【文档说明】湖南省永州市2021届高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试押题卷数学试题（一）含答案.doc，共(26)页，2.157 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前永州市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数2i1iz−=+（i为虚数单位），其共轭复数为z，则z的虚部为（）A．1−B．32C．i−D．3i22．集合()()1,22,3,Mmm==+R，()()2

,31,1,Nnn==+−−R，则MN等于（）A．{(1,2)}B．{(3,5)}C．{(1,2)}−D．{(3,5)}−3．已知一元二次方程20axbxc++=有两个不同的实数根12,xx，则“124xx且124xx+”的_____________是

“12x且22x”．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若0.70.3a=，0.30.7b=，0.31.2c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．bca

D．acb此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号5．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（）A．1681B．81256C．34D．236．已知32sin()4π1

0−=(0π)，则()sincs2osinπ+−=（）A．2721−B．5164120−C．1641205D．27217．已知椭圆的方程为()222210xyabab+=，1F、2F为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为12PFF

△的内心，直线PI与x轴交于点Q，若3PQIQ=，则该椭圆的离心率为（）A．12B．13C．14D．238．在三棱锥PABC−中，已知4PA=，90BAC=，1AB=，3AC=，若三棱锥PABC−的外接球的体积为32π3，则三棱锥PABC−的体积为（）A．1B．233C．33D．2二

、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．线性回归方程ybxa=+$$$对应的直线一定经过点(),xyB．5

件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为35C．某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为100的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生

之比为4:3:3，则应从高二年级中抽取30名学生D．“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”10．已知函数()23sincos3sin2fxxxx=+−，则下列结论中错误的是（）A．点2π,03是()fx的一个对称中心点B．()fx的图象是由sin2yx=的图象向

右平移π3个单位长度得到C．()fx在π2π,23上单调递增D．12,xx是方程()302fx−=的两个解，则12minπ3xx−=11．在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则能确定B为钝角的是（）A．0ABBCB．,AC均为锐角

，且sincosACC．,AC均为锐角，且tantantan0ABC++D．222acb+12．已知函数()()112l2n2,0,0xxxfxxx−−+−=−，若()()()()1234fxfxfxfx===，且1234xxxx，则（）A．342xx+=B．121

xx=C．1112221exxe−−−−D．1122123420eexxxx−−−+++第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列na的前n项和为nS，若246820aaaa+++=，则9S=______．14．()()541212

xx−+的展开式中含3x的项的系数为_________．15．已知函数()2lnfxxx=+，点P为函数()fx图象上一动点，则P到直线34yx=−距离的最小值为__________．（注ln20.69）16．已知正四面体ABCD−内接于半径为362的球O中，在平面BCD内有一动点

P，且满足42AP=，则||BP的最小值是___________；直线AP与直线BC所成角的取值范围为___________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列na的前n项和为nS，且1

122nnnnSSSS+−−=−()2n，12a=，24a=，（1）求数列na的通项公式；（2）求数列(21)nna+的前n项和nT．18．（12分）ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，()3

sin3coscbAA=+．（1）求B；（2）若3b=，求ABC△周长最大时，ABC△的面积．19．（12分）如图，在多面体111ABCABC−中，1AA，1BB，1CC垂直于底面ABC，且满足111::

4:2:1AABBCC=，14ABBBBC===，43AC=．（1）求证：111ABAC⊥；（2）求二面角11BABC−−的余弦值．20．（12分）2021年4月15日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识

，举行了国家安全知识竞赛．第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分．每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于

2−分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮．每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束．假设参赛者甲对第一、二、三、四题回

答正确的概率依次为35，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望()E．21．（12分）已知椭圆22221(0):xyabaCb+=，过椭圆右焦点2F且垂直于x轴的

直线与椭圆在第一象限交于点P，已知椭圆左焦点为()13,0F−，三角形1PFO的面积为34，不垂直于x轴的直线与椭圆相交于,AB两点，点M为线段AB的中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点43(,0)3Q总满足AQOBQO=，证明：直线AB过定点．22．（12分）已知函数ln

()xfxax=+．（1）若()fx有两个零点，求a的取值范围；（2）设()1()gxfxx=+，若对任意的()0,x+，都有()xgxe恒成立，求a的取值范围．绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（一）注意事项：1

．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案填

写在答题卡上，写在试卷上无效。4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数2i1iz−=+（i为虚数单位）

