【文档说明】山东省德州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.616 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是()2,1−，则iz的虛部为（）A.2iB.2C.2i−D.2−【答案】D【解

析】【分析】利用复数的几何意义及复数的乘法运算，结合复数的概念即可求解.【详解】因为复数z对应的点的坐标是()2,1−，所以2iz=−+，所以()2i2ii=2ii2i112iz=−+−+=−−=−−，故iz的虛部

为2−.故选：D.2.已知()2,3AB=，()3,ACt=，ABBC⊥，则t=（）A.73B.92C.37D.3−【答案】A【解析】【分析】先求出()1,3BCBtACA−==−，再由垂直得到方程，求出答案

.【详解】由题意得()()()2,31,33,BAtCtCAB=−−==−，故()()()2,31,3233370ABBCttt=−=+−=−=，解得73t=.故选：A3.已知cos26π2sin4=−−，则πcos4−=（）A.24B.24−C.64

−D.64【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简即可.【详解】πππsin22sincoscos26244πππ2sinsinsin444−−−−−===−−−−

所以πcos4−=64.故选：D4.已知()2,1a=−，()2,3b=−−，则b在a上的投影向量是（）A.213313,1313−−B.21,55−

C.213313,1313−D.21,55−【答案】B【解析】【分析】根据b在a上投影向量是2·cosaabbaaa=计算即可解决.【详解】由题知，(2,1),(2,3)ab=

−=−−，所以·431,415aba=−==+=，设a与b夹角为，所以b在a上的投影向量是()2·121cos2555aabbaaa==−=−，1，.故选：B5.在ABC中，5BC=，D为BC上一点，且23BDDC=，若33ABACAD==，则AD的长度为（）A

.5B.15C.302D.3【答案】B的【解析】【分析】求出BD的长，设ACm=，则3ADm=，()30ABmm=，利用余弦定理可得出关于m的等式，求出m的值，即可求得AD的长度.【详解】在ABC中，5BC=，D为BC上一点，且23BDDC=，

则3BD=，因为33ABACAD==，设ACm=，则3ADm=，()30ABmm=，由余弦定理可得222222cos22ABBDADABBCACBABBDABBC+−+−==，即2222993925233235mmmmmm

+−+−=，解得5m=，故315ADm==.故选：B.6.已知平行四边形ABCD中，8AB=，4AD=，π3A=．若点M满足15AMMB=，点N为AB中点，则()DMDADN+=（）A.6B.12C.24D.30【答案】C【解析】【分析】将向量DM、DA、DN用

基底,ABAD表示，结合平面向量数量积的运算性质可求得()DMDADN+的值.【详解】如下图所示：因为15AMMB=，则16AMAB=，又因为点N为AB的中点，则12ANAB=，16DMAMADABAD=−=−，1222DADNADANADANADABAD+=−+−=

−=−，所以，()2211152262126DMDADNABADABADABABADAD+=−−=−+222215π151cos2884242412631262ABABADAD=−+=−+=.故选：C.7.三国时期的数学家刘徽在对《九章算数》作注时，

给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率π约为355113，这一数值与π的误差小于八亿分之一．现已知π的近似值还可表示为4sin52，则222π16π8sin44323sin22−−−的值为（）A.83−B.8−C.8

D.83【答案】C【解析】【分析】将4sin52代入222π16π8sin44323sin22−−−，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】由题意，将4sin52代入222π16π8sin44323sin22−−−，可得222221

6()8sin442()8sin44323sin4sin524sin524sin524cos22323sin2522−−−=−−()22216sin60448sin4432sin52cos528sin4416sin1048sin44323sin22

323sin22323sin22+−−−===−−−2222(83cos44)83cos8sin448sin44sin228323sin22323si4483(12n22323)sin22+

−====−−−−.故选：C.8.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，记以a、b、c为边长的三个正三角形的面积分别为1S、2S、3S且12332SSS−+=，若3bc=，22cos3C=，则ABC的面积为（）A.24B.22C.2D.22【答案】A【解析】【分析】根据三

角形的面积公式、余弦定理结合已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，求出sinC的值，利用三角形的面积公式可求得该三角形的面积.【详解】因为2211π3sin234Saa==，同理可得2234Sb=，2334Sc=，所以，()222123334

2SSSabc−+=−+=，所以，2222acb+−=，①22222cos23abcCab+−==，即222423ababc+−=，②又因为3bc=，③，联立①②③可得3a=，62b=，22c=，因为22cos3C=，则C为

