【文档说明】数学人教A版2019必修第一册 4.4 对数函数 教案含解析【高考】.docx，共(23)页，517.536 KB，由小赞的店铺上传

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14.4对数函数考纲要求1．了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．知识解读知识点①对数函数概念函数y＝logax(a＞

0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点②对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(

0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数知识点③反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识点④注意事项1．在

对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论．2．解决与对数函数有关的问题时需注意

两点：(1)务必先研究函数的定义域；2(2)注意对数底数的取值范围．题型讲解题型一、对数函数的概念例1．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.例2．函数f(x)＝1ln（－x2＋4x－3）的定义域是()A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－∞，2

)∪(2，＋∞)D．(1，2)∪(2，3)例3．函数f()x＝ln()3x2－6x－24的单调递增区间为()A．()－1，＋∞B．()1，＋∞C．()2，＋∞D．()4，＋∞题型二、对数函数的图像和性质例1．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是_

________.例2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．例3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝logax的图象可能是()例4．函数f(x)＝l

oga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()3例5．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为_________.例6．设函数f(x)＝()−0log0log212xxxx，，，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值

范围是_________.例7．当0<x≤12时，4x<logax，则a的取值范围是()A．0，22B．22，1C．(1，2)D．(2，2)例8．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞

b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b例9．设a＝12，b＝log75，c＝log87，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b例10．(多选)若实数a，b满足loga2<logb2，则下列关系中可能成立的有()A．0<b<a<1B．0<a<1<bC．a>b>1D．

0<b<1<a例11．(2022·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且1ex−＝lnx1，2ex−＝ln(x2＋1)，3ex−＝lgx3，则()4A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3例12．设a＝log63，b＝

log126，c＝log2412，则()A．b<c<aB．a<c<bC．a<b<cD．c<b<a例13．已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．①求函数f(x)的定义域；②若函数f(x)在区间[0，3]上

的最小值为－2，求实数a的值．题型三、不同函数增长的差异例1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x例2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.0

0y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋bx例3．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一

个是________．例4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y5年，则函数y＝f(x)的图象大致为()达标训练1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数

函数的解析式为()A．y＝log4xB．y＝log41xC．y＝log12xD．y＝log2x2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|log3x<1}，则A∩B＝()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{0,1,2,3

}D．{x|0<x<3}3．设函数f(x)＝()−0401log2xxxx，，则f(－3)＋f(log23)＝()A．9B．11C．13D．154．已知a＝log32，b＝413，c＝ln23，则a，b，c的大小关系为()

A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b5．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()66．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB．12xC．log12xD．2

x－27．下列各式中错误的是()A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0.50.6C．0.75－0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.48．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7]B．(2，7]C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)9．以下四

种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax10．已知log12

m＜log12n＜0，则()A．n＜m＜1B．m＜n＜1C．1＜m＜nD．1＜n＜m11．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b12．比较大小：(1)log2

2______log23；(2)log8π______logπ8.713．设f(x)＝lgx，若f(1－a)－f(a)＞0，则实数a的取值范围为________．14．求函数y＝log12(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．13.已知指数函数f(x)＝

ax(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．14.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与

年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝log12x＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的

解析式；8(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．课后提升1．设正实数a，b，c分别满足a·2a＝1，blog2b＝1，clog3c＝1，则a

，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b＜ab＜0B．ab＜a＋b＜0C．a＋b＜0＜abD．ab＜0＜a＋b93．(多选题)有如下命题，其中真

命题的标号为()A．∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0B．∃x0∈(0,1)，log12x0＞log13x0C．∀x∈(0，＋∞)，12x＞log12xD．∀x∈0，13，12x＜log13x4

．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞上单调递增B．是奇函数，且在－12，12上单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12上单调递增

D．是奇函数，且在－∞，－12上单调递减5．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．6．(2022·潍坊模拟)已知f(x)

＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝4.4对数函数考纲要求1．了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．3．知道对数函数y＝log

ax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．知识解读知识点①对数函数概念10函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点②对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点

(1,0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数知识点③反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为

反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识点④注意事项1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两

点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．题型讲解题型一、对数函数的概念例1．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.【答案】1【解析】由已知得f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.例2．函数

f(x)＝1ln（－x2＋4x－3）的定义域是()11A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1，2)∪(2，3)【答案】D【解析】由题意知－x2＋4x－3>0，－x2＋4x－3≠1

，即1<x<3，x≠2，故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．例3．函数f()x＝ln()3x2－6x－24的单调递增区间为()A．()－1，＋∞B．()1，＋∞C．()2

，＋∞D．()4，＋∞【答案】D【解析】由题得3x2－6x－24>0，得x>4或x<－2，即函数的定义域为{x|x>4或x<－2}．设u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞),y＝lnu，要求函数f()x＝ln()3x2－6x－24的单调递增区间，即求函数u＝3x

2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间，因为函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间为()4，＋∞，故选D．题型二、对数函数的图像和性质例1．函数y＝loga(x－1)＋2(

a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是_________.【答案】(2,2)【解析】当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．例2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则

a＝________．【答案】2或12【解析】分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0<a<1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝12．所以a＝2或12．例3．在

同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝logax的图象可能是()【答案】A12【解析】易知g(x)的图象过点(1，0)．若0<a<1，则函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，且递增趋势越来越慢，函数g(x)＝logax单调递减．显然四

个选项不满足条件．若a>1，则函数g(x)＝logax单调递增，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增且递增趋势越来越快，显然只有选项A满足条件．例4．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()【答案】A【解析】由函

数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合

图象知选A．例5．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为_________.【答案】x＝5【解析】原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5

，又x>1，所以x＝5.例6．设函数f(x)＝()−0log0log212xxxx，，，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是_________.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)【解析】由题意得a＞0，log

2a＞－log2a或a＜0，－log2－a＞log2－a，解得a＞1或－1＜a＜0.例7．当0<x≤12时，4x<logax，则a的取值范围是()A．0，22B．22，1C．(1，2)D．(2，2)【答案】B【解析】13构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lo

gax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的图象如图所示，可知f12<g12，即2<loga12，则a>22，所以a的取值范围为22，1．例8．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log121

3，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b【答案】D【解析】因为c＝log1213＝log23>log2e＝a，所以c＞a.因为b＝ln2＝1log2e＜1＜log2e＝a，所以a＞b.所以c

＞a＞b.例9．设a＝12，b＝log75，c＝log87，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b【答案】D【解析】a＝12＝log77>b＝log75，c＝log87>log88＝12＝a，所以c>a>b.例10．(多选)若实数a，b满足loga2<

logb2，则下列关系中可能成立的有()A．0<b<a<1B．0<a<1<bC．a>b>1D．0<b<1<a【答案】ABC【解析】当0<b<a<1时，log2b<log2a<0，即1logb2<1loga2<0

，故loga2<logb2，A正确；当0<a<1<b时，logb2>0，loga2<0，故loga2<logb2，B正确；当a>b>1时，log2a>log2b>0，即1loga2>1logb2>0，故loga2<logb2，C正确；14当0<b<1<a时，logb2<0，loga

2>0，故loga2>logb2，D错误．例11．(2022·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且1ex−＝lnx1，2ex−＝ln(x2＋1)，3ex−＝lgx3，则()A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x

1D．x2<x1<x3【答案】D【解析】画出函数y＝1ex，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的图象，如图所示．数形结合，知x2<x1<x3.例12．设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则()A．b<c<aB．a

