【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期模拟数学试题 含解析 .docx，共(23)页，2.518 MB，由小赞的店铺上传

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衡阳市八中2024届高三上学期数学模拟试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设集合1Axx=，集合Bxyx==，则AB=（）A.()1,1−B.(

)0,1C.)0,1D.()1,+【答案】C【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,AB，再求交集即可.【详解】根据题意，可得11,0AxxBxx=−=，故{01}[0,1)ABxx

==故选：C.2.已知复数z满足i12i=−+z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复

数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i12i=−+z212i(12i)i2iiiz−+−+===+2iz=−，所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.函数cos2sin2yxx=+−的最小值为（）A.-2B.98−C.58−D.0【答案】B【解析

】.【分析】化简2219cos2sin2coscos12(cos)248yxxxxx=+−=+−=+−，对称轴处取最小值即可.【详解】2219cos2sin2coscos12(cos)248yxxxxx=+−=+−=+−当1cos4x=−时，取得最小值为98−

故选：B4.已知等差数列na的前5项和535S=，且满足5113aa=，则等差数列{an}的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意得到5151035Sad=+=，511413aada=+=，解得答案.【详解】5151035Sad=+=；5

11413aada=+=，解得3d=，11a=.故选：D5.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A.31824c

mB.32739cmC.33618cmD.34512cm【答案】B【解析】【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G.的根据题意，2

0cmAB=，10cmCD=，15cmAC=，6cmEC=，设cmCGx=，cmEFy=所以102015xx=+，610yxx+=解得15x=，14y=，所以()()2231π14π10π14106872π2739cm3V=+

+=，故选：B.6.已知()512myxyx+−的展开式中24xy的系数为80，则m的值为（）A.2−B.2C.1−D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)myxyxymyxyxx+−=−+−，利用二项式展开式的通项公式1

CrnrrrnTab−+=求出24xy的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)myxyxymyxyxx+−=−+−，在51(2)xyx−的展开式中，由155455(2)()(1)2rrrrrrrrx

CxyCxy−−−−−=−，令424rr−==，得r无解，即51(2)xyx−的展开式没有24xy的项；在5(2)myxy−的展开式中，由555155(2)()(1)2rrrrrrrrmyCxymCxy−−−+−=−，令5214rr−=+=，解得r=3，即5(2)m

yxy−的展开式中24xy的项的系数为35335(1)240mCm−−=−，又5(2)()xmyxy+−的展开式中24xy的系数为80，所以4080m−=，解得2m=−.故选：A.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线

2222:1(0,0−=）xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，点M是双曲线右支上一点，且2OMF△为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A.31+B.312+C.2(31)−D.312+【答案】A【解析】【分析】连

结1MF.判断出21FMFV为直角三角形，且1260FFM=，由双曲线的定义得到32cca−=，求出离心率.【详解】如图示，连结1MF.因为2OMF△为等边三角形，所以221OMMFOFOFc====.所以2260MOFOFM==.因为1OMOF=，所以11OMFOFM

=.又11260OMFOFMMOF+==，所以1130OMFOFM==，所以2190FMF=.在21FMFV中，1260FFM=，所以12tan603MFMFc==.由双曲线的定义可得：122MFMFa−=，即32cca−=，所以离心率23131cea===+−.故选

：A.8.设3103a=，ln1.03b=，0.03e1=−c，则下列关系正确的是（）A.abcB.bacCcbaD.cab【答案】C【解析】【分析】构造函数()()e1,0xfxxx=−−.利用导数判断单调性，证明出0.03e10.03−

.构造函数()()()ln1,0gxxxx=+−.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03，得到cb；构造函数()()()ln1,01xhxxxx=+−+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103，即为ba.即可得到答案.【详解】记()()e1,0x

fxxx=−−.因为()e1xfx=−，所以当0x时，()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增函数，所以当0x时，()()00fxf=，即1xex−，所以0.03e10.03−.记()()

