【文档说明】《数学北师大版必修4教学教案》1.9三角函数的简单应用 （7）含答案【高考】.doc，共(13)页，378.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-三角函数的简单应用【教学内容解析】1.内容分析：数学教育的目的是以数学知识为载体，培养学生的数学核心素养；而学生学习数学的目的一来是自身个性发展与素质提升，二来则是应用数学、驾驭数学的意识和能力的提升.本节课选自北师大版普通高中课程标准实验教科书必修

4第一章第9节，是本章的最后一节.教材在本章以周期现象入手，周期函数是刻画周期现象的函数模型，三角函数作为一类重要的周期函数在本章重点研究，最终以三角函数模型的应用，即周期现象的刻画与研究为落脚点.这样处理体现了数学知识的产生、发展过程，反映了数学的“来龙去脉

”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识.本节课是在学习了“函数模型及其应用”以及“三角函数的图象与性质”的基础上，为进一步培养学生数学建模意识和数学应用意识而设置的内容．教材设计本节内容的课程目标是：以三角函数为载体，让学生认识到三角函数与实

际生活的紧密联系以及在实际问题中的广泛应用，体会三角函数的价值和功能，增强应用意识.在本节内容安排上，强调数学的人文价值和应用价值，以问题情境出发，引导学生发现问题并提出问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，并通过最后的反思归纳环节，提高学生对数形

结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法的认知层次，提升学生的直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养．基于对教材结构与课程目标的分析，本节课教学设计对相关内容重新整合，以焦作市本土的“一赛一节”活动为背景，通过探究当地气温对活动举办时间的影响，带领

学生经历数学建模的过程，反思归纳数学建模的基本过程，体会数学的应用价值，探究本市人民公园摩天轮中的数学问题，检测学生的迁移应用能力.这样设计本节课既尊重教材，又不脱离生活实际；既达到了数学教育的目标，提升了学生的数学核心素养，又培养了学生学习数学的兴趣，增强了家乡自豪感，有助于提

升学生的文化素养.2.教学重点：通过对内容的分析，确定本节课的教学重点为：以三角函数模型在生活中的简单应用为载体，经历并掌握数学建模的基本过程，发展数学建模核心素养.【教学目标解析】本节课的教学目标是：1.通过将实际生活中的一些简单周期现象抽象为三角函数模型的过程，积累从具体到抽象的活动

经验，培养学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题的意识，加强学生数学抽象的核心素养；2.经历从实际情境中发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解模型、解决问题的过程，使学生进一步掌握数学建模方法，提高数学建模能力；3.体会三角函数在实际生活的简单应用，感悟数学与现实之间的关联，认识数学的

应用价值，提升学生的数学应用意识.新课标基本理念以学生发展为本，落实立德树人根本任务，提升学科核心素养.本节课以三角函数为载体，以提升数学建模能力和素养为重点.所以本节课以四个环节展开：(1)以当地“一赛一节”文化活动作为背景引入，引导学生经历数学建模基本过程，落实立德树人根本任务，积累基本活动经

验，提升学生划归与转化的数学思想和数学抽象的核心素养；(2)通过教师引导，反思归纳数学建模基本过程，培养学生归纳概括能力，重视知识的生成过程；(3)通过对摩天轮模型的抽象与探究，学以致用，检测学生的应用能力，深化数学建模思想，感悟数学与现实的联系，突出数学的

应用价值；(4)通过课后的“课堂作业”与“实践作业”，-2-将数学延伸至课下，延伸至生活中，体现了教育的可持续发展和终身发展目标.【学情分析与诊断】1.学情分析：学生在初中阶段和高中数学必修1阶段学习了一系列

基本函数，理解函数是用来刻画变量间关系的，也了解这些基本函数的图像特征，对于数形结合、函数与方程等数学思想也有一定的理解与掌握；同时，学生又在高中数学必修4第一章前8节学习了三角函数，对三角函数的相关知识比较熟悉，了解三角函数是刻画周期现象的一类重要的周期

函数.因此，对于本节课的学习，学生具备了必要的知识基础.要达成本节课的教学目标，需要学生能敏锐的发现实际问题中的函数模型背景，合理的分析理解数据，理性的判断选择函数模型，掌握完整的数学建模步骤．但由于在平时的学校教学中，缺乏生活实践，忽视课堂与生活的联系，学生

思维不够灵活，所以学生在解决实际问题时，缺乏知识的应用意识，不能很好的将数学知识与生活实际相联系，在实际问题转化数学模型时可能会遇到一定困难；另外由于学生心理发展局限性和认知的局限性，在考虑问题时很难做到面面