，其共轭复数为z，则z的虚部为（）A．1−B．32C．i−D．3i2【答案】B【解析】因为()2i(1i)13i13i(1i)2i(1i22i)21−−−+===−+−−，所以它的共轭复数13i22z=+，其虚部为32，故选B．2．集

合()()1,22,3,Mmm==+R，()()2,31,1,Nnn==+−−R，则MN等于（）A．{(1,2)}B．{(3,5)}C．{(1,2)}−D．{(3,5)}−【答案】B【解析】

根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合M中，(12,23)mm=++；此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号在集合N中，(21,31)nn=−−，要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相

等，12212331mnmn+=−+=−，解得12mn==，此时(3,5)==，故选B．3．已知一元二次方程20axbxc++=有两个不同的实数根12,xx，则“124xx且124xx+”的_____________是“12

x且22x”．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知12,xx是一元二次方程20axbxc++=的两个不同的实数根，当12x且22x时，可得124xx，124xx+；当124xx且124xx+时，可取110

x=，20.5x=，此时不满足12x且22x，所以“12x且22x”是“124xx且124xx+”的充分不必要条件，即“124xx且124xx+”的充分不必要条件为“12x且22x”，故选A．4．若0.70.3a=，0.30.7b=

，0.31.2c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．bcaD．acb【答案】B【解析】函数0.3xy=在R上是减函数，0.70.3000.30.30.31=，又幂函数0.3yx=在()0

,+上单调递增，0.30.7<，0.30.300.30.7，所以01ab，而函数1.2xy=是R上增函数，0.301.21.21c==，cba，故选B．5．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都

没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（）A．1681B．81256C．34D．23【答案】B【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为44256n==，四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为4

381m==，所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为81256P=，故选B．6．已知32sin()4π10−=(0π)，则()sincs2osinπ+−=（）A．2721−B．5164120−C．1641205D．2721【答案】C【解析】∵32sin()

4π10−=，∴3sincos5−=，将两边同时平方得229sincos2sincos25+−=，则8sincos025=，∵0π，∴sin0，cos0，∴241sincos(sincos)12sincos5+=+

=+=，∴()16sin22sincos164125sincossincossincos2054sinπ215−====+++．7．已知椭圆的方程为()222210xyabab+=

，1F、2F为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为12PFF△的内心，直线PI与x轴交于点Q，若3PQIQ=，则该椭圆的离心率为（）A．12B．13C．14D．23【答案】A【解析】如图，连接1IF、2IF，I是12P

FF△的内心，可得1IF、2IF分别是12PFF和21PFF的角平分线，由于经过点P与12PFF△的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，则PQ为12FPF的角平分线，则Q到直线1PF、2PF的距离相等，所以121122PFQPFQSPFQ

FSPFQF==△△，同理可得11PIPFIQFQ=，22PIPFIQFQ=，由比例关系性质可知1212121222PIPFPFPFPFaaIQFQFQFFcc++====+．又因为2PIIQ=，所以椭圆的离心率12IQceaPI===，故选A．8．在三棱锥PABC−中，已知4PA

=，90BAC=，1AB=，3AC=，若三棱锥PABC−的外接球的体积为32π3，则三棱锥PABC−的体积为（）A．1B．233C．33D．2【答案】A【解析】设球半径为R，则3432ππ33R=，2R=，而4PA=

，所以PA是球的直径，球心O是PA中点，ABAC⊥，所以BC中点E是直角ABC△的外心，所以OE⊥平面ABC，又AE平面ABC，所以OEAE⊥，222BCABAC=+=，112AEBC==，2222213OE

OAAE=−=−=，O是AP中点，所以1112221331332PABCOABCABCVVSOE−−====△，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．线性回归方程ybxa=+$$$对应的直线一定经过点(),xyB．5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为35C．某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从

该校三个年级的学生中抽取一个容量为100的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为4:3:3，则应从高二年级中抽取30名学生D．“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”【答案】ABC【解析】对A，线

性回归方程ybxa=+$$$对应的直线一定经过样本中心点(),xy，故A正确；对B，恰好取到1件次品的概率为113225CC3C5=，故B正确；对C，应从高二年级中抽取310030433=++名学生，故C正确；对D，若两个事件是互斥事件，则两

个事件不一定是对立事件；若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件”，故D错误，故选ABC．10．已知函数()23sincos3sin2fxxxx=+−，则下列结论中错误的是（）A．点2π,03是()fx的一个对

