【文档说明】【精准解析】福建省宁化一中2019-2020学年高一下学期第二次阶段考试数学试题.doc，共(23)页，1.755 MB，由小赞的店铺上传

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宁化一中2019—2020学年第二学期第二次阶段质量检测高一数学试题本试卷共4页．满分150分．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填图自己的姓名、准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，考生必须将答题卡上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1.22cos15sin15sin15cos15的值等于（）A.34B.54C.1234D.434【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式进行化简求值.【详解】原式131123cos30sin302244.故选：C【点睛】本小题主要考查利用二倍角公式进行化简求值，属

于基础题.2.某中学有学生2500人，其中男生1500人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n的样本，若样本中女生恰有20人，则n的值为（）A.30B.50C.70D.80【答案】

B【解析】【分析】先求得中学中女生的人数，然后按照比例求得n的值.【详解】中学在女生人数为250015001000，所以2010002500n，解得50n.故选：B【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.3.记nS为等差数列na的前n项和，若5723aa，

则此下列一定为0的是（）A.1aB.10aC.20SD.21S【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为1,ad的形式，由此判断出为0的选项.【详解】由于等差数列na中，5723aa，所以112436adad，所以1100ad

，即110a，所以1211121112212121022aaaSa.故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列的性质，属于基础题.4.等比数列na的前n项和为nS，已知2532aaa，且4a与78a的等差中项为

2，则4S（）A.31B.30C.314D.154【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为1,aq的形式，由此求得1,aq，进而求得4S.【详解】由于4a与78a的等差中项为2，所以4784aa，所以42253111364711228484aaaaqaqaqaaaqaq

，解得1116,2aq，所以441161230112S.故选：B【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等比数列前n项和，属于基础题.5.已知为

锐角，且sin6tan6sin6，则角（）A.12B.6C.4D.3【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简已知条件，结合诱导公式，求得的大小.【详解】由sinsin66tan6

sincos66，得sincos66，即sinsinsin6263

，因为02，所以,663633，所以63，解得4.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式的运用，属于基础题.6.《周髀算经》中给出了勾股定

理的绝妙证明.下图是赵爽弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实.由2勾股（股勾）24朱实黄实弦实，化简得勾2股2弦2.若

图中勾股形的勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷2000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据：31.732）A.224B.268C.302D.436【答案】B【解析】【分析】先求得大正方形和小长方形的面积，然后利用几何

概型对落在黄色图形内的图钉颗数进行估计.【详解】由于图中勾股形的勾股比为1:3，不妨设为1和3，故大正方形的边长为2，小正方形的边长为31.所以大正方形的面积为4，小正方形的面积为231423.设落在黄色图形内的图钉颗数大约为x，则42320004x，即42320002

00010003200017322684x.故选：B【点睛】本小题主要考查利用几何概型进行计算，考查中国古代数学文化，属于基础题.7.在ABC中，30C，2cos3A，152AC，则AC边上的高为（）A.52B.2C.5D.152【答

案】C【解析】【分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC边长，由此求得AC边上的高.【详解】过B作BDCA，交CA的延长线于D.由于2cos3A，所以A为钝角，且25sin1cos3AA，所以sinsinsinCBACBAAC53

21152sincoscossin32326ACAC.在三角形ABC中，由正弦定理得sinsinabAB，即152515236BC，所以25BC.在RtBCD中有1sin2552

BDBCC，即AC边上的高为5.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.8.已知数列na的前n项和为nS，且12a，12nnnaSn（*nN），则nS（）A.121nB.2nnC.31nD.123nn

【答案】B【解析】【分析】由题得122,1nnanan再利用累乘法求出1(1)2nnan，即得nS.【详解】由题得111(1)(1),,,2121nnnnnnnnanananaSSannnn（2n）所以122,1nnanan

（2n）由题得22166,32aaa，所以122,1nnanan（1n）.所以324123134512,2,2,2,234nnaaaanaaaan，所以11112,(1)22nnnnanana

.所以(2)222nnnnSnnn.故选：B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n项和与na的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的

