【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.9 三角恒等变换（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(10)页，564.771 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.9三角恒等变换（重难点题型精讲）1．两角差的余弦公式对于任意角，有.此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)

两角和与差的余弦公式的记忆技巧两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两

角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；②“符号相同

”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法

，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.常用的角的代换形式：①=(+)-；②=-(-)；③=[(+)+(-)]；④=[(+)-(-)]；⑤=(-)-(-)；⑥-=(-)+(-).(2)常值代换用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用

相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述

公式也称为辅助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用①：，，.②：.③：.(2)配方变形.(3)因式分解变形.(4)升幂公式；.【题型1两角和与差的三角函数公式的应用

】【方法点拨】公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模拟预测（理））已知𝛼，𝛽都为锐角，cos𝛼=17，cos(𝛼+𝛽)=−1114，则cos𝛽等于（）

A．12B．−7198C．−12D．7198【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知𝛼,𝛽均为锐角，且sin(𝛼+𝛽)=2sin(𝛼−𝛽)，则tan𝛼tan𝛽=（）A．13B．12C．2D．3【变式1-2】（2022·

湖北黄冈·高三阶段练习）已知cos(𝛼+π12)=35，𝛼∈(0,π2)，则sin(𝛼+π3)=（）A．3−4√310B．45C．−√210D．7√210【变式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若0<𝛼<𝜋2，−𝜋2<𝛽

<0，cos(𝜋4+𝛼)=13，cos(𝜋4−𝛽2)=√33，则cos(𝛼+𝛽2)=（）A．√33B．−√33C．5√39D．−√69【题型2利用和（差）角公式求三角函数式的值】【方法点拨】解决三角函数

求值的四个切入点：(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用辅助角公式求解.(4)观察结构特点，从整体出

发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.【例2】（2022·湖南·高三阶段练习）2cos10∘−cos70∘cos20∘的值为（）A．1B．√2C．√3D．2【变式2-1】（2022·宁夏·高三期末（文））sin10°cos50°+cos40°cos10°=（）A．12B．√22C．√

32D．—√32【变式2-2】（2022·河南高三阶段练习（文））已知tan𝛼=−3，则cos(𝛼+𝜋4)sin𝛼+2cos𝛼=（）A．2√25B．−2√2C．−√25D．−√2【变式2-3】（2022·山东·高一阶段

练习）若cos𝛼=35，则cos(π6+𝛼)cos(π6−𝛼)=（）A．43100B．11100C．−43100D．−11100【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】【方法点拨】(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数

式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.(2)化简三角函数式的常用方法:①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）化简：(1)sin(𝛼+𝛽)cos𝛽−12sin(𝛼

+2𝛽)；(2)sin10°+sin50°−cos20°．【变式3-1】设3π4<𝜃<5π4，化简：√cosπ4sin(3π4−𝜃)[sin(π−𝜃)−sin(𝜃−π2)]sin(𝜃+π4

)．【变式3-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））化简下列各式：(1)sin67°+cos75°sin8°cos67°−sin75°sin8°；(2)[2sin50°+sin10°(1+√3tan10°)]×√2sin280°；(3)sin(𝛼+𝛽)cos𝛼

−12[sin(2𝛼+𝛽)−sin𝛽]．【变式3-3】（2022·全国·高一课前预习）化简：(1)(tan10°－√3)·cos10°sin50°；(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ]．【题

型4利用和（差）角公式证明三角恒等式】【方法点拨】证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式的一般方法处理.【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知sin𝛽=𝑚sin(2𝛼+𝛽)，且𝛼+𝛽≠π2+𝑘π(𝑘∈𝑍)，𝛼≠�

�π2(𝑘∈𝑍)，𝑚≠1.求证：tan(𝛼+𝛽)=1+𝑚1−𝑚tan𝛼.【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知sin(𝛼+𝛽)=𝑎，sin(𝛼−𝛽)=𝑏，求证：(1)sin𝛼cos𝛽=12(𝑎

+𝑏)；(2)cos𝛼sin𝛽=12(𝑎−𝑏).【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：（1）sin(𝛼−𝛽)cos𝛼cos𝛽=tan𝛼−tan𝛽；（2）1cos0°cos1°+1cos1°cos2°+1cos2°cos3°+⋯

+1cos88°cos89°=cos1°sin21°.【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）求证：（1）cos𝛼sin𝛽=12[sin(𝛼+𝛽)−sin(𝛼−𝛽)]；（2）cos𝛼cos𝛽=12[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]；（

3）sin𝛼sin𝛽=−12[cos(𝛼+𝛽)−cos(𝛼−𝛽)]．【题型5利用二倍角公式化简】【方法点拨】解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面

，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.【例5】（2021·全国·高一专题练习）化简：(1)c

os𝜋12cos5𝜋12；(2)cos4𝛼2－sin4𝛼2；(3)tan22.5∘1−tan222.5∘.【变式5-1】（2022·上海·高三专题练习）化简：√1+sin𝛼+√1−sin𝛼−√2+2cos𝛼（𝛼为锐角）【变式5-2】（2022·江苏

·高一课时练习）化简：(1)(sin𝛼+cos𝛼)2；(2)2tan15°1−tan215°；(3)cos40°(1+√3tan10°)；(4)sin4𝛼−cos4𝛼；(5)11+tan𝛼−11−tan𝛼；(6)3−sin70°2−cos2

10°．【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：（1）11−tan𝜃−11+tan𝜃；（2）2cos2𝛼−12tan(𝜋4−𝛼)sin2(𝜋4+𝛼).【题型6利用二倍角公式求值】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之

同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】（2022·全国·高一单元测试）已知tan𝛼2=12,tan(𝛼−�

�)=2．(1)求sin𝛼的值；(2)求tan(𝛽−2𝛼)的值．【变式6-1】（2022·湖北黄石·高一期中）已知tan(𝛼2+π4)=2(1)求tan𝛼；(2)求1+cos2𝛼+sin2𝛼1−cos2𝛼+sin2𝛼的值.【变式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知s

in𝛼=35，𝜋2<𝛼<𝜋．(1)求tan𝛼的值；(2)求sin2𝛼−sin2𝛼cos2𝛼+cos2𝛼的值．【变式6-3】（2022·北京高一期中）已知2sin𝜃+cos𝜃sin𝜃−3cos𝜃=−5，求(1)tan𝜃的值;(2)3cos2𝜃+4s

in2𝜃的值.