称中心点B．()fx的图象是由sin2yx=的图象向右平移π3个单位长度得到C．()fx在π2π,23上单调递增D．12,xx是方程()302fx−=的两个解，则12minπ3xx−=【答案】BCD【解析】()2311cos23sincos3sinsin232222xfxxx

xx−=+−=+−，所以()13πsin2cos2sin2223fxxxx=−=−，对于A：令()π2π3xkk−=Z，解得()ππ26kxk=+Z，当1k=时，2π3x=，所以点2π,03是()fx的一个对

称中心点，故A正确；对于B：sin2yx=的图象向右平移π3个单位长度得到的图象的函数解析式为π2πsin2sin233yxx=−=−，所以平移得到的图象不是()fx的图象，故B错误；对于C：当π2π,23x时，π2π2,π33x−

，而函数sinyx=在2π,π3上单调递减，故C错误；对于D：令π3sin232x−=，解得ππ22π33xk−=+或()π2π22π33xkk−=+Z，即ππ3xk=+或()ππ2xkk=+Z，所以12minπ

6xx−=，故D错误，综上，故选BCD．11．在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则能确定B为钝角的是（）A．0ABBCB．,AC均为锐角，且sincosACC．,AC均为锐角，且tant

antan0ABC++D．222acb+【答案】AC【解析】对于A：0ABBC，即cos0BABCBABCB−=−，可得cos0B，又B为三角形的内角，所以B为钝角；对于B：,AC均为锐角，sincosAC等价于πsinsin2AC−，又因为si

nyx=在π0,2上单调递增，所以π2AC−，即π2AC+，()ππ2BAC=−+，故B错误；对于C：,AC均为锐角，可得tan0A，tan0C，又tantantan0ABC++，所以tan0B，故B为钝角；对于D：222acb+，所以22

2cos02acbBac+−=，所以B为锐角，故D错误，综上选AC．12．已知函数()()112l2n2,0,0xxxfxxx−−+−=−，若()()()()1234fxfxfxfx===，且1234xxxx，则（）A．342xx+=B．

121xx=C．1112221exxe−−−−D．1122123420eexxxx−−−+++【答案】ABC【解析】当0x时，()11222xxfx−−=+−．设函数()222xxgx−=+−，则有()()gxgx−=，()00g=，()22222220xxxxgx−

−=+−−=，故()gx是偶函数，且最小值为0．当0x时，()()2ln22ln222ln20xxxxgx−−=−=−，所以()gx在()0,+上单调递增，又()gx是偶函数，所以()gx在(),0−上单调递减．把()222xxgx−=+−的图象向

右平移一个单位长度，得到函数11222xxy−−=+−的图象，故函数11222xxy−−=+−的图象关于直线1x=对称，故可得到函数()fx在)0,+上的图象．又()102f=，故函数()fx的图象与y轴的交点为10,2．作

平行于x轴的直线ya=，当102a时，直线ya=与函数()fx的图象有四个交点．数形结合可知342xx+=，故A正确；由()()12fxfx=，得()()12lnlnxx−=−，又根据题意知121xx−，所以()()12lnlnxx−=

−−，即()()12lnln0xx−+−=，即12ln0xx=，所以121xx=，故B正确；令()()211lnln2xx−=−=，则()11ln2x−=，()21ln2x−=−，得211xe=−，122xe−=−，因此111

2221exxe−−−−，故C正确；又1211ex−−时，12341112xxxxxx+++=++，且函数12yxx=++在12,1e−−上单调递增，所以1122123420eexxxx−−−+++，故D错误，故选ABC．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大

题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列na的前n项和为nS，若246820aaaa+++=，则9S=______．【答案】45【解析】因为24685420aaaaa+++==，所以55a=，因此()199599452

aaSa+===，故答案为45．14．()()541212xx−+的展开式中含3x的项的系数为_________．【答案】32【解析】由题意知：含3x项为按x的升幂排列的第4项，∴33221122334554544C(2)C(2)C(2)C(2)C(2)C(2

)Txxxxxx=−+−+−+，∴333334803202403232Txxxxx=−+−+=，∴该项的系数为32，故答案为32．15．已知函数()2lnfxxx=+，点P为函数()fx图象上一动点，则P到直线34yx=−距离的最小值为_______

