【文档说明】安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷 含解析.docx，共(21)页，1.660 MB，由小赞的店铺上传

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合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥工大附中命题教师：王峰审题教师：郑贤玲一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线310xy+−=的倾斜角是（）A.π

6B.π3C.2π3D.5π6【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，0π，直线310xy+−=可化为33+33yx=−，所以直线的斜率3tan3k==−，5π6=，故选：D．2.三棱柱ABC－A1B1C1中，若C

Aa=，CBb=uurr，1CCc=uuurr，则1ABuuur等于（）A.a＋b－cB.a－b＋cC.－a＋b＋cD.－a＋b－c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用1CA,CC,CB表示出1ABuuur即可.【详解】111111ABACCCCBA

CCCCBCACCCBacb=++=−+=−−+=−−+.故选：D3.已知圆的方程22290xyax+++=圆心坐标为(5,0)，则它的半径为A.3B.5C.5D.4【答案】D【解析】【详解】分析：先根据圆心坐标求

出a的值，再求圆的半径.详解：由题得25,5.2aa−==−所以圆的半径为221004984.22+−==故答案为D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当2240DEF+−时，220xyDxEyF

++++=表示圆心为(,)22DE−−，半径为2242DEF+−的圆.4.如果向量()2,1,3a=−，()1,4,2b=−，()1,1,cm=−共面，则实数m的值是（）A.1−B.1C.5−D.5【答案】B【解析】【分析】设cxayb=+，由空间向量的坐标运算可

得出方程组，即可解得m的值.【详解】由于向量()2,1,3a=−，()1,4,2b=−，()1,1,cm=−共面，设cxayb=+，可得214132xyxyxym−=−+=−+=，解得37171xym==−=.故选：B.5.已知圆C经过两点(0,

2)A，(4,6)B，且圆心C在直线:230lxy−−=上，则圆C的方程为（）A.226160xyy+−−=B.222280xyxy+−+−=C.226680xyxy+−−+=D.2222560xyxy+−+−=【答案】C【解析

】分析】先求出线段AB的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.【详解】因为线段AB的中点坐标为(2,4)，直线AB的斜率为62140−=−，所以线段AB的垂直平

分线方程为4(2)yx−=−−，即6yx=−与直线l方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆的半径22(30)(32)10r=−+−=，所以，圆C的方程为22(3)(3)10xy−+−=，即226680xyxy+−−+=.故选：C.【点睛】本题考查圆的

方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题.6.如图，已知点P在正方体ABCDABCD−的对角线BD上，60PDC=.设DPDB=，则的值为（）A.12B.22C.21−D.3

22−【【答案】C【解析】【分析】以D为原点，以,,DADCDD方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.写出,DCDP的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得.【详解】以D为原点，以,,DADCDD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设1A

D=，则()()()()0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,0DBDC，所以()()()0,0,1,1,1,1,0,1,0DDDBDC==−=，所以()()()0,0,11,1,1,,1DPDD

DPDDDB=+=+=+−=−，因为60PDC=，所以()2221cos6021DCDPDCDP===++−，整理得2210+−=，解得12=−−或21=−，由题可知01≤≤，所以21=−.故选：C的7.从

直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为()A.322B.142C.324D.3212−【答案】B【解析】【详解】设直线30xy−+=上的点为(,3)Ptt+，已知圆的圆心和半径分别为(2,2),1Cr=，则切线长为2

2222(2)(1)1224LPCrtttt=−=−++−=−+，故当12t=时，min1114224422L=−+=，应选答案B．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综

合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．8.在正方体1111ABCDABCD−中，若棱长为1，E，F分别为线段11BD，1BC上的动点，则下列结论错误的是（）A.1DB⊥平面1ACDB.直线AE与平面11BBDD所成角的正弦值为定值13C.平面11//ACB平面1ACDD.点F

到平面1ACD的距离为定值33【答案】B【解析】【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可【详解】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0

,1),(1,1,1),(0,1,1)ABCDABCD，令111(1,1,0)BEBD==−uuuruuuur，得(1,,1)E−，令1(0,1,1)BFBC==uuuruuur，得(1,,)F，,[0,1]，对于A，11(1,1,1),(1,1,0),(0,1

,1)DBACAD=−==，显然11100DBACDBAD==，即1DBAC⊥，11DBAD⊥，而1ACADA=I，1,ACAD平面1ACD，因此1DB⊥平面1ACD，A正确；对于B，由1BB⊥平面ABCD，AC

