【文档说明】湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.504 MB，由小赞的店铺上传

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常德市第一中学2024届高三第二次月水平检测数学（时量：120分钟满分：150分命题人､审题人：高三数学组）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个答案符合题意）1.若集合{3},21,ZAxxBxxnn===+∣∣，则AB=（）A.(

)1,1−B.()3,3−C.1,1−D.3,1,1,3−−【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式得A，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x得33x−，即()3,3A=−，B为奇数集，故1,1AB=−.故选：C2.

()()102221910loglog24−−+的值等于（）A.-2B.0C.8D.10【答案】A【解析】【分析】应用指数运算和对数运算计算求解即可.【详解】()()()102221910loglog23

12224−−+=−+−=−.故选：A.3.函数()fx的图象如下图所示，则()fx的解析式可能为（）A.()25ee2xxx−−+B.25sin1xx+C.()25ee2xxx−++D.25cos1xx+【答案】D【解析】【分析】由图知函数为偶函

数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,)+上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0ff−=，由225sin()5sin()11xxxx−=−−++且定义域为R，即B中函

数为奇函数，排除；当0x时25(ee)02xxx−−+、25(ee)02xxx−++，即A、C中(0,)+上函数值为正，排除；故选：D4.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张

开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4m，肩宽约为8m，“弓”所在圆的半径约为5m4，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：21.414，31.732）（）A.1.012mB.1.768mC.2.

043mD.2.945m【答案】B【解析】【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB的长54488l=++=，其所对圆心角58524==，则两手之

间的距离()522sin1.768m44ABAD==．故选：B．5.“94a”是“方程230()xxax++=R有正实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据零点的几何意义，将方程有

正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由方程230xxa++=有正实数根，则等价于函数()23fxxxa=++有正零点，由二次函数()fx的对称轴为302x=−，则函数()fx只能存在一正一负的两个零点，则

()Δ94000af=−，解得()90,,0,4a−−，故选：B.6.设正实数,,xyz满足22340xxyyz−+−=，则当zxy取得最小值时，2xyz+−的最大值为（）A.0B.98C.2D.94【答案】C【解析】【分析】化

简zxy43xyyx=+−，然后由基本不等式得最值，及2xy=，这样2xyz+−可化为y的二次函数，易得最大值．【详解】2234443231,zxxyyxyxyxyxyyxyx−+==+−−=当且仅当2xy=时成立，因此22224642,zyyyy=−+=所以222422(1)22.xy

zyyy+−=−=−−+1y=时等号成立．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是2abab+中的a

b是否为定值，本题通过223443zxxyyxyxyxyyx−+==+−得以实现．7.已知函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，且满足0x时，()()1ln0xfxfxx+，则不等式()()9850xfx−的解

集为（）A.()985,+B.()985,985−C.()985,0−D.()0,985【答案】D【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()lngxxfx=，求导后可判断当0x时，函数()gx单调递减，再由()10g=，可得当0x时，()0fx，再由()fx为奇函数，得0x

时，()0fx，从而可求得不等式的解集.【详解】令函数()()lngxxfx=，则()()()1ln0gxfxxfxx=+，即当0x时，函数()gx单调递减，因为()10g=，所以当01x时，()0gx，当1x时，()0gx.因为当01x时，ln0

x，当1x时，ln0x，所以当()()0,11,x+时，()0fx.又()()1ln110ff+，()10f，所以当0x时，()0fx；又()fx为奇函数，所以当0x时，()0fx，所以不等式()()9850xfx

−可化09850xx−或09850xx−，解得0985x，所以不等式的解集为()0,985，故选：D.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单

调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.8.已知直线ykxb=+与曲线e2xy=+和曲线()2lneyx=均相切，则实数k的解的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】C【解析】【分析】由题意可求得直线ykxb=+与曲线e2xy=+和曲线

()2lneyx=分别切于点()ln,2Akk+，()11,ln20Bkkk+，则n1lnlkkkkk+−=，化简后得lnln10kkkk−−−=，然后将问题转化为方程lnln10kkkk−−−=解的个数，构造函数

()()lnln10gkkkkkk=−−−，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.【详解】根据题意可知，直线ykxb=+与曲线e2xy=+和曲线()2lneyx=都相切，所以对于曲线e2xy=+，则exyk==，所以lnxk=，所以切

