【文档说明】浙江省杭州市、宁波市部分学校2022-2023学年高三下学期4月联考数学试题含答案.docx，共(21)页，1.252 MB，由小赞的店铺上传

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浙江省杭州市､宁波市部分学校2022-2023年高三下学期4月联考数学试卷一､单选题1.已知集合{04},1,2,3,4,5MxZxN==∣„，则MN=（）A.0,1,2,3B.0,1,2C.1,2,3D.

1,22.已知()1i12iz+=−，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设()2787801781(1)(1)(1)xxxxaaxaxax++++++++=++++，则2a=（）A.84B.56

C.36D.284.已知函数()222xxfxee−+=+，则（）A.()1fx+为奇函数B.12fx+为偶函数C.()1fx−为奇函数D.12fx−为偶函数5.从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都

是假钞的概率是（）A.217B.119C.419D.15386.已知()()tan,tan+−是关于x的方程240xmx+−=的两根，且2tan3=，则m=（）A.95B.4C.-12D.103−7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，

制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，,AB各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当,AB各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知2PAAB=，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离

心率为（）A.12B.23C.255D.538.将一个体积为36的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（）A.162B.163C.82D.83二､多选题9.已知向量()()2sin,1,c

os,cosmxnxx=−=，函数()fxmn=，则（）A.()fx在()0,上有4个零点B.()fx在0,4单调递增C.188fxfx++−=−D.直线10xy−−=是曲线()yfx=的一条

切线10.已知圆22:1,OxyP+=是直线:20lxy−+=上一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,MN，则（）A.直线MN经过定点B.MN的最小值为2C.点()2,0到直线MN的距离的最大值为52D.MPN是锐角11.已知

曲线22:9Cxxyy++=，则（）A.曲线C关于直线0xy+=对称B.曲线C上恰有四个整点（横坐标与纵坐标均为整数）C.曲线C上的点到原点距离的最大值为32D.曲线C上存在点在圆226xy+=的内部12.如图，在正方体111

1ABCDABCD−中，2,ABP=是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）A.存在唯一点P，使得11DPBC⊥B.存在唯一点P，使得直线1DP与平面ABCD所成的角取到最小值C.若12DPDB=，则三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8D.若异面直线1DP与1AB所成的角为4

，则动点P的轨迹是拋物线的一部分三，填空题13.已知随机变量X服从()21,N，若()00.8PX=…，则(12)PX=„__________.14.如图，为了测量,BC两点间的距离，选取同一平面上,AD两点，已知

90,60,2ADCAAB===，26,43BDDC==，则BC的长为__________.15.定义：对于数列na，如果存在常数p，使得对于任意*nN，都有()()10nnapap+−−，成立，则称数列na为“p−摆动数列”，p称为数列

na的摆动值.若1(0)2nnnaqq=−+，且数列na的摆动值为0，则q的取值范围为__________.16.P是抛物线24xy=准线为l上一点，,AB在抛物线上，,PAPB的中点也在抛物线上，直

线AB与l交于点Q，则PQ的最小值为__________.四､解答题17.已知函数()2sinsin6fxxx=+.（1）求()fx的单调递增区间；（2）若对任意,3xt，都有()3322fx−„，求实数t的

取值范围.18.已知数列na为等比数列，131,1aa=+是2a与4a的等差中项，nS为na的前n项和.（1）求na的通项公式及nS；（2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数k，若存在正整数m，使得2logkmaS=，则kA，否则kA.记数列nb满足2log,,1,

.nnanAbnA=−求nb的前20项和20T.19.已知在多面体ABCDE中，,,24,2,DEABACBCBCACABDEDADC⊥====∥，且平面DAC⊥平面ABC.（1）设点F为线段

BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求二面角BADC−−的余弦值.20.某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x（单位：小时）并绘制如图所示的频率分

布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间中点值代表）；（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布()2,N，其中近似为样本平均数2,x近似为样本方差2s.①一般正态分布(),N

的概率都可以转化为标准正态分布()0,1N的概率进行计算：若()2,XN，令XY−=，则()0,1YN，且()aPXaPY−=剟.利用直方图得到的正态分布，求()10PX„.②从该高校的学生中随机抽取

