【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(15)页，761.983 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-edde466d3351e6878e0b9e06f1d3a755.html

以下为本文档部分文字说明：

专题6.3平面向量的运算（重难点题型精讲）1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则(2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向

量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-

=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向

量的数乘的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.特别地

，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有()=.5．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充

要条件是：存在唯一一个实数，使=.(2)向量共线定理的应用——求参一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.【题型1向量的加减法运算】【方法点拨】向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反

向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗化简后等于（）A．𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C．𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】根据向量的加法和减法运算即可求解.【解答过程】因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，故选：B.【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗得（）A．0⃗B．𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗C

．𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】利用向量的线性运算直接求解.【解答过程】𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.故选：C.【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是

（）A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】由向量加法的三角形法则可判断

AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【解答过程】根据三角形法则可得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，C错误；根据三角形法则可得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗正确，所以D正

确.故选：D.【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（）A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗B．(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗

+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C．𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗D．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】根据向量加减法运算法则计算即

可【解答过程】对A，原式=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，正确；对B，原式=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，正确；对C，原式=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，正确；对D，原式=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，错误.故选：D．【题型2三角形（平行四边形）法则的应用】【方法点拨】根据向量加减法的几何意义，将

对应向量表示出来即可.【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量𝑏⃗−𝑎等于（）A．𝑒1⃗⃗⃗−3𝑒2⃗⃗⃗B．−4𝑒1⃗⃗⃗−2𝑒2⃗⃗⃗C．−2𝑒1⃗⃗⃗−4𝑒2⃗⃗⃗D．−𝑒1⃗⃗⃗+3

𝑒2⃗⃗⃗【解题思路】根据向量的减法法则可得选项．【解答过程】由向量的减法得𝑏⃗−𝑎=𝑒1⃗⃗⃗−3𝑒2⃗⃗⃗，故选：A．【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量𝑎−𝑏⃗等于（）A．−𝑒1+3𝑒2B．−4𝑒1−2𝑒2

C．𝑒1−3𝑒2D．−2𝑒1−4𝑒2【解题思路】根据向量线性运算法则，结合图像即可求解.【解答过程】𝑎−𝑏⃗等于向量𝑏⃗的终点指向向量𝑎的终点的向量，如图所示：分解后易知𝑎−𝑏⃗=−𝑒1+3𝑒2.故选：A.【变式2-2】（2

022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗，𝑎的起点与终点均在正方形网格的格点上，若𝑎=𝜆𝑒1⃗⃗⃗+𝜇𝑒2⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=（）A．−4B．−2C．2D．4【解题思路】根据图象求得

正确答案.【解答过程】由图象可知𝑎=𝑒1⃗⃗⃗+3𝑒2⃗⃗⃗,𝜆=1,𝜇=3,𝜆+𝜇=4.故选：D.【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在7×5正方形网格中，向量𝑎，𝑏⃗满足𝑎⊥𝑏⃗，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）

A．2𝑎+32𝑏⃗B．−2𝑎−32𝑏⃗C．−3𝑎+12𝑏⃗D．3𝑎−12𝑏⃗【解题思路】由向量加减法运算法则，得到所求向量为𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.【解答过程】由题意，得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−3𝑎+12𝑏⃗，故选：C.【题型3向量的线性运算】【方法点拨】向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并

.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）3(𝑎+𝑏⃗)−2(𝑎−𝑏⃗)−𝑎=（）A．5𝑎B．5𝑏⃗C．−5𝑎D．−5𝑏⃗【

解题思路】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解.【解答过程】根据向量运算公式可知，3(𝑎+𝑏⃗)−2(𝑎−𝑏⃗)−𝑎=3𝑎+3𝑏⃗−2𝑎+2𝑏⃗−𝑎=5𝑏⃗.故选：B.【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知𝑎=2𝑒，𝑏⃗=−3𝑒，𝑐=6𝑒，则3𝑎−2�

�⃗+𝑐等于（）A．18𝑒B．−3𝑒C．20𝑒D．−18𝑒【解题思路】由向量的运算可得答案.【解答过程】3𝑎−2𝑏⃗+𝑐=3×2𝑒−2×(−3𝑒)+6𝑒=18𝑒.故选：A.【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）3(2𝑎−𝑏⃗)−2(𝑎+3𝑏⃗)的化简结果为（

）A．4𝑎+3𝑏⃗B．4𝑎−9𝑏⃗C．8𝑎−9𝑏⃗D．4𝑎−3𝑏⃗【解题思路】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.【解答过程】由题意，3(2𝑎→−𝑏→)−2(𝑎→+3𝑏→)=4𝑎→−9𝑏→.故选

：B.【变式3-3】（2022·高一课时练习）(𝑎+2𝑏⃗)+2(𝑎−𝑏⃗)等于（）A．2𝑎B．3𝑎C．−𝑏⃗D．0⃗【解题思路】利用向量的线性运算求解即可.【解答过程】依题意得：(𝑎+2𝑏⃗)+2(𝑎−𝑏⃗)=𝑎+2𝑏⃗+2

𝑎−2𝑏⃗=3𝑎，故选：B.【题型4用已知向量表示相关向量】【方法点拨】用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定

理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.【例4】（2022·高一课时练习）如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，点E是𝐴𝐶的三等分点(𝐸𝐶=13𝐴𝐶)，则

𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．13𝑎−23𝑏⃗B．23𝑎−13𝑏⃗C．13𝑎+23𝑏⃗D．23𝑎+13𝑏⃗【解题思路】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【解答过程】𝐷𝐸⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑎−13𝑏⃗故选：B.【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐，则𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．−𝑎+𝑏⃗+𝑐B．−𝑎+𝑏⃗−𝑐C．𝑎+𝑏⃗+𝑐D．𝑎−𝑏⃗+𝑐【解题思路】根据向量加法、减法的运算求得𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.【解答过程】𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎−𝑏⃗+𝑐.故选：D.【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形A

BCD的对角线AC和BD相交于O，且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为（）A．𝑎+𝑏⃗B．𝑎−𝑏⃗C．𝑏⃗−𝑎D．−𝑎−𝑏⃗【解题思路】根据给定条

件利用平面向量的减法运算列式作答.【解答过程】在平行四边形ABCD中，依题意，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑎，而𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑎−𝑏⃗.故

选：D.【变式4-3】（2022秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐，则向量𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为（）A．𝑎+𝑏⃗+𝑐B．𝑎−𝑏⃗+𝑐C．𝑏⃗−�

�+𝑐D．𝑏⃗−𝑎−𝑐【解题思路】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【解答过程】𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗−𝑎+𝑐，故选：C.【题型5向量

共线定理的应用】【方法点拨】向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.【例5】（2022·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所

在平面内一点，若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则下列结论正确的是（）A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上D．点P在直线AC上【解题思路】由向量的运算可得𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗

⃗，进而可得解.【解答过程】∵𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗

⃗⃗⃗，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，即𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗.故点P在边AC所在的直线上.故选：D.【变式5-1】（2022·高一课时练习）𝑃是△𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑃点必在（）A．△𝐴𝐵𝐶内部B．在直线𝐴𝐶上C．在直线𝐴𝐵上D．在直线𝐵𝐶上【解题思路】根据共线定理可知即𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗共线，从而可确定𝑃点一定在�

�𝐶边所在直线上．【解答过程】∵𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗，∴−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗//𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，即𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗共线∴𝑃点一定在𝐴𝐶边所在直线上.故选：B．【变式5-2】（2022春·湖南长沙·高二阶段练习）已知𝑎，𝑏⃗为不共线的非

零向量，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+5𝑏⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑎+8𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑎−3𝑏⃗，则（）A．𝐴，𝐵，𝐶三点共线B．𝐴，𝐵，𝐷三点共线C．𝐵，𝐶，𝐷三点共线D．𝐴，𝐶，𝐷三点共线【解题思路】根据给定条件，

求出𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，再利用共线向量逐项判断作答.【解答过程】𝑎，𝑏⃗为不共线的非零向量，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+5𝑏⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑎+8𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑎−3𝑏⃗，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+5𝑏⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑎+13𝑏⃗，因1−2≠58，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗不共线，𝐴，𝐵，𝐶三点不共线，A不正确；因𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即�

�𝐵→与𝐵𝐷→共线，且有公共点B，则𝐴，𝐵，𝐷三点共线，B正确；因−23≠8−3，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗不共线，𝐵，𝐶，𝐷三点不共线，C不正确；因−13≠13−3，则

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗不共线，𝐴，𝐶，𝐷三点不共线，D不正确.故选：B.【变式5-3】（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗＝𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆(𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),𝜆>0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解题思路】取线段BC的中点E，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗．动点P满足：𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆(𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，𝜆>0，则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗．即可判断出结论．【解答过程】取线段BC的中点E，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗．动点P

满足：𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，𝜆>0，则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C．【题型6向量线性运算在三角形

中的运用】【方法点拨】结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照

赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是𝐷𝐹，𝐴𝐺，𝐵𝐻，𝐶𝐸的中点，若𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗，则2𝑥+𝑦等于（）A．25B．45C．1D．2【解题思路】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示出来，求出𝑥，𝑦的值，即可求解．【解答过程】由题意可得𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐺⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐸𝐹𝐺𝐻是平行四边形，所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=−𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，所

以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=45𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+25𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，

所以𝑥=45,𝑦=25，则2𝑥+𝑦=2×45+25=2．故选:D.【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革

命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗，设𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝑄⃗⃗⃗

⃗⃗，则𝜆=（）A．√5+12B．√5−12C．−√5+12D．1−√52【解题思路】根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．【解答过程】五角星中，𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗，由于𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗⇒𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=2√5+1𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=−√5−12𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=1−√52𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗则𝜆=1−√52，故选：D.【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图

形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且𝑃𝑇𝐴𝑇＝√5−12.下列关系中正确的是（）A．𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗=√

5+12𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗C．𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝐶

𝑅⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【解答过程】解：在如图所示的正五角星中，以𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸为顶点的多边形为正五边形，且𝑃𝑇𝐴𝑇=√5−12．在A中，𝐵𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗−𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗=𝑇𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗=𝑆𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗，故A正确；在B中，𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=

𝑇𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑆𝑇⃗⃗⃗⃗，故B错误；在C中，𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝐷𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，故

C错误；在D中，𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑆𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝑅𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，√5−12𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝑆𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝐶

𝑅⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑆𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0，不合题意，故D错误．故选：A．【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝐸在线段𝐵𝐷上，且𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆,𝜇∈𝑅)，则（）A．𝜆=12𝜇B．𝜆=2𝜇C．𝜆=3𝜇D．𝜆=13𝜇【解题思路】由平面向量的运算法则求解【解答过程】平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐷

𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)，又因为𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12(12𝐴𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，又因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝜆=12，𝜇=14，则𝜆=2𝜇，故选：B.