锐角，且21sin1cos3CC=−=，因此，11612sin322234ABCSabC===△.故选：A.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分．）9.已知复数34iz=+，则（）A.z的共轭复数是34i−B.2z对应的点在第二象限C.izz=D.若复数0z满足01zz−=，则0z的最大值是6【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，由共轭复数的定义即可判断；对于选项B，先

求2z，再判断2z对应的点所在的象限；对于选项C，分别求出z和iz即可判断；对于选项D，可用复数模的三角不等式求解，或用复数模的几何意义转化为圆上的点和定点的距离的最值问题来求解.【详解】对于选项A，由复数34iz=+，得z的共轭复数是34i−，故选项A正确.对于选项B，由复数

34iz=+，得()()22234i924i4i924i16724iz=+=++=+−=−+，所以2z对应的点为()7,24−在第二象限.故选项B正确.对于选项C，34iz=−，()2i34i3i4i43iiz=+=+=−+，故选项C错误.对于选项D，解法一：因为22345z=+

=，利用复数模的三角不等式得00156zzzz−+=+=.解法二：如图，因为34iz=+在复平面上对应的点为()3,4A，01zz−=表示在复平面上0z对应的点到()3,4的距离等于1，所以0z表示的点的轨迹为圆心在()3,4，半径

等于1的圆.因为1PA=，22345OAz==+=，所以当0z对应的点在P处时，0z的最大值为156OPPAOA=+=+=.故选项D正确.故选：ABD10.关于平面向量，下列说法不正确的是（）A.若abbc=，则ac=B.两个非零向量a，b，若abab−=+，则a与b共线且反向C

.若向量2tab+与向量23ab+共线，则43t=D.若()1,2a=，()1,1b=−，且a与ab+的夹角为锐角，则()5,−+【答案】ACD【解析】【分析】AC选项，可举出反例；B选项，由abab−=+两边平方后化简得到cos

,1ab=−，故a与b共线且反向，B正确；D选项，根据两向量夹角为锐角得到不等式组，求出的取值范围.【详解】A选项，设()()()1,0,0,0,0,1abc===，满足abbc=，但ac，A错误；

B选项，abab−=+两边平方得，()()22abab−=+，即222222aabbaabb−+=++，即abab−=，又cos,ababab=，故cos,ababab−=−，故cos,1ab=−，所以a与b共线且反向，B正确；C选项，可设()()3,0,2,0ab

=−=，此时向量23ab+为零向量，不论t为何值，向量2tab+与向量23ab+共线，C错误；D选项，()()()11,12,1,2ab−=+−+=+，因为()1,2a=a与ab+的夹角为锐角，所以(

)()()01,2,21aab+=−+且ab+与a不同向共线，即()()2120−−+，解得()()5,00,−+，D错误.故选：ACD11.已知函数()()π2sin06fxx=+，方程()1fx=在区间0,π上有且仅有

3个不等实根，则（）A.的取值范围是82,3B.()fx在区间为π0,4上单调递增C.若Z，则直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴D.在区间()0,π上存在1x，()212xxx，满足(

)()124fxfx+=【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函数的性质及条件可得ππππ666x++，即283<，然后结合三角函数的图象和性质逐项判断即得.【详解】因为方程()1fx=在区间0,π上有且仅有3个不等实根，所以方程π1

sin62x+=在区间0,π上有且仅有3个不等实根，因为0,π,0x，所以0πx，则ππππ666x++，令π6tx=+，则πππ66t+，由题意，函数sinyt=πππ66t+与函数12y=有3个交点，画出sin

yt=图像进行分析:由图象易知13ππ17ππ666+，解得283<，即的取值范围是82,3，故A正确；若Z，则2=，此时()π2sin26fxx=+，令ππ2π62xk+=+，

kZ，得ππ26kx=+，kZ，所以()fx的图象关于直线ππ26kx=+(kZ)对称，当2k=时，7π6x=，即直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴，故C正确；由min2=，此时π0,4x，ππππ26626x++，所以()fx在π0,4上不单调

递增，故B错误；因为()yfx=在区间()0,π上存在1x，()212xxx，满足()()124fxfx+=，所以()fx在()0,π上至少有两次最大值，因为π()0,x，所以ππππ666x++，当

723时，此时13ππ5ππ662+，函数()fx在()0,π上只有1个最大值，当7833时，此时5ππ17ππ266+，函数()fx在()0,π上有2个最大值，所以在区间()0,π上不一定存在1x，()212xxx，满足()()124fxfx+

=，故D错误；故选：AC.12.已知函数()()fxxD，若存在非零常数T，xD，都有()()fxTfx+成立，我们就称函数()fx为“T不减函数”，若xD，都有()()fxTfx+成立，我们就称函数()fx为“严格T增函数

