【文档说明】重庆市两江育才中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.085 MB，由小赞的店铺上传

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第1页/共18页学科网（北京）股份有限公司2022-2023学年度（下）半期质量监测高一数学试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法错误的是A.向量AB

与BA的长度相同B.单位向量的长度都相等C.向量的模是一个非负实数D.零向量是没有方向的向量【答案】D【解析】【分析】根据零向量、向量的模，以及单位向量的概念，即可判定得到答案.【详解】A中，向量AB与BA相反向量，则ABBA=uuuruur，

所以是正确的；B中，单位向量的长度都是1，所以是正确的；C中，根据向量的模的定义，可知向量的模是一个非负实数，所以是正确的；D中，零向量方向是任意的，所以“零向量是没有方向的向量”是错误的，故选D.【点睛】本题主要考查了零向量的概念，其中熟记零向量的基本概念是解答的关键

.2.若z=1+i，则|z2–2z|=（）A.0B.1C.2D.2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22zz−的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212zii=+=，则()222212zzii−=−+=−.故

2222zz−=−=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.3.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4．再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为第2页/共18页学科网（北京）股份有限公司A.3∶4B.9∶16C.27∶6

4D.21033：【答案】D【解析】【详解】试题分析：设圆的半径为r,则两个圆锥的母线长为r．由已知可得，两个圆锥的底面半径分别为,所以两个圆锥的高分别为,因此两圆锥的高之比为21033：．故选D．考点：圆

锥的底面半径、母线长、高的关系．4.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，30C=，10c=.如果ABC有两解，则a的取值范围是（）A.10,20B.10,103C.()10,103D.()10,20【答案】D【解析】【分析】作出图形，根据题意可得出关于a不等式，由此可解

得a的取值范围.【详解】如下图所示：因为ABC有两解，所以1sin102aCaca==，解得1020a.故选：D.5.已知向量a，b满足||1a=，||1b=，a与b的夹角为π4，则ab+在b上的投影向量为（）A.24bB.22bC.424

b+rD.222b+【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】因为||1a=，||1b=，a与b的夹角为π4，的第3页/共18页学科网（北京）股份有限公司所以()2222211122abbabb++=+=+=r

rrrrr，所以ab+在b上的投影向量()222abbbbbb++=rrrrrrr，故选：D6.在复平面内，复数2019(1i)i23iz−=+所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【

解析】【分析】先利用虚数单位的性质化简2019i，再利用复数的四则运算法则，化简式子，从而得到该复数相对应的点，由此得解.【详解】因为()50420194504343iiiii+===−，所以()(

)()()()2019(1i)i23i(1i)23i(1i)i5i51i23i23i23i13131313z−−−−−−−−+=====−+++−，所以z所对应的点为51,1313−，位于第

二象限.故选：B.7.古代典籍《周易》中“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形ABCDEFGH中，若(),RACxAByAHxy=+，则xy+=（）A.122+B.12+C.22+D.3【答案】C【解析】【分析】如图，连

接CH，作AMCH⊥于点M，作BNCH⊥于点N，由正八边形的特征可得的第4页/共18页学科网（北京）股份有限公司()12CHAB=+，从而可将AC用,AHAB表示出来，再结合已知即可得解.【详解】解：如图，连接CH，作AMCH⊥于点M，作BNC

H⊥于点N，由正八边形的特征可得ABCH∥，45AHCBCH==，故2222MHNCAHAB===，所以()12CHAB=+，则()12ACAHHCAHAB=+=++，又因(),RACxAByAHx

y=+，所以1,12xy==+，所以22xy+=+.故选：C.8.棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥EBCD−的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥EBCD−的表面积为（）A.2334a+B.2336a+C.2336a−D.2334a−【答案】A

【解析】【分析】由棱长为a的正四面体ABCD求出外接球的半径，进而求出正三棱锥EBCD−的高及侧棱长，可得正三棱锥EBCD−的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥EBCD−的表面积.【详解】由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，

由题意可知⊥AE面BCD交于F，连接CF，则233323CFaa==第5页/共18页学科网（北京）股份有限公司且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为223633aaa=−.设外接球的半径为R，由2226333RaRa

=−−得64Ra=.设正三棱锥EBCD−的高为h，因为6623AEaah==+，所以66ha=.因为底面BCD的边长为a，所以2222EBECEDCFha===+=，则正三棱锥EBCD−的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥EBCD−的表面积222121333322224Saa

a+=+=，故选：A.【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球问题，通过求得半径求出四面体的边长是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小