俱到，导致在解决问题时顾此失彼、过于主观和思维定式.因此，在本节课中既要坚持学生的主体地位，也要求教师充分发挥课堂的主导地位.需要教师引导学生分析实际问题，回顾已有数学知识与方法，寻找数学知识及方法与实际

问题之间的联系，完成实际问题与数学模型之间的转化；在问题求解与方法归纳中，要有效引导学生严谨思考，全面归纳，升华课堂；另外，本节课需要借助相关数学软件辅助教学，因此要求教师对GeoGebra软件和几何画板软件熟练操作.2.教学难点：本节课的教学难点是：从数学视角分析问题，将实际问

题转化为数学模型，解决实际问题.难点突破策略：在教学中，多引导学生思考实际问题与数学的关联，透过现象抓住本质问题，发现内在关系；同时借助数学软件GeoGebra对散点图拟合，用几何画板对摩天轮模型进行动画演示，帮助

学生直观地感受变量间的关系.【教学策略与媒体分析】1.教学策略分析：基于对教学内容、教学目标的分析和学情分析，本节课采用如下的教学策略：（1）数学文化为引线：以焦作本土“一赛一节”文化活动为背景引入，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的文化素养，落实

立德树人根本任务．（2）诱思探究为主线：以问题驱动课堂，引导学生深入思考，建立模型，独立求解，验证结果，拓展应用，深刻体会数学建模过程，领略数学应用价值，提高数学核心素养.教学中采用问题探究式教学模式：提出问题——解决问题——

反思归纳——运用检测．学生通过独立思考、小组讨论、展示交流、反思归纳、运用检测等活动，最终达成问题的解决：突出重点（掌握数学建模基本过程，发展数学建模核心素养），突破难点（将实际问题抽象转化为数学模型

，解决问题）．2.教学媒体分析：黑板：板书教学重点．多媒体投影：交流学生探究成果，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果；暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞．GeoGebra软件、几何画板软件：绘制散点图，拟合三角函数图象，求

解拟合函数解析式，帮助学生对比、验证自己所求函数的正确性；借助几何画板的动画功能，演示摩天轮动态模型，帮助学生观察变量之间的关系，建立函数关系.【教学过程设计】-3-教学环节教学过程设计意图一、创设情境，提出问题前面我们学

习了三角函数，并研究了三角函数的图像以及性质，那么学习三角函数有什么用呢？本节课我们来探究三角函数模型在生活中的简单应用.通过学生思考学习三角函数的目的和意义，培养学生的数学应用意识，为接下来建立实际问题与数学模型间的联系做铺垫.“一赛一节”是焦作市

全力打造的节会品牌，那么你对“一赛一节”有多少了解呢？播放“一赛一节”开幕的新闻视频.通过了解“一赛一节”文化活动，培养学生的文化素养．那么“一赛一节”举办时间是什么时候？为什么定于这个时间呢？本节课我们就从数学的角度出发，对该问题进行探究和解释.（核心问题）提出核心问题，驱动学生思考，激发学

生学习兴趣和求知欲望.二、抽象转化，建立模型影响因素是多样的，有同学提到了因为凉快、秋高气爽，也就是气候因素了，那么焦作有着什么样的气候环境呢？我们来了解一下.阅读焦作气候简介.缩小问题范围，避免问题过大，保证问题的严谨性.一、

创设情境，提出问题六、课堂小结，课后实践二、抽象转化，建立模型三、运算求解，模型检验四、模型应用，拓展延伸五、反思归纳，运用检测-4-下表给出了2018年1—7月份的月平均气温统计：月份1234567平

均气温/0C-205.7132125.828根据表中数据，请同学们在坐标系中画出散点图.（投影展示）借助图像分析问题，渗透数形结合思想，培养直观想象的核心素养.观察散点图，结合具体情境与生活经验，请同学

们思考应该选择什么样的函数曲线对该散点图进行拟合呢？以问题驱动学生思考、表达、讨论、交流、统一，发展学生严密的逻辑思维，培养学生分析问题的能力与团队合作精神.说到选择什么样的函数曲线，我们先来回顾一下我们学过哪些函数？初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数，必修一学习的

幂函数、指数函数、对数函数，以及本学期学习的三角函数。哪类函数能更好、更合理地跟我们的散点图拟合呢？并说明理由.三角函数中我们具体学习了正弦、余弦和正切函数，那么我们选择哪个三角函数呢？请同学们小组讨论，明确所选择的函数，并给出理由.我们来看下利用数学软件拟合出来的效果.（Ge

oGebra软件展示拟合曲线）可以看出，数据越多，拟合的效果越好。使用信息技术快速准确的画出拟合曲线，建立函数模型．-5-三、运算求解，模型检验从拟合出来的三角函数曲线可以看出，点)2,1(−A是图像最低点，点)28,7(G是图

