【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题+含解析.docx，共(12)页，901.902 KB，由小赞的店铺上传

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数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数12i13iz+=−，则z的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()0,π，4cos5=，则sin2=（）A.122

5−B.1225C.2425−D.24253.一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形ABC，则ABC的面积是（）A.26B.23C.3D.644.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若l，

m，∥，则lm∥B.若lm∥，m，则lC.若⊥，m=，lm⊥，则l⊥D.若l⊥，lm∥，∥，则m⊥5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A.23B.35C.25D.156.在正方体

ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-D1C1-C的大小等于（）A.030B.045C.060D.0907.设,,abc为三角形ABC三边长，1,abc，若loglog2loglogcbcbcbcbaaaa+−+−+=，则三角形ABC的形

状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定8.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，

30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于复数z的说法正确的是（）A.Rzz+B.若1iz=+，则z的虚部为iC.2zzz=D.在复平面内满足12z的点的集合表示图形的面积为3

π10.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以1AC中点为球心作半径为R的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则球的半径可以是（）A.1B.2C.3D.211.已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若0CACB，则

ABC为锐角三角形B.若AB，则cos2cos2ABC.若tantantan0ABC++，则ABC为锐角三角形D.在ABC中，若42a=，43b=，45A=，则60B=12.在平面凸四边形ABCD中，60A=，120C=，23BD=，现沿对角线BD折起，使点A

到达点P，设二面角PBDC−−的平面角为，若π2π,33，当则三棱锥PBCD−的外接球的表面积可以是（）A.16πB.20πC.24πD.28π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分

）13.向量()2,3a=r，()1,2b=−r，则2ab−=___________.14.设某批电子手表的正品率为23，次品率为13，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3

次首次测到次品的概率为______．15.已知43i+是方程20(,)xaxbab−+=R的一个根，则ab+=_______．16.如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为R的球面

上，记r为ABCD的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则rR=___________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S

，已知coscos2BbCac=−．（1）求角B；（2）若32S=，3b=且ca，求ABC的周长．18.如图，长方体1111ABCDABCD−的体积是24，E为1CC的中点，平面EBD将长方体分成三棱锥EBCD−和多面体1111EDBAABCD两部分．（1）若2

3ABBC==，，求多面体1111EDBAABCD的表面积；（2）求三棱锥EBCD−的体积．19.为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（Ⅰ）求该班学生周末

的学习时间不少于20小时的人数；（Ⅱ）估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边

分别为a，b，c，且()5sinsin12sinACbaC+=.（1）若2abc=−，求cosB的值；（2）是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.21.随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间)16016

5,，)165170,，)170175,，)175,180，180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．（3）若一个总体划分为两层，

通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，21S；n，y，22S．记总的样本平均数为w，样本方差为2S，证明：①mnwxymnmn=+++；②()()22222121SmSxwnSywmn

=+−++−+．22.在ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知22sinsin2sincbcBaCcAaa++−=，且三角形的外接圆半径为3．（1）求C的大小；（2）若ABC的面积为3，求2cos22sin1AB−+

的值；（3）设ABC的外接圆圆心为O，且满足sin2sin22sinsinBCBACAmCOAB+=uuruuruuur，求m的值．1-8CDADBBBC9ACD10AD11BC12BCD131714

42715331643717（1）π3B=（2）33+详解1由题意cossincos22sinsinBbBCacAC==−−，即()2sincossincoscossinsinsinABBCBCBCA=+=+=，因为sin0A，所以1cos2B=，()0,πB，所以π3B=；2

由题意133sin242SacBac===，则2ac=，由余弦定理222222cos3bacacBacac=+−=+−=，即()()22363acacac+−=+−=，得3ac+=，所以三角形的周长33

abc++=+.18（1）4422+；（2）2【详解】（1）因为长方体1111ABCDABCD−的体积是24，E为1CC的中点，23ABBC==，，所以12423CC=，则14CC=，所以1122ECCC==，因此2222EDECCD=+=，2213

EBECBC=+=，2213BDABAD=+=，因此2211221122222BDEDESDEBD=−==V，所以多面体1111EDBAABCD的表面积为1111222ABBAADDAABCDBCEDCEBCDBDESSSSSSSS=++−−−+XXXVV