题有多项符合题目要求）9.下列四个命题中正确的是（）A.若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用确定平面的

定理的推论可判断正误；对于B，根据反证法即确定平面的性质即可判断；对于C，根据平行直线与异面直线的的定义判定即可；对于D，利用反证法思想及线面垂直的性质可判断.第6页/共18页学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，确定平面的定理的推论：“两条平行直线确定一个平面”，故A正确；对于B，若

四点中有三点共线，由公理的推论“一条直线和这条直线外的一点确定一个平面”知这四点一定共面，矛盾，故B正确；对于C，若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故C错；对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确.故选：ABD.10.已知向量(43)am=−，，(1)bm=，，则

下列说法正确的是（）A.若ab⊥，则4m=B.若35m=，则ab∥C.2ab+的最小值为6D.若a与b的夹角为锐角，则14−m【答案】BC【解析】【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：若ab⊥，故可

得()430mm+−=，解得1m=−或4m=，故A错误；B：当35m=时，1234,,1,55ab==，此时31241055−=，则ab∥，故B正确；C：()26,3abm+=+，故2ab+()23636m=++，当

3m=−时，取得最小值，故C正确；D：若a与b的夹角为锐角，则()430abmm=+−，解得14m−；当a与b共线时，43mm=−，解得35m=，故331,,455m−

，故D错误；综上所述，正确的选项是：BC.故选：BC.11.在正四棱台1111ABCDABCD−中，1124ABAB==，12AA=，则（）．A.该棱台的高为2B.该棱台的表面积为16123+C.该棱台的体积为282D.该棱台外接球的体积为4010π3【答案】AD【解析】【分析】根据正四

棱台的结构特征可求得高，判断A;求得每个面面积即可求得四棱台表面积，判断B;利第7页/共18页学科网（北京）股份有限公司用棱台体积公式求得体积，判断C;求出四棱台外接球的半径，即可求得该棱台外接球的体积，判断D.【详解】

由题意可知22AC=，11AC42=，所以正四棱台的高224222222h−=−=，A正确；正四棱台的侧面为等腰梯形，故斜高2242232h−=−=，所以正四棱台的侧面积为()142431232

+=，上、下底面的面积分别为4，16，即正四棱台的表面积41612320123S=++=+，B错误；正四棱台的体积()1282441616233V=++=，C错误；设该棱台外接球的球心为O，半径为

R，点O到上底面的距离为x，所以()()()2222222222RxRx=+=+−，解得10=R，所以该棱台外接球的体积为344010π(10)π33=，D正确，故选：AD．12.设ABC的内角，内角A

，B，C的对边分别为a，b，c若4c=，3C=，则下列选项正确的是（）A.ABC外接圆半径为433B.ABC面积的最大值为43C.ABC的周长的最大值为8D.22ab+的最大值为32【答案】ABD第8页/共18页学科网（北京）股份有限公司【解

析】【分析】对A，根据正弦定理判定即可；对B，利用余弦定理和面积公式结合基本不等式求解即可；对C，利用余弦定理结合基本不等式求解即可；对D，利用余弦定理结合基本不等式求解即可；【详解】对A，由正弦定理，ABC外接圆半径R满足4832sin3sin3cRC===，故43

3R=，故A正确；对B，由余弦定理，22242cos3abab=+−，故22162ababababab=+−−=，故133sin1643244ABCSabCab===，当且仅当4ab==时取等号，故B正确；

对C，()()()()2222163344ababababab++=+−+−=，故8ab+，故ABC的周长的最大值12，当且仅当4ab==时取等号，故C错误；对D，222222221622ababababab++=+−+−=，故2232ab+

，当且仅当4ab==时取等号，故22ab+的最大值为32，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了正余弦定理结合基本不等式，求解三角形中的范围问题，需要根据题意确定基本不等式，属于中档题三、填空题（本大题共4小题，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分）13

.设1e，2e是两个不共线的向量，已知122ABeke=+，123BCee=−，若A，B，C三点共线，则实数k的值是________.【答案】6−【解析】【分析】由三点共线可得ABBC=，由此可得构造方程组求得结果.【详解】,,ABC三点共线，

可设ABBC=，即()121212233ekeeeee+=−=−，第9页/共18页学科网（北京）股份有限公司23k==−，解得：6k=−.故答案为：6−.14.已知ABC利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则ABC的面积是____

