【文档说明】贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，830.326 KB，由管理员店铺上传

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高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页。考试结束后，请将答题卡交回。满分150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名

、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。在每小题

给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设21iiiz+=+，则z的实部与虚部之和是（）A．2B．1C．－1D．02．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形ABCD，如图所

示，则该平面图形的面积是（）A．1B．2C．2D．223．已知,,abc是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若,⊥⊥，则∥B．平面内有不共线的三个点,,ABC到平面的距离相等，则∥C．若,abac⊥⊥，则bc∥D．若,

,,,abcc==∥与,不相交，则cab∥∥4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设{2A=名全是男生},{2B=名全是女生},{C=恰有一名男生},{D=至少有一名男生}

，则下列关系不正确的是（）A．ADB．BD=C．ACD=D．ABBD=5．若()1sin1,lgtan1,2abc===，则（）A．cbaB．bacC．bcaD．acb6．已知向量,ab满足3,2ab=

=，且34,55abab−=，则ab+=（）A．3B．19C．7D．57．设xR，则“2x”是“()ln21x−”的（）条件。A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要8．在ABC△中，内角,,AB

C所对的边分别是,,abc，若3π4A=，且ABC△外接圆的直径为4，则ABC△面积的最大值是（）A．21−B．21+C．222−D．222+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格．成绩8095100105110115123人数2335421下列结论正确的是（）A．这20人成绩的众数为105B．这20人成绩的极差为4

3C．这20人成绩的25%分位数为95D．这20人成绩的平均数为9710．已知函数()ln1ln1fxxx=+−−，则下列有关该函数叙述正确的有（）A．()fx是偶函数B．()fx是奇函数C．()fx在()1,1−上单调递增D．()fx的值域为()0,+11．已知函数()()

20fxxaxba=++有且只有一个零点，则下列结论正确的是（）A．224ab−B．2104ab+C．不等式20xaxb++的解集为D．若不等式24xaxb++的解集为()12,xx，则124xx−=12．已知函数()()()sin0,0,0πfxAxA=+

的部分图象如图所示，令()()25π2sin12gxfxx=−++，则下列说法正确的有（）A．()fx的最小正周期为πB．()gx的图象关于直线π6x=对称C．()gx在π0,2上的值域为11,2−D．()gx的单调递增区间为()π5ππ,π

36kkk++Z第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为,ab，则3ab−的概率是___

。14．已知πsin222sincos4+=+，则23cosπ4+的值是______．15．在四面体ABCD中，,,4,43ABBCCDBCBCABCD⊥⊥===，且异面直线AB与CD所成的角为60，则四面体ABCD的外接球的表面积为__

____．16．已知()fx是定义在R上的偶函数，当12,0,xx+［），且12xx时，()()()1212124fxfxxxxx−+−恒成立，()216f=，则满足()()2ln4lnfmm的m的取值范围为______．四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）17．（本小题满分10分）对某校高一年级第二学期第一次月考的2000名考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为40,50,50,60,60,70［）［）［），70,80,8

0,90,90,100,60［）［）分以下视为不及格。观察图形中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在70,80［）内的频率，并计算本次月考中不及格考生的人数；（Ⅱ）从频率分布直方图中，分别估计本次月考成

绩的众数和中位数。18．（本小题满分12分）已知命题：“{11}xxx−∣，使等式240xxm−−=成立”是真命题。（I）求实数m的取值集合M；（II）设不等式()()20xaxa−+−的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围。19．（

本小题满分12分）设两个向量,ab满足1,2ab==。（Ⅰ）若()()23abab+−=−，求a与b的夹角；（Ⅱ）若,ab的夹角为（Ⅰ）中的，向量tab+与2atb+的夹角为锐角，求实数t的取值范围。20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，90,30,45ABC

ACDBCACDA====，PA⊥平面,,ABCDEF分别为,PDPC的中点，2PAAB=。（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角EACB−−的大小。21．（本小题满分12分）ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,a

bc，满足π3cossin2BabA−=。（Ⅰ）求B；（Ⅱ）ABC的角平分线与AC交于点,3DBD=，求2ac+的最小值。22．（本小题满分12分）如果对于函数()fx的定义域内任意的12,xx，都有()()1212fxfxxx−−成立，那么就称函数()fx是定义域上的“平缓函数”．

（Ⅰ）判断函数()21,0,1fxxxx=−+是否是“平缓函数”；（Ⅱ）若函数()fx是闭区间0,1上的“平缓函数”，且()()01ff=，证明：对于任意的12,0,1xx，都有()()1212fxfx−成立。

贵阳一中2023级高一年级教学质量监测卷（四）数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDDDCBBC【解析】1．由题意可得()()()221i1i1i2iiiii1i

1i12z+++=====−+−−+−，故选C．2．1ADAB==，所以2OD=，还原如图所示：则222,1ODODAB===，所以平面图形ABCD面积12222SABOD===，故选D

