【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.9 三角恒等变换（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(16)页，584.946 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.9三角恒等变换（重难点题型精讲）1．两角差的余弦公式对于任意角，有.此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的

同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；②“符号相反”表

示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余

余正，符号相同”.①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切

公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.常用的角的代换形式：①=(+)-；②=-(-)；③=[(+

)+(-)]；④=[(+)-(-)]；⑤=(-)-(-)；⑥-=(-)+(-).(2)常值代换用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)

辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切

公式7．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用①：，，.②：.③：.(2)配方变形.(3)因式分解变形.(4)升幂公式；.【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】【方法点拨】公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.【例1

】（2022·四川省模拟预测（理））已知𝛼，𝛽都为锐角，cos𝛼=17，cos(𝛼+𝛽)=−1114，则cos𝛽等于（）A．12B．−7198C．−12D．7198【解题思路】由同角三角函数的基本关系可得sin𝛼和sin(𝛼+𝛽

)，代入cos𝛽=cos[(𝛼+𝛽)−𝛼]=cos(𝛼+𝛽)cos𝛼+sin(𝛼+𝛽)sin𝛼，计算可得．【解答过程】解：∵𝛼，𝛽都是锐角，cos𝛼=17，cos(𝛼+𝛽)=−1114，∴sin𝛼=√1

−𝑐𝑜𝑠2𝛼=4√37，sin(𝛼+𝛽)=√1−sin2(𝛼+𝛽)=5√314，∴cos𝛽=cos[(𝛼+𝛽)−𝛼]=cos(𝛼+𝛽)cos𝛼+sin(𝛼+𝛽)sin𝛼=−1114×17+5√314×4√37=12，故选：

A．【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知𝛼,𝛽均为锐角，且sin(𝛼+𝛽)=2sin(𝛼−𝛽)，则tan𝛼tan𝛽=（）A．13B．12C．2D．3【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.【解答过程】解：因为sin(𝛼+𝛽

)=2sin(𝛼−𝛽)，所以sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽=2sin𝛼cos𝛽−2cos𝛼sin𝛽，即3cos𝛼sin𝛽=sin𝛼cos𝛽，又𝛼,𝛽均为锐角，所以sin𝛼cos𝛽c

os𝛼sin𝛽=3，即tan𝛼tan𝛽=3.故选：D.【变式1-2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知cos(𝛼+π12)=35，𝛼∈(0,π2)，则sin(𝛼+π3)=（）A．3−4√310B．45C．−√210D．7√210【解题思路】根据同角三角函数

的基本关系求出sin(𝛼+𝜋12)，再根据sin(𝛼+𝜋3)=sin[(𝛼+𝜋12)+𝜋4]利用两角和的正弦公式计算可得.【解答过程】解：因为𝛼∈(0,𝜋2)，所以𝛼+𝜋12∈(𝜋12,7𝜋12)，又cos(𝛼+𝜋12)=35，所以sin(𝛼+𝜋12

)=√1−cos2(𝛼+𝜋12)=45，所以sin(𝛼+𝜋3)=sin[(𝛼+𝜋12)+𝜋4]=sin(𝛼+𝜋12)cos𝜋4+cos(𝛼+𝜋12)sin𝜋4=35×√22+45×√22=7√210，故选：D.【变

式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若0<𝛼<𝜋2，−𝜋2<𝛽<0，cos(𝜋4+𝛼)=13，cos(𝜋4−𝛽2)=√33，则cos(𝛼+𝛽2)=（）A．√33B．−√33C．5√39D．−√69【解题思路】根据题意求得sin(𝜋4+𝛼)和sin(𝜋4−𝛽2)

的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.【解答过程】由题意，可得𝜋4<𝜋4+𝛼<𝜋2，𝜋4<𝜋4−𝛽2<𝜋2，因为cos(𝜋4+𝛼)=13，cos(𝜋4−𝛽2)=√33，可得sin(𝜋4+𝛼)=2√23，sin(𝜋4−

