【文档说明】上海市七宝中学2021-2022学年高一下学期5月月考数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.711 MB，由小赞的店铺上传

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上海市七宝中学2021-2022学年高一下5月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设复数z满足i32iz=+，其中i是虚数单位，则Imz=___________．【答案】－3【解析】【分析】利用复数的除法

运算化简复数z，即可求解.【详解】由i32iz=+可得：()()()32ii32i23iiiiz+−+===−−，所以Im3z=−，故答案为：3−.2.已知向量(1,)am=，(0,2)b=−，若(2),abb−⊥，则实数m=___________.【答案】-1【解

析】【分析】根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示可得答案．【详解】因为向量(1,)am=，(0,2)b=−，所以()22,22abm−=+，又()2abb−⊥，所以()()2202220abbm−=−+=，解得1m=−.故答案为：-1.3.命题“如果A，A，B，B，且

与不重合，那么AB=”是______命题．（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】由A，A，B，B可得两平面不平行，又题干中与不重合，故可得与相交，交线为AB.【详解】因为与不重合，又A，A，B，B，故与不平行

，则与相交，交线为AB，从而AB=，所以此命题是真命题.故答案为：真4.已知直线a，b和平面满足//a，b，则b与a的位置关系为______．【答案】异面或平行【解析】【分析】//a，b，则a与b没有公共点，所以a与b异面或平行【详解】如图所

示，//a，b则则a与b没有公共点，所以a与b异面或平行故答案为：异面或平行5.已知3cos5x=−，0,x，则满足条件的x=______(结果用反三角记号表示)【答案】3arccos5−【解析】【分析】由反余弦函数

直接求解.【详解】依题意可得33arccosarccos55x=−=−.故答案为：3arccos5−.6.已知复数z满足24i0z+=，则z=______．【答案】2【解析】【分析】由题得24iz=−，两边取模可得结果.【详解】由24i0z+=得24iz=−，两边取模

得24i4z=−=，即24z=，所以2z=.故答案为：2.7.在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分．【答案】8【解析】【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果．【详解】三个平面两两平行时，

可以把空间分成4部分，如图1；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分

，如图4；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．8.设mR，若z是关于x方程2210xmxm++−=的

一个虚根，则z的取值范围是____.【答案】33,+【解析】【分析】设z=a+bi，(a,b∈R)，则zabi=−也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得2

||1zm=−，从而求出结果.【详解】设z=a+bi，(a,b∈R)，则zabi=−也是此方程的一个虚根，z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，可得()22410mm=−−，即243m，则由根与系数的关系，2221zzabm=+=−，则23||13zm=−，所

以z的取值范围是：33,+.故答案为33,+.的【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.9.函数()sin2tan3fxaxbx=++满足(2)1f−=，则(2)f−=______【答案】5【解析】【分析】依题意可得s

in4tan22ab+=，代入2−，利用诱导公式求出(2)f−．【详解】解：函数()sin2tan3fxaxbx=++满足(2)1f−=，(2)sin(4)tan(2)3sin4tan231fabab−=−+−+=

−−+=，sin4tan22ab+=，则(2)sin(42)tan(2)sin4tan23235fabab−=−+−=++=+=．故答案为：5．10.如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若2BOAD==，则ABBC=__

____．【答案】6−【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设OBD=，BDa=，根据1OD=得出a和的关系，再利用坐标运算计算．【详解】解：以D为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设BDa=，OBD=，则(0,0)D，(,0)Ba−，(2

cos,2sin)Oa−+，(24cos,4sin)Aa−+，(4cos,4sin)ABa=−−，(2,0)BCa=，1OD=Q，22(2cos)4sin1a−++=，整理得：24cos3aa−=−，228cos6ABBCaa=−=−．故答案为：6−

．11.若对于任意实数m，函数()3sincosfxxx=+．在区间(,1mm+上至少存在两个不相等的实数1x，2x满足()()124fxfx=，则的最小正整数值为______．【答案】10【解析】【分析】先对函数化简得()π2sin6fxx=+，然后由()(