<c<bC．a<b<cD．c<b<a【答案】C【解析】因为a，b，c都是正数，所以1a＝log36＝1＋log32，1b＝log612＝1＋log62，1c＝log1224＝1＋log122，因为log32＝lg2lg3，

log62＝lg2lg6，log122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log32>log62>log122，即1a>1b>1c，所以a<b<c.例13．已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．①求函数

f(x)的定义域；②若函数f(x)在区间[0，3]上的最小值为－2，求实数a的值．【答案】a＝13【解析】①依题意得x＋2>0，4－x>0，解得－2<x<4，∴f(x)的定义域为(－2，4)．②f(x)＝loga(x＋2

)＋loga(4－x)＝loga[(x＋2)(4－x)]，令t＝(x＋2)(4－x)，则变形得t＝－(x－151)2＋9，∵0≤x≤3，∴5≤t≤9．若a>1，则loga5≤logat≤loga9，∴f(x)min＝loga5＝－2，则a

2＝15<1(舍去)，若0<a<1，则loga9≤logat≤loga5，∴f(x)min＝loga9＝－2，则a2＝19，又0<a<1，∴a＝13．综上，a＝13．题型三、不同函数增长的差异例1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y

＝log6xC．y＝x6D．y＝6x【答案】B【解析】D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．例2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.

5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋bx【答案】B【解析】在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.

例3．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．【解析】当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．【答案】y＝x2例4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，

则函数y＝f(x)的图象大致为()16【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为

D中图象，故选D.达标训练1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4xB．y＝log41xC．y＝log12xD．y＝log2x【答案】D【解析】设该函数为y＝logax，由于对数函数的图象过点M(16，

4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.2．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|log3x<1}，则A∩B＝()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{0,1,2,3}D．{x|

0<x<3}【答案】A【解析】由log3x<1＝log33，∵3>1，解得0<x<3，所以B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{1,2}．3．设函数f(x)＝()−0401log2xxxx，，则f(－3)＋f(log23)＝()A．9B．11C．13D．15【答案】B【解

析】∵函数f(x)＝()−0401log2xxxx，，∴f(－3)＋f(log23)＝log24＋4log23＝2＋9＝11.4．已知a＝log32，b＝413，c＝ln23，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞

b【答案】B【解析】因为a＝log32∈(0,1)，b＝413>1，c＝ln23<0，则a，b，c的大小关系：b＞a＞c.175．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()【答案】C【解析】由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的

图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB．12xC．log12xD．2x－2【答案】A【解析】函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝l

ogax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.7．下列各式中错误的是()A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0.50.6C．0.75－0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【答案】C【解析】由指数函数的性质可知

，函数y＝0.75x为单调递减函数，又因为－0.1＜0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1.8．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7]B．(2，7]C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】∵lg(2x－4)≤1，∴0

＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2，7]，故选B.9．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞x

n＞logax18【答案】D【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0

，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．10．已知log12m＜log12n＜0，则()A．n＜m＜1B．m＜n＜1C．1＜m＜nD．1＜n＜m【答案】

D【解析】因为0＜12＜1，log12m＜log12n＜0，所以m＞n＞1，故选D.11．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b【答案】A【解析】因为a＝log23.4＞1，0＜b＝log43.6＜

1，c＝log30.3＜0，所以a＞b＞c，故选A.12．比较大小：(1)log22______log23；(2)log8π______logπ8.【答案】(1)＞(2)＜【解析】(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以

log22＞log23.(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1.同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8.13．设f(x)＝lgx，若f(1－a)－f(a)

＞0，则实数a的取值范围为________．【答案】0，12【解析】由题意，f(x)＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1－a)－f(a)＞0，所以1－a＞a＞0，所以a∈0，12.1914．求函数y＝log12(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．【答案】0【

解析】要使y＝log12(1－x2)有意义，则1－x2＞0，∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．令t＝1－x2，x∈(－1，1)．当x∈(－1，0]时，x增大，t增大，y＝log12t减小，∴x∈(－1，0]时，y＝log12(1－x2)是减函数；同理当x∈[0，1)时，y

