【文档说明】湖南省部分校2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.515 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省高一年级阶段性诊断考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至第二册第七章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合41

Axx=，368Bxx=−，则AB=（）A.14xxB.1124xx−C.43xxD.1324xx−【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.【详解

】依题意，1{|}4Axx=，14{|}23Bxx=−，所以4{|}3ABxx=.故选：C2.已知向量()1,4a=−，()3,2b=−，若()2aab+∥，则=（）A.－1B.6C.－6D.2

【答案】B【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.【详解】向量()1,4a=−，()3,2b=−，则()21,82ab+=−，由()//2aab+，得482=−+，解得6=.故选：B3.已知(

)()1ii24iz++=−，则z=（）A.17B.25C.23D.22【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算可得14iz=−−，进而可求模长.【详解】∵()()1ii24iz++=−，则()()()()2

4i1i24i26iiii14i1i1i1i2z−−−−−=−=−=−=−−++−，∴()()221417z=−+−=.故选：A.4.若函数()sin1fxax=+的最大值为4，则函数()()cos1gxax=+的最小正周期

为（）A.2πB.πC.π2D.2π3【答案】D【解析】【分析】由正弦函数的值域和()fx的最大值求得a，再由余弦型函数的周期公式求()gx的最小正周期.【详解】由1sin1x−，函数()sin1fxax=+的最大值为4，则3a=，函数()()cos1gxax=

+的最小正周期为2π2π3Ta==.故选：D5.从O地到A地的距离为1.5km，从A地到B地的距离为2km，且20.6kmOAAB=−，则2OB=（）A.25.25kmB.25.05kmC.26.45kmD.

27.45km【答案】B【解析】【分析】根据OAABOB=+，结合数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可得：22221.5km,2kmOAAB==uuruuur，∵OAABOB=+，故()()2222222221.520.625.05

kmOBOBOAABOAOAABAB==+=++=−+=uuuruuuruuruuuruuruuruuuruuur.故选：B.6.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc.已知2sinsin1,cos2

4BAAab==−，则cb=（）A.32B.23C.34D.12【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理得到2ab=，再根据余弦定理得到131224cbbc−=−，设ctb=，代入计算得到答案.【详解】2sinsin2BAab=，即224ab=，故2ab=，222223131cos22224bca

cbcbAbcbcbc+−−===−=−，设ctb=，则1311224tt−=−，解得32t=或2t=−（舍去）.故选：A7.设钝角满足cos2sin812sin5−=−，则3tan4+=（）A.17B.17−C.7D.7−【答案】D【解析】【

分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出sin，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.【详解】因为2cos2sin12sinsin(1sin)(12sin)1sin12sin12sin12sin−−−+−===+−−−，则81sin5+=，解得3

sin5=，而为钝角，则24cos1sin5=−−=−，sin3tancos4==−，所以3π3tantan13π44tan()73π341tantan1()(1)44+−−+===−−−−−.故选：D8.泰姬陵是

印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线

）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（）A.75mB.502mC.256mD.80m【答案】A【解析】【分析】RtABQ中边角关系解出AQ，CAQ中由正弦定理解得CQ，Rt

CDQ△中由边角关系解得CD.【详解】由已知得ABQ为等腰直角三角形，50AB=，502AQ=，45AQB=，60CQD=，则有75CQA=，A处测C处的仰角为15°，则60QAC=，∴45QCA=，CAQ中，由正弦定理

，sinsinAQCQQCAQAC=，即5022322CQ=，解得503CQ=，RtCDQ△中sinCDCQDCQ=，3sin503752CDCQCQD===.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数1z，2z满足123izz+=−，1253izz−=+，则，（）A.14iz=+B.2z在复平面内对应的点位于第三象限C.122zz+为纯虚数D.12zz的共轭复数为29i−+【答案】ABD【解析】【分析

