值；（2）若2c=，求ABC面积S的最大值．【答案】（1）2（2）3【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边得到22cosabCc=，再根据正弦定理求解即可.（2）根据题意得到22142Sab=−，再结合基本不等

式求解即可.【小问1详解】因为22sinsincossinABCC=，由正弦定理得，22cosabCc=由余弦定理得，222222abcabcab+−=，2222abcc+−=整理得2222abc+=；【小问2详解】因为in12sSabC=，因为2c=，由（1）可得2c

osCab=，则224sin1Cab=−.，又222282cabab==+，即4ab，当且仅当ab=时等号成立.于是22114164322Sab=−−=所以S的最大值为3.18.党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要

指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．（1）为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法

从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：采桑不采桑合计患皮炎4未患皮炎18合计25①请完成上表；②依据小概率值0.005=的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？（2）为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查

，将其中采桑的人数记作X，求X的分布列和期望．附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++，0.150.100.050.0250.0100.005x2.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）①填表

见解析；②认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005（2）分布列见解析；期望为83【解析】【分析】(1)根据已知条件可以填出表格中的内容，代入公式()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++即可求得，根

据表格进行判断即可；(2)用X表示抽取的4人中采桑的工作人员人数，X的取值为：2，3，4，分别算出概率，列表格即可求出数学期望.【小问1详解】①采桑不采桑合计患皮炎426未患皮炎11819合计52025②零假设为0H：患皮炎与采之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到()222

541821619520x−=0.005122510.7467.879114x==,根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.【小问2详解】

用X表示抽取的4人中采桑的工作人员人数，X的取值为：2，3，4,()224246CC22C5PX===，()3l4246CC83C15PX===，()404246CC14C15PX===随机变量X的分布列为：X234P25815115则()281823451

5153EX=++=．19.已知数列na是正项等比数列，其前n项和为nS，nb是等差数列，且111ab==，236aab+=，34ab=（1）求na和nb的通项公式；（2）求数列nna

b的前n项和nT（3）证明：()111nnnnkkkkTSbSbb−+==+−【答案】（1）12nna−=，nbn=（2）()121nnTn=−+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意得到221513qq

dqd+=+=+，再解方程组即可.（2）利用错位相减法求解nT即可.（3）首先根据分组求和得到()()()111121nnkkkkSbbn−+=−=−−−，即可证明结论.【小问1详解】设等比数列na的公比为q，等差数列nb的公差为d，221513qqdqd

+=+=+，解得12dq==或1412dq=−=−（舍去）.故12nna−=，nbn=.【小问2详解】由（1）知12nnnabn−=，则01211222322nnTn−=+++

+，①则12321222322nnTn=++++②由①－②得12112222nnnTn−−=++++−12212nnn−=−−()121nn=−−所以()121nnTn=−+【小问3详解】由（1）知，12nna−=，nbn=，所以21nnS=−()(

)()()11112223111nkkknnnkSbbSbbSbbSbb−+−−=−=−+−++−()()1211nSSS−=+++−()()1212121211n−=−+−++−−()()2211nn

=−−−−()()121nn=−−−所以()()()()()11121121121nnnnnnkkkkSbSbbnnn−+=+−=−+−−−=−+，即()111nnnnkkkkTSbSbb−=+=+−.20

.在四棱锥PABCD−中，ADBC∥，2ABAD==，1BC=，120BAD=，PACD⊥，PDAC⊥，点E是棱PD上靠近点P的三等分点（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为31010，求四棱锥PABCD−

的体积．【答案】（1）证明见解析（2）332【解析】【分析】（1）先证AC⊥平面PAD，得ACPA⊥，然后可证明PA⊥平面ABCD；（2）以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz−，如图，设APt=，由面面角的向量法求得t，再

由体积公式求得棱锥体积．【小问1详解】ABC中，60ABC=，2AB=，1BC=，由余弦定理可得，3AC=，从而有22ABBCAC=+，所以ACBC⊥，∵ADBC∥，∴ACAD⊥，在∵PDAC⊥，=PDADD，

,ADPD平面PAD，∴AC⊥平面PAD，∵PA平面PAD，∴ACPA⊥，∵PACD⊥，ACCDC=，,ACCD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD；【小问2详解】以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz−