点()ln,2Akk+，对于曲线()2lneyx=，则()10ykxx==，所以1xk=，切点()11,ln20Bkkk+，易知A,B不重合，因为公切线过,AB两点，所以1lnln11lnlnABABkyykkkkxxkkkk−−+===−−

−，进而可得lnln10kkkk−−−=，为令()()lnln10gkkkkkk=−−−，则()()1ln0gkkkk=−，令1()()ln(0)kgkkkk==−，则211()0(0)kkkk=+所以()gk在(0,)+

单调递增，因为()()1110,e10egg=−=−，所以存在0k使得001ln0kk−=，即001lnkk=，所以当00kk时，()0gk，当0kk时，()0gk，所以()gk在()00,k上单调递减，在()0,k+上单调递增，()01,e

k，故()()00000minlnln1gkgkkkkk==−−−.又因为001lnkk=，所以()000min00011110gkkkkkkk=−−−=−−，当2ke=时，()222222eelnelnee1e30g=−−−=−，因为()()()2001,e,

e0kgkg，所以在()20,ek内存在1k，使得()10gk=，当21ek=时，()222222111113lnln110eeeeeegkg==−−−=−+，因为()01,ek，()0210egkg，

所以在021,ek内存在2k，使得()20gk=，综上所述，存在两条斜率分别为1k，2k的直线与曲线e2xy=+和曲线()2lneyx=都相切，故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函

数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程lnln10kkkk−−−=解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得两分）9.设0ab．

且2ab+=，则（）A.12bB.12aC.021ab−D.()0ln1ba−【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质可判断AB，根据指数函数的性质可判断C，利用特值可判断D.【详解】因为0ab．且2ab+=，所以02bb−，即12b，故A正确

；由02aa−，可得01a，故B错误；由题可知0ab−，所以021ab−，故C正确；取110112e2eab=−=+，可得1eba−=，所以()ln10ba−=−，故D错误故选：AC.10.下列说法正确的

有（）A.tan2cos3sin40B.ABC中，sincos22ABC+=C.若sinsinAB=，则2π,ZBAkk=+D.π1sin1sin,0,2tan21sin1sina+

−−−=−+【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据角所在象限即可判断三角函数符号；对B，三角函数诱导公式即可判断；对C，举反例即可；对D，根据同角三角函数的关系即可判断.【详解】对A，因为π3π23π422

，所以tan20，cos30，sin40，tan2cos3sin40，故A正确；对B，在ABC中，ππsinsinsincos22222ABCCC+−==−=，故

B正确；.对C，举例π2π,33AB==，满足sinsinAB=，但不满足2π,ZBAkk=+，故C错误；对D，因为π,02−，所以左边2222(1sin)(1sin)1sin1sin+−=−−−1sin1sinsinsin222tan|cos||cos||cos|cos

+−==−===右边，故D正确.故选：ABD.11.已知函数,1()1ln,1xxfxxxx=−，()gxkxk=−，则（）A.()fx在R上为增函数B.当14k=时，方程()()fxgx=有且只有3个不同实根C.(

)fx的值域为()1,−+D.若()()1()()0xfxgx−−，则)1,k+【答案】BCD【解析】【分析】根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程()()fxgx=的根的个数；数形结合求得()()1()()

0xfxgx−−成立时，参数范围；【详解】根据函数解析式作出函数图象，由图象易知，()fx在R上不是增函数，故A错误；当1x时，1()fxx=，则(1)1f=，()gx过定点(1,0)，当14k=时，()gx与()fx在1x上相交，共2个交点；当1x时，21

()(1)fxx=−，过点(1,0)作()fx的切线，设切点为00(,)xy，则0001xyx=−，00200111(1)xxxx−=−−，解得01x=−，1(1)4f−=，故当14k=时，()gx与()fx在=1x−处相切，有1个交点；故当14k=时

，()gx与()fx共有3个交点，故B正确；由图易知()(1,)fx−+，故C正确；当1x时，()()1()()0xfxgx−−等价于()()fxgx，由函数图象，及上述分析知，1k；当1x时，()()1()()0xfxgx−−等价于()()fxg

x，由函数图象，及上述分析知，14k；故若()()1()()0xfxgx−−，1k，故D正确；故选：BCD12.已知定义在R上的函数()fx满足对任意的x，yR，()()()fxyfxfy+=，且当0x时，()1fx，则（）A.

