【文档说明】湖南省永州市2021届高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试押题卷数学试题（二）含答案.doc，共(23)页，2.083 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前永州市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|2}Ayyx==−，集合2|40Bxxx=−，则()BARð等于（）A．(0,4B．)4,+C．0,4D．()4,+2．复数()()2i1iza=−+，aR，i是虚数单位．若4z=，则a=（）A．2B．2−

C．0D．23．下列函数中，y的最小值为2的是（）A．1yxx=+B．ln1yxx=−−C．1xyex=+−D．1cos0s2πcoyxxx=+4．以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成一个长方形

，每个正方形中画圆心角为90的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的表面积为（）此卷只装订不密封班级姓名

准考证号考场号座位号A．20πB．815π3C．16πD．415π35．已知当x=时，函数()2cossinfxxx=−取得最小值，则cos=（）A．55−B．255C．255−D．556．“五一”小长假期间，某学生会组织看望

留守老人活动，现安排A，B，C，D，E，F，G，H共8名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看望老人甲，学生B不安排看望老人乙，

则安排方法共有（）A．1260种B．2520种C．1440种D．1890种7．已知实数0a，be，则“33ab”是“11abab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充

分也不必要条件8．已知1F、2F分别为双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左右焦点，M为双曲线左支上一点，1F与y轴上一点P正好关于2MF对称，则双曲线C的离心率为（）A．2313eB．233eC．3eD．13e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．114p，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（）X012P2pp−1p−2pA．()2P=的值最大B．()()01PP==C．()E随着p的增大而减小D．()E随着p的增大而增大10

．在ABC△中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，下列说法中正确的是（）A．若ABC△为锐角三角形且AB，则sincosABB．若sin2sin2AB=，则ABC△为等腰三角形C．若AB，则sinsinABD．若8a=，10c=，60B=，则符合条件的

ABC△有两个11．已知函数()fx是奇函数，()1fx+是偶函数，并且当(0,1x，()223fxx=−−，则下列选项正确的是（）A．()fx在()3,2−−上为减函数B．()fx在13,22

上()0fxC．()fx在1,2上为增函数D．()fx关于3x=对称12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第()*nnN项与第1n+项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前

n项，从而形成新的数列na，数列na的前n项和为nS，则（）A．520212a=B．620212a=C．6320213259S=+D．64202123S=−第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()2,3x=−a，()4,3

x=−b，若∥ab且方向相反，则x=_______．14．已知抛物线2:4Cxy=−的焦点为F，抛物线C上一点A满足|AF|=3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截x轴所得弦长为___________．

15．已知,0xyR，则()221()2xxyy++−最小值为________．16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为______

__，体积的最大值为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC△中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cos3sin3tanbCcBaB=+．（1）若π4B=，62c=

+，求ABC△的面积；（2）若26cos26aBc+=，求角C．18．（12分）已知各项为正数的数列na，其前n项和为nS，()2821nnSa=+，且11a=．（1）求数列na的通项公式；（2）若123112213

3333nnnnnnaaaTaa−−−=+++++，求nT．19．（12分）在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PBBDPD===42，43PA=．（1）证明：PC⊥平面ABCD；（2）如图，取BC的中点为E，在线段DE上取一点F使

得23DFFE=，求二面角FPAC−−的大小．20．（12分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两

次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为1p，2p．（1）若134p=，223p=，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；（2）若1243pp+=，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小

组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时1p，2p的值．21．（12分）已知直线330xy−+=经过椭圆2222:1xyCab+=(0ab)左顶点和上顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A、B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对

称的两个点，已知直线3yx=−上存在一点P，使得三角形PAB为正三角形，求AB所在直线的方程．22．（12分）已知函数21()2fxxax=−．（1）若()()lngxfxxax=−+，讨论()gx的单调性；（2）已知(

)()2ln42hxfxxxa=−−+，若方程()0hx=在1,2+有且只有两个解，求实数a的取值范围．绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓

名、考生号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4．考试结束，将本试卷和答

题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|2}Ayyx==−，集合2|40Bxxx=−，则()BARð等于（）A．(0,4B．)4,+C．

0,4D．()4,+【答案】C【解析】集合{|2}{|0}Ayyxy==−=，集合()20{|40}{|04|4}Bxxxxxxxxx==−=−或，则{|04}Bxx=Rð，(){|04}0,4BAxx=