___．（注ln20.69）【答案】105【解析】()12fxxx=+，()0x，与直线34yx=−平行的切线斜率132kxx==+，解得1x=或12x=，当1x=时，()11f=，即切点为()1,1，此时点P到直线34yx=−的距离为31410510d−−==；当12x=时

，11ln224f=−，即切点为11,ln224−，此时点P到直线34yx=−的距离为：()3111ln24ln2114ln210102444051010d−+−−−===，故答案为105．16．已

知正四面体ABCD−内接于半径为362的球O中，在平面BCD内有一动点P，且满足42AP=，则||BP的最小值是___________；直线AP与直线BC所成角的取值范围为___________．【答案】2322−，ππ,32

【解析】设A在面BCD内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体ABCD−的棱长为x，球O的半径为R．则233323xBEx==，2263xAEABBE=−=，依题可得，球心O在AE上，()222RBEAER=+−，代入数据可得6x=，则

23BE=，26AE=，又42AP=，2222PEAPAE=−=，故P的轨迹为平面BCD内以E为圆心，22为半径的圆，23BE=，,,BPE三点共线时，且P在BE之间时，||BP的最小值是2322−．以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，()0,0,2

6A，()23,0,0B，()3,3,0C−，()3,3,0D−−，设()22cos,22sin,0P，)0,2π，故()22cos,22sin,26AP=−，()33,3,0BC=−，设直线AP与直

线BC所成角为，∵66cos62sin1π11cossin,2322426APBCBCAP−+===−−，∴11cos,22−，又π0,2

，故ππ,32，故答案为2322−，ππ,32．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列na的前n项和为nS，且1122nnnnSS

SS+−−=−()2n，12a=，24a=，（1）求数列na的通项公式；（2）求数列(21)nna+的前n项和nT．【答案】（1）2nna=；（2）()16232nnTn+=+−．【解析】∵()11222

nnnnSSSSn+−−=−，∴()111222nnnnnnSSSSSS+−−−=−=−()2n，∴()122nnaan+=，又2142aa==，所以数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列na的通项公式为2nna=．（2）据（1）可得(21)(21)2

nnnan−=−，所以123123252(21)2nnTn=++++−，23121232(23)2(21)2nnnTnn+=+++−+−，两式相减得()2312222(21)22nnnTn+−=++++−−()2111222(21)

2122nnn−+−=+−−−，化简得()16232nnTn+=+−．18．（12分）ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，()3sin3coscbAA=+．（1）求B；（2）若3b=，求ABC△周长最大时，ABC△的面积．【答案】（1）π3；（2）934．【解析】（1）∵()3

sin3coscbAA=+，∴()3sinsinsin3cosCBAA=+，∴()3sinsinsin3sincosABBABA+=+，∴3sincos3sincossinsin3sincosABBABAB

A+=+，∴3cossinBB=，∴tan3B=，0πB，π3B=．（2）∵222cos2acbBac+−=，据（1）可得π3B=，∴222122acbac+−=，∴222bacac=+−，∴()293acac=+−，∴()()22

29324acacac+++−=，当且仅当3ac==时等号成立，即当3ac==时，ac+取得最大值，即周长取得最大值，此时1π9333sin234ABCS==△．19．（12分）如图，在多面体1

11ABCABC−中，1AA，1BB，1CC垂直于底面ABC，且满足111::4:2:1AABBCC=，14ABBBBC===，43AC=．（1）求证：111ABAC⊥；（2）求二面角11BABC−−的余弦值．【答案

】（1）证明见解析；（2）105．【解析】（1）证明：由题意得14ABBCBB===，18AA=，12CC=，∵1AA，1BB，1CC垂直于底面ABC，∴1AAAB⊥，1BBAB⊥，1BBBC⊥，1CCAC⊥，可得11142ABAB==，所以2221111

ABABAA+=，故111ABAB⊥．由4BC=，14BB=，12CC=，1BBBC⊥，1CCBC⊥，得1125BC=．又43AC=，由1CCAC⊥，得1213AC=，所以2221111ABBCAC+=，故111ABBC⊥．又11111ABBCB=，因此1AB⊥平面111ABC，因为1

1AC平面111ABC，故111ABAC⊥．（2）如图，以AC的中点O为坐标原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，过点O作平行于1BB且向上的射线为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz−．由题意知各点坐

标如下：()0,23,0A−，()2,0,0B，()10,23,8A−，()12,0,4B，()10,23,2C，因此()2,23,0AB=，()10,0,4BB=uuur，()12,23,4AB=，()10,43,2AC=．设平面1ABB的法向量(),,xyz=n，所以100ABBB=

=nn，即3040xyz+==，则()3,1,0=−n；同理可得，平面11ABC的一个法向量()33,1,23=−m，9110cos,5404−+===−mnmnmn，故二面角11BABC−−的余弦值为105．20．（12分）2021年4月15日是第6个全民国家安全教

育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛．第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分．每答完一题，分数

进行累加，当答题者累计得分低于2−分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮．每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束．假设参赛者甲对第一、二、三、四题回答

正确的概率依次为35，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望()E．【答案】（1）940；（2）分布列见解析，()3.