𝛽2)=√63，则cos(𝛼+𝛽2)=cos[(𝜋4+𝛼)−(𝜋4−𝛽2)]=cos(𝜋4+𝛼)cos(𝜋4−𝛽2)+sin(𝜋4+𝛼)sin(𝜋4−𝛽2)=13×√33+2√23×√63=5√39.故选：C.【题型2利用和（差）角公

式求三角函数式的值】【方法点拨】解决三角函数求值的四个切入点：(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用辅助角公式求解.(4)观察结构特点，从整体出发，利用

公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.【例2】（2022·湖南·高三阶段练习）2cos10∘−cos70∘cos20∘的值为（）A．1B．√2C．√3D．2【解题思路】把分子中的cos10°化为cos(30°−20°)，利用两角差的余弦公式进行计算即可.【解答过程】原式=2cos(

30∘−20∘)−sin20∘cos20∘=2cos30∘cos20∘+2sin30∘sin20∘−sin20∘cos20∘=√3cos20∘cos20∘=√3.故选：C.【变式2-1】（2022·宁夏·高三期末（文））sin10°cos50°+cos40°cos10°=

（）A．12B．√22C．√32D．—√32【解题思路】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【解答过程】sin10°cos50°+cos40°cos10°=sin10°cos50°+cos(90°−50°)cos10°=co

s50°sin10°+sin50°cos10°=sin(50°+10°)=sin60°=√32.故选：C.【变式2-2】（2022·河南高三阶段练习（文））已知tan𝛼=−3，则cos(𝛼+𝜋4)sin𝛼+2cos𝛼

=（）A．2√25B．−2√2C．−√25D．−√2【解题思路】利用两角和的余弦公式和三角函数的基本关系式，化简的原式=√2(1−tan𝛼)2tan𝛼+4，代入即可求解.【解答过程】由cos(𝛼+𝜋4)sin𝛼+2cos𝛼=√22(cos𝛼−sin𝛼)sin

𝛼+2cos𝛼=√22(1−tan𝛼)tan𝛼+2=√22×4−1=−2√2.故选：B.【变式2-3】（2022·山东·高一阶段练习）若cos𝛼=35，则cos(π6+𝛼)cos(π6−𝛼)=（）

A．43100B．11100C．−43100D．−11100【解题思路】化简得cos(π6+𝛼)cos(π6−𝛼)=cos2𝛼−14，再代值计算即可.【解答过程】解：因为cos(π6+𝛼)cos(π6−𝛼)=(cosπ6c

os𝛼−sinπ6sin𝛼)·(cosπ6cos𝛼+sinπ6sin𝛼)=(√32cos𝛼−12sin𝛼)·(√32cos𝛼+12sin𝛼)＝34cos2𝛼−14sin2𝛼＝34cos2

𝛼−14(1−cos2𝛼)=cos2𝛼−14＝925−14=11100.故选：B.【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】【方法点拨】(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽

量不合三角函数式和根式.(2)化简三角函数式的常用方法:①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）化简：(1)sin(𝛼+𝛽)cos𝛽−12sin(𝛼+2𝛽)；(2)sin10°+sin50°−cos20°．【解题思路】（1）由si

n(𝛼+2𝛽)=sin[(𝛼+𝛽)+𝛽]结合和差角公式化简即可；（2）由sin10°=sin(70°−60°)结合和差角公式以及诱导公式化简即可.【解答过程】(1)∵sin(𝛼+2𝛽)=sin(𝛼+𝛽)cos�

�+cos(𝛼+𝛽)sin𝛽∴sin(𝛼+𝛽)cos𝛽−12sin(𝛼+2𝛽)=12sin(𝛼+𝛽)cos𝛽−12cos(𝛼+𝛽)sin𝛽=12sin[(𝛼+𝛽)−𝛽]=

12sin𝛼；(2)sin10°+sin50°−cos20°=sin(70°−60°)+sin50°−cos(90°−70°)=12sin70°−√32cos70°+sin50°−sin70°=−(12sin70°+√32cos70°)+sin50°=−sin(

70°+60°)+sin(180°−130°)=−sin130°+sin130°=0.【变式3-1】设3π4<𝜃<5π4，化简：√cosπ4sin(3π4−𝜃)[sin(π−𝜃)−sin(𝜃−π2)]sin(𝜃+π4)．【解题思路】利用诱导公式

