【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(9)页，722.560 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.3平面向量的运算（重难点题型精讲）1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则(2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所

示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫

做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向量的数乘的定义一般地，我们规定实

数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.特别地，我们有(-)=-()=

(-)，(-)=-.(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有()=.5．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.(2)向量共线定理的应用——求参一般地，解决

向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.【题型1向量的加减法运算】【方法点拨】向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式-

=(正用或逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗化简后等于（）A．𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗C．𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗得

（）A．0⃗B．𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗C．𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（）A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（）A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗B．(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C．𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗D．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗【题型2三角形（平行四边形）法则的应用】【方法点拨】根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可.【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量𝑏⃗−𝑎等于（）A．𝑒1⃗⃗⃗−3𝑒2⃗⃗⃗B

．−4𝑒1⃗⃗⃗−2𝑒2⃗⃗⃗C．−2𝑒1⃗⃗⃗−4𝑒2⃗⃗⃗D．−𝑒1⃗⃗⃗+3𝑒2⃗⃗⃗【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量𝑎−𝑏⃗等于（）A．−𝑒1+3𝑒2B．−4𝑒1−2𝑒2C．𝑒1−3𝑒2D．−2𝑒1−4𝑒2【变式2-2】（

2022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗，𝑎的起点与终点均在正方形网格的格点上，若𝑎=𝜆𝑒1⃗⃗⃗+𝜇𝑒2⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=（）A．−4B．−2C．2D．4【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在7×5正方形网格中，向量�

�，𝑏⃗满足𝑎⊥𝑏⃗，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．2𝑎+32𝑏⃗B．−2𝑎−32𝑏⃗C．−3𝑎+12𝑏⃗D．3𝑎−12𝑏⃗【题型3向量的线性运算】【方法点拨】向量的数乘运算类似于实数

运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）3(𝑎+𝑏⃗)−2(𝑎−𝑏⃗)−𝑎=（）A．5𝑎B．5𝑏⃗

C．−5𝑎D．−5𝑏⃗【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知𝑎=2𝑒，𝑏⃗=−3𝑒，𝑐=6𝑒，则3𝑎−2𝑏⃗+𝑐等于（）A．18𝑒B．−3𝑒C．20𝑒D．−18𝑒【变式3-

2】（2022·全国·高三专题练习）3(2𝑎−𝑏⃗)−2(𝑎+3𝑏⃗)的化简结果为（）A．4𝑎+3𝑏⃗B．4𝑎−9𝑏⃗C．8𝑎−9𝑏⃗D．4𝑎−3𝑏⃗【变式3-3】（2022·高一课时练习）(𝑎+2𝑏⃗)+2(𝑎−𝑏⃗)等于（）A．2𝑎B．3𝑎C．−�

�⃗D．0⃗【题型4用已知向量表示相关向量】【方法点拨】用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解

.【例4】（2022·高一课时练习）如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，点E是𝐴𝐶的三等分点(𝐸𝐶=13𝐴𝐶)，则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．13𝑎−23𝑏⃗B．23𝑎−13𝑏⃗C．13𝑎+23𝑏⃗D．23𝑎+1

3𝑏⃗【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐，则𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．−𝑎+𝑏⃗+𝑐B．−𝑎+𝑏⃗−𝑐C．𝑎+�

�⃗+𝑐D．𝑎−𝑏⃗+𝑐【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为（）A．𝑎+

𝑏⃗B．𝑎−𝑏⃗C．𝑏⃗−𝑎D．−𝑎−𝑏⃗【变式4-3】（2022秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐，则向量𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为（）A．𝑎+𝑏⃗+𝑐B

．𝑎−𝑏⃗+𝑐C．𝑏⃗−𝑎+𝑐D．𝑏⃗−𝑎−𝑐【题型5向量共线定理的应用】【方法点拨】向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已

知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.【例5】（2022·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则下列结论正确的是（）A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC

外部C．点P在直线AB上D．点P在直线AC上【变式5-1】（2022·高一课时练习）𝑃是△𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑃点必在（）A．△𝐴𝐵𝐶内部B．在直线𝐴𝐶上C

．在直线𝐴𝐵上D．在直线𝐵𝐶上【变式5-2】（2022春·湖南长沙·高二阶段练习）已知𝑎，𝑏⃗为不共线的非零向量，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+5𝑏⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑎+8𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑎−3𝑏⃗，则（）A．𝐴，𝐵，𝐶三点共线B．𝐴，�

�，𝐷三点共线C．𝐵，𝐶，𝐷三点共线D．𝐴，𝐶，𝐷三点共线【变式5-3】（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗＝𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+

𝜆(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),𝜆>0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【题型6向量线性运算在三角形中的运用】【方法点拨】结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.【例6】（20

22春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是𝐷

𝐹，𝐴𝐺，𝐵𝐻，𝐶𝐸的中点，若𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，则2𝑥+𝑦等于（）A．25B．45C．1D．2【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”

，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗，设𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗，则�

�=（）A．√5+12B．√5−12C．−√5+12D．1−√52【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形

为正五边形，且𝑃𝑇𝐴𝑇＝√5−12.下列关系中正确的是（）A．𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=√5+12𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗C．𝐸𝑆⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗D

．𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=√5−12𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝐸在线段𝐵𝐷上，且𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3�

�𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆,𝜇∈𝑅)，则（）A．𝜆=12𝜇B．𝜆=2𝜇C．𝜆=3𝜇D．𝜆=13𝜇