VV111224234223322232224422222=++−−−+=+；（2）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以EC⊥平面BCD；由（1）可得三棱锥EBCD−的体积1113222332EBCDBCDVSEC−=

==V.19（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.【详解】（Ⅰ）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为(0.030.015)50.225+=则40名学生中周末的学习时

间不少于20小时的人数为400.2259=．（Ⅱ）学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25=，学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+=，所以25%分位数在(5,10)，0.250.1558.750.2−+=，

则这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75．（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．20（1）45；（2）不存在，理由见解析．详解因为2abc=−，所以2acb+=，因为()5sinsin12si

nACbaC+=，所以由正弦定理得()512acbac+=，所以265bac=，所以由余弦定理得()22223364cos1122255acacbbBacac+−−==−=−=.假设B为直角，则sin1B=，sincosCA=，由题意根据正弦定理可得，()12sinsins

insinsin5ACBAC+=，即6sincossin25AAA+=，上式两边平方得：2361sin2sin225AA+=，所以()()9sin254sin250AA+−=，由于0sin21A，所以9sin250A+，4sin250A−，与()()9sin254sin250AA+−

=矛盾，故不存在ABC满足B为直角.21（1）0.0660人；（2）17625.；（3）详见解析.【详解】（1）由频率分布直方图可知()50010070040020011..x...+++++=，解得

0.06x=，身高在170cm及以上的学生人数()100500600400260...++=（人）．（2）180,185的人数占比为500210.=％，175,180的人数占比为500420.=％，所以该校100名生学身高的75％分位数落在

175,180，设该校100名生学身高的75％分位数为x，则()0041800125.x.−+=％，解得17625x.=，故该校100名生学身高的75％分位数为17625.．（3）由题得①mxnymnwxymnmnmn+==++++；②2222211

1111()(y)()(y)mnmnijijijijSxwwxxxwyywmnmn=====−+−=−+−+−+−++11221()2()()()iiiimmxxxxxwmxwmn===−+−−+−++1

122()2()()()jjjjnnyyyyywnyw==−+−−+−又11()()=()()=()()0mmiiiixxxwxxwmxxwmxxwmxxw==−−−−−−−−=同理1(y)()=0njjyyw=−−，∴22222111()()(y)()

mnijijSxxmxwynywmn===−+−+−+−+2222121=()+n+()mSmxwSnywmn+−−+()2222121()mSxwnSywmn=+−++−

+.22【答案】（1）3；（2）16−；（3）3﹒详解在ABC中，22sinsin2sincbcBaCcAaa++−=，即222sinsin2sinacbcBCcAa+−+=，由余弦定理得，2cossinsin2sinacBcB

CcAa+=，即sin2cossin2sinBBCA+=，即()sin2cossin2sin2sincos2cossinBBCBCBCBC+=+=+，即sin2sincosBBC=，在ABC中，sin0B，则1cos2C=，又∵()0,C，∴3C

=；13sin32ABCSabC==△=4ab，由正弦定理得223sincRC==，∴3c=，则222cos22sin112sin2sin1ABAB−+=−−+()2222sinsinAB=−+()22221222226ababRR=−+=−+

，由余弦定理得222222cos94cababCab=+−=+−2213ab+=，∴2cos22sin1AB−+＝16−；【小问3详解】∵sin2sin22sinsinBCBACAmCOAB+=uuruuruuur，∴2sinc

os2sincos2sinsinBBCBAACAmCOAB+=uuruuruuur，sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得coscossinsinBACBCAmCOAB+=uuruuruuur，两边同时乘以CO：2coscossinsinBACBCAC

OmCOAB+=uuruuruuuruuur，∴2coscossinsinBACBCOCACOmCOAB+=uuruuuruuruuuruuur①，如图，∵O是△ABC的外心，∴2222

BOCAOCBA−−===−，∴22sincoscos222RAaCBCOCBCOOCBaRAa==−==uuruuuruuruuur，同理，22bCACO=，代入①式得22coscos3sin2sin2BaAbmAB+=，由正

弦定理=23sinsinabAB=，得23sinaA=，23sinbB=，代入化简得6sincos6sincos3ABBAm+=，∴32sin232mC===．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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