20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.参考数据：401783，若()0,1YN，则()0.750.7734PY=„.21.坐标平面xOy中，()3,1P是椭圆2222:1(0)xyCabab+=上一点，经过O的直线

（不过P点）与C交于,AB两点，直线PA与PB的斜率乘积为13−.（1）求C的方程；（2）直线l与C交于点,MN，且PMPN⊥.当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程.22.已知函数()sin1,xfxeaxxxaR=−−−.（1）若

12a=，证明：当()0,x+时，()0fx；（2）讨论函数()fx在()0,上零点个数.浙江省杭州市､宁波市部分学校2022-2023年高三下学期4月联考数学试卷参考答案1.【答案】C【分析】本题考查集合交集的运算，为基础题.【解答】解：

0,1,2,3,1,2,3MMN==，故选C.2.【答案】C【分析】本题考查了复数的运算､几何意义，是基础题.【解答】解：由()1i12iz+=−可得，()()()()12i1i12i13i13i1i1i1i222z−

−−−−====−−++−则在复平面内复数z对应的点为13,22−−，位于第三象限.3.【答案】A【分析】本题考查求二项式定理指定项系数，涉及组合数的性质，属于基础题.【解答】解：由题知222322322323223833844888984aCCCCCCCCCC

CC=+++=+++=+++==+==.4.【答案】B【分析】本题考查函数的奇偶性的判断及图象平移，为基础题.【解答】解：方法一：()()()222222,1xxxxfxeefxeefx−+−=+−=+=

，则原函数关于12x=对称，图象向左平移12个单位，关于y轴对称，故选B.方法二：()21212212xxxxfxeeeee+−+−+=+=+，函数关于y轴对称，为偶函数，B正确.5.【答案】A【分析】本题考查

条件概率的求法，考查等可能事件的概率，体现了转化的数学思想，属于基础题.【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即()PAB∣.又()()()221155515222020

117,1938CCCCPABPAPBCC+=====，()()()1219171738PABPABPB===∣6.【答案】C【分析】本题考查三角求值问题，属于中档题.【解答】解：由题知()()()()tantan,tantan4m

++−=−+−=−，()()()()()()tantantan2tan1tantan5m++−=++−==−−+−，又22tan12tan21tan5==−，故1255m−=，故12m=−.7.【答案】D【分析】本题考查椭

圆中离心率的求解，为基础题.【解答】解：由题意知PA与PB的长度不变，已知2PAAB=，设ABx=，则2PAx=，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长2bx=，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长3ax=，故离心率为2294533cxxax−

==，故选D.8.【答案】D【分析】本题考查了球和棱锥的体积､棱锥结构特征以及利用导数求最值，属于中档题.【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a，高为h，球半径为R，球的体积为36，34363R=，解得3R=，223(3

)93ah+−=，即221603ahh+−=，22318ahh=−+，正三棱锥的体积为：()()22321333318318341212Vahhhhhh==−+=−+，()2393612Vhh=+−，由0V得04h，此时函数V单

调递增，由0V得46h，此时函数V单调递减，当4h=时，V取得最大值，且最大值为()323341848312−+=.9.【答案】BCD【分析】本题考查正弦型函数的零点问题､判断正弦型函数的单调性，导数的几何意义，属于中档题.【解答】解：由题知()211

121sincoscossin2cos2sin2222242fxmnxxxxxx==−=−−=−−对于A：当()0,x时，72,444x−−，令()0fx=，则2sin242

x−=，则244x−=或34，即4x=或2x=，故()fx在()0,上有2个零点，故A错误；对于B：当0,4x时，2,444x−−，又sinyx=在区间,44−

上单调递增，故()fx在0,4上单调递增，故B正确；对于2121:sin2sin21882222Cfxfxxx++−=−−−=−，故C正确；对于():2cos24D

fxx=−，则()02cos014f=−=，又()210sin01242f=−−=−，故在()0,1−处的切线方程为10yx+=−，即10xy−−=，故D正确

.10.【答案】AB【分析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及相交弦的有关应用，属于一般题目.【解答】解：设()00,2Pxx+，则以OP为直径的圆的方程为()2222000022224xxxxxy+