】根据给定条件，求出复数1z，2z，再逐一计算判断各个选项作答.【详解】因为123izz+=−，1253izz−=+，则1i2()()8i2353iz−+=+=+，23i53ii2()()24z==−+−−−，解得21i,1

42izz=−+−=，A正确；复数2z在复平面内对应的点(1,2)−−位于第三象限，B正确；1272i12i2(4)()zz−−=+++=，则122zz+为实数，C错误；12i)(12i)(429izz−+=

−=−−，所以12zz的共轭复数为29i−+，D正确.故选：ABD10.如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形ABCD，BCEF，GHIJ均为正方形，则（）A.0CACF=B.HB在AB上的投影向量为12ABC.0FAACD.HB在CB上的投影向量为2CB【答案】ABD【解析】【分

析】对于A，根据π2ACF=可判断；对于B，根据投影向量的定义可判断；对于C，根据FA与AC的夹角为3π4可判断；对于D，根据投影向量的定义可判断.详解】【对于A，由图可知π4ACBFCB==，则π2ACF=，所以0CACF=，A正确；对

于B，如图，设M，N分别为AB，HG的中点，连接IM，CN，HB在AB上的投影向量为12MBAB=，B正确；对于C，因为FA与AC的夹角为3π4，所以0FAAC，C错误；对于D，HB在CB上的投影向量为2NBCB=，D正确．故选：ABD11.若()fx，()gx，()hx分别

是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（）A.()()()yfhxgx=B.()()()yfgxhx=+C.()()()yfgxhx=D.()()()yfxgxhx=【答案】BCD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】若()fx，()gx

，()hx分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则()()=fxfx−，()()gxgx=−−，()()hxhx=−对于函数()()()()yFxfhxgx==，则()()()()()()()()()()

()()FxfhxgxfhxgxfhxgxFx−=−−=−=−=−，则()()()yfhxgx=为奇函数；对于函数()()()()yGxfgxhx==+，则()()()()()()()()GxfgxhxfgxhxGx−=−+−=+=，则()

()()yfgxhx=+偶函数；对于函数()()()()yHxfgxhx==，则()()()()()()()()()()()HxfgxhxfgxhxfgxhxHx−=−−=−==，则()()()yfgxhx=为偶函数；对于函数()()(

)()yMxfxgxhx==，则为()()()()()()()()MxfxgxhxfxgxhxMx−=−−−==，则()()()yfxgxhx=为偶函数.故选：BCD.12.在锐角ABC中，内角A，B，

C的对边分别为a，b，c，且26b=，B的角平分线交AC于D，3acBDac=+，则（）A.π6B=B.ππ62CC.2242cD.1624ac≤【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件及角平分线的定义，利用三角形的面积公式、三角形

的内角和定理及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及三角函数的性质即可求解.【详解】因为BD是角ABC的平分线，所以2BABDCBD==.由题意可知，ABCABDACDSSS=+,即111sinsinsin2

22acBaBDABDcBDCBD=+,所以()1132sincossin22222BBacBacacac=++，即2sincos3sin222BBB=，因为ABC为锐角三角形，所以π02B,所以π024B，所以sin02B，所以2cos32B=，即3cos22B=，所以π2

6B=，即π3B=,故A错误；在ABC中，πABC++=,即2π3AC=−，因为ABC为锐角三角形，所以2ππ032π02CC−，解得ππ62C，故B正确；由正弦定理得sinsinbcBC=,即sin

26sin42sinsin32bCCcCB===,因为ππ62C，所以1sin12C，即2242sin42C，所以2242c，故C正确；由正弦定理26242sin32bRB===，所以2sin42sin,2sin42sin,aRAAcRCC====所以2π2π2π32sinsin

32sinsin32sincoscossinsin333acACCCCCC==−=−2313132sincossin16sin2cos282222CCCCC=+=−+