(0)1f=B.对任意的xR，()0fxC.()fx是减函数D.若122f=，且不等式lnln4xyxxayfx−−恒成立，则a的最小值是21e【答案】ABD【解析】【分析】A.取0xy==，易得(0)1f=；B.取2xxy==，可得2()0222xxxfxff

=+=，然后验证()0fx=的情况；C.由当0x时，()1fx，且(0)1f=可得，当0x时，()(0)fxf，与()fx为减函数矛盾，从而可判断C错误；D.先证明()fx的单调性，然后由122f=可得(1)4f=，结合函数的

单调性可得lnln1xyxxayx−−，再化简、换元，通过构造函数、求导得新函数的单调性和最值，即可得解.【详解】取0xy==，则2(0)[(0)]ff=，解得(0)0f=或(0)1f=，若(0)0f=，则对任意的0x，()(0)()(0)0fxfxfxf=+==，与条件不符，故(0)

1f=，A正确；对任意的xR，2()0222xxxfxff=+=，若存在0xR，使得()00fx=，则()()()()0000(0)0ffxxfxfx=+−=−=，与(0)1f=矛盾，所以对任意的xR，()0fx，B

正确；当0x时，()1fx，且(0)1f=，所以当0x时，()(0)fxf，与()fx为减函数矛盾，C错误；假设12xx，则()()()()()()()1212221222fxfxfxxxfxfxxfxfx−=−+

−=−−()()1221fxxfx=−−因为120xx−，所以()121fxx−，则()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在R上单调递增，由题意得21(1)42ff==

，所以lnln(1)xyxxayffx−−，结合()fx在R上单调递增可知lnln1xyxxayx−−，则lnxxxayyy−−，令xty=，则0t，lnattt−+，令()lnFxxxx=+，()ln2Fxx=+，易得()Fx在

210,e上单调递减，在21,e+上单调递增，从而()221()eeFxF−=−，所以21ea−−，则21ea，D正确.故选：ABD.【点睛】本题中用到特殊值，特殊函数来解决问题，特别是选项D中21(1)42ff

==，将不等式转化为lnln1xyxxayx−−，再结合换元法，求导等办法来求解，综合能力要求较高.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若tan2=，则sincossincos−+的值为____________.【答案】13【解

析】【分析】将sincossincos−+分子分母同除以cos，即可求得答案.【详解】由题意tan2=，则cos0，则sincostan1211sincostan1213−−−===+++，故答案为：1314.已知函

数()2()lg45fxxx=−−在(,)a+上单调递增，则a的取值范围是______．【答案】5a【解析】【分析】根据复合命题单调性可知，(),a+是函数()2()lg45fxxx=−−单调递增区间的子集，列式求实数a的取值范围.【详解】由2450x

x−−，得1x−或5x，即函数()fx的定义域为(,1)(5,)−−+，令245txx=−−，则lgyt=，因为函数lgyt=为定义域上的单调增函数，245txx=−−在(5,)+上递增，函数()2()lg45fxxx=−

−单调增区间(5,)+，因为函数()2()lg45fxxx=−−在(,)a+上单调递增，所以(,)(5,)a++，所以5a，故答案为：5a15.设函数()fx，()fx的定义域均为R，且函数()21fx−，()2fx−均

为偶函数．若当1,2x时，()31fxax=+，则()2022f的值为________．【答案】7−【解析】为【分析】对函数求导，根据函数的奇偶性，对称性，周期性分析即可求解.【详解】因为函数()

fx，()fx的定义域均为R，且函数()21fx−为偶函数，则()()2121fxfx−−=−，求导得()()2121fxfx−−−=−，即()()11fxfx−=−−−，所以函数()yfx=的图像关于()1,0−对称．因为函数()2fx−为偶函数，所以()

()22fxfx−=−−，所以函数()yfx=的图像关于2x=−对称，由函数()yfx=的图像关于()1,0−对称，且关于直线2x=−对称．所以函数()yfx=的周期为()4124T=−−−=，．由()()()()()111110fxf

xfff−=−−−−=−−−=，()()()()()()1113130fxfxffff−=−−−=−−+−=，()()()()22130fxfxff−=−−−=−=，所以()10f=，即