，如图，设APt=，则()0,0,0A，()3,0,0C，()0,2,0D，()0,0,Pt，220,,33Et，由（1）知，AD⊥平面PAC，()0,2,0AD=是平面PAC的一个法向量，设平面EAC的一个法向量是(),,nxyz

=，()3,0,0AC=，220,,33AEt=由0ACn=，0AEn=得3022033xytz=+=，取1z=−，则()0,,1nt=−，因为平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为31010．所以22310

cos101,2ADntADnADnt===+，解得3t=，所以四棱锥PABCD−的体积()11331233322V=+=．21.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，A为C上一点，B为准线l上一点，2BFFA=，9AB=（1）求C的方程；（2）M，N，

()0,2Ex−是C上的三点，若1EMENkk+=，求点E到直线MN距离的最大值．【答案】（1）24yx=（2）45【解析】【分析】（1）根据已知条件得到133AFAB==，根据2BFFA=得到Axp

=，再结合焦半径公式即可得到2p=，从而得到24yx=.（2）根据题意得到()1,2E−，设直线MN的方程为xtyn=+，()11,Mxy，()22,Nxy，与抛物线联立得到124yyt+=，124yyn=−，根

据斜率公式得到()()12121212416442224EMENyykkyyyyyy+−+=+=−−−++，从而得到65nt=−+，即可得到直线MN过定点()5,6T，再根据当ETMN⊥时，点E到直线MN距离最大求解即可.【小问1详解】如图所示：由题意可

知，因为2BFFA=，133AFAB==，由2BFFA=，2Bpx=−，2Fpx=可得Axp=，由抛物线的定义可知，32pAFp=+=，解得2p=．则C的方程为24yx=.【小问2详解】如图所示：()0,2Ex−在抛物线C上，所以01x=，设直线MN的方程为xtyn=+，()11,M

xy，()22,Nxy，将xtyn=+代入24yx=，得2440ytyn−−=则124yyt+=，124yyn=−1121112241214EMyykyxy++===−−−，同理242ENky=−()()12121

21241644161612224484EMENyytkkyyyyyynt+−−+=+===−−−++−−+整理得，65nt=−+，直线MN的方程为65xtyt=−+，所以直线MN过定点()5,6T.当ETMN⊥时，点E到直线MN距离最大，且最大距离为()

()22516245ET=−++=，经检验符合题意.22.已知函数()2exfxx−=（1）求()fx的极值；（2）若1a，1b，ab¹，()()4fafb+=，证明：4ab+【答案】（1）极大值e，无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解单调

性，进而可求极值，（2）将问题转化成证明当12x时，()()44fxfx+−，构造函数()()()4Fxfxfx=+−和()()()221ee3xxhxxx−−=−−−，导数的正负即可求解单调性即可求证.【小问1详解】因为()2exfxx−=，所以()()21ex

fxx−=−，由()0fx¢>，解得1x，由()0fx，解得1x所以()fx在(),1−单调递增，在()1,+单调递减，因此，()fx在1x=处取得极大值e，无极小值．【小问2详解】由（1）可知，()fx在()1,+单调递减，()

22f=且1a，1b，ab¹，()()4fafb+=，不妨设12ab，要证4ab+，只要证4ba−而2b，243a−，且()fx在()1,+单调递减，所以只要证()()4fbfa−，即证()()44fafa−−，即

证()()44fafa+−．即证当12x时，()()44fxfx+−，令()()()4Fxfxfx=+−，12x，则()()()()()2241ee3xxFxfxfxxx−−=−−=−−−令()()()

221ee3xxhxxx−−=−−−，12x则()()()()()2222e2e22eexxxxhxxxx−−−−=−−−=−−因为12x，所以20x−，22ee0xx−−−，所以()0hx，即()hx在()1,2单调递减，则()()

20hxh=，即()0Fx，所以()Fx在()1,2单调递增，所以()()()2224FxFf==，即当12x时，()()44fxfx+−，所以，原命题成立．【点睛】思路点睛：本题考查了导数的综合运用.利用导数

求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函

数，构造有效的函数往往是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com