______.【答案】42【解析】【分析】作出ABC的直观图，计算出直角ABC的两条直角边的边长，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】ABC的直观图如下图所示：设2ABBC==，22AC=，45BAC=，对应地，在A

BC中，4AB=，22AC=，ABAC⊥，则1422ABCSABAC==△.故答案为：42.15.设12,zz是复数，给出四个命题：①．若12|0|zz−=，则12zz=②．若12zz=，则12zz=③．若12||||zz=，则1122••zzzz=④．若12||||zz=，则

2212zz=其中真命题的序号是__________．【答案】①②③【解析】【详解】设复数12,,(,,,)zabizcdiabcdR=+=+对于①,若120zz−=可得22()()0,,acbdacbd−+−===，所以12zz=，故①正确；

第10页/共18页学科网（北京）股份有限公司对于②,12zz=则,acbd==−,a-bi=c+di,即12zz=②正确；对于③,若12zz=则2222+=+abcd，1122••zzzz=③正确；对于④,若12zz=则22

22+=+abcd，222222122,2zababizcdcdi=−+=−+2212zz=不成立,④不正确.故答案为①②③.16.已知,,abc为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2cosC+23sin0Cbc−−=，2a=则A=________，若上述条件成立时，则38bcbc+

+的最大值为_________．【答案】①.3②.5【解析】【分析】先利用正弦定理计算2sin2sin,sinsinBCbcAA==，化边为角，化简整理得到3sincos1AA=+，再利用辅助角公式和角的范围得到角A；利用余弦定理得到224bcb

c+=+，即()243bcbc+=+，先结合基本不等式求得24bc+，再代入计算384bcbcbcbc+=++++，结合对勾函数单调性求最大值即可.【详解】由2a=得，22sinsinsinsinabcRAABC====，即2sin2sin,si

nsinBCbcAA==，又2cosC+23sin0Cbc−−=，即2cosC+23sin2sin2sinsinsinCbcBCAA=++=，故()sincos3sinsinsinsinsinsinACACBCACC+=+=++，化简得3sinsinsincossinACCAC=+，而△A

BC中sin0C，所以3sincos1AA=+，即π1sin62A−=，而0πA，即ππ5π666A−−，所以ππ66A−=，即π3A=；由余弦定理知，222π22cos43bcbcbc+=+=+，所以()()2222243434bcbcbcbcbc++=++

=++，解得4bc+当且仅当bc=时等号成立，故24abc=+.因为()2384bcbc+=++，所以()24384bcbcbcbcbcbc+++==+++++，第11页/共18页学科网（北京）股份有限公司对勾函数4yxx=+在(2,4上单调递增，所以当4bc+=时

，384bcbcbcbc+=++++取得最大值，为384415.bcbcbcbc+=++=+=++所以2bc==时，38bcbc++取得最大值5.故答案：3；5.四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①0z，②

z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知复数：()()22284zmmmi=−−+−.（1）若_______，求实数m的值；（2）若复数2(1)8zmi−++的模为25，求m的值.【答案】（1）答案见解析；（2）1m=.【解析】【分

析】（1）根据复数为实数和虚数的定义逐一解答即可；（2）化简求模，解出m满足的关系，即可求出m的值.【详解】（1）选择①0z，则2228040mmm−−−=，解得2m=.选择②z为虚数，则240m−，解得2m选择③z为

纯虚数，则2280mm−−=，240m−，解得4m=.（2）由()()22284zmmmi=−−+−可知复数()()22222(1)8284824zmimmmimimmi−++=−−+−−−+=−−.依题意2(2)1625m−

+=，解得1m=.因此1m=.【点睛】本题考查复数，实数，纯虚数的定义，考查复数模的运算，属于基础题.为.第12页/共18页学科网（北京）股份有限公司18.已知向量(1,2)a=，(3,4)b=−.（1）求3ab−的值；（2）若()aab⊥+，求的值.【答案】（

1）3210ab−=（2）1=−【解析】【分析】（1）根据题中条件，先求出3(6,2)ab−=，进而可求出结果；（2）先由题意得到(13,24)ab+=−+，根据()aab⊥+得到()0aab+=，进而可求

出结果.【详解】（1）因为向量(1,2)a=，(3,4)b=−，则3(6,2)ab−=，则22362210ab−=+=（2）因为向量(1,2)a=，(3,4)b=−，则(13,24)ab+=−+，若(