”．则（）A.函数()()cossinfxxxD=−=R是“T不减函数”B.函数()()π2sin2π60,fxxD==+为“严格π6−增函数”C.若函数()()2sinfxkxxD=+=R是“π

2不减函数”，则k的取值范围为2,π+D.已知函数()eexxgx−=−，函数()()ygfx=是奇函数，且对任意的正实数T，()fx是“严格T增函数”，若()π3fa=−，()3πfb=，则0ab+=【答案】ACD【解析】【分析】根据“T

不减函数”和“严格T增函数”的概念与性质，结合三角函数的性质计算即可判断AB；根据函数新定义，结合不等式恒成立，即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性可得ab=−，即可判断D.【详解】A：()πcossin2sin4fxxxx=−=−−

，则()π2sin4fxTxT+=−−+，()()ππ2sin2sin44fxTfxxxT+−=−−−+，当2πT=时，ππ2sin2sin44xxT−=−+，所以()

()fxTfx+，所以函数()fx是“T不减函数”，故A正确；B：函数()π2sin26fxx=+，则ππππ2sin22sin26666fxxx−=−+=−，得()πππ2sin22sin2666fxfxxx

−−=−−+3sin2cos23sin2cos22cos2xxxxx=−−−=−，由0πx，得022πx，所以1cos21x−，所以()π06fxfx−−即()π6fxfx−在[0,]上不恒成立，故函数()fx不是“严

格π6−增函数”，故B错误；C：因为函数2()sinfxkxx=+是“π2不减函数”，所以()π2fxfx+对Rx恒成立，22ππsinsin22kxxkxx++++对Rx恒成立，得22πcossin2kxx+，即()()22222si

ncos12cosππkxxx−=−对Rx恒成立，又2min(cos)0x=，所以()2max2212cosππx−=，则2πk，即实数k的取值范围为2,π+，故C正确；D：函数()gx的定义域为R，()ee()

xxgxgx−−=−=−，所以函数()gx为奇函数，得(())(())gfxgfx−=−，又函数(())ygfx=为奇函数，得(())(())gfxgfx−=−，所以(())(())gfxgfx−=−.又函数exy=和exy−=−在R上单调递增，所以函数()

gx在R上单调递增，所以()()fxfx−=−，即函数()fx为奇函数，又函数()fx为“严格T增函数”，()()ππ,33fafb=−=，所以()()ππ033fafb+=−+=，得()()()fafbfb=−=−，则ab=−，即0ab+=，故D正确

.故选：ACD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学

知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知A，B，C三点共线，若423OAOBOC=+，则=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量共线的充要条

件计算即可.【详解】因为A，B，C三点共线，故有()1OAxOByOCxy=++=而423OAOBOC=+，故2434xy==，解之得11,42x==.故答案为：1214.将函数()()πsin013fxx=+的图象向左平移π2个单

位长度后得到曲线C，若曲线C关于y轴对称，则曲线C的一个对称中心为______．【答案】3π,02（对称中心坐标为()3π3π,02kk+Z）【解析】【分析】求出曲线C对应的函数解析式，根据函数的对称性可求得的值，再利

用正弦型函数的对称性可求得曲线C的对称中心坐标，即可得解.【详解】将()fx的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，则曲线C对应的函数解析式为ππππsinsin2323yxx=++=++，由题意可知，函数()ππsin0123yx

=++为偶函数，则()ππππ232kk+=+Z，解得()123kk=+Z，因为01，则13=，所以，()πsin33xfx=+，曲线1π1sin=cos323Cyxx=+：由()ππ32xkk=+Z可得()3π3π2xkk=+Z，所以

，曲线C的一个对称中心为3π,02.故答案为：3π,02.15.已知为锐角，且满足223cossin2230−+−=，则4tan5=______．【答案】3【解析】【分析】利用三角恒等变换得到πcos216+

=−，结合为锐角求出5π12=，得到答案.【详解】21cos223cossin22323sin2232+−+−=−+−π3cos2sin222cos226=−+=++，故π2

cos2206++=，即πcos216+=−，因为π0,2，所以72πππ666,+，故2ππ6+=，解得5π12=，则4πtantan353==.故答案为：31

6.已知函数()πsin26fxx=+，若任意ππ,43−，存在π,3t−，满足()()0ff+=，则实数t的取值范围是______．【答案】π,12+【解析】【分析】由ππ,43−，求得π3sin(2),16

2+−，根据题意得到()31,2f−−，再由π,3t−，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由ππ,43−，可得π2π2,23−，则ππ5π2,636+−，可得π3sin(2),16