10a+=，即1a=−，所以当1,2x时，()31fxx=−+于是()()()3250202221754281fff===−+=−++=−．故答案为：7−16.已知函数()ln20()axxafx=−，若不等式222e()ecos((

))axxxfxfx+对0x恒成立，则实数a的取值范围为__________.【答案】(0,2e]【解析】【分析】将不等式等价转化，构造函数()e2costgttt=−−，并探讨其性质，再利用导数分类讨论

()tfx=的值域即可求解作答.【详解】ln2()22()cos[()]e2()cos[()]0e2()cos[()]0eaaxxfxxxfxfxfxfxfxfx−−−−−−，令()tfx=，则()e2costgttt=−−，()e2sintgtt=−+，设()e2sintht

t=−+，则()ecosthtt=+，当0t时,e1,sin1tt，且等号不同时成立，则()0gt恒成立，当0t时，e1,cos1tt−，则()0ht恒成立，则()gt在(0,)+上

单调递增，又因为(0)1,(1)e2sin10gg=−=−+，因此存在0(0,1)t，使得()00gt=，当00tt时，()0gt，当0tt时,()0gt，所以函数()gt在()0,t−

上单调递减，在(0t,)+上单调递增,又(0)0g=，作出函数()gt的图像如下：函数()ln2(0)fxaxxa=−定义域为(0,)+，求导得2()2aaxfxxx−=−=，①当a<0时，()0fx，函数()fx的单调递减区间为(0,)+，当01x时，lnyax=的取

值集合为(0,)+，而2yx=−取值集合为(2,0)−，因此函数()fx在(0,1)上的值域包含(0,)+，当1x时，lnyax=的取值集合为(,0]−，而2yx=−取值集合为(,2)−−，因此

函数()fx在[1,)+上无最小值，从而函数()fx的值域为R，即()Rtfx=，()00gt，不合题意，②当0a时，由()0fx得2ax，由()0fx得02ax，函数()fx在(0,)2a上单调递增，在(,)2a+上单调递减，max()(

)ln22aafxfaa==−，当01x时，lnyax=的取值集合为(,0]−，而2yx=−取值集合为(2,0]−，因此函数()fx在(0,1]上的值域包含(,0]−，此时函数()fx的值域为(,ln]2aaa−−，即()(,ln

]2atfxaa=−−，当ln02aaa−时，即当02ea时，()0gt恒成立，符合题意，当ln02aaa−时，即当2ea时，10minln,2ataat=−，结合图象可知，()10gt，不合题意，所以实

数a的取值范围为(0,2e].故答案为：(0,2e]【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知π0

,4，πtan2cos24+=.（1）求的大小；（2）设函数()()sin2fxx=+，0,πx，求()fx的单调区间及值域.【答案】（1）π12=（2）答案见详解【解析】【分

析】（1）根据切化弦公式与二倍角公式化简进行求值；（2）根据正弦型函数的单调区间公式求解函数()fx的单调区间，由0,πx，求整体角的取值范围得到()fx的值域.【小问1详解】由πtan2cos24+=得()22πsin42cossinπcos4

+=−+，则()()()()2sincos22cossincossin2cossin2+=−+−，因为π0,4，所以cossin0，所以()21cossin2−=，解得2cossi

n2−=，即π1cos42+=，又πππ,442+，所以ππ43+=，则π12=.【小问2详解】函数()πsin6fxx=+，0,πx，令2π2ππ6−+x，解得32π3π−x，所以函数()

fx在区间π0,3上单调递增；令2ππ3π62+x，解得π343πx，所以函数()fx在区间π,π3上单调递减；因为0,πx，ππ7π,666x+，当ππ62x+=时，

即π3x=，()fx取最大值1；当π7π66x+=时，即πx=，()fx取最小值12−.所以()fx值域为1,12−.18.nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，22nnaa+=43nS+.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa+=,求数列{n

b}的前n项和.【答案】（Ⅰ）21n+（Ⅱ）11646n−+【解析】【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（Ⅱ）求出bn11nnaa+=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．【详解】解：（

I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（

an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn()

()111121232nnaann+===++（112123nn−++），∴数列{bn}的前n项和Tn12=（11111135572123nn−+−++−++）12=（11323n−+）11646n=−+.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数