．3．因为,,abc是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，对于A，若,⊥⊥，则与可能相交，故A错误；对于B，∥或与相交，故B错误；对于C，相交或平行或异面，故C错误；对于D，由两平面

平行的性质定理知ab∥，由已知,,abc共面且无公共点，所以abc∥∥，故选D．4．至少有1名男生包含2名全是男生，1名男生1名女生，故,ADACD=，故A,C正确；事件B与D是互斥事件，故BD=，故B正确；AB表示的是2名全是男生或2名全是女生，BD表示

2名全是女生或名至少有一名男生，故ABBD，D错误，故选D．5．因为π1sin1sin62=，所以ac，因为tan1tan3π3=，所以()1lgtan1lg3lg102=，即bc，综上，bca，故选C．

6．向量,ab满足34343,2,,,,,155325532ababababab==−=−=−=，两边平方可得：2211943abab+−=，即()221,3,3abababab−==+=+222942319abab=

++=++=，故选B．7．由()ln21x−，得到02ex−，即2e2x+，所以()ln21x−时，能得出2x，当2x时，不妨取3e2x=+，此时()3ln2lne31x−==，故2x时，得不出()ln21x−，所以是“2x

”是()ln21x−的必要不充分条件，故选B．8．由于3π4A=，且ABC△外接圆的直径为4，所以22sin4222aRA===。由余弦定理得2222282cos2,842abcbcAbcbcbc==+−=++−，则22224Sbc=−，故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每

小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABBCACDACD【解析】9．根据表格可知：这20人成绩的众数为105，故A对；极差为1238043−=

，故B对；又2025%5=，所以25%分位数为()1951009752+=．，故C错；平均数为80295310031055110411521231031520++++++=．，故D错，故选AB．10．函数()ln1ln1fxxx=+−−，由1010x

x+−，解得1x，因此()fx的定义域为()()(),11,11,−−−+，显然()()ln1ln1fxxxfx−=−−+=−，函数()fx是奇函数，A错误，B正确；函数()12lnln111xfxxx+==+−−，显然lnyx=在()0,+单调递

增，当11x−时，()2ln11fxx=−−，函数211yx=−−在()1,1−上单调递增，于是()fx在()1,1−上单调递增，C正确；当1x−或1x时，()2ln11fxx=+

−，函数211yx=+−在()(),1,1,−−+上单调递减，于是()fx在()(),1,1,−−+上单调递减，图象如图所示，所以值域为R，故D错误，故选BC．11．因为()()20fxxaxba=++有且只有一个零点，所以

240ab=−=，即240ab=。对于选项A，因为()222244420abbbb−−=−−=−−，所以224ab−，故选项A正确；对于选项B，因为21114244abbbbb+=+=，当且仅当1,22ba==时，等号成立，故选项B错误；对于选项C，因为

240ab=−=，所以不等式20xaxb++的解集为，故选项C正确；对于选项D，因为不等式24xaxb++的解集为()12,xx，所以方程240xaxb++−=的两根为12,xx，且1212,4xxaxxb+=−=−，所以()()

222121212444416164xxxxxxabab−=+−=−−=−+==，故选项D正确，故选ACD．12．对于函数()()()sin0,0,0πfxAxA=+，由图可知5π332π3,123π44AT=−−==，则2=，所以()()()

3sin20πfxx=+，又5π5π3sin231212f=+=−，所以π5π22π,122kk+=−+Z，解得4π2π,3kk=−+Z，又0π，所以23=

；则()2π3sin23fxx=+，所以()22π5π3sin22sin132gxxx=+−++13133sin2cos2cos2cos2sin2cos22223π2xxxxxx

=−+−=−=+．对于()Afx：的最小正周期为2ππ,2=，A正确；对于B：对于()gx，令2π,π3xkk+=Z，得()gx的对称轴方程为()Bππ,26kxk=−Z错误；对于C：当0π2x时，3ππ4π233x+，所以11cos

232πx−+，即()gx在0,π2上的值域为11,2−，C正确；对于D：令,ππ2π22π2π3kxkk+++Z，解得ππ5ππ,36kxkk++Z，

即()gx的单调递增区间为()5π6ππ,π3kkk++Z，D正确，故选ACD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案56151680π或208π221,ee【

解析】13．同时抛掷两枚骰子共有6636=种结果，其中满足3ab−有：()()()1,1,2,2,3,3，()()()()()()()()()()()4,4,5,5,6,6,1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3,4,5,5,4，()()()()()()()()(

)()()5,6,6,5,1,3,3,1,2,4,4,2,3,5,5,3,4,6,6,4,1,4，()()()()()2,5,3,6,4,1,5,2,6,3，共30种结果，所以3ab−的概率为305366=．14

．因为sin2cos222cossinsincossinπcos4+==−=++，所以()21cossin12sincos1sin28−=−=−=，所以7sin28