2+−，即()31,2f−−，因为任意ππ,43−，存在π,3t−，满足()()0ff+=，31,2−是()f的值域的子集，因为π,3t−，可得2π2,23t−

，则πππ2,2626t+−+，则满足ππ263t+，解得π12t，即实数t的取值范围是π,12+.故答案为：π,12+.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知复数11iza=−

，()223izaa=+R．（1）若12zz是纯虚数，求12zz+的值；（2）若复数21zz在复平面内对应的点在直线5yx=上，求a的值．【答案】（1）1210zz+=；（2）1a=−或32a=−．【解析】【分析】（1）求得()212532izzaa=+−，根据纯虚数的定义求得0a

=，再根据模长公式求解即可；（2）求得()222123i1aazza−++=+，从而可得22223511aaaa+−=++，求解即可.【小问1详解】因为()()()2121i23i532izzaaaa=−+=+

−，要使12zz是纯虚数，需满足50a=，2320a−，解得0a=，所以11z=，23iz=．1213i10zz+=+=．【小问2详解】因为()222123i23i1i1aazazaa−+++==−+，所以复数21zz在复平面内对应的点为22223,11aaaa

−+++又因为复数21zz在复平面内对应点在直线5yx=上，所以22223511aaaa+−=++．整理得22530aa++=．解得1a=−或32a=−．故a值为1−或32−．18.已知函数

()()π2cos0,2fxx=+的部分图象如图所示．的的（1）求()fx的解析式，并求()fx的单调递增区间；（2）当2ππ,12x时，()65fx=，求cos2x值．【答案】（1）()π2cos26fxx=−，单调递增区间为()5ππ

π,πZ1212kkk−+．（2）33410−【解析】【分析】（1）根据函数部分图象及三角函数的周期的公式，利用三角函数的最值和单调性即可求解；（2）根据（1）的结论及函数值的定义，利用同角三角函数函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解.【小问1详解】由图象可得()fx的最小正周期

7ππ4π123T=−=，故2π2T==，又0，可知2=．由7π2π2π12k+=+，kZ，解得π2π6k=−，Zk，又因为π2，得π6=−，所以()π2cos26fx

x=−．由2ππ22π6πkxk−−，Zk，解得5ππππ1212kxk−+，Zk，所以函数()fx的单调递增区间为()5πππ,πZ1212kkk−+．的【小问2详解】由（1）

知()π2cos26fxx=−，因为()65fx=，所以π3cos265x−=，当2ππ,12x时，π5π20,66x−，所以2ππ4sin21cos2665xx−=−−=，ππππππcos2cos2

cos2cossin2sin666666xxxx=−+=−−−3341334525210−=−=．19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，()1,4OA=，(

)2,3OB=，(),1OCx=．（1）若A，B，C三点共线，求x的值；（2）当3x=时，直线OC上是否存在一点M，使MAMB取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．【答案】（1）4（2）存在，此时12

4,55M．【解析】【分析】（1）根据向量平行的充要条件计算即可；（2）设点M坐标，利用向量数量积的坐标表示计算，结合二次函数求最值即可.【小问1详解】由题意可得：()1,1ABOBOA=−=−，()1,3ACOCOAx=−=−−，因为A，B，C三点共线，所以ABAC∥，故()31x

−=−−，解得4x=．【小问2详解】假设直线OC上存在M点，因为3x=，所以()3,1OC=，设()3,OMOC==，则()13,4MAOAOM=−=−−，()23,3MBOBOM=−=−−．()()()()132343MAMB

=−−+−−224381016141055=−+=−+当4=5时，MAMB取最小值385，此时124,55M．20.在①coscos2BbCac=−；②11sintantan3sincosCABAB+=；③设ABC的面积为S，且()2224333Sbac

+−=．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________，23b=．（1）若4ac+=，求ABC的面积；（2）若ABC为锐角三角形，求bca+的取值范围．【

答案】（1）任选一条件，面积皆为33；（2）31,322bca+++【解析】【分析】（1）若选①，利用正弦定理可得π3B=；若选②，利用切化弦可得π3B=；若选③，利用1sin2SacB=及余弦定理可

得π3B=.后利用4ac+=及余弦定理可得ac，即可得ABC的面积；（2）由（1）及正弦定理，可得bca+31122tan2A=+，求出tan2A范围后可得答案.【小问1详解】选①，利用正弦定理化简得cossinco

s22sinsinBbBCacAC==−−，整理得sincos2sincossincosBCABCB=−，即()2sincossincoscossinsinsinABBCBCBCA=+=+=，因sin0A，故1cos2B