=Rð，故选C．2．复数()()2i1iza=−+，aR，i是虚数单位．若4z=，则a=（）A．2B．2−C．0D．2【答案】D【解析】()()2i1i2(2)izaaa=−+=++−，2(2)izaa=+−−，2284za==+，解得2a=，故选D

．3．下列函数中，y的最小值为2的是（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．1yxx=+B．ln1yxx=−−C．1xyex=+−D．1cos0s2πcoyxxx=+【答案】C【解析】对于A选项，当0x时，12yxx=+，当且仅当1x

x=，即1x=时，等号成立；当0x时，11()2yxxxx=+=−−+−−，当且仅当1xx−=−，即1x=−时，等号成立，故A错误；对于B选项，ln1yxx=−−，111xyxx−=−=，当1

x时，0y；当01x，0y，所以当1x，函数ln1yxx=−−单调递增；当01x时，()ln1fxxx=−−单调递减，所以当1x=，函数取得最小值为0，故B错误；对于C选项，1xyex=+−，1xye=

−，当0x时，0y；当0x，0y，所以当0x，函数1xyex=+−单调递增；当0x，函数1xyex=+−单调递减，即当0x=取得最小值为2，故C正确；对于D选项，因为0π2x，所以0cos1x，又11cos2cos2scosco

syxxxx=+=，当且仅当1coscosxx=，即cos1x=时，等号成立，但cos1x，故D错误，故选C．4．以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成一个长方形，每个正方形中画圆心角为90的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，下图为

该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的表面积为（）A．20πB．815π3C．16πD．415π3【答案】A【解析】根据已知可得所求扇形半径为358r=+=，即圆锥母线长为8l=，设圆锥底面

半径为R，则π22π2π82πR=，2R=，所以圆锥表面积为2ππ16π4π20πSRlR=+=+=，故选A．5．已知当x=时，函数()2cossinfxxx=−取得最小值，则cos=（）A．55−B．255C．255−D．55【答案】C【解析】函数()2cos

sinfxxx=−，由辅助角公式化简可得()()5sinfxx=+，tan2=−，为第二象限角，因为当x=时，函数取得最小值，所以3π2π,2kk+=+Z，则3π2π,2kk=−+Z，所以c

oscosc3π3π252π225ossink−+−===−−=，故选C．6．“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排A，B，C，D，E，F，G，H共8名学生的小组去看望甲

，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生A不安排看望老人甲，学生B不安排看望老人乙，则安排方法共有（）A．1260种B．2520种C．1440种D．1890种【答

案】C【解析】8名学生看望四位老人，每两位学生看望一位老人共有286422CCC2520=种安排方法，其中A看望老人甲的情况有122764CCC630=种；B看望老人乙的情况有122764CCC630=种；A看望老人甲，同时B看望老人乙的情况有641251CCC180=种，符

合题意的安排方法有25206306301801440−−+=种，本题选项为C．7．已知实数0a，be，则“33ab”是“11abab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】令()lnxfxx=，()21

lnxfxx−=，可得当0xe时，()0fx；当xe时，()0fx，所以()fx在()0,e上单调递增，在(),e+单调递减，因为33ab，所以abe，所以lnlnabab，即11lnlnabab，所以11abab；可得当2a=，5b=时，可得ln2ln4ln524

5=，可得115225，而2533，综上可得当实数0a，be时，“33ab”是“11abab”的既不充分也不必要条件，故选D．8．已知1F、2F分别为双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左右焦点，M为双曲线左支上一点，1F与y轴上一点P正好关于2MF对称，则双曲线

C的离心率为（）A．2313eB．233eC．3eD．13e【答案】B【解析】设点()1,0Fc−，设点M在第二象限，则点P在y轴正半轴上，由对称性可得21122PFPFFFc===，22113POPFOFc=−=，所以2160PFF=，则2130MFF

=，所以，双曲线的渐近线byxa=−的倾斜角满足90150，则3tan1503ba−=−，即33ba，因此，该双曲线的离心率为2222222313ccabbeaaaa+====+，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．114p，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（）X012P2pp−1p−2pA．()2P=的值最大B．()()01PP==C．()E随着p的增大而减小D．()E随着p的增大而增大【答