()ln1,0gxxxx=+−.因为()11011xgxxx−=−=++，所以()gx在()0,+上单调递增函数，所以当0x时，()()00gxg=，即()ln1xx+，所以ln1.030.03.所以cb.记()()()ln1,01xhxxxx=+

−+.因为()()()2211111xhxxxx=−=+++，所以当0x时，()0hx，所以()hx在()0,+上单调递增函数，所以当0x时，()()00hxh=，即()ln11xxx++

，所以0.033ln1.0310.03103=+.所以ba.综上所述：cba..故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.立德中学举行党史知识竞赛，对全

校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x值为0.020B.这组数据

的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的平均数的估计值为77【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由(0.0050.0350.0

300.010)101x++++=，可解得0.020x=，故选项A正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；得分在80分及以上的人数的频率为(0.0300.010)100.4+=，故人数为10000.4

400=，故选项C正确；这组数据的平均数的估计值为：550.05650.2750.35850.3950.177++++=故选项D正确.故选：ACD.10.已知函数()3()sin0,2fxx=+

的部分图象如图所示，则（）A2=B.267=C.76=D.6=−【答案】AD【解析】【分析】由1(0),(0)02ff=−可求出，由7012f=结合732124TT

可求.【详解】由图可知1(0)sin2f==−且32，()()cosfxx=+，由图可知()0cos0f=，cos0，2，6=−，又77sin012126f=−=，则7,126kkZ

−=，即122,7kkZ+=，又由图732124TT，则7796T，即72796，则121877，2=.故选：AD.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光

线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:2Cyx=，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点(),2Pm射入，经过C上的点()11,Axy反射后，再经过C上另一点()22,Bxy反射后，沿直线2l射出，经过点Q，则（）A.12

14xx=B.延长AO交直线12x=−于点D，则D，B，Q三点共线C.134AB=D.若PB平分ABQ，则94m=【答案】AB.【解析】【分析】根据题设和抛物线的性质得到点1,02F，()1,2Ax，

将点A()1,2x代入抛物线C的方程得到1x，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和抛物线C得到点B的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线OA和直线12x=−得到点D，即可判断B选项，若PB平分ABQ，得到2ABQPBQ=，转化为直线PB斜率0k和直线AB的斜率的关系式

即可求出m.【详解】由题意知，点1,02F，()1,2Ax，如图：将()1,2Ax代入22yx=，得12x=，所以()2,2A，则直线AB的斜率2041322k−==−，则直线AB的方程为41032yx−=−，即42

33yx=−，联立224233yxyx==−，得281720xx−+=，解得12x=，218x=，又218x=时，212y=−，则11,82B−所以1211284xx==，所以A选项正确；又1212512188ABxx=++=++=，所以C选项错误；又知直线B

Qx∥轴，且11,82B−，则直线BQ的方程为12y=−，又()2,2A，所以直线AO的方程为yx=，令12x=−，解得12y=−，即11,22D−−，D在直线BQ上，所以D，B，Q三点共线

，所以B选项正确；设直线PB的倾斜角为（π0,2），斜率为0k，直线AB的倾斜角为，若PB平分ABQ，即2ABQPBQ=，即2=，所以22tantantan21tan==−

，则0202431kk=−，且00k，解得012k=，又01212128km−−==−，解得：418m=，所以D选项错误；故选：AB.12.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，

F，G分别是棱1,,ADDDCD的中点，则（）A.直线11,AGCE为异面直线B.113DBEFV−=C.直线1AG与平面11ADDA所成角的正切值为24D.过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9【答案】BC【解析】【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项

A；利用等体积法计算即可判断选项B；根据线面角的概念即可判断选项C；利用平面的性质即可判断选项D.【详解】对于A，连接11,,EGACAC，由题意可知//EGAC，因为11//ACAC，所以11//EGAC，所以11,AGCE共面，故选项A错误；对于B，连接11,,,,DEFBEB