得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710B.某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报C.根据最小二乘法求得的回归直线ˆˆˆ

ybxa一定经过样本中心点,xyD.大量试验后，可以用频率近似估计概率．【答案】CD【解析】【分析】根据频率和概率的知识，判断ABD选项的正确选，根据最小二乘法的知识，判断C选项的正确选.【详解】A选项，一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的频率为710.故A选项错

误.B选项，某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，不一定能有回报.故B选项错误.C选项，根据最小二乘法求得的回归直线ˆˆˆybxa一定经过样本中心点,xy，正确.D选项，大量试验后，可以用频率近似估计概率，正确.故选：CD【点睛】本小题主要考查频率与

概率的区别与联系，考查最小二乘法，属于基础题.10.已知函数22()log2fxxx，若()()fafb，,ab不为零，则下列不等式成立的是（）A.33abB.0ababC.1abeD.ln0ab【答案】BD【解析】【

分析】判断出fx的奇偶性和单调性，由此得出,ab的大小关系，进而判断出正确选项.【详解】因为2222log2log2fxxxxx，所以fx是偶函数.当0x时，22log2f

xxx为增函数，所以当0x时，fx为减函数.故由()()fafb，且,ab不为零，可知0ab.当2,1ab时，333,1ababee，由此排除AC选项.B选项，2200abababab

，故B选项正确.D选项，ln010aaabbb，故D选项正确.故选：BD【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，属于基础题.11.已知函数1()coscos632fxxx

，则以下说法中正确的是（）A.()fx的最小正周期为B.()fx在7,1212上单调递减C.51,62是()fx的一个对称中心D.当0,6x时

，()fx的最大值为234【答案】ABC【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简fx解析式，再根据三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值的求法，判断出正确选项.【详解】依题意11cossinsincos6232662fxxxxx

1111sin2sin2232232xx.所以fx的最小正周期为22，A选项正确.由32232x，解得71212x

，所以()fx在7,1212上单调递减，B选项正确.51511sin623322f，所以51,62是()fx的一个对称中心，C选项正确.由于1123sin11226324f

，所以D选项错误.故选：ABC【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值等知识，属于中档题.12.设正项等差数列na满足211029220aaaa，则（）A.29aa的最

大值为10B.29aa的最大值为210C.222911aa的最大值为15D.4429aa的最小值为200【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列的性质，求得29,aa的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项

.【详解】因为正项等差数列na满足211029220aaaa，所以22929220aaaa，即222920aa.①222929201022aaaa，当且仅当2910aa时成立，故A选项正确.②由于222292

91022aaaa，所以292910,2102aaaa，当且仅当2910aa时成立，故B选项正确.③22292222222222292929291120202011052

aaaaaaaaaa，当且仅当2910aa时成立，所以222911aa的最小值为15，故C选项错误.④结合①的结论，有24422222222929292924002400210200aaaaaaaa，

当且仅当2910aa时成立，故D选项正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知x，y满足约束条

件0122xxyxy，则32zxy的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】作出可行域，平移基准直线320xy到0,1处，求得z的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320xy到

0,1处时，z取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.一个样本的容量为70，分成五组.已知第一组、第三组的频数分别是8、12，第二组、第五组的频率都为17，则该样本第四组的频率为_______.【答案】

37【解析】【分析】用1减去其它4组的频率，求得第四组的频率.【详解】依题意，第四组的频率为11812317770707.故答案为：37【点睛】本小题主要考查频率的计算，属于基础题.15.已知偶函数()3sincosfxxx（,032）

，若对任意的xR都有()02fxfx，则6f的值为____；函数2cosyfxx的最大值为______．【答案】(1).1(2).94【解析】【详解】2sin6fxx，由于fx是偶函数

，故62kkZ，23k，由于2，所以令1k得3，所以2sin2sin2cos362fxxxx.若对任意的xR都有()0

2fxfx，即2cos2cos02xx，即coscos2xx，所以212kkZ，即42kkZ，由于03，故令0k，得2，所以

2cos2fxx.所以2cos163f.函数22cos2cos22cos22cos12cosyfxxxxxx24cos2cos2xx.令co

s1,1tx，则2422ytt，其对称轴为14t，故当14t时，y有最大值为2119422444.故答案为：(1).1(2).94【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性，考查三角恒等变换，考