案】BD【解析】12p=时，()124P==，而()11111224P==−=，A错；2(1)1ppppp−=−−，所以B正确；由题意()2217(1)22()48Eppp=−+=−+，由于114p，所以()E随着p的增大而增大，C错，D正确，故选BD．10．在ABC△中，内角,,

ABC的对边分别为,,abc，下列说法中正确的是（）A．若ABC△为锐角三角形且AB，则sincosABB．若sin2sin2AB=，则ABC△为等腰三角形C．若AB，则sinsinABD．若8a=，10c=，60B=，则符合条件的ABC△有两个【答案

】AC【解析】对于A，因为若ABC△为锐角三角形且AB，所以π2AB+，所以π2AB−，所以πsinsincos2ABB−=，故A正确；对于B，若sin2sin2AB=，则22AB=或2π2AB=−．若22A

B=，则ABC△为等腰三角形；若2π2AB=−，则2πAB+=，则ABC△为直角三角形，故B不正确；对于C，由AB可得ab，所以22abRR结合正弦定理可得sinsinAB，故C正确；对于D，8a=，10c=，60

B=，222cos2acbBac+−=，即222810cos602810b+−=，解得221b=，只有一个解，故D不正确，故选AC．11．已知函数()fx是奇函数，()1fx+是偶函数，并且当(0,1x，()223fxx=−−，则下列选项正确的是（）

A．()fx在()3,2−−上为减函数B．()fx在13,22上()0fxC．()fx在1,2上为增函数D．()fx关于3x=对称【答案】ABD【解析】因为()fx是奇函数，()1fx+是偶函数，所以函数()fx的图

象关于()0,0中心对称，且关于1x=轴对称，则()fx的周期为4，当(0,1x时，()22312fxxx=−−=−，则函数()fx在()0,1x上递减，根据对称性可得()fx在()1,2x单调递增，再结合周期性可得()f

x在()3,2−−上为减函数，故A正确；()fx在1,12x小于0，根据对称性可得()fx在13,22x小于0，故B正确；()fx的图象关于1x=轴对称，所以13202ff==，()()020ff==

，所以()fx不可能在1,2上为增函数，故C错误；()fx的图象关于1x=轴对称，又()fx是奇函数，所以()fx的图象关于1x=−轴对称，因为()fx的周期为4，所以()fx关于3x=对称，故D正确，综上答案为ABD．1

2．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第()*nnN项与第1n+项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前n项，从而形成新的数列na，数列n

a的前n项和为nS，则（）A．520212a=B．620212a=C．6320213259S=+D．64202123S=−【答案】AD【解析】设2021a介于第n个1与第1n+个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第n个1一共

有()12nn+项，从新数列的第1个1到第1n+个1一共有()()212nn++项，所以()()()121202122nnnn+++，解得63n=，而()6316320162+=，所以520212a=，故A正确，B错

误；123621234520211636226126021222222S=++++++++++1236212562261260212=+++++，令1236262261260212T=++++，则23463

262261260212T=++++，123462632622222212TT−=−++++++，642128T=−，所以64202123S=−，故D正确，C错误，综上选AD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()2,3x=−a，

()4,3x=−b，若∥ab且方向相反，则x=_______．【答案】1−【解析】∵向量()2,3x=−a，()4,3x=−b，且∥ab，∴()()23340xx−−−=，∴1x=−或6x=，又∵向量a与b方向相反，∴1x=−，故答案为1−．14．已知抛

物线2:4Cxy=−的焦点为F，抛物线C上一点A满足|AF|=3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截x轴所得弦长为___________．【答案】25【解析】由题意，抛物线24xy=−，可得焦点(0,1)F−，设00(,)Axy，根据抛物线的定义，可得013AFy=−+

=，解得02y=−，即A到x轴的距离为2d=，所以圆截x轴所得弦长为2222223225Rd−=−=，故答案为25．15．已知,0xyR，则()221()2xxyy++−最小值为________．【答案】4【解析】()221()2xxyy

++−看作两点(,)Axx，1(,2)Byy−之间距离的平方，点A在直线yx=上，点B在曲线2,0yxx=−上，222()yxx=−=，令221x=，解得2x=，取点(2,2)B−，所以|22|||22AB−−=，2||4A

B，即()221()2xxyy++−最小值为4．16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为________，体积的最大值为_________．【答案