=，又0πB，故π3B=．选②，因为11coscoscossincossintantansinsinsinsinABABBAABABAB++=+=()sinsinsinsinsinsinABCABAB+==，所以sinsinsinsi

n3sincosCCABAB=，又sin0C，故tan3B=．又0πB，故π3B=．选③，因为()2224333Sbac+−=，即()22223sin3acBacb=+−，所以2223sin32acbBac+−=

，根据余弦定理可得3sin3cosBB=，所以tan3B=，又0πB，故π3B=．由余弦定理得()22222cos22cosbacacBacacacB=+−=+−−，即21124222acac=−−，解得43ac=，所以ABC的面积114π3sinsi

n22333SacB===．【小问2详解】由（1）知π3B=，23+=ACπ，由正弦定理得：32sinπsinsin23sinsinAbcBCaAA+−++==31cos13112sin222tan2AAA+=+=+在锐角ABC中π02A，π02C

，为即2π0π32A−，所以ππ62A，即ππ1224A．又πππtantan231234=−=−，所以23tan12A−，故31,322bca+++．21.已知O为坐标原点，对于函数

()sincosfxaxbx=+，称向量(),OMab=为函数()fx的伴随向量，同时称函数()fx为向量OM的伴随函数．（1）设函数()π4coscos1232xxgx=+−，试求()gx的伴随向量OM；（2）将（1）中函数()gx的图象向右平移π3个单位长度，再把

整个图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到()hx的图象，已知()2,3A−，()2,6B，问在()yhx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,1OM=−（2）存

在点()0,2P满足题意.【解析】【分析】（1）根据已知条件及两角和的余弦公式，利用降幂公式及伴随向量的定义即可求解；（2）根据（1）及辅助角公式，利用三角函数的平移变换及伸缩变换，结合和向量垂直的条件、三角函数及二次函数的性质即可求解.【小问1详解】()134cos

sincos122222xxxgx=−−22cos23sincos13sincos222xxxxx=−−=−+所以()gx的伴随向量()3,1OM=−．【小问2详解】()π

3sincos2cos3gxxxx=−+=+，由函数()gx的图象向右平移π3个单位长度，再把整个图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到()hx的图象，得()2cos2xhx=，假设存在点,2cos2xPx

，使得APBP⊥，则2,2cos32,2cos622xxAPBPxx=+−−−2244cos18cos18022xxx=−+−+=．即229252cos224xx−=−．又因为2

2cos22x−，13952cos2222x−−−，所以22591692cos4224x−．又因为2252544x−，所以当且仅当0x=时，292cos22x−和2254x−和同时等于254．此时()0,2P，故在函数(

)yhx=的图象上存在点P，使得APBP⊥．22.某公园有一块长方形空地ABCD，如图，2AB=，4=AD．为迎接“五一”观光游，在边界BC上选择中点E，分别在边界AB、CD上取M、N两点，现将三角形地块MEN修建

为花圃，并修建观赏小径EM，EN，MN，且2π3MEN=．（1）当π6BEM=时，求花圃的面积；（2）求观赏小径EM与EN长度和的取值范围．【答案】（1）433（2）83,263【解析】【分析】（1）由题可得6πNEC=，122BEBCEC===，后由锐角三角函数知识可得EM，

EN，即可得花圃的面积；（2）设BEM=，则π3CEN=−，则可将MEEN+化为π83sin3π2sin216+++，又令πsin3t=+，可得8314MEENtt+=−，后由πsin3t=+

范围及函数14ytt=−单调性可得答案.【小问1详解】由题可得6πNEC=，122BEBCEC===.则42663ππcoscosMENEMENE====.故1144243sinsinπ223333EMNSEMENMEN=

==△；【小问2详解】设BEM=，则π3CEN=−，结合题意可知π04ππ034−，则ππ124,.又π22coscos2,π3coscos3MEENMEEN

=−===−，则2π83sin223cos3sin3ππcos31cos2sin21sincoscos3622MEEN+++=+==−+++，令πsin3t=+，则πππ2πsin2cos2co

s26623+=−++=−+22π2sin1213t=+−=−，所以283831414tMEENttt+==−−，又ππ124,，所以π5π7π,31212+，因sinyx=在5ππ,122上

单调递增，在7212π,π上单调递减，75621212434ππππsinsinsin+==+=，则π62sin,134t++=.因为函数14,yxyx==−均在62,14+

上单调递增，则函数14ytt=−在62,14+上单调递增，所以12243tt−≤≤.所以838326134MEENtt+=−，即观赏小径EM与EN长度和的取值范围为83,263

．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com