EFDB，由题意可知111DFED==，，所以11111111123323DBEFBDEFDEFVVSAB−−====，故选项B正确；对于C，连接1AD，由正方体的性质可知DG⊥平面11ADDA，所以1GAD即为直线1AG与平面11ADDA所成的角，则1112tan422DGGAD

AD===，故选项C正确；对于D，连接11,,,EFFCEBBC，根据正方体的性质可得1//EFBC，且112EFBC=，所以平面1EFCB即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底2，下底为22，高为322

，所以截面面积为()1329222222S=+=，故选项D错误；故选：BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()1,2a=−，(),3bm=−，若2ab+与a共线，则m=______.【答案】32##1.5【解析】【

分析】确定()212,4abm+=−+−，根据平行得到()4312mm−=−−+，解得答案.【详解】()1,2a=−，(),3bm=−，则()212,4abm+=−+−，()2aba+∥，故()4212m=−+，解得32m=故答案为：3214.六个身高不同的人排成二排三

列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．【答案】90【解析】【分析】根据有限制的排列问题求解即可.【详解】由于六个身高不同人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法有66222222A90AAA=种．的故答案为：90.15.已知函

数1(0xyaa−=且1)a的图象过定点A，且点A在直线()280,0mxnymn+=上，则832mnm−的最小值是______.【答案】916【解析】【分析】求出函数所过的定点()1,1A，则有28mn+=，则28nm=−，则()83163282mnmmmm−=−−，化简整

理，分离常数再结合基本不等式求解即可.【详解】函数1(0xyaa−=且1)a的图象过定点()1,1A，则28mn+=，所以28nm=−，由0280mnm=−，得08m，则()()()238328382826316328

12mmmmmmmnmmmm−−−+=−−−+==−令()38,8,32tmt=+，则83tm−=，则()2283922805121688233ttmnmtttt−==−+−−−−+999512165128028022tttt=−+−=，当且仅当5122tt=，即1

6t=，即8383mn==时，取等号，所以832mnm−的最小值是916.故答案为：916.16.如图，已知抛物线C：22yx=，圆E：()2224xy−+=，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA

与直线OB的斜率之积等于2−，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．【答案】23【解析】【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点()1,0，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，

设ABl：1mxny+=，又22yx=，∴()22yxmxny=+，∴22220ynxymx−−=，∴2220yynmxx−−=．∴121222OAOByykkmxx==−=−，∴1m=，∴直线AB恒过点()1,0Q，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最

大时，即当直线ABQE⊥时，弦长最短，此时弦JI最小为()22421−−=23．故答案为：23四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17.在①2cs2ocAab=−，②()cos2cosbCacB=−中任选一个作为已知条件，补充在下

列问题中，并作答．问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若ABC的外接圆半径为2，且1coscos8AC=−，求ac．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）π3B=（2）6ac=【解析】【分析】（1）选①

利用余弦定理即可求出；选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案；（2）首先求出3sinsin8AC=，再利用正弦定理整体求出即可.【小问1详解】选择条件①：因为2cs2ocAab=−，在ABC中，由余弦定理可得222222bcacabcb+−−=，

即222acbac+−=，则2221cos222acbacBacac+−===，因为(0,π)B，所以π3B=.选择条件②：因为cos(2)cosbCacB=−，在ABC中，由正弦定理可得sincossincos2sincosBCCBAB+=，即sin()2s

incosBCAB+=，则sin2sincosAAB=，因为(0,π)A，所以sin0A，则1cos2B=，因为(0,π)B，所以π3B=.【小问2详解】因为π3B=，所以2π3AC+=，则1cos()2AC+=−，即1coscossinsin2ACAC−=−，又1coscos

8AC=−，所以113sinsin288AC=−=.因为ABC的外接圆半径2R=，所以由正弦定理可得3sinsin448acAC==，所以6ac=.18.已知数列na，nb满足19a=，1109nnaa+=+，1nnba=+.（1）证明：nb是等比数列；（2）求数列()