)124fxfx=可得()1fx，()2fx同时为函数的最小或同时为函数的最大值，再由题意可得2π312mm+−，从而可求出的范围，进而可求得答案【详解】解：()π3sincos2sin6fxxxx=+=+，因为()

()124fxfx=，则()1fx，()2fx同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为()fx在区间(,1mm+上至少存在两个不相等的实数1x，2x满足()()124fxfx=，所以1232π3π2xxT−==，故2π312mm+−，

所以3π，则的最小正整整数为10．故答案为：10．12.向量集合{|(,),,R}Saaxyxy==，对于任意a、bS，以及任意[0,1]，都有(1)abS+−，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：①集合2{|(,),}

Maaxyyx==是“凸集”；②集合2{|(,),}Maaxyyx==是“凸集；③若1A、2A都是“凸集”，则12AA也一定是“凸集”；④若1A、2A都是“凸集”，且交集非空，则12AA也是“凸集”

；⑤若集合M是“凸集”，则M一定不是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是__．【答案】①④⑤．【解析】【分析】根据题目中“凸集”的定义，结合集合的运算，证明命题的正确性；利用举反例的方法，证明命题的错误，可得答案.【详解】由题意得，若对于任意OA、OBS，线段AB上任意一点C，都有OCS，

则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析：对于①，2{|(,),}Maaxyyx==，若对于任意11(,)Axy，22(,)Bxy满足211yx，222yx，则OA、OBM，由函数2yx=的图象得对线段AB上任

意一点33(,)Cxy，都有233yx，即OCM，故M为“凸集”，①正确；对于②，取(2,1),(2,1)AB−，则线段AB上的点(0,1)C，不满足2yx，②错误；对于③，可举反例，若1{|(,),}Aaaxyyx===，2}{|(,),Aa

xyxay===−，易得1A、2A都是“凸集”，而12AA不是“凸集”，故③错误；对于④，若1A、2A都是“凸集”，则对于任意、12AA，任意[0,1]，则1(1)A+−，且2(1)A

+−，故12(1)AA+−，故12AA也“凸集”，故④正确．对于⑤，根据补集的概念知，显然正确；故答案为：①④⑤．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）是13.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条

线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面【答案】A【解析】【分析】利用平面的基本性质求解.【详解】解：由

于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A14.函数212sin4yx=−−是（）A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π2的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π

的偶函数【答案】C【解析】【分析】首先利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用周期公式和奇偶函数的定义判断即可求解.【详解】由余弦二倍角公式可得：2ππππ12sincos2cos2cos2sin24422yxxxxx=−−=−=−=−=

，所以周期为：2ππ2T==，且()()()sin2sin2fxxxfx−=−=−=−，所以是奇函数，所以函数212sin4yx=−−是最小正周期为π的奇函数，故选：C.15.动点P满足1(1)

(1)(12)3OPOAOBOC=−+−++（R），动点P一定会过ΔABC的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心的【答案】C【解析】【分析】取AB中点D，做出简图，由2OAOBOD+=化简得2(1)1233OPODOC−+=+，根据2(1)12133−++=

得P、C、D三点共线，所以点P一定会通过ABC重心.【详解】取AB中点D，做出示意图如下图所示：由图可知2OAOBOD+=，故12(1)12(1)(1)(12)333OPOAOBOCODOC−+=−+−++=+，因为2(1)12133

−++=，所以P、C、D三点共线，即点P在AB的中线CD所在直线上，所以点P一定会过ABC的重心。故选：C.【点睛】本题主要考查向量的线性运算及其应用，关键在于利用向量的加法法则将已知条件化简成三个共起点的向量的关系，利用三点共线的判定条件判断三点共线，属于中档题.16.设n是正整数，分别记方程

1nx=、()611x−=的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A与B．若存在1ZA，当2Z取遍集合B中的元素时，所得12OZOZ的不同取值个数有5个，则n的值可以是（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】