)aab⊥+，则()1(13)2(24)550aab+=−++=+=，解得：1=−．【点睛】本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.19.如图，已知一个圆锥的底面半

径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【答案】（1）；（2）.第13页/共18页学科网（北京）股份有限公司【解析】【详解】试题分析：（1）设圆柱的底面半径为,根据相似比求出与

的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时的值，代入体积公式即可．试题解析：（1）设圆柱的半径为，则，∴，∴．．（2），∴当时，取最大值，此时，，所以．考点：圆柱的侧面积与体积．20.△ABC中，角

,,ABC所对的边分别是,,,2cos2,1abcaBcbb=+=.（1）求角A；（2）若BC边的中线32AD=，求△ABC面积.【答案】（1）2π3A=（2）32【解析】【分析】（1）用正弦定理进行边

化角得2sincos2sinsinABCB=+，再用三角恒等变换处理；（2）利用向量()12ADABAC=+，两边平方展开即可得出结果．【小问1详解】由题意2cos2aBcb=+与正弦定理可得2sincos2sinsinABCB=+

，由πABC++=，可得()()sinsinπ-=sinsincoscossinCABABABAB=++=+.代入整理得：2cossinsin0ABB+=.故1cos2A=−，可得2π3A=.【小问2详解】∵()12ADABAC=+，则()()2222112cos44ADABACbc

bcA=+=++第14页/共18页学科网（北京）股份有限公司可得：220cc−−=，故2c=或.1c=−（舍去）则△ABC面积13sin22SbcA==.21.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别

为1O、2O，且该几何体有半径为2的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．（1）若圆柱的底面圆半径为3，求几何体的表面积；（2）若112:1:3POOO

=，求几何体的体积．【答案】（1）633+（2）51275【解析】【分析】（1）由已知求解三角形得圆柱与圆锥的高，再由圆柱和圆锥的表面积公式求解即可，（2）由112:1:3POOO=，12124OOPO+=，可得145PO=，12125OO=，再求出1OD，从而可求出

体积【小问1详解】由题意得12,3ODOD==，则1431OO=−=，3DOP=，2DP=，所以1211OP=−=，由对称性可得121OOOO==，所以几何体的表面积为()2123223236332

++=+第15页/共18页学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】由112:1:3POOO=，12124OOPO+=，可得145PO=，12125OO=，所以1121625OOOO==，因为2OD=，所以22113684255ODODOO=−=−=，所以几何体

的体积为221121113ODOOODOP+641216442553255=+51275=22.已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3cos2sinsin0cBbBC+=，D是ABC边AC上一点，2BD=.（1）若BDBC⊥，

263AB=，求AD；（2）若2CDAD=，求2ABBC+的最大值.【答案】（1）63（2）62【解析】【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数的关系将3cos2sinsin0cBbBC+=化为22cos3cos20BB−−=，从而可求出2π3ABC=，π6ABD=，然后在ABD△

利用余弦定理求出AD；（2）由2CDDA=，2133BDBABC=+，平方化简后可得218(2)6caac=+−，再利用基本不等式可求得答案.第16页/共18页学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】因为3cos2sinsin0cBbBC+=，所以由正弦定理得3sinc

os2sinsinsin0CBBBC+=，易得sin0C，则23cos2sin0BB+=，故22cos3cos20BB−−=，解得1cos2B=−或cos2B=（舍去），又0πABC，故2π3ABC=，又BDBC⊥，则π6ABD=，在ABD△中

，由余弦定理得()2222626π2322cos6233AD+−==，又0AD，所以63AD=.【小问2详解】由（1）知1cos2ABC=−，因为2CDAD=，所以2CDDA=，即2()BDBCBABD−=−，整理得到2133BDBABC=+

，两边平方后有222414999BDBABCBABC=++，所以224142999BABCBABC=++，即22414129992BABCBABC=++−，整理得到221842BA

BCBABC=+−，则2221842(2)6caaccaac=+−=+−，因为2222caca+，当且仅当32322==，ac时，等号成立，所以()22222218(2)6(2)324cacacaac

ca++=+−+−=，则218462ca+=，所以2ABBC+的最大值62．【点睛】关键点睛：本题第2小问解决关键是利用条件2CDAD=与平面向量的知识得到2133BDBABC=+，进而利用数量积的运算法则得到218(2)6

caac=+−，从而利用基本不等式即可求得2ca+，即2ABBC+的最大值.的第17页/共18页学科网（北京）股份有限公司第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com