＝log12(1－x2)是增函数．故函数y＝log12(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log12(1－02)＝0.13.已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(

x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．【答案】(1)g(x)＝logax(2)见解析【解析】(1)令y＝ax(a＞0，且a≠1)，则x＝logay(a＞0，且a≠1)，所以函数f(x)的反函数为g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．

(2)当a>1时，logax≤loga(2－3x)，所以x≤2－3x，x＞0，解得0＜x≤12.当0＜a＜1时，原不等式等价于x≥2－3x，2－3x＞0，解得12≤x＜23.综上，当a＞1时，原不等式的解集为0，12；当0＜a＜1时，

原不等式的解集为12，23.14.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.4420若f(x)近似符合以下三种函

数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝log12x＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减

少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．【答案】(1)f(x)＝32x＋52，x∈N(2)f(x)＝32x＋52，x∈N9.1【解析】(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，若模型为f(x)＝2x＋a，则

由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f(x)＝log12x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．由已知得a＋b＝4，3a＋b＝

7，解得a＝32，b＝52.所以f(x)＝32x＋52，x∈N.(2)2021年预计年产量为f(7)＝32×7＋52＝13，2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.答：最适合的函数模型解析式为f(x)＝32x＋52，x∈N.2

021年的年产量为9.1万件．课后提升1．设正实数a，b，c分别满足a·2a＝1，blog2b＝1，clog3c＝1，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b

21【答案】C【解析】由已知可得1a＝2a，1b＝log2b，1c＝log3c，作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x的图象，它们与函数y＝1x图象的交点的横坐标分别为a，b，c，如图所示，易得c＞b＞a.

2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b＜ab＜0B．ab＜a＋b＜0C．a＋b＜0＜abD．ab＜0＜a＋b【答案】B【解析】∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.

3＜log21＝0，∴ab＜0.∵a＋bab＝1a＋1b＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜a＋bab＜1，∴ab＜a

＋b＜0.3．(多选题)有如下命题，其中真命题的标号为()A．∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0B．∃x0∈(0,1)，log12x0＞log13x0C．∀x∈(0，＋∞)，12x＞log12xD．∀x∈0，13，12x＜log13x【答案

】BD【解析】对A选项，构造幂函数y＝xx0(x0＞0)，因为x0＞0，所以幂函数在(0，＋∞)单调递增，因为12＞13，所以12x0＞13x0恒成立，故A是错误的；对B选项，如图所示，y＝log12x的图象为虚线部分，y＝log13x的图象为实线部分，显然∃x0∈(0,1

)，使得log12x0＞log13x022成立，故B正确；对C选项，∀x∈(0，＋∞)，0＜12x＜1恒成立，而当x＝14时，log1214＝2，所以12x＞log12x不会恒成立，故C错误；对D选项，∀x∈0，13，由指数函数y＝12x的图象知，函数值恒小于1

，由对数函数y＝log13x的图象知，函数值恒大于1，所以12x＜log13x恒成立，故D正确．4．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，

＋∞上单调递增B．是奇函数，且在－12，12上单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12上单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12上单调递减【答案】D【解析】f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为

xx≠±12.又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln－2x－1

1－2x＝ln2x＋12x－1＝ln1＋22x－1，23∵y＝1＋22x－1在－∞，－12上单调递减，∴由复合函数的单调性可得f(x)在－∞，－12上单调递减．5．已知函数f(x)＝l

oga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】1，83【解析】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)>1在区

间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，即8－2a>a，且8－2a>0，解得1<a<83．当0<a<1时，f(x)在[1，2]上单调递增，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(

x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，即8－a<a，且8－2a>0．解得a∈，综上可知，实数a的取值范围是1，83．6．(2022·潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2

)，则g(x)max－g(x)min＝.【答案】5【解析】由题意得1≤x≤9，1≤x2≤9，∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1,3]，g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4

log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，∴当t＝0即x＝1时，g(x)min＝2，当t＝1即x＝3时，g(x)max＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5