=，因为2332cosπ1cosπ2sin242+−=+=，所以()23115cosπsin214216+=+=15．将四面体补形为直三棱柱如图所示（设,OO

为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）：图甲中60ABD=，图乙中120ABD=，在图甲乙中可知：,,BCABBCBDABBDB⊥⊥=，所以BC⊥平面ABD，图甲乙中取OO的中点O，连接OB，

则O为四面体ABCD的外接球的球心，OB为外接球的半径，图甲中11222OOOOBC===，且ABD△为等边三角形，所以124cos30ABBO==，所以'2'2224225ROBOOBO==+=+=，所以外接球的表面积为24

π80πSR==；图乙中，11222OOOOBC===，且OBD△为等边三角形，所以43BOAB==，所以()2'2'2243252ROBOOBO==+=+=，所以外接球的表面积为24π208πSR==。16．设12xx，

由()()()1212124fxfxxxxx−+−，得()()()()()221212121244fxfxxxxxxx−+−=−，所以()()22112244fxxfxx−−，令()()24gxfxx=−，则()()12gxgx，所以函数()gx在)0,+上单调递增，因为()fx是

定义在R上的偶函数，所以()()fxfx−=，所以对任意的()()()()()22,44xgxfxxfxxgx−=−−−=−=R，所以，函数()gx为R上的偶函数，且()()2224216160gf=−

=−=，由()()2ln4lnfmm，可得()()2ln4ln0fmm−，即()()ln2gmg，即ln2m，所以2ln2m−，解得221,eem．四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小

题满分10分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：()00050015002000200010101a+++++=．．．．．，解得003a=．，所以分数)70,80内的频率为0031003=．．，本次月考

中不及格考生的人数为：()00050015102000400+=．．（人）．（Ⅱ）由题意得：因为成绩在)70,80的频率最大，又7080752+=，所以众数为75分；设中位数为x，则7000501502030510x−+++=．．．．．，解得2203x=，所

以中位数为220318．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，方程24mxx=−在()1,1−上有解，令()()2411fxxxx=−−，只需m在()fx值域内，易知()fx值域为1,516−，m的取

值集合为1516Mmm=−（Ⅱ）由题意，MN，显然N不为空集。①当2aa−，即1a时，()2,Naa=−，121651aaa−−，5a；②当2aa=−，即1a=时，N=，不合题意舍去；③当2aa−，即1a时，(),2Naa=−。25116

1aaa−−，3a−；5a或3a−19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()2223,23ababaabb+−=−−−=−，又1,2,1,cos1abababab

=====，1cos2=，又0,π,3π=（Ⅱ）,ab的夹角为60且1,2ab==，1cos601212abab===，向量tab+与2atb+的夹角为锐角，()()20tabatb++且tab+与2atb+不共线，()222222620220,,

220tttatabtbtt+++++−即解得：37t−+或37t−−且2t且2t−，()()(),3737,22,t−−−−++。20．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：PA⊥平面,ABCDCD平面ABCD，CDPA⊥又90,ACDCDAC=⊥，

,PAACACD=⊥平面PAC，又在PCD△中，,EF分别为,PDPC中点，故,EFDCEF⊥∥平面PAC，EF平面AEF，平面PAC⊥平面AEF（Ⅱ）解：如图，取AD的中点M，连接EM，取AC的中点

H，连接,EHMH，由,EMPAPA⊥∥平面ABCD，可得EM⊥平面ABCD，又,MHCDCDAC⊥∥，可得MHAC⊥，因为MH是斜线EH在平面ABCD上的射影，由三垂线定理可得ACEH⊥，所以EHM是二面角EACD−−的平面角，在ABC△中，设1AB=，则2,90,30PAABCA

CB===，可得2AC=，在ACD△中，90,45ACDADC==，可得2CD=，在直角三角形EHM中，1MHEM==，可得，45EHM=，则二面角EACB−−的大小为135。21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由π3cossin2BabA−=得：3sinsin2BabA=，由正弦定

理得：3sinsinsinsin2BABA=，由()0,,,2π0π2BA，有sin0,sin02BA，化简得3cos22B=，得π26B=，所以π3B=。（Ⅱ）由ABCABDBCDSSS=+△△△，得111sin3sin3sin23

266πππ2acac=+，即333444acac=+，得111ac+=，()112223322,caacacacac+=++=+++当且仅当2accaacac=+=，即21221ac=+=+时等号成立，所以2ac+的

最小值为322+．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）对于任意的12,0,1xx，有12111xx−+−，即1211xx+−，从而()()()()221211221212121fxfxxxxxxxxxxx−=−−−

=−+−−，所以函数()21,0,1fxxxx=−+是“平缓函数”．（Ⅱ）当1212xx−时，由已知，得()()121212fxfxxx−−；当1212xx−时，因为12,0,1xx，不妨设1201xx，

所以1212xx−−因为()()01ff=，所以()()()()()()121201fxfxfxfffx−=−+−()()()()1201fxfffx−+−1201xx−+−121111,22xx=−+−+=所以对任意的12,0,1xx，都有()()1212fx

fx−成立．