】263，82【解析】如图，正四面体ABCD的内接正三棱柱111DEFDEF−，首先,,DEF三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，正四面体ABCD棱长为6，则高为22366263AM=−

=，设正三棱柱高为h，底面边长为a，因为平面DEF∥平面BCD，所以26626ah−=，6(26)2ah=−，22233633(26)(26)4448DEFSahh==−=−△，23333(26)2(26)(26)816

DEFVShhhhhh==−=−−△3332262682163hhh+−+−=，当且仅当226hh=−，即263h=时等号成立．则所制作的正三棱柱模型的高为263，体积的最大

值为82．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC△中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cos3sin3tanbCcBaB=+．（1）若π4B=，62c=+，求ABC△的面积；（2）

若26cos26aBc+=，求角C．【答案】（1）33+；（2）12πC=或7π12C=．【解析】在ABC△中，由正弦定理得sinsinsinabcABC==，且sintancosBBB=，cos3sin3tanbCcBaB=+，cos3sin3t

anbCcBaB−=转化为()3sinsincoscossinBCCBA−=，所以()3cossinBCA−+=，而πABC=−−，所以3cossinAA=，即tan3A=，A为ABC△内角，0πA，π3A=．（1）π4B=，5π12C

=，由正弦定理得sinsinbcBC=，22b=，()11πsin2262sin33223bcA=+=+，ABC△的面积为33+．（2）由26cos26aBc+=，得22212sinBac=，在ABC△中，由正弦定理得

sinsinsinabcABC==，且π3A=，1sinsin4BC=，2π3BC=−，22π131sinsinsinsincos3224CCCCC−=+=，()1311cos2sin2444CC−+=，cos23sin2CC=，得3tan23C=，4π20,3

C，π26C=或7π26C=，1π2C=或7π12C=．18．（12分）已知各项为正数的数列na，其前n项和为nS，()2821nnSa=+，且11a=．（1）求数列na的通项公式；（2）若1231122133333nnnnnnaaaTaa−−−=+++++

，求nT．【答案】（1）nan=；（2）23694nnnT+−−=．【解析】（1）由()2821nnSa=+，得()211821nnSa++=+，将以上两式相减，可得()()221182121nnnaaa++=+−+，则()()2

2121210nnaa+−−+=，所以()()11222220nnnnaaaa+++−−=，由于数列的各项均为正数，所以11nnaa+−=，又11a=，所以nan=．（2）由题意可得()()1231313232313

nnnnnnT−=+−+−+++①，则()()23413132332313nnnnnnT+=+−+−+++②，由②–①可得23412333333nnnTn+=−++++++K()223133933132nnnn+−−=−+=−+−，则23694nnnT+−−=．19

．（12分）在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PBBDPD===42，43PA=．（1）证明：PC⊥平面ABCD；（2）如图，取BC的中点为E，在线段DE上取一点F使得23DFFE=，求二面角FPAC−−的大小．【答

案】（1）证明见解析；（2）π6．【解析】（1）因为4ABAD==，42BD=，所以222ABADBD+=，所以ABAD⊥，又因为ABCD为平行四边形，所以ABBC⊥，ADDC⊥，因为4AB=，42BP=，4

3PA=，所以222ABBPAP+=，所以ABBP⊥，因为PBBCB=I，所以AB⊥平面BPC，所以ABCP⊥，因为4AD=，42DP=，43PA=，所以222ADDPAP+=，所以ADDP⊥，因为PDDCD=，所以AD⊥平面PCD，所以ADCP⊥，因为

ADABA=，所以PC⊥平面ABCD．（2）由（1）知，CD，CB，CP两两垂直，分别以CD，CB，CP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三角形PBC中，224PCPBBC=−=，则()4,4,0A，()0,4,0B，()0,0,0C，()4,0,0D，(

)0,2,0E，()0,0,4P，所以()4,2,0DE=−，因为23DFFE=，2,,054558DFDE==−，18,0556,AFADDF=+=−−，()4,4,4PA=−，设平面PAF的一个法向量为(),,xyz=m，则00AF

PA==mm，即0554844016xyxyz−−=+−=，令1y=，得2x=−，1z=−，于是取()2,1,1=−−m，又由（1）知，底面ABCD为正方形，所以ACBD⊥，因为PC⊥平面ABCD，所以PCBD⊥，因为ACPCC=，所以BD⊥平面ACP，所以()4,4,0