【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合B，再把选项中的值分别代入计算得到集合A，一一判断即可求解.【详解】由()611x−=，得()61cos0isin0x−=+，即221cosisin6

6kkx−=+，故22cos1isin66kkx=++，k=0，1，2，4，5，因此集合()3313133320,,,,,,,,22222222B=−−

，.当3n=时，同理得()13131,0,,,,2222A=−−−，此时不存在1ZA，当2Z取遍集合B中的元素时，所得1

2OZOZ的不同取值个数有5个，同理可知4n=，6n=时，也不满足题意，故ACD错；当5n=时，得：()224466881,0,cos,sin,cos,sin,cos,sin,cos,sin5555555

5A=，当122cos,sin55OZ=时，当2Z取遍集合B中的元素时，所得12OZOZ的不同取值个数有5个，故B正确.故选B.三、解答题（本大题共5题，满分7

6分）17.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是AB和1AA的中点，求证：四边形1FECD为平面图形．【答案】见解析【解析】【分析】证明线线平行，从而得到四点共面，则四边形1FECD为平面图形.【详解】证明：连

接EF，1CD，1AB．由E，F分别是AB，1AA的中点，可得1//EFAB．由正方体的性质知，1111//,ADBCADBC=，所以四边形11ABCD是平行四边形，所以11//ABDC，则1//EFCD，故E，C，1D，F四点共面．则四边形1FECD为平面图形.18.已知

复数()2123izaa=++−，()2231iza=−+（aR，i是虚数单位）．（1）若复数12zz−在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，求实数m的值．【答案】（1）()4,+；（2）13.【解析】【分析】（1）由复

数的减法求12zz−，根据其所在的象限可得20340aaa−−，即可求a的范围；（2）由1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，则1z也是它的根，进而可知11110{6zzzzm+==，即可求m.【详解】（1）()()()221223i231i3

4izzaaaaaa−=++−−++=+−−．∵12zz−在复平面内对应的点落在第一象限，∴20340aaa−−，解得：4a．∴实数a的取值范围是()4,+；（2）∵虚数()2123izaa=++−是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，23

0a−．∴()2123izaa=+−−也是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，∴()()()1122221113640{22623mzzazzzaam=−+=+===++−=，可得()29191313mam==+−=.

∴m的值为13.19.如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口

指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【答案】（1）123arcsin31ABC=；（2）21海里．【解析】【分析】（1）由正弦定理可得结果；（2）由余弦定理可得结果.详解】（1）根

据题意知，24AC=，31BC=，204060CAD=+=，在ABC中，由正弦定理得，2431sinsin60ABC=，解得123sin31ABC=，由<ACBC，知ABC为锐角，所以

123arcsin31ABC=．（2）由（1）得2231sincos31ABCABC=−=，在BCD△中，由余弦定理得，22233120231202131CD=+−=（海里），所以，此时甲、乙两船之闻的距

离为21海里．20.如图，设,OxOy是平面内相交成角的两条数轴，12,ee分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量12OPxeye=+，则把有序数对(,)xy叫做OP在斜坐标系Oxy中的坐标．【（1）若(1,2),(2,

),//abab==，求．（2）若60,(1,2),(1,1)ab===−，求a在b上的投影向量斜坐标．（3）若(1,1)a=，(3,1)b=，(2,1),||2cc=−，求2cos,ab的最小值．【答案】（1）4=；（2）11,22−；（3）2829.【解析】【分析】（

1）由题可得12122,2aeebee=+=+，利用向量共线的条件即得；（2）由题可知12122,aeebee=+=−+，进而可得12ab=，1b=，然后利用投影向量为的概念即得；（3）由题可得1234eeurur，然后利用向量夹角公式可得2121244cos,53eeab

ee+=+，再结合条件及函数的单调性即得.【小问1详解】∵(1,2),(2,),//abab==，∴12122,2aeebee=+=+，∴122=，即4=；【小问2详解】∵60,(1,2),(1,1)ab===−，∴12122,aeebee=+=−+，∴121211,2e

eee===，()()121212122211122222eeeeeebeae=−==+−+−−+−+=，()12112222221eeeebee=−=−+=+，∴a在b上的投影向量为()1212111211222,2abbbebeee=−+−==−+，即a在b上的