及两角和与差的正弦公式化简计算即可.【解答过程】√cosπ4sin(3π4−𝜃)[sin(π−𝜃)−sin(𝜃−π2)]sin(𝜃+π4)=√√22(√22cos𝜃+√22sin𝜃)(sin𝜃+cos𝜃)√22cos𝜃+√22sin𝜃=√22|cos𝜃+sin𝜃

|√22(cos𝜃+sin𝜃)，∵3π4<𝜃<5π4，∴π<𝜃+π4<3π2，∴cos𝜃+sin𝜃=√2sin(𝜃+π4)<0，∴√cosπ4sin(3π4−𝜃)[sin(π−𝜃)−sin(𝜃−π2)]sin(𝜃+π4)=−√22(cos𝜃

+sin𝜃)√22(cos𝜃+sin𝜃)=−1.【变式3-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））化简下列各式：(1)sin67°+cos75°sin8°cos67°−sin75°sin8°；(2)[2sin50°+si

n10°(1+√3tan10°)]×√2sin280°；(3)sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−12[sin(2𝛼+𝛽)−sin𝛽]．【解题思路】（1）将67°写成67o=75o−8o，结合两角和的正弦、正

切公式，即可求解；（2）切化弦，结合辅助角公式，两角和的正弦公式运算即可求解；．（3）将2𝛼+𝛽改成𝛼+𝛽+𝛼，𝛽改成𝛼+𝛽−𝛼的形式，结合两角和的正弦公式即可求解．【解答过程】(1)解：原式=sin(75°−8°)+c

os75°sin8°cos(75°−8°)−sin75°sin8°=sin75°cos8°−cos75°sin8°+cos75°sin8°cos75°cos8°+sin75°sin8°−sin75°sin8°=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45°t

an30°=1+√331−√33=3+√33−√3=2+√3．(2)解：原式=(2sin50°+sin10°×cos10°+√3sin10°cos10°)×√2sin80°=[2sin50°cos10°+2sin10°cos

50°cos10°]×√2cos10°=2√2(sin50°cos10°+sin10°cos50°)=2√2sin(50°+10°)=2√2×√32=√6．(3)解：原式=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−12[sin(𝛼+𝛼+𝛽)−sin(𝛼+𝛽−𝛼)]

=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−12[2sin𝛼cos(𝛼+𝛽)]=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−cos(𝛼+𝛽)sin𝛼=sin(𝛼+𝛽−𝛼)=sin𝛽．【变式3-3】（2022·全国·高一课前预习）化简：(

1)(tan10°－√3)·cos10°sin50°；(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ]．【解题思路】（1）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式计算出正确答案.（

2）结合两角和与差的正弦公式计算出正确答案.【解答过程】(1)原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°cos10°−sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°−sin60°cos10°cos60°cos10°·co

s10°sin50°＝－sin(60°−10°)cos60°cos10°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.(2)原式＝sin(α＋β)cosα－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]＝

sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.【题型4利用和（

差）角公式证明三角恒等式】【方法点拨】证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式的一般方法处理.【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知sin𝛽=𝑚sin(2𝛼+𝛽)，且𝛼+𝛽≠π2+�

�π(𝑘∈𝑍)，𝛼≠𝑘π2(𝑘∈𝑍)，𝑚≠1.求证：tan(𝛼+𝛽)=1+𝑚1−𝑚tan𝛼.【解题思路】转化sin𝛽=sin[(𝛼+𝛽)−𝛼]，𝑚sin(2𝛼+𝛽)=𝑚sin[(𝛼+𝛽)+𝛼]，用正弦的和差角公式展开，再利用同

角三角函数的商数关系，即得解.【解答过程】由题意，sin𝛽=𝑚sin(2𝛼+𝛽)，故sin𝛽=𝑚sin[(𝛼+𝛽)+𝛼]=𝑚[sin(𝛼+𝛽)cos𝛼+cos(𝛼+𝛽)sin𝛼]，又sin𝛽=sin[(𝛼+𝛽)−