平面ABCD，得1BBAC⊥，因为ACBD⊥，1BBBDB=，1,BBBD平面11BBDD，则AC⊥平面11BBDD，于是(1,1,0)AC=为平面11BBDD的一个法向量，(1,,1)AE=−，设直线AE与平面11BBDD所成角为，则2||1s

in|cos,|||||2222ACAEACAEACAE===−+不是定值，B错误；对于C，由选项A知1DB⊥平面1ACD，即1(1,1,1)DB=−uuur为平面1ACD的一个法向量，而111(1,1,0),(1,0,1)ACAB==−，则1111100

ACDBDBAB==，即有11111,DBACDBAB⊥⊥，又1111ACABA=，111,ACAB平面11ACB，因此1DB⊥平面11ACB，则平面11//ACB平面1ACD，C正确；对于D，显然(1,,)AF=，因此点F到平面

1ACD的距离为11||1333||AFDBdDB===uuuruuuruuur，为定值，D正确.故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，体

对角线1AC与1BD，相交于点О，则（）A.111ABAC=B.12ABAC=C.12ABAO=D.11BCDA=【答案】AC【解析】【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详

解】方法一：()2111ABACABABADAB=+==，故A正确；()2111ABACABABADAAAB=++==，故B错误；11122ABAOABAC==，故C正确；()2111BCDABCBBCBBC=+=−=−，故D错误；方法

二：111111111111112cos,1212ABACABACABACABAC====，故A正确；由正方体的性质可知，13AC=，12BC=，111111cos,1313ABABACABACABACABACAC===

=，故B错误；11122ABAOABAC==，故C正确；1121212BCDAADDA==−=−，故D错误.故选：AC．10.下列说法中，正确的有（）A.点斜式()11yykxx−

=−可以表示任何直线B.直线42yx=−在y轴上的截距为2−C.点()2,1P到直线的()130axaya+−++=的最大距离为210D.直线230xy−+=关于0xy−=对称的直线方程是230xy−+=【答案】BC【解析】【分析】根据点斜式的应用

范围即可判断A；=0x，求出y，即可判断B；求出直线所过的定点，再求出定点与点()2,1P的距离，即可判断C；求出交点坐标，在求出直线直线230xy−+=上的点关于直线0xy−=对称的点的坐标，即可判断D.【详解】解：对于A，点斜式()11yykxx−=−不能表示斜率不存在

得直线，故A错误；对于B，令=0x，则2y=−，所以直线42yx=−在y轴上的截距为2−，故B正确；对于C，直线()130axaya+−++=化为()130xyay++−+=，令++1=0+3=0xyy−，解得=4=3xy−，所以直线()

130axaya+−++=过定点()4,3−，则点()2,1P到直线的()130axaya+−++=的最大距离为()()224231210−−+−=，故C正确；对于D，联立2+3=0=0xyxy−−，解得=3=3xy−−

，即直线230xy−+=与直线0xy−=的交点为()3,3−−，设直线230xy−+=上的点()0,3M关于直线0xy−=对称的点()00,Mxy，则00003=10+0+3=022yxxy−−−−

，解得00=3=0xy，即()3,0M，所以所求直线方程为033033yx−−=−−−−，即230xy−−=，故D错误.故选：BC11.已知()1,0,1a=r，()1,2,3b=−−，()2,4,6c=−，则下列结论

正确的是（）A.ab⊥B.bc∥C.,ac为钝角D.c在a方向上的投影向量为()4,0,4【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量

的关系计算求解判断D.【详解】因为()()11021340−++−=−，所以a，b不垂直，A错，因为2cb=−，所以bc∥，B对，因为()1204168ac=+−+=，所以cos,0ac，所以,ac不是钝角，C错，因为c在a方向上的投影向量()()28cos,1,0,

14,0,42aaccacaaa===，D对，故选：BD.12.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()34330mxymm++−+=R恒过定点()3,3−−.B.已知圆22:4Cxy+=，点P为直线142xy+=上一动

点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点()1,2C.曲线22120C:xyx++=与曲线222480C:xyxym+−−+=恰有三条公切线，则4m=D.圆224xy+=上存在4个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1【答案

】BC【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点()3,3−，判断A错误；求出直线方程()2402ymxy−+−=，判断直线AB经过定点(1,2)，B正确；根据两圆外切，

三条公切线，可得C正确；根据圆心(0,0)到直线1:20xy−+=的距离等于1，判断D错误.【详解】对于A，直线方程可化为(3)3430mxxy+++−=，令30x+=，则3430xy+−=，3x=−，3y=，所以直线恒过定点()