π16sin286C=−+，因为ππ62C，所以ππ5π2666C−，所以1πsin2126C−，所以π1616sin28246C−+，所以1624ac≤，故D正确.故选：BCD.【点睛】解决此题的关键是

利用等面积法及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及三角恒等变换，再利用三角函数的性质即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正数a､b，121ab+=，则ab的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】根据题

意，结合基本不等式得到12212+=abab，进而可求出结果.【详解】因为12212+=abab，所以8ab（当且仅当12ab=，即2a=，4b=时取等号），故ab的最小值为8，故答案为：814.若复数z的虚部小于

0，且21z=−，则1zz=+______________．【答案】11i22−【解析】【分析】设i(,Rzabab=+且0)b，根据21z=−，求出,ab，再根据复数的出发运算即可得解.【详解】设i(,Rzabab=+且0)b，则()22222i1izababab=+=+=−

−，所以22120abab−=−=，则2210aba−=−=或2210abb−=−=（舍去），所以10ba==（舍去）或10ba=−=，所以iz=−，则()()()i1ii

11i11i1i1i22zz−+−===−+−−+.故答案为：11i22−.15.已知函数()()π6cos06fxx=−，若在区间2π0,3内恰好存在两个不同的0x，使得()03fx=，则ω的最小值为______________．【答案】114【解析】【

分析】()03fx=时有0π1cos62x−=，依题意有5π2ππ7π3363−，可求ω的最小值.【详解】函数()()π6cos06fxx=−，由()00π6cos36fxx=−=，则0π1cos62x

−=，02π0,3x时，0ππ2ππ,6636x−−−，依题意有5π2ππ7π3363−，解得111544，所以ω的最小值为114.故答案为：11416.已知向量a

，b满足2a=，2b=，且2ab=−，c为任意向量，则()()acbc−−的最小值为______________．【答案】52−##-2.5【解析】【分析】由已知可得向量a，b夹角为3π4，可取取()2,0a=，()1,1b=−，设

(),cxy=，利用配方法求()()acbc−−的最小值.【详解】由2a=，2b=，且2ab=−，设向量a，b夹角为，则22cos222abab−===−，由0,π，得3π4=，取()2

,0a=，()1,1b=−，满足2a=，2b=，且2ab=−，设(),cxy=，则()2,acxy−=−−，()1,1bcxy−=−−−，()()()()()()211acbcxxyy−−=−−−+−−22221152222xxyyxy

=−−+−=−+−−，所以当12xy==时，()()acbc−−有最小值52−.故答案为：52−四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在4×4正方形网格中，向量a，b满足1a

=，2b=，且ab⊥．（1）在图中，以A为起点作出向量c，使得2cab=+；（2）在（1）的条件下，求cd．【答案】（1）作图见解析（2）2【解析】【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量c；（2）利用向量a，

b为基底，求cd.【小问1详解】2cab=+，以A为起点作出向量c，如图所示，【小问2详解】由图中网格可得：122dab=−，由1a=，2b=，且0ab=则有()2211224222ababcdab+−=−==18.在△ABC中，角A，B，C

的对边分别为a，b，c．已知222222sinsinbcaacbBA+−+−=．（1）证明：AB=．（2）若D为BC的中点，从①4=AD，②1cos4C=，③2CD=这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别

解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证AB=；（2）三种情况，在ACD中，利用余弦定理证明即可.【小问1详解】已知222

222sinsinbcaacbBA+−+−=，由余弦定理可得2cos2cossinsinbcAacBBA=，即coscossinsinbAaBBA=，又由正弦定理sinsinbaBA=，得coscosAB=，角A，B为△ABC中内角，所以AB=.【小

问2详解】△ABC中,AB=，D为BC的中点，如图所示，()1①②③已知4=AD，1cos4C=，求证2CD=.证明：2ACCD=，ACD中，2222224161cos244ACCDADCDCDCACCDCD+−+−===，解得2CD=.()2①③②已知4=A