𝛼]=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−cos(𝛼+𝛽)sin𝛼，∴sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−cos(𝛼+𝛽)sin𝛼=𝑚[sin(𝛼+𝛽)cos𝛼+cos(𝛼+𝛽)sin𝛼]，∴(1−𝑚)sin(𝛼+𝛽)cos𝛼=(1

+𝑚)cos(𝛼+𝛽)sin𝛼，由于𝛼+𝛽≠π2+𝑘π(𝑘∈𝑍)，𝛼≠𝑘π2(𝑘∈𝑍)，𝑚≠1，故cos(𝛼+𝛽)≠0,cos𝛼≠0，𝑚−1≠0，两边同除以：(1−𝑚)cos(𝛼+𝛽)cos𝛼，可得tan(𝛼+𝛽)=1+𝑚1−𝑚

tan𝛼，即得证.【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知sin(𝛼+𝛽)=𝑎，sin(𝛼−𝛽)=𝑏，求证：(1)sin𝛼cos𝛽=12(𝑎+𝑏)；(2)cos𝛼sin𝛽=12(𝑎−𝑏).【

解题思路】（1）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相加即可得证；（2）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相减即可得证；【解答过程】(1)证明：因为{sin(𝛼+𝛽)=𝑎sin(𝛼−𝛽)=𝑏，即{sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽=𝑎sin𝛼cos

𝛽−cos𝛼sin𝛽=𝑏，所以两式相加可得2sin𝛼cos𝛽=𝑎+𝑏，所以得证sin𝛼cos𝛽=12(𝑎+𝑏)；(2)证明：因为{sin(𝛼+𝛽)=𝑎sin(𝛼−𝛽)=𝑏，即{sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin

𝛽=𝑎sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽=𝑏，所以两式相减可得2cos𝛼sin𝛽=𝑎−𝑏，所以得证cos𝛼sin𝛽=12(𝑎−𝑏).【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：（1）sin(𝛼−𝛽)cos𝛼cos𝛽=tan𝛼−tan

𝛽；（2）1cos0°cos1°+1cos1°cos2°+1cos2°cos3°+⋯+1cos88°cos89°=cos1°sin21°.【解题思路】（1）直接根据差角的正弦公式与同角三角函数的商关系证明即可；（2）由（1）得sin1°cos𝑘°cos(𝑘+1)°=tan(𝑘+1)°−ta

n𝑘°(𝑘=0,1,⋅⋅⋅,88)，由此可证．【解答过程】证明：（1）sin(𝛼−𝛽)cos𝛼cos𝛽=sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽cos𝛼cos𝛽=tan𝛼−tan𝛽；（2）由（1）得sin1°cos𝑘

°cos(𝑘+1)°=tan(𝑘+1)°−tan𝑘°(𝑘=0,1,⋅⋅⋅,88)，∴(1cos0°cos1°+1cos1°cos2°+1cos2°cos3°+⋯+1cos88°cos89°)sin1°=tan89°−tan0°=

sin89°cos89°=cos1°sin1°，∴1cos0°cos1°+1cos1°cos2°+1cos2°cos3°+⋯+1cos88°cos89°=cos1°sin21°．【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）求证：（1）cos𝛼sin𝛽=12[sin(𝛼+𝛽)−sin(

𝛼−𝛽)]；（2）cos𝛼cos𝛽=12[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]；（3）sin𝛼sin𝛽=−12[cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)]．【解题思路】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，

证明即可．【解答过程】证明：（1）12[sin(𝛼+𝛽)−sin(𝛼−𝛽)]=12[sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽−sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽]=cos𝛼·cos𝛽；（2）12[cos(𝛼

+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]=12[cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽]=cos𝛼·cos𝛽；（3）−12[cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)]=−12[cos𝛼co

s𝛽−sin𝛼sin𝛽−cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽]=sin𝛼·sin𝛽等式成立．【题型5利用二倍角公式化简】【方法点拨】解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从

“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.【例5】（2021·全国·高一专题练习）

化简：(1)cos𝜋12cos5𝜋12；(2)cos4𝛼2－sin4𝛼2；(3)tan22.5∘1−tan222.5∘.【解题思路】（1）利用诱导公式及二倍角正弦公式计算可得；（2）利用平方关系及二倍角余弦公式计算可得；（3