列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19.已知函数2()eaxfxx=，其中0a，e为自然对数的底数．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）求函数()fx在区间[0,1]上的最大值．【答案】（1）当0a=时，(

)fx在(0,)+上单调递增，在(,0)−上单调递减；当a<0时，()fx在(,0)−和2,a−+上单调递减；在20,a−上单调递增；（2）当0a=时，最大值是(1)1f=；当20a−时，最大值是(1)e

af=；当2a−时，()fx在区间[0,1]上的最大值是2224()efaa−=.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数()fx，讨论a，在函数的定义域内解不等式()0fx和()0fx即可．（2）欲求函数()fx在区间[0,1]上的最大值，先求()fx在区间[0,

1]上的单调性，讨论a的值，分别求出最大值．【小问1详解】2()eaxfxx=，函数定义域为R，()()2eaxfxxax+=．(i)当0a=时，令()0fx=，得0x=．若()0fx，则0x，从而()fx在(0,)+上单调递增；若()

0fx，则0x，从而()fx在(,0)−上单调递减．(ii)当a<0时，令()0fx=，得()20xax+=，解得0x=或2xa=−，有20a−．若()0fx，则0x或2xa−，从而()fx在(,0)−和2,a−+上单调递减；若()0fx，则20xa

−，从而()fx在20,a−上单调递增；【小问2详解】由（1）中求得单调性可知，(i)当0a=时，()fx在区间[0,1]上单调递增，最大值是(1)1f=．(ii)当20a−时，()fx在区间[0,1]上单调递增，最大值是(1)eaf=．(iii)当2a−时，()fx在区间

20,a−上单调递增，在区间2,1a−单调递减，最大值是2224()efaa−=．20.菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2.（1）证明：直线FC//平面EAB；（2）线段EC上是否存在点M使得直

线EB与平面BDM所成角的正弦值为28？若存在，求EMMC，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13EMMC=.【解析】【分析】（1）取AE的中点H，连接HF，HB，先证四边形BCFH

为平行四边形，从而知FC∥HB，再由线面平行的判定定理，得证；（2）取AB的中点N，连接DN，先证FD，DC，DN两两垂直，再以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设EM=λEC，λ∈[0，1]，用含λ的式子表示

出点M的坐标，求得平面BDM的法向量n，由2cos8,BEn=，解之即可．【小问1详解】取AE的中点H，连接HF，HB，因为EA∥FD，EA＝2FD＝2，所以四边形ADFH为平行四边形，所以HF∥AD，HF＝AD，又菱形ABCD，所以AD∥BC，AD＝BC，所以HF∥BC，HF

＝BC，即四边形BCFH为平行四边形，所以FC∥HB，因为FC平面EAB，HB⊂平面EAB，所以FC∥平面EAB．【小问2详解】取AB的中点N，连接DN，因为菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以△ABD是等边三角形，所以DN⊥AB，所以DN⊥DC，因为

EA⊥平面ABCD，EA∥FD，所以FD⊥平面ABCD，所以FD⊥DC，FD⊥DN，故以D为坐标原点，DN，DC，DF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，1，0），C（0，2，0），

D（0，0，0），E（3，﹣1，2），所以EC=（3−，3，﹣2），BE=（0，﹣2，2），DB=（3，1，0），设EM=λEC，λ∈[0，1]，则M（3（1﹣λ），3λ﹣1，2（1﹣λ）），设平面BDM的法向量为n=（x，y，z），则00nDBnDM==，即()()()30313

1210xyxyz+=−+−+−=，令x＝﹣1，则y3=，z＝，所以n=（﹣1，3，3231−−），因为直线EB与平面BDM所成角的正弦值为28，所以,cosBEn=BEnBEn|＝|2323232132

3224()1−−+−−+−|28=，化简得，2322070+−=，，解得λ14=或78−（舍负），即14EMEC=，所以13EMMC=．21.在平面直角坐标系xOy中，双曲线()2222:10,0yxCabab−=

的离心率为2，实轴长为4.（1）求C的方程；（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点()0,Pt且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A

，N，M四点共圆，求点P的坐标.【答案】（1）22144−=yx（2）()0,1【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案;（2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可