3,3−，A错误；对于B，设点P的坐标为(,)mn，所以，142mn+=，以OP为直径的圆的方程为220xymxny+−−=，两圆的方程作差得直线AB的方程为：4mxny+=，消去n得，()2402ymxy−+−=，令02yx−=，240y−=

，解得1x=，2y=，故直线AB经过定点(1,2)，B正确；对于C，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线22120C:xyx++=化为标准式得，22(1)1xy++=曲线222480C:xyxym+−−+=

化为标准式得，22(2)(4)200xym−+−=−所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即1205m+−=，解得4m=，C正确；对于D，因为圆心(0,0)到直线1:20xy−+=的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故

到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:20xy−+=的距离等于1，D错误；故选：BC．【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．三、填空题（本

大题共4小题，共20分）13.已知Ra，方程222(2)4850axayxya+++++=表示圆，圆心为__________．【答案】()2,4−−【解析】【分析】由题意可得22aa=+，和2240DEF+−确定出a的值，然后将圆的方程化为标准方程，从而可求出圆心坐标

.【详解】由题意得220aa=+，解得1a=−或2a=，当1a=−时，方程化为224850xyxy+++−=，此时2241664200DEF+−=++，所以此方程表示圆，22(2)(4)25xy+++=，所以圆的圆心为()2,4−−，半径为5，当2a=时

，方程化为224448100xyxy++++=，即225202xyxy++++=，此时2254144502DEF+−=+−=−，所以此方程不表示圆，综上，圆心为()2,4−−，故答案为：()2,4−−14.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点E是11AB的中点，则

点A到直线BE的距离是__________．【答案】455##455【解析】【分析】以D为原点，以1,,DADCDD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D为原点，以1,,DADCDD的方向为x轴、y轴、z轴的

正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2ABE，所以()()0,2,0,0,1,2BABE=−=−，记与BE同向的单位向量为u，则5250,,55u=−，所以，点A到直线BE的距离

()2222545455dBABAu=−=−=.故答案为：45515.若圆224xy+=，与圆C：22260xyy++−=相交于A，B，则公共弦AB的长为___________.【答案】23【解析】【分析】两圆方程相减可

得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】由题意AB所在的直线方程为：()()22222640xyyxy++−−+−=，即1y=，因为圆心O到直线1y=的距离为1，所以2222123AB=−=.故答案为：2316.如图，把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线AC折起，设二面角DACB−−

的大小为，异面直线AB与CD所成角为，当π2π,33时，cos的取值范围是___________.【答案】13,44【解析】【分析】设AC的中点为O，则BOD为二面角DACB−−的平面角，利用坐标法，根据线线角的向量求法可得cos

1cos2−=，然后根据三角函数的性质即得.【详解】设AC的中点为O，连接,OBOD，则,ACOBACOD⊥⊥，所以BOD为二面角DACB−−的平面角，即BOD=，如图以O为原点建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2c

os,2sinABCD−，所以()()2,2,0,2,2cos,2sinABCD=−=，所以cos2cos21coscos,222ABCDABCDABCD−−====，因为π2π,33，所

以11cos,22−，所以cos13,44.故答案：13,44.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）为17.求经过

直线ll∶2x-y+4=0与直线l2∶x-y+5=0的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线x-2y-1=0平行；（2）与直线x+3y+1=0垂直.【答案】（1）2110xy−+=；（2）330xy−+=.【解析】【分析】（1）设

所求直线为()()2450xyxy−++−+=，整理为一般方程后利用平行直线的系数关系可求，从而可求与已知直线平行的直线方程.（2）设所求直线为()()2450xyxy−++−+=，整理为一般方程后利用垂直直线的

系数关系可求，从而可求与已知直线垂直的直线方程.【详解】（1）设所求直线为()()2450xyxy−++−+=，故()()21450xy+−+++=，因为此直线与直线210xy−−=，故()()()2211+−=−+

，故3=−，故所求直线为2110xy−+=.（2）设所求直线为()()2450xyxy−++−+=，故()()21450xy+−+++=，因为此直线与直线310xy++=，故()()2310+−+=，故12=−，故所求直线为330xy−+=.18.如图，已

知平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，1112120AAAABAAD===，，设1ABaADbAAc===，，．（1）求1AC；（2）求1AABD．【答案】（1）2（2）0【解析】【分析】（1）先按照空间向