BD=−是平面PAC的一个法向量，设二面角FPAC−−的大小为，则3212coscos,632BDBDBD====mmm，所以二面角FPAC−−的大小为π6．20．（12分）某篮球队为提高队员的

训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员

投进篮球的概率为别为1p，2p．（1）若134p=，223p=，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；（2）若1243pp+=，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时1p，2p的值．【

答案】（1）23；（2）理论上至少要进行27轮游戏，2123pp==．【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．故所求概率122122222222312233233222CCCC1CC433443344333

4P=++=．（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为()()()()()()222212212221122212222122CCCC1C1CPpppppppp=−+−+()()()2212121223pppp

pp=+−，因为1243pp+=，所以()()221212833Ppppp=−，因为101p，201p，1243pp+=，所以1113p，2113p，又21212429pppp+=

，所以121499pp，令12tpp=，以1499t，则28()33Phttt==−+，当49t=时，max1627P=，他们小组在n轮游戏中获“神投小组”次数满足~(,)Bnp，由max()16np=，则27n=，所以理论上至少要进行27轮游戏．此时1243pp+=

，1249pp=，2123pp==．21．（12分）已知直线330xy−+=经过椭圆2222:1xyCab+=(0ab)左顶点和上顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A、B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线3yx=−上存在一点P，使得三角形PAB为正三角形

，求AB所在直线的方程．【答案】（1）2213xy+=；（2）0y=或0xy+=．【解析】（1）因为直线330xy−+=与x轴交于点()3,0−，与y轴交于点(),10，又直线330xy−+=经过椭圆2222:1xyCab+

=(0ab)左顶点和上顶点，可得3a=，1b=，椭圆C的方程为2213xy+=．（2）设11(,)Axy，则11,()Bxy−−，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线:30lxy+−=的交点为(0,3)P，∵||23AB=，3PO

=，∴60PAO=，∴PAB△是等边三角形，∴直线AB的方程为0y=；当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为ykx=，代入椭圆方程消去y，得22(31)3kx+=，∴12331xk=+，则22223

3313131kAOkkk+=+=++，设AB的垂直平分线为1=−yxk，它与直线:30lxy+−=的交点记为00)(,Pxy，∴031kxk=−，031yk=−−，则2299(1)kPOk+=−，∵PAB△为等边三角形，∴应有3POAO=，代入得到222299333(1)31kkkk++=−

+，解得0k=(舍)或1k=−，此时直线AB的方程为yx=−，综上，直线AB的方程为0y=或0xy+=．22．（12分）已知函数21()2fxxax=−．（1）若()()lngxfxxax=−+，讨论()gx的单调性；（2）已知()()2ln42hxf

xxxa=−−+，若方程()0hx=在1,2+有且只有两个解，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）19ln2,22010+．【解析】（1）依题可得()21()1ln

2gxxaxax=−++，函数()gx的定义域为(0,)+，所以2(1)(1)()()(1)axaxaxxagxxaxxx−++−−=−++==．当0a时，由()0gx，得1x，则()gx的减区间为(0,1)；由()0gx，得1x，则

()gx的增区间为(1,)+．当01a时，由()0gx，得1ax，则()gx的减区间为(,1)a；由()0gx，得xa或1x，则()gx的增区间为(0,)a和(1,)+．当1a=时，()0gx，则()g

x的增区间为(0,)+．当1a时，由()0gx，得1xa，则()gx的减区间为(1,)a；由()0gx，得1x或xa，则()gx的增区间为(0,1)和(,)a+．（2）()2()2ln422ln42hxfxxxaxaxxxa=−−+=

−−−+．()hx在1,2+上有两个零点，即关于x方程2ln222xxxax−+=+在1,2+上有两个不相等的实数根．令2ln2()2xxxtxx−+=+，1,2x+，则2232ln4()(2)xxxtxx+−−=

+．令2()32ln4pxxxx=+−−，1,2x+，则(21)(2)()xxpxx−+=，显然()0px在1,2+上恒成立，故()px在1,2+上单调递增．因为(1)0p=，所以当1,12x时，有()0px，即()0tx

，所以()tx单调递减；当[1,)x+时，有()0px，即()0tx，所以()tx单调递增．因为19ln22105t=+，(1)1t=，41(4)3ln232tt=−，所以a的取值范围是19ln2,22010+．