++−+−=，化简得()220020xxxxyy−−++=，与221xy+=联立，可得MN所在直线方程：()0021xxxy++=，即()0210xxyy++−=，故可知恒过定点11,,22A−

正确；O到过定点11,22−的直线MN距离的最大值为：2211200222−−+−=，2min2||2122MN=−=，故最小值为2.点()2,0到直线MN的距离()022

002002224422xdxxxx==++++„，故C错误；圆心O到20xy−+=的距离为222=，当点P运动到正好OPl⊥时，此时MPN的张角最大，此时2sin,45,902MPOMPOMPN===，当点P位于其它点时均为锐角，故90MPN„，不恒为锐角，D错

误.11.【答案】AC【分析】本题考查了曲线的对称性问题，不等式证明以及整点问题，属于拔高题.【解答】解：将坐标(),xy代换成(),yx−得229yxyx++=，与原曲线方程相同，故曲线C关于直线0xy+=对称，故选项A正确；由方程得：2290xxyy++−=，因为x有解，所以()22Δ490

yy=−−…，可得2323y−剟，若y为整数，则3,2,1,0,1,2,3y=−−−，当2,1,1,2y=−−时，x没有整数解，当3y=−时，解得x的整数解为0和3，当0y=时，解得x的整数解为-3和3，当3y=时，解得x的整数解为0和-3，所以曲线C经过()()()()()()0,3,3,3,

3,0,3,0,0,3,3,3,6−−−−个整点，故选项B错误.22222222222()922222xyxyxyxyxyxxyyxy+++++++==++=+…，所以2218xy+„，故2232xy+„，当且仅当xy=时等号成立，C正确；由222292xyxyxy++−=−−

…得226xy+…，故226xy+…，当且仅当xy=时等号成立，所以曲线C上任一点(),xy到原点的距离最小值为6，故选项D错误；12.【答案】BCD【分析】本题考查立体几何中的动点问题，属于较难题.

【解答】解：对于A：连接111,,ADBCBC，则11BCBC⊥，又AB⊥平面11BCCB，故1ABBC⊥，11,,ABBCBABBC=平面11ABCD，1BC⊥平面11ABCD，当P在线段AB上时，1DP平面11ABCD，11DPBC⊥，故A错误；对于B：连接

1,DPDP，1DD⊥平面ABCD，直线1DP与平面ABCD所成的角即为1DPD，112tanDDDPDDPDP==，又P在正方形ABCD（含边界）内，故当P与B重合时，DP取最大值，即1tanDPD取最小值，即1DPD取最小值，故存在唯一点P，使得直线1DP与

平面ABCD所成的角取到最小值，故B正确；对于C：设11BCBCO=，则O为1BC中点，12OBOBOC===，建立如图所示空间直角坐标系，则()()1,1,0,1,2,1PO2OP=，故O为三棱锥1PBBC−外接球的球心，所以三棱锥1PBBC−外接

球的表面积为24(2)8=，故C正确；对于D：设()(),,0,01,01Pxyxy剟剟，则()()11,,2,0,2,2DPxyAB=−=−，1122242cos,2422yDPABxy+==++，()24,01xyx=剟，所以动点P的轨迹是抛物线的一部分，故D正确.13.【

答案】0.3【分析】本题考查正态分布有关概率的求解，为基础题.【解答】解：随机变量X服从()()21210.812(0)1,,(12)0.322PXNPX−−−===„.14.【答案】43【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.【解答】解：在ABD中，由正弦定理

得：sin2sin602sin426ABAADBBD===290,cos4ADCBDC==在BDC中，由余弦定理得：22222cos24484643484BCBDCDBDCDBDC=+−=+−=43BD=.故答案为：43.15.【答案】10,2【分析

】本题考查数列的新定义问题，属于中档题.【解答】解：由题知10nnaa+，当n为偶数时，11022nnnnnaqq=−+=+，故当n为奇数时，11022nnnnnaqq=−+=−+，即当n为

奇数时，12nnq，故q的取值范围为10,2.16.【答案】6【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查方程思想，为较难题.【解答】解：设()221212,1,,,,,44xxPtAxBxPA−的中点坐标为2114,28txx+