量的加减运算表示出1ACuuur，再按照数量积运算求出1AC；（2）先表示出BD，再按照数量积运算求解.【小问1详解】111ACABBCCCABADAAabc=++=++=++，0==ABADab，1112()12==−=−ABAAac，1112()12

==−=−ADAAbc，221||()ACabc=++222abc=++2()+++abacbc1142(011)=+++−−2=，即有1||2=AC；【小问2详解】11()()=−=−AABDAAADABcba=−cbca1(1)0=−−−=．19

.已知ABC的三个顶点的坐标为()3,3A、()2,2B−、()7,1C−，试求：（1）BC边上的高所在的直线方程；（2）ABC的面积．【答案】（1）360xy−−=（2）24【解析】【分析】（1）先求出直线BC的斜率，进而得BC边上的高的斜率，由点斜式写出

方程即可；（2）先求出BC及直线BC方程，再由点到直线距离公式求得A到BC的距离，即可求得面积.【小问1详解】因为2112(7)3BCk−−==−−−，则BC边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为()333yx−

=−，化简得360xy−−=．【小问2详解】()2227(21)310BC=++−−=，直线BC方程为12(2)3yx+=−−，整理得340xy++=，则A到BC的距离为223334161013++=+，则ABC的面

积为11631024210=.20.在正方体中1111ABCDABCD−，已知O为11AC中点，如图所示．（1）求证：1//BC平面1;ODC（2）求异面直线1BC与OD夹角大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角

坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求异面直线的夹角.【小问1详解】在正方体1111ABCDABCD−中，因为AD，DC，1DD两两垂直，故以D为原点，1DADCDD，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图：

不妨设正方体的棱长为1，则()()()1111,,1,0,1,1,1,1,1,0,1,022OCBC，故11,,122DO=，()10,1,1DC=，()11,0,1BC=−−，设平面1ODC的一个法向量为(),,nxyz=r，由100nDOnDC==，得

110220xyzyz++=+=，令1y=，则1,1zx=−=，所以()1,1,1n=−．从而10nBC→→=，又1BC平面1ODC，所以1//BC平面1ODC..小问2详解】设1BC、DO分别为直线1BC与OD的方向向量，则由()11,0,1

BC=−−，11,,122DO=得1111132cos232,2BCDOBCDOBCDO−−===−,所以15π6,BCDO=，所以两异面直线1BC与OD的夹角的大小为π6．21.已知点(4,4)A，(0,3)B，直线l：1yx=−，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．

【（1）若圆心C也在直线37yx=−上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使2MBMO=，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围．【答案】（1）4x=或3440xy−+=.（2）32222a−−或

23222a.【解析】【分析】（1）求出圆C：22(3)(2)1xy−+−=后，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案；（2）根据||2||MBMO=可得点M在以(0,1)D−为圆心，2为半径的圆上.再根据两圆有交点，列式可解得结果.【详解】(1)由137yxyx=−=−得：()3

,2C，所以圆C：22(3)(2)1xy−+−=..当切线的斜率存在时,设切线方程为4(4)ykx−=−，由2|2|11kdk−==+，解得：34k=当切线的斜率不存在时，即4x=也满足所以切线方程为：4x=或3440xy−+=.(2)由圆心C在直线l：1yx=−

上，设(,1)Caa−设点(,)Mxy，由||2||MBMO=得：2222(3)2xyxy+−=+化简得：22(1)4xy++=，所以点M在以(0,1)D−为圆心，2为半径的圆上.又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则1||3CD即2213aa+，解得

：32222a−−或23222a.【点睛】本题考查了求圆的方程及其切线方程，考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.22.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,PA⊥PD,底面ABCD为

直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为63?若存在,求出PQQ

D的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）63；（2）存在，12【解析】【详解】试题分析：由PA=PD,O为AD中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得OCAD⊥,所以可以O为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角

坐标系，然后利用空间向量求解.试题解析：(1)在PAD中，2PAPD==，O为AD的中点，所以POAD⊥,侧面PAD⊥底面ABCD,则PO⊥面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC,则OCAD⊥,以O为坐标原

点，直线OC为x轴，直线OD为y轴,直线OP为z轴建立空间直角坐标系.()1,1,1PB=−−,AOPOC⊥面,()010OA=−，，,3cos,sin3PBOA==所以，直线PB与平面POC所成角的余弦值为63.(2)假设存在，则设PQ=λ,01P

D因为PD=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为m=（a，b，c），则()()0110abbc+=++−=，所以取m=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量n=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为63，所以

nmnm=63，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=13或λ=3（舍去），所以PQQD=12.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二

面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com