推出1ANOMkk=，设()11,Gxy，()22,Hxy，(,)MMMxy，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线:GHykxt=+，联立双曲线与直线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案.【小问1详解】因为实轴长为4，即24a=，2a=，又2ca=，所以22c=，2224

bca=−=，故C的方程为22144−=yx.【小问2详解】由O，A，N，M四点共圆可知，ANMAOM+=，又MOPAOM+=，即ANMMOP=，故1tantantanANMMOPOMP==，即1ANOMkk−=−，所以1ANOMk

k=,设()11,Gxy，()22,Hxy，(,)MMMxy，由题意可知()0,2A−，则直线112:2yAGyxx+=−，直线222:2yAHyxx+=−，因为M在直线l上，所以Myt=，代入直线AG方程，可知()1122Mtxxy+=+，故M坐标为()112,2txty

++，所以()()1122OMtyktx+=+，又222ANAHykkx+==，由1ANOMkk=，则()()12122212tyytxx++=+，整理可得()()1212222yyttxx+++=，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意

，故设直线:GHykxt=+，代入双曲线方程：22144−=yx中，可得()2221240kxktxt−++−=，所以12221ktxxk−+=−，212241txxk−=−，又()()()()12122222yykxtkx

t++=++++()()()()()()22222212122222422222111ttktkxxktxxtkkttkkk−+−−=+++++=++++=−−−，所以()()()()()()22212221

222222221204421tyytttktttxxttk−+++−+−++−====+−−−−,故2tt=−，即1t=，所以点P坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设

相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.22.已知函数1()ln()exfxkxk=+R.（1）若函数()yfx=为增函数，求k的取值范围；（2）已知120xx.（i）证明：21211xx

xeeeex−−；（ii）若1212xxxxkee==，证明：()()121fxfx−.【答案】（1）1,e+（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可得原题意等价于exxk对0x恒成立，构建()(0)

exxxx=，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；（2）（i）取1ek=，根据题意分析可得2121eeelnexxxx−−，构建()ln1gxxx=−−，结合导数证明2211ln1xxxx−−即可；（ii）根据题意分析可得1201xx

，()1111lne1xxxfx+=，()2222lne1xxxfx+=，构建ln1())e(0xxxgxx+=，结合导数证明()()12101efxfx，即可得结果.【小问1详解】∵1()ln()exfxkxk=+R，则1()(0)exkfxxx

=−，若()fx是增函数，则1()0exkfxx=−，且0x，可得exxk，故原题意等价于exxk对0x恒成立，构建()(0)exxxx=，则()1()0exxxx−=，令()0x，解得01x；令()0x，解得1x；则()x在(

0,1)上递增，在(1,)+递减，故()1()1ex=，∴k的取值范围为1,e+.【小问2详解】（i）由（1）可知：当1ek=时，ln1()eexxfx=+单调递增，∵120xx，则()()21fxfx，即21211111ln

lneeeexxxx++，整理得211212eelnlneelnxxxxxx=−−−，构建()ln1gxxx=−−，则()()1110xgxxxx−=−=，令()0gx，解得01x；令()0gx，解得1x；则()gx在(0,1)

上递减，在(1,)+递增，故()()ln110gxxxg=−−=，即ln1xx−−，当且仅当1x=时等号成立，令211xxx=，可得2211ln1xxxx−−，故21211xxxeeeex−−；（ii）∵1212xxxxkee==，则1212

110eexxkkxx−=−=，可知1()0exkfxx=−=有两个不同实数根12,xx，由（1）知1201xx，可得()1111111111ln111lnleeenexxxxxxxfxkxx+=+=+=，同理可得()2222lne1xxxfx+=，构建ln1())e(0

xxxgxx+=，则()e(1)ln()0xxxgxx−=，当01x时，(1)ln0xx−；当1x时，(1)ln0xx−；当1x=时，(1)ln0xx−=；且e0x，故()0gx对()0,x+恒成立，故()gx在(0,)+上单调递减，

∵1201xx，则()()21()1gxggx，即()()21e1fxfx，且11ln0,e0xx，则11ln10xx+，故2222ln1)0e(xxxgx+=，可得()210efx；又∵101x，由（i）可

得11ln1xx−−，即11ln1xx−，则()11111ln1111exxxxx+−+，且1e0x，则111ln11exxx+，可得()111efx；综上所述：()()12101efxfx可得()21

e0fx−−，则()()1201fxfx−.故()()()()12121fxfxfxfx−=−.【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com