像最高点.请同学们在坐标系中将图像补全，求出三角函数解析式btnAT++=)(si.让学生补全图像，引导学生观察曲线的几何特征，利用三角函数的图象与性质，确定三角函数解析式，提升数学运算的核心素养

,同时为问题(6)铺垫.投影展示学生解答过程：根据周期是12，利用2=T求得6=；根据最大值28和最小值2−，可以求出振幅15=A，以及13=b；最后将最值点代入，可以求出32−=.（追问学生对周期性的考虑）确定函数解析式13)326(s

i15+−=tnT.（追问自变量t是不是可以任意取值呢？）通过对学生解答过程的展示、追问、点评，培养学生严密的逻辑思维和规范的解题过程.我们求出来的解析式和刚才用数学软件确定的函数解析式是否一致呢？比较解析式.可以看到我们求的参数值与数学

软件确定的参数值并不完全一致，该如何解释呢？由学生独立思考回答.通过对误差的分析与解释，提升学生综合考虑问题的能力，为接下来检验模型奠定基础.根据所求解析式，估计九月份的平均气温.那么我们算出来的平均气温是否符合生活实际呢

？下面给出了2018年全年的月平均气温统计表可以看出九月份的平均气温21.5℃，和所求气温20.5℃是有差别的，也算正常误差.通过对模型的解与实际温度的比较，检验模型.-6-那么这个气温对“一赛一节”的举办有什么影响呢？根据生理学家研究，标准温度是人体体温36.5℃和0℃的黄金

分割(约为0.618)点，36.5*0.618=22.557，所以说人们会在18℃-25℃感觉很舒服.因此，就焦作的气温而言，九月份是最适宜人们生活的一个月份.回归现实，验证生活现象，提升学生将数学知识与生活实际相联系的能力.四、模型应用，拓展延伸同学们知道焦作的市花是什么花吗？月

季.月季在平均气温20℃～26℃时最有利于生长，结合函数图像，判断在焦作最有利于月季生长的月份是哪几个月？通过作图，我们可以看到最有利于月季生长的是每年的五、六、八、九月.请同学们想象一下：酷暑已去，秋高气爽，大街

小巷，盛开的月季，千娇百媚，争奇斗艳，是不是也为焦作的城市形象增光添彩呀!利用图像探究月季最佳生长月份，加深学生对数形结合思想的掌握，体会数学模型的应用价值，提升学生的应用意识；同时，与“一赛一节”活动时间再次呼应,增强学生对家乡城市的热爱.五、反思归纳，运用检测通过探究气温对我市“

一赛一节”举办时间的影响，你都经历了哪些过程？这就是数学建模（核心素养）的全过程了.我们可以体会到数学来源于生活，服务于生活.数学建模就是用数学的视角看世界，用数学的语言表达世界，用数学的知识和方法解释世界、服务世界的.通过反思归纳探究历程，提炼数学建模基本过程

，强化数学建模意识，发展数学建模核心素养，感悟数学的应用价值.-7-经历了以上建模过程，同学们有没有信心自己完成一次数学建模呢？【运用检测】我市人民公园摩天轮直径为36m,轮子的底部在地面上3m处，摩天轮按逆时针方向旋转，每9min转一圈，某游客从摩天轮底部乘坐开始计时.(1)求该游客相

对于地面的高度关于时间的关系式；(2)若游客在某天日落时分乘坐摩天轮，由于周围建筑的遮挡，在距离地面约30m时方能看到日落。在摩天轮转动的一圈内，此人能看到日落的时间约有多长？这是我市人民公园的摩天轮，请同学们

认真阅读材料，提取有效信息.激发学生的探究兴趣，培养学生筛选有效信息的能力.那么我们要就该问题建立数学模型，你觉得在数学人的眼里，摩天轮应该是什么样的？直线BC表示地面，圆表示摩天轮，圆上的点M表示游客的位置.θ地面h0=3mR=1

8mh(t)ACB轴O游客M请同学们随我一起登上摩天轮.（利用几何画板动画演示）在乘坐摩天轮的过程中，请同学们用心感受，仔细观察，观察哪些量在变？以及这些变化的量之间存在什么样的关系？认真思考，完成解答过程.引导学生抽象数学关系，分析复杂条件，培养学生数学抽象的能力，通过三角函数模型的实际应用

，再次使学生体会数学建模的现实意义和价值．投影展示学生的两种解答过程：“待定系数法”：(1)设函数解析式，确定参数18=A，21=b，92=，带入特殊值，确定2−=；(2)将问题转化为三角函数不等式进行求解，最后得出在转动的一圈中有3分钟的