查三角函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知定义在0,上的函数()fx满足1()(2)2fxfx，且当0,2x时，2()2fxxx.设()fx在22,2nn上的最大值为na（nN），记数列na的前n项的和为nS，若对

任意正整数n不等式129nkSn恒成立，则实数k的取值范围为_______.【答案】3,64【解析】【分析】先求得fx在0,2上的最大值，由此求得()fx在22,2nn

上的最大值na，进而求得nS，从而利用分离常数法求得k的取值范围.【详解】当0,2x时，22()211fxxxx，所以当1x时，fx取得最大值为1，即11a.依题意已知

定义在0,上的函数()fx满足1()(2)2fxfx，故22fxfx，所以222fxfxx.所以当2,4x时，20,2x，22222211232fxfxxx

，当3x时，fx有最大值为2.……以此类推，当22,2xnn，21xn时，fx有最大值为12n.所以12nna-=.所以122112nnnS.依题意对任意正整数n不等式129nkSn恒成立，即229nkn恒成立，即29

2nnk恒成立，令292nnnb，当4n时，0nb，567135,,,3264128aba.当6n时，11272922nnnnnnbb112741822nnnn

121102nn，所以1nnbb.由于65bb，所以当6n时，nb有最大值为6364b.所以364k.故k的取值范围是3,64.故答案为：3,64【点睛】本小题主要考查函

数变换，考查数列最大项的求法，考查等比数列前n项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.数列na中，13a，13nnaa，nS为na的

前n项和.（1）若363nS，求n；（2）若3lognnba，求数列11nnbb的前n项和nT.【答案】（1）5n（2）1nnTn【解析】【分析】（1）由题意可知数列na是首项为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前n项和公式求n；（2）由（1）可知nbn，代入后

1111nnbbnn，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由13nnaa得数列na是首项13a，公比3q的等比数列；由363nS得13336313n.得3243n，解得5n.所以n的值为5.（2）由（1）知

数列na是首项13a，公比3q的等比数列.可得3nna33l3logognnnban11111(1)1nnbbnnnn11111111223341nTnn111n1n

n.所以，数列11nnbb的前n项和1nnTn.【点睛】本小题主要考査等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18

.ABC中，内角,,ABC对应的边分别为,,abc，满足3sin3coscBBa.（1）已知6cos3C，3a，求sinB与b的值；（2）若0,3B且4cos5AB，求sinB.【答案】（1）323sin6B，61b.（2）43310【解析

】【分析】（1）利用正弦定理、三角形内角和定理化简已知条件，求得tanA的值，进而求得A的大小，从而求得sin,sinCB的值，并利用正弦定理求得b的值，（2）根据已知条件得到4cos35πB，由此求得3sin35πB，从而利用两角差

的正弦公式，求得sinB.【详解】（1）因为3sin3coscBBa，根据正弦定理得：3sinsin3cossinCBBA，因为CAB，所以sinsinCAB，所以3sinsin3cossinABBBA，所以3sincos3cossinsi

nsin3cossinABABBABA，即3cossinsinsinABBA，因为sin0B，所以3cossinAA，所以tan3A，因为0,A，3A.因为6cos3C，且0,Cπ，所以

3sin3C，所以323sinsinsinsincoscossin6BπACACACAC，..根据正弦定理sinsinabAB得：sin3232361sin63aBbA.（2）因为

3A，4cos5AB，所以4cos35πB，又因为0,3B，所以0,33ππB，所以3sin35πB，所以433sinsinsincoscossin33333310ππππππBBBB

．【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理，考查两角和与差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又

一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评.同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）年份2013201420152016201720182019年份代号

x1234567年利润y（单位：亿元）29333644485259（1）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年的年利润；（2）当统计表中某年年利润的实际值大于由（1）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利

润年.现从2015年至2019年这5年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率.参考公式：121ˆniiiniixxyybxx，ˆˆaybx【答案】（1）ˆ523yx，63亿元.（2）35【解析】【

分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并作出预测.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）因为123456747x，293336444852594

37y，所以121140ˆ528niiiniixxyybxx，所以ˆˆ23aybx，所以回归直线方程为ˆ523yx.所以当8x时，ˆ582363y，即预测该公司2020年的年利润为63亿元.