）利用二倍角的正切公式计算可得；【解答过程】（1）解：cos𝜋12cos5𝜋12=cos𝜋12cos(𝜋2−𝜋12)=cos𝜋12sin𝜋12=12(2cos𝜋12sin𝜋12)=12sin𝜋6=14；（2）解：cos

4𝛼2−sin4𝛼2=(cos2𝛼2+sin2𝛼2)(cos2𝛼2−sin2𝛼2)=cos2𝛼2−sin2𝛼2=cos𝛼；（3）解：tan22.5∘1−tan222.5∘=12×2tan22.5∘1−tan222.5∘=12×tan45∘=12.【变式5-1】（2022·

上海·高三专题练习）化简：√1+sin𝛼+√1−sin𝛼−√2+2cos𝛼（𝛼为锐角）【解题思路】根据二倍角正弦公式与二倍角余弦公式对根式进行配方，再根据角的范围去绝对值，即得结果.【解答过程】√1+sin𝛼+√1−sin𝛼−

√2+2cos𝛼=√cos2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2+sin2𝛼2+√cos2𝛼2−2sin𝛼2cos𝛼2+sin2𝛼2−√2+2(2cos2𝛼2−1)=|cos𝛼2+sin𝛼2|+|c

os𝛼2−sin𝛼2|−2|cos𝛼2|.∵𝛼为锐角，∴𝛼2∈(0,𝜋4)∴cos𝛼2>sin𝛼2>0.∴√1+sin𝛼+√1−sin𝛼−√2+2cos𝛼=cos𝛼2+sin𝛼2+cos

𝛼2−sin𝛼2−2cos𝛼2=0.【变式5-2】（2022·江苏·高一课时练习）化简：(1)(sin𝛼+cos𝛼)2；(2)2tan15°1−tan215°；(3)cos40°(1+√3t

an10°)；(4)sin4𝛼−cos4𝛼；(5)11+tan𝛼−11−tan𝛼；(6)3−sin70°2−cos210°．【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）逆用正切二倍角公式，结合特殊角的正

切值进行求解即可；（3）运用切化弦法，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式进行求解即可；（4）运用平方差公式，结合同角的三角函数关系式、余弦的二倍角公式进行求解即可；（5）运用切化弦法，结合正弦和余弦的二倍角公式进行求解即

可；（6）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.【解答过程】(1)(sin𝛼+cos𝛼)2=sin2𝛼+cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=1+sin2𝛼；(2)2tan15°1−tan215°=tan

(2×15°)=tan30°=√33；(3)cos40°(1+√3tan10°)=cos40°(1+√3sin10°cos10°)=cos40°⋅cos10°+√3sin10°cos10°=cos40°⋅

2sin40°cos10°=sin80°cos10°=cos10°cos10°=1;(4)sin4𝛼−cos4𝛼=(sin2𝛼+cos2𝛼)(sin2𝛼−cos2𝛼)=−cos2𝛼；(5)11+tan𝛼−11−tan𝛼=11+sin𝛼c

os𝛼−11−sin𝛼cos𝛼=cos𝛼cos𝛼+sin𝛼−cos𝛼cos𝛼−sin𝛼=cos𝛼(cos𝛼−sin𝛼)−cos𝛼(cos𝛼+sin𝛼)(cos𝛼+sin𝛼)(co

s𝛼−sin𝛼)=−sin2𝛼cos2𝛼=−tan2𝛼;(6)3−sin70°2−cos210°=3−cos20°2−cos210°=3−(2cos210°−1)2−cos210°=2(2−c

os210°)2−cos210°=2.【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：（1）11−tan𝜃−11+tan𝜃；（2）2cos2𝛼−12tan(𝜋4−𝛼)sin2(𝜋4+𝛼).【解题思路】（1）对原式通分化简即得；（2）利用诱导公式、同角的三角

函数关系、二倍角的正弦余弦公式化简即得解.【解答过程】（1）原式=(1+tan𝜃)−(1−tan𝜃)(1−tan𝜃)(1+tan𝜃)=2tan𝜃1−tan2𝜃=tan2𝜃.（2）原式=cos2𝛼2tan(𝜋4−𝛼)cos2(𝜋2−𝜋4