时间可以看到日落.追问：你是怎么知道这是三角函数的？而且还是关于正弦的三角函数？三角函数是一类重要的周期函数，但反过来，通过展示、追问、思考、点评，加深学生对知识的理解和掌握，既树立学生的学习信心，又指出学生存在的不足，重视过程评价

.-8-周期函数未必就是三角函数.而且三角函数不只有正弦函数.当确定函数类型时，才可以使用待定系数法.“演绎推理”：(1)游客距离地面的高度是关于旋转角度的函数，而旋转角度又是关于时间的函数，从而可以得出游客距离地面的高度关于时间的函数解析式.(2)本质都是解三角不等式，不同的是这位同学用的

是余弦函数.数学建模不是一朝一夕就能掌握的，希望同学们在课下、在生活中要继续不断地培养数学建模意识，感受数学在生活中的应用价值。六、课堂小结，课后实践最后我们来对本节课做一个小结：1.本节课你学到了什么？数学建模——三角函数模型在生活中的简单应用2.数学建模的基本过程有哪些？现实问题

→转化数学模型→模型求解→回归现实3.本节课涉及了哪些数学知识、数学方法及数学思想？三角函数图像的应用、解析式的确定、不等式的求解；数形结合、函数与方程、化归与转化、数学建模.通过最后的课堂小结，梳理课

堂内容，升华认知层次，突出教学重点，整体把握课堂,培养学生归纳概括的能力.【课堂作业】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口

在某季节每天的时间与水深关系表：（1）选用适当的函数模型来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出函数解析式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底课堂作业更偏向于本节课教学内容，用于检测学生对本节课的学习效果；实践作业的目的是让学生真实经历数学建模的全过程，小组合作，以

研究报告形式提交成果，培养学生的团结合作能力，提升学生的综-9-的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船何时能进入港口?在港口能呆多久？【实践作业】（以小组为单位，以研究报告

形式提交）夏天是用电的高峰期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现了电力过剩的情况，因此每天的用电也出现周期性的变化。为保证居民用电，电力部门提出了“削峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓

励各单位在低峰时期时用电。请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“削峰平谷”的电价方案。合能力.【板书设计】【教学评价与反思】本节课从生活实际问题出发，综合运用数学知识与方法，再落回现实问题，深入浅出，使学生完整的经历了数学建模

的全过程；通过反思归纳，提炼数学建模基本过程，认识数学建模思想；运用检测，学以致用，提升数学建模核心素养；总结相关数学知识与数学思想方法，升华认知；在现实世界与数学世界的转化中，教师恰当引导，自然衔接，突破难点；最终达成教学目标，突出教学重点.由于课堂

的局限性和学生应用意识的缺乏，还需要做好课堂外延，继续培养学生的应用意识，提升学生的数学建模素养.附：学案及作业三角函数模型的简单应用【课堂探究】-10-2018年1—7月份的月平均气温统计：月份t123

4567平均气温T/0C-205.7132125.828(1)根据表中数据，在坐标系中画出散点图.(2)在坐标系中将图像补全，并求出函数解析式).(3)根据所求解析式，估计九月份的平均气温.(4)月季在平均气温20℃～26℃时最有利于生长，结合函数图像，判断在焦作最有利

于月季生长的月份是哪几个月？【反思•归纳】-11-【运用检测】我市人民公园摩天轮直径为36m,轮子的底部在地面上3m处，摩天轮按逆时针方向旋转，每9min转一圈，某游客从摩天轮底部乘坐开始计时.(1)求该游客相对于地面的高度(单位：m)关于时间(单位：min)的函数关系式；(2)若游客在某

天日落时分乘坐摩天轮，由于周围建筑的遮挡，在距离地面约30m时方能看到日落.在摩天轮转动的一圈内，此人能看到日落的时间约有多长？【课堂作业】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道

，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻03691215182124水深/米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）选用适当的函数模型来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出函数解析式

；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船何时能进入港口?在港口能呆多久？【实践作业】夏天是用电的高峰期，特别是在晚上，为保证居民空

调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现了电力过剩的情况，因此每天的用电也出现周期性的变化.为保证居民用电，电力部门提出了“削峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时期时用电

.请以小组为单位调查本地区每天的用电情况，制定一项“削峰平谷”的电价方案.以报告形式提交.θ地面h0=3mR=18mh(t)DACB轴O游客M-12-关于制定“削峰平谷”电价方案的研究报告班级_______小组编号________完成时间_________1.小组成员与分工：小

组成员分工与主要工作或贡献备注-13-3.参考文献：4.成果的自我评价(说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等)：5.问题拓展与延伸(在解决问题的过程中发现和提出的新问题，延伸或拓展的内容，得到的

新结果或猜想等)：6.过程体会与收获：7.教师评价：