3E=．【解析】用()=1,2,3,4iMi表示甲第i个问题回答正确，()=1,2,3,4iNi表示甲第i个问题回答错误，则()135PM=，()212PM=，()313PM=，()414PM=；()125PN=，(

)212PN=，()323PN=，()434PN=．（1）记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：()()()()()()1231234123412341234PQPMMMPNMMMPMNMMPMMNMPNMNM=++++311211131113121212152352345

23459402345234=+++=+，即甲同学能进入下一轮的概率为940．（2）由题意知的可能取值：2，3，4，∴()()122112525PPNN====；()()()1231233113123352352310PPMMMPMNN

==+=+=；()131415102P==−−=．∴分布列为234P0.20.30.5∴()20.230.340.53.3E=++=．21．（12分）已知椭圆22221(0):xyabaC

b+=，过椭圆右焦点2F且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，已知椭圆左焦点为()13,0F−，三角形1PFO的面积为34，不垂直于x轴的直线与椭圆相交于,AB两点，点M为线段AB的中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点43(,0)3Q总满足AQOBQO=

，证明：直线AB过定点．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析．【解析】（1）依题可得P的坐标为23,ba，1213324PFObSa==△，可得212ba=，又222abc=+，3c=，解得2a=，1b=，故椭圆的方程为2214xy+=．（2）证明：依

题可得直线AB的斜率存在，设直线AB的直线方程为ykxm=+，设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Mxy，由2214xyykxm+==+，可得()222418440kxkmxm+++−=，2216(

41)0Δkm=−+，即2241mk+，122814kmxxk−+=+，21224414mxxk−=+，因为AQOBQO=，所以0AQBQkk+=，121212120434343433333AQBQyykxmkxmkkxxxx+

++=+=+=−−−−，即12214343()()()()33kxmxkxmx+−++−121243832()()033kxxmkxxm=+−+−=，得2243832(44)8()(14)033kmkmmkmk−−−−+=，化简得3mk=−，直线AB的方程为(3)ykx=−，所

以，直线AB恒过定点(3,0)．22．（12分）已知函数ln()xfxax=+．（1）若()fx有两个零点，求a的取值范围；（2）设()1()gxfxx=+，若对任意的()0,x+，都有()xgxe恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1,0e骣琪-琪桫；（2）1a．【解析】令ln(

)xgxx=，则21ln()xgxx−=，当0xe时，()0gx；当xe时，()0gx，所以()gx在()0,e上单调递增，在(),e+上单调递减，当0x→时，()gx→−；当xe=时，()1gxe=；

当x→+时，()0gx→，所以当10ae−，即10ae−，()fx有两个零点，∴()fx有两个零点时，a的范围是1,0e骣琪-琪桫．（2）对任意的0x，不等式()xgxe恒成立，ln1xxexax−−在()0,+?上恒成立，令ln1()(0)xxexFxxx−−=

，则22ln()xxexFxx+=，令2()lnxhxxex=+，则()21()20xhxxxex=++，()hx在()0,+?上为增函数，又(1)0he=，11221110eeeheee−=−=−，01,1xe，使得()00hx=，即0200ln

0xxex+=，00xx时，()0hx，()0Fx，()Fx在()00,x上单调递减；0xx时，()0hx，()0Fx，()Fx在()0,x+上单调递增，()000min00ln1(

)xxexFxFxx−−==，由0200ln0xxex+=，可得001ln000000ln111lnlnxxxxeexxxx=−==，令()xtxxe=，则()001lntxtx=，又()(1)0xtxxe=+，()tx在()0,+?上单调递增，001l

nxx=，00lnxx=−，001xex=，001xxe=，()0000min000ln111()1xxexxFxFxxx−−+−====，1a，综上所述，满足条件的a的取值范围是1a．