−𝛼)=cos2𝛼2tan(𝜋4−𝛼)cos2(𝜋4−𝛼)=cos2𝛼2sin(𝜋4−𝛼)cos(𝜋4−𝛼)=cos2𝛼sin(2×𝜋4−2𝛼)=cos2𝛼cos2𝛼=1.【题型6

利用二倍角公式求值】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例

6】（2022·全国·高一单元测试）已知tan𝛼2=12,tan(𝛼−𝛽)=2．(1)求sin𝛼的值；(2)求tan(𝛽−2𝛼)的值．【解题思路】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计

算作答.【解答过程】（1）因tan𝛼2=12，则sin𝛼=2sin𝛼2cos𝛼2=2sin𝛼2cos𝛼2sin2𝛼2+cos2𝛼2=2tan𝛼2tan2𝛼2+1=2×12(12)2+1=45.（2）因tan𝛼2=12，则tan𝛼=2tan𝛼21−tan2𝛼2=2×

121−(12)2=43，又tan(𝛼−𝛽)=2，所以tan(𝛽−2𝛼)=−tan[(𝛼−𝛽)+𝛼]=−tan(𝛼−𝛽)+tan𝛼1−tan(𝛼−𝛽)tan𝛼=−2+431−2×43=2．【变式6-1】（2022·湖北黄石·高一期中）已知tan(𝛼2+π4

)=2(1)求tan𝛼；(2)求1+cos2𝛼+sin2𝛼1−cos2𝛼+sin2𝛼的值.【解题思路】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【

解答过程】（1）由tan(𝛼2+π4)=2⇒tan𝛼2+tanπ41−tan𝛼2tanπ4=2⇒tan𝛼2+11−tan𝛼2=2⇒tan𝛼2=13，所以tan𝛼=2tan𝛼21−tan2𝛼2=2×131−(13)2=34；（2）1+cos2

𝛼+sin2𝛼1−cos2𝛼+sin2𝛼=1+2cos2𝛼−1+2sin𝛼cos𝛼1−(1−2sin2𝛼)+2sin𝛼cos𝛼=2cos𝛼(cos𝛼+sin𝛼)2sin𝛼(sin𝛼+cos𝛼)=1t

an𝛼=43.【变式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知sin𝛼=35，𝜋2<𝛼<𝜋．(1)求tan𝛼的值；(2)求sin2𝛼−sin2𝛼cos2𝛼+cos2𝛼的值．【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系式求解

即可.（2）利用正弦及余弦的二倍角公式展开后分式上下同除以cos2𝛼，然后代入tan𝛼的值即可求解.【解答过程】(1)∵𝜋2<𝛼<𝜋∴cos𝛼=−√1−sin2𝛼=−√1−(35)2=−45∴tan𝛼=sin𝛼cos𝛼=−34.(2

)sin2𝛼−sin2𝛼cos2𝛼+cos2𝛼=sin2𝛼−2sin𝛼cos𝛼2cos2𝛼−sin2𝛼=tan2𝛼−2tan𝛼2−tan2𝛼=(34)2−2×342−(34)2=3323.【变式6-3】（2022·北京高一期中）已知2sin𝜃

+cos𝜃sin𝜃−3cos𝜃=−5，求(1)tan𝜃的值;(2)3cos2𝜃+4sin2𝜃的值.【解题思路】（1）将已知等式分子分母同除cos𝜃，可构造关于tan𝜃的方程，求得tan𝜃；（2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母sin2𝜃+c

os2𝜃=1，分子分母同除cos2𝜃可构造出关于tan𝜃的方程，代入tan𝜃可求得结果.【解答过程】(1)∵2sin𝜃+cos𝜃sin𝜃−3cos𝜃=−5，∴2tan𝜃+1tan𝜃−3=−5，解得：tan𝜃=2.(

2)3cos2𝜃+4sin2𝜃=3(cos2𝜃−sin2𝜃)+8sin𝜃cos𝜃=3cos2𝜃−3sin2𝜃+8sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=3−3tan2𝜃+8tan𝜃tan2𝜃+1=3−12+164+1=75.