1lgnnb−的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析；（2）111(1)442nnnS+=−−+−.【解析】【分析】（1）由等比数列的定义即可证明；（2）由错位相减法可求.【详解】（1）依题意，1111nnnnbaba+++=+109110101

011nnnnaaaa+++===++.又11110ba=+=.故nb为首项110b=，公比10q=的等比数列.（2）由（1）可知1110nnnbbq−==.所以(1)lg(1)lg10(1)nnnnnncbn=−=−=−.211(1)2(1)(1)(1)(1

)nnnSnn−=−+−+−−+−①231(1)1(1)2(1)(1)(1)(1)nnnSnn+−=−+−++−−+−②①-②得212(1)(1)(1)(1)nnnSn+=−+−+−−−1(1)1(1)(1)1(1)nnn+−−−=−−−−

111(1)(1)11(1)(1)222nnnnn+++−−−=−−=−−+−，故111(1)442nnnS+=−−+−.19.某市航空公司为了解每年航班正点率%x对每年顾客投诉次数y（单位

：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率%x和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.81iix=81iiy=81iiixy=()821iixx=−60059243837.2

93.8（1）求y关于x的经验回归方程；（2）该市航空公司预计2024年航班正点率为84%，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；（3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为12，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记

这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：经验回归直线ˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()121ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxx==−==−−【答案】（1）4ˆ652yx=−+（2）20（3）分布列见解析，()2

EX=【解析】【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出,ba，即可得解；（2）将84x=代入回归方程即可得解；（3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【

小问1详解】60059275,7488xy====，则()12143837.28757469ˆ3.8niiiniixynxybxx==−−===−−，所以ˆ74675524aybx=−=+=，所以4ˆ652yx=−+；【小问2详解】当84

x=时，20y=，所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次；【小问3详解】X可取0,1,2,3,4，()404110C216Px===，()3141111C224Px===，()22241132C228Px===，()3341113

C224Px===，()444114C216Px===，所以分布列为X01234P116143814116所以()113110123421648816EX=++++=

.20.如图所示，在梯形ABCD中，//ABCD，120BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，ADCDBCCF===．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时

，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为3．【答案】（1）证明见解析（2）M与E重合【解析】【分析】（1）可证AC⊥平面BCF，从而得到需求证的线面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设FM=()03，求出平面MAB的一

个法向量和平面FCB的一个法向量后可求二面角的余弦值，从而可求参数的值，故可得M的位置.【小问1详解】证明：设1ADCDBC===，在梯形ABCD中，过,DC分别作AB的垂线，垂足分别为,ST，∵//ABCD，120BCD=，所以1

122TBASBC===，∴2AB=，∴2222cos603ACABBCABBC=+−=，∴222ABACBC=+，则BCAC⊥．∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴ACCF⊥，而CFBCC=，CF，BC平面

BCF，∴AC⊥平面BCF．∵//EFAC，∴EF⊥平面BCF．【小问2详解】以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设FM=()03，则()0,0,0C，()3,0,0A，()0,1,0B，(),0,1M，∴()3

,1,0AB=−uuur，(),1,1BM=−．设(),,nxyz=为平面MAB的法向量，由00nABnBM==得300xyxyz−+=−+=取1x=，则()1,3,3n=−易知()1,0,0m=是平面FCB的一个法向量，∴cos,nm

nmnm==()()22111,3213334===++−−+，∵03，∴当3=时，即M与E重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为3．21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点322,2E

，左顶点为D，右焦点为F，已知点(0,2)P，且D，P，E三点共线．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线32y=的垂线，垂足为G，求证：直线AG过定点．【答案】（1）22186xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意

，列出方程组，求得22,ab的值，即可求得椭圆的方程；（2）分别当(22,0)A−和(0,6)A−时，求得直线AG的方程，联立方程组，求得交点坐标，设直线l的方程为2ykx=+，联立方程组求得1212