投影向量斜坐标为11,22−；【小问3详解】∵(2,1),||2cc=−，∴12(2,1)2eec=−=−，()21211222212245424eeeeeeee−=−=−+，∴1234ee

urur，又12(1,1)eea==+，12(3,1)3eeb==+，∴()()121212344eeeeeabe=++=+，()2121222eeaee=+=+，()212123106eeee

b=+=+，∴()()()22122121212124444cos,5322106ababaeeeeeeeeeeb++===+++，令12tee=，则34t，244cos,53tabt+=+，又()4448533

353tytt+==−++，在3[,)4+上单调递增，∴24428cos,5329tabt+=+，即2cos,ab的最小值为2829.21.设复平面中向量OP对应的复数为Pz，给定某个非零实数z，称向量()()()()Re,ImPPzOPzzzz=为OP的z−向量

.（1）已知()00,OAxy=，求()zOA；（2）设(,)(0,0),(1,0),(0,1)vxyxyij===rrrz−向量分别为,,OVOEOF，已知1,2△△OVEOVFSS==，求v的坐标(结果用z表示)；的（3）若对于满足1OABS=的所有,,()()AB

zOAOAzOBOB+能取到的最小值为8，求实数z的值.【答案】（1）()00(),zOAzxzy=uur（2）42,vzz=r（3）2【解析】【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析运算

；（2）根据（1）中的结论求,,OVOEOF的坐标，结合题意分析运算；（3）由（1）可得()zOAzOA=uuruur，根据面积公式和向量的相关运算整理得224()()sinzzOAOAzOBOBzOAOA+=+uuruuru

uuruuuruuruur，结合基本不等式和正弦函数的有界性分析运算.【小问1详解】∵()00,OAxy=，则00iAzxy=+，∴()0000iiAzzzxyzxzy=+=+，故()00(),zOAzxzy=uur.【

小问2详解】由（1）可得：()()()(,),(,0),(0,)zvzxzyzizzjz===rrr，即()()(),,,0,0,OVzxzyOEzOFz===uuuruuuruuur，故111,222△△OVEOVFSzzySzzx=

===，∵0,0,0xyz，则42,xyzz==，∴42,vzz=r.【小问3详解】设()11,OAxy=，由（1）可得：()11(),zOAzxzyzOA==uuruur，同理可得：()z

OBzOB=uuuruuur，则22()()zOAOAzOBOBzOAzOB+=+uuruuruuuruuuruuruuur，设OA与OB的夹角为()0,π，则(sin0,1，由题意可得：1sin12OAOB=uuruuur，

则2sinOBOA=uuuruur，故224()()sinzzOAOAzOBOBzOAOA+=+uuruuruuuruuuruuruur，当0z时，则222()()0sinzzOAOAzOB

OBzOAOA+=+uuruuruuuruuuruuruur，不合题意；当0z时，则2222444()()2sinsinsinzzzzOAOAzOBOBzOAzOAOAOA+=+=uuruuruuuruuuruuruuruuruur，当

且仅当224sinzzOAOA=uuruur，即144sinOA=uur时等号成立，即4()()sinzzOAOAzOBOB+uuruuruuuruuur，又∵(sin0,1，则4()()4s

inzzOAOAzOBOBz+uuruuruuuruuur，当且仅当sin1=时等号成立，即()()4zOAOAzOBOBz+uuruuruuuruuur，当且仅当2OAOB==uuruuur，且OAOB⊥时等号成立，由题意可得：48z=，即2z=.综上

所述：实数z的值为2.【点睛】关键点点睛：在使用基本不等式要注意基本不等式成立的条件，本题分0z和0z两种情况分析运算.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com