（2）当3x时，ˆ53233836y，当4x时，ˆ54234344y，当5x时，ˆ552348y，当6x时，ˆ56235352y，当7x时，ˆ57235859

y，所以从2015—2019年有2年A级利润年记为a，b，有3年B级利润年记为1，2，3，所以基本事件有：(a，b)(a，1)(a，2)，(a，3)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)共10个令“恰有1年为A级

利润年”为事件M，事件M包含的基本事件有6个，所以63()105PM，【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查古典概型的计算，属于中档题.20.已知数列na,是一个等差数列,且22a,145aa,数列

nb是各项均为正数的等比数列,且满足:112b,24164bb.（1）求数列na与nb的通项公式;（2）求证:11222nnababab.【答案】（1）nan，12nn

b（2）证明见解析【解析】【分析】（1）因为na为等差数列,设公差为d,则1112,35,adaad即可求得首项和公差,即可求得na.因为nb为等比数列,2243164bbb,23118bb

q,即可求得公比,进而求得nb.（2）因为nan,12nnb,所以23111111123122222nnnTnn,根据数列求和错位相减法,即可求得nT,进而求得

答案.【详解】（1）na为等差数列,设公差为d,1112,35,adaad11,1,ad11naandn.nb为等比数列,0nb,设公比为q,则0q,2243164bbb,23118bbq,12q,111122

2nnnb.（2）令112233nnnTabababab,23111111123122222nnnTnn——①可得:2311111

112122222nnnTnn——②由①-②得:23111112211111111222222212nnnnnTnn

,1112222nnnTn.故11222nnababab.【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求

和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.21.如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=

2θ．（Ⅰ）若θ=6，求sinsinAC的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=22，求边AC的长．【答案】（Ⅰ）sin23sin3AC；（Ⅱ）210AC【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCDABDSS并结合正弦

定理sinsinABBCCA，可得结果.（Ⅱ）根据2BCDABDSS，可得，然后使用余弦定理2222sinACABBCABBCABC，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBDABD，所以11s

in2sin2326BCBDABBD所以2sin223sin333BCAABC；（Ⅱ）11sin22sin22BCBDABBD，所以242sincos222sincos

2，所以4，334ABC，所以221682422402AC，所以边210AC．【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.22.新冠肺炎疫情期间，为了减少外

出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在A地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.（1）求m的值；（2）从“线上买菜”消费总金额不低于500元的被调研居民中，随机抽取2位给予奖品，求这2位“

线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；（3）若A地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在A地区拟投放的电子补贴总金额

.【答案】（1）0.003m（2）35（3）1820000元【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算m的值；（2）由频率分布图计算可知消费总金额在[500,600)元的有4人，消费总金额在600,700的有1人，采用编号列举的方法，计算这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；

（3）首先计算估计A地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额.【详解】（1）由(0.00110.00240.0020.0010.00040.0001)1001m，得0.003m.（2）设事

件A为“这2位‘线上买菜’消费总金额均低于600元”被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[500,600)元的有000041001004人，分别记为1a，2a，3a，4a被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在600,700的有0.00011001001人，记为b，从

被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于500元的居民中随机抽取2人进一步调研，共包含10个基本事件，分别为12aa，13aa，14aa，1ab，23aa，24aa，2ab，34aa，3ab，4ab，事件包含6个基本事件，分别为12aa，13aa，14aa，23aa，24aa，34a

a，则这2位线上买菜消费总金额均低于600元的概率63()105PA.（3）由题意，可得估计A地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为500.00111001500.00241002500.0031003500.0021

004500.0011005500.00041006500.0001100260估计低于平均水平一半的频率为2601000.00240.110.1822，所以估计投放电子补贴总金

额为10000000.182101820000元.【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.