,xxxx+，求得直线AG的方程，令0x=，结合1212,xxxx+化简得到22y=，即可求解.【小问1详解】解：由题意，将点32(2,)2E代入椭圆的方程，可得229221+=ab，又由(0,2)P是y轴上一点，且,,

PDE三点共线，可得所以3222020()20−−=−−−a，解得22a=，代入229221+=ab，可得26b=，所以椭圆C的方程为22186xy+=.【小问2详解】解：当(22,0)A−时，此时直线l的方程为122yx=+，联立方程组221221

86yxxy=++=，解得22x=−或2x=，可得322,2B，此时(2,32)G，直线AG的方程为22yx=+，当(0,6)A−时，同理可得(0,6)B，此时(0,32)G，可得直线AG的方程

为0x=，由220yxx=+=，解得0,22xy==，即两直线的交点为(0,22)，下面证明直线AG经过y轴上定点(0,22)．设直线l的方程为2ykx=+，联立方程组222186ykxxy=++=，整理得()2

24382160++−=kxkx，设()()1122,,,AxyBxy，则()12122228216,,,324343−−+==++kxxxxGxkk，所以直线AG的方程：()12123232−−=−−yy

xxxx．令0x=，可得2121211212323232−+−=+=−−xyxxxyyxxxx()12112121212322322−+−−==−−xxkxxxkxxxxxx．因为()1212216234−==++kkxxxxk，所

以()12121212123222222222−−+−===−−xxxxxxyxxxx．所以直线AG过定点(0,22)．22.已知函数()()lne1=+−−fxxmx（mR，e2.718281）（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若

关于x的不等式()e20−+xfxx恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）当em时，()fx在()0,+上单调递增；当em时，()fx在10,em−上单调递增，在1,em+−上单调递减；（2）(,e1−+【解析】【分析】（1）求

定义域，求导，对m进行分类讨论，求出单调性；（2）参变分离后，转化为ln1eexxmxx−−−在()0,+上恒成立，对()ln1exxhxxx=−−求导，求解其最小值，最终求出m的取值范围，过程用到了同构

和隐零点的方法.【小问1详解】因为()()lne1=+−−fxxmx，其定义域为()0,+所以()()()1e1emxfxmxx+−=+−=．当e0m−，即em时，()0fx¢>，所以()fx在()0,+上单调递增；当e0m−，即em时，由()0fx¢>得：10ex

m−，所以()fx在10,em−上单调递增；()0fx得：1exm−，所以()fx在1,em+−上单调递减；综上，当em时，()fx在()0,+上单调递增；当em时，()fx在10,em−上单调递增

，在1,em+−上单调递减；【小问2详解】因为()()lne1=+−−fxxmx，()e20−+xfxx，所以()lne1e0xxmxx+−+−，所以ln1eexxmxx−−−在()0,+上恒成立．令()ln1exxhxxx=−−，则()22221ln1elnex

xxxxhxxxx−+=−+=，令()2elnxtxxx=+，则()()2120extxxxx=++，所以()tx在()0,+上单调递增．又()1e0t=，12e1e10et−=−，所以()tx在1,1e上有唯一零点0x，使()00t

x=．即0020en0lxxx+=，即0000lnexxxx=−，即001ln0000001111elnlnlnexxxxxxxx=−==，当()00,xx时，()()0,0txhx，当()0,xx+时，()()0,0txhx，所以()ln1e

xxhxxx=−−在0xx=处取得极小值，也是最小值.令()exgxx=，()()1exgxx+=，当0x时，()()1e0xgxx=+恒成立，所以函数()exgxx=在()0,+上单调递增，所以001lnxx=，即00lnxx=−，即001exx=．所以()hx的最小值()

000000000ln111e1xxxhxxxxxx−=−−=−−=，所以e1m−，即e1m+，所以实数m的取值范围是(,e1−+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com