−，PB的中点坐标为2224,28txx+−，因都在抛物线上，则有22112211222222224428280,2804428txxxtxtxtxttxx+−=−−−=−−−=+−

=，则12,xx为方程22280xtxt−−−=的两个根，212122,8xxtxxt+==−−，直线AB与l交于点Q，直线AB的方程为：()221221112444xxxyxxxx−=−−−121244xxxxyx+=

−，可得2824ttyx+=+，易得212,12tQt+−−，212363626222tttPQtttt+=+=+=…，当且仅当36,22ttt==时取得最小值.17.【答案】解：（1）()312s

insin2sinsincos622fxxxxxx=+=+23sinsincosxxx=+1cos213sin222xx−=+3sin232x=−+令22,2,322xkkkZ−

−++，解得5,,1212xkkkZ−++，则函数的单调递增区间为5,,1212kkk−++Z，（2）()3sin223fxx−=−，因为,3xt

，则22,333xt−−，要满足()3322fx−„对,3xt恒成立，只需233t−−…，即0t…，所以t的取值范围为0,3.【点睛】本题考查正

弦型函数的求值运算，涉及和与差公式和二倍角公式，属于基础题.18.【答案】解：（1）设na的公比为13,1,1qaa=+是2a与4a的等差中项，()()()23221,210,2qqqqqq+=+−+==，12nna−=，122112nnnS−==−−.（

2）由题意知，2logkmaS=，又12,21,121kmmkmaSk−==−−=−，即2mk=，故*2,mAkkmN==∣，又2log1nan=−，()()202122220222428216logloglogloglogloglog4Taaaaaaa=+++−+++−(

)()0119137154=++−+++−160=.【点睛】本题考查等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，分组（并项）法求和，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题.（1）利用等差中项，等比数列的通

项公式列方程解出q，代入公式即可；（2）根据上问得出2logkmaS=，又12,21kmkmaS−==−，可得121mk−=−，即2mk=，再根据题意求得nb的前20项和.19.【答案】解：（1）证明：取AC的中点O，连接,EFO

F，由在DAC中DADC=，所以DOAC⊥，由平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，得DO⊥平面ABC，因为OFAB∥，且2ABOF=，又,2DEABABDE=∥，所以OFDE∥，且OFDE=，四边形DEFO为平行四边形，EFDO∥，E

F⊥平面ABC；（2）解：由DO⊥平面,ABCACBC⊥，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与BC平行的直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则()()()1,0,0,1,0,0,1,4,0ACB−−

，由EF⊥平面ABC，所以直线BE与平面ABC所成的角为60EBF=，所以()tan6023,0,0,23DOEFBFD===，取平面ADC的法向量()0,1,0m=，设平面ADB的法向量()()(),,,2,4,0,1,0,23

nxyzABAD==−=−，由00nABnAD==，得240230xyxz−+=−+=，令1z=，故()23,3,1n=，33cos,411231mn==++，故二面角BADC−−的余弦值为34.【点睛】本题考查线面垂直的判定，空

间中二面角的求解，为中档题.20.【答案】解：（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x=++++++=，22222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35

s=−+−+−+−222(109)0.19(119)0.09(129)0.041.78+−+−+−=（2）①由题意知29,1.78==，()()()17841099,1.78,1.78,100.

750.773441033XNPXPYPY−=====剟?，②由①知()(10)1100.2266PXPX=−=„，可得()20,0.2266ZB，()200.22664.532EZ==.【点睛】本题主要考查离散型随机

变量期望与方差的求解，以及正态分布对称性的应用，属于中档题.（1）根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.（2）①由题意知29,1.78==，结合正态分布的对称性，即可求解.②结合正态分布的对称性，以及期望公式，即可求解.21.【答案】解：（1）设()00,Axy，则()00,Bxy

−−，且2200221xyab+=，因为()3,1P在C上，所以22911ab+=，两式相减得，22022019ybxa−=−−，因为2000200011113393PAPByyykkxxx−−−−===−−−−−，所以2213ba−=−，即223ab=，代入22911ab

+=中解得，224,12ba==，所以椭圆C的方程为221124xy+=.（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：ykxm=+，联立直线l与椭圆C方程，消去y得，()2221363120kxkmxm+++−=，设()()

1122,,,MxyNxy，当()()2222Δ364133120kmkm=−+−，即224120km+−时，有21212226312,1313kmmxxxxkk−+=−=++，因为PMPN⊥，所以0PMPN=，因为()()()()()(

)112212123,13,13311PMPNxyxyxxyy=−−−−=−−+−−()()()()12123311xxkxmkxm=−−++−+−()()()22121213210kxxkmkxxmm=++−−++−+，所以()()22

22231261321001313mkmkkmkmmkk−−++−−+−+=++，整理得，()22222199210,944044mkkmmmkkmmm++−−=++−++=，()()22(63)(2)0,321310kmmkmkm+−+=

+++−=，因为直线l不过点P，所以310km+−，所以3210km++=，所以直线31:22lykx=−−经过定点31,22Q−，当直线l垂直于x轴时，设方程为：xm=，则()()11,,,MmyNmy−，且221312my+=，①由0PMPN

=得，()()221113,13,16100mymymmy−−−−−=−+−=，②由①②解得32m=，或3m=（舍），所以此时直线l也经过定点31,22Q−，综上，直线l经过定点31,22Q−，当PQ垂直于直线l时，点P到直线l的距离最

大，此时1PQk=，所以直线l的斜率为-1，直线l方程为：1322yx+=−−，故所求直线l方程为：10xy+−=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.22.【答案】解：（1）若12a

=，则()1sin12xfxexxx=−−−.①先证：当()0,x+时，21102xexx−−−.设()211(0)2xgxexxx=−−−，则()gx的导函数()1xgxex=−−，设()()gxh

x=，则()hx的导函数()1xhxe=−，因为0x…，所以()10xhxe=−…，所以()hx在()0,+上单调递增，又()00h=，所以()0hx…，即()0gx…，所以()gx在()0,+上单调递增，又()0

0g=，所以当()0,x+时，()0gx，即21102xexx−−−.②再证：()0,x+时，sinxx.设()sinxxx=−.()1cos0xx=−…，所以()x在()0,+上单调递增，又()00=，所以当

(0,1x时，()0x=，即sinxx.由①②得，当()0,x+时，2111sin122xexxxxx++++，所以当()0,x+时，1sin102xexxx−−−，即()0fx.（2）①若102a剟，则221112xxaxx++++…，由（1）可知，当(

)0,x时，2112xexx++，所以21xeaxx++，又由（1）可知，当()0,x时，sinxx，所以21sin1axxaxxx++++，所以sin1xeaxxx++，所以()fx在()0,上无零点.②若0a，当()0,x时，21sin02axxx，则211si

n12xexxaxxx++++，故()fx在()0,上无零点.③若12a，()fx的导函数()()sincos1xfxeaxxx=−+−，设()()mxfx=，则()mx的导函数()()sin2cosxmxeaxxx=+−，设()()nx

mx=，则()nx的导函数()()3sincosxnxeaxxx=++，（i）当0,2x时，()()0,nxnx在0,2上单调递增，即()mx在0,2上单调递增，又2(0)120,

022mamea=−=+，所以()mx在0,2上存在唯一零点，记作0x.当()00,xx时，()()0,mxmx单调递减，即()fx单调递减；当0,2xx

时，()()0,mxmx单调递增，即()fx单调递增.（ii）当,2x时，()()sin2cos0xmxeaxxx=+−，()mx单调递增，即()fx单调递增.综合（i）（ii），可得当()0

0,xx时，()fx单调递减；当)0,xx时，()fx单调递增.又因为()()0120,10fafea=−=−+，所以存在唯一实数()10,xx，使得()10fx=，当()10,xx时，()()0,fxfx单调递减；当()1,xx时，()(

)0,fxfx单调递增.又因为()00f=，所以(10,xx时，()0fx；由（1）已证21112xexxx+++，所以()10fe=−−，又()()10,fxfx在()1,x上单调递增，所以()fx在()1

,x上存在唯一零点.综上，当12a„时，()fx在()0,上无零点；当12a时，()fx在()0,上存在唯一零点.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，研究函数零点有关问题，为难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com