D，2CD=，求证1cos4C=.证明：24ACCD==，所以ACD中，222164161cos22424ACCDADCACCD+−+−===.()3②③①已知1cos4C=，2CD=，求证：4=AD证明：24ACCD==，在ACD中，由余弦

定理，22212cos164242164ADACCDACCDC=+−=+−=，所以4=AD19.已知函数()xfxab=+（0a，且1a）的定义域和值域都是0,2．（1）求,ab的值；（2）求不等式()()933xxffb−+解集．【答案】（1）3,1ab==−（2

）(39log2,log5【解析】【分析】（1）对a分类讨论，根据函数的单调性可得关于,ab的等式，求解得答案；（2）由（1）得解析式确定函数单调性，列不等式求解即可.【小问1详解】当01a时，函数()xfxab=+在0,2上单调递

减，所以()()020220fabfab=+==+=，无解；当1a时，函数()xfxab=+在0,2上单调递增，所以()()020022fabfab=+==+=，解得3,1ab==−或3,

1ab=−=−（舍）；.的综上，3,1ab==−;【小问2详解】由（1）得()()31xfx=−，0,2x，则函数()fx0,2上单调递增，又()()9331xxff−−，则293310xx−−，解得39log2log5x，所以不等式得解集为(

39log2,log5.20.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，15CD=，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F．（1）求△ACD的面积；（2）求sinAFE的值．【答案】

（1）7154；（2）13632.【解析】【分析】（1）在ABC中用余弦定理求出cosACB，再利用诱导公式及三角形面积公式求解作答.（2）利用余弦定理求出AD，由正弦定理求出CAD，然后利用和差角及二倍角的三角

函数公式求解作答..【小问1详解】在ABC中，由余弦定理得：2222224327cos22438ACBCABACBACBC+−+−===，由BCCD⊥得：7sincos8ACDACB==，所以

ACD的面积117715sin4152284ACDSACCDACD===.【小问2详解】在在ACD中，由（1）知22715cos1sin1()88ACDACB=−=−=，由余弦定理得2222152cos4(15)241548ADACCDACC

DACD=+−=+−=，由正弦定理sinsinCDADCADACD=，得715sin7158sin432CDACDCADAD===，而ADCD，即CAD是锐角，则2271517cos

1sin1()3232CADCAD=−=−=，在ABC中，22222224311cos222416ABACBCBACABAC+−+−===，2211315sin1cos1()1616BACBA

C=−=−=，因此coscos()coscossinsinBADBACCADBACCADBACCAD=+=−11173157151163216324=−=−，在ABE中，122AEAD==，即

AEBABE=，21coscos(π2)cos212cos4BADAEBAEBAEB=−=−=−=−，而AEB是锐角，解得10cos4AEB=，26sin1cos4AEBAEB=−=，

在AEF△中，π()AFECADAEB=−+，所以sinsin()sincoscossinAFECADAEBCADAEBCADAEB=+=+7151017613632432432=+=.21.已知函数()()sin0,0

,2fxAxA=+的部分图象如图所示.（1）求()fx的解析式；（2）若方程()0fxm−=在40,3上恰有三个不相等的实数根()123123,,xxxxxx，求m的取值范围和()123tan2xxx++的值

.【答案】（1）()2sin(2)3fxx=+（2）见解析【解析】【分析】（1）由函数图象可得2A=，T=，求得2=，将点,212代入()fx的解析式，求得3=，即可求得函数()fx的解析式；.（2）将问题转化为函数()fx与ym=的图象在40,3

上有三个不同的交点，结合图象以及对称性求解即可.【小问1详解】解：由函数()fx的图象可得2A=，且43124T=−=，解得T=，所以22T==，即()2sin(2)fxx=+，将点,2

12代入()fx的解析式，可得22,122kkZ+=+，解得2,3kkZ=+，因为||2，可得3=，所以()2sin(2)3fxx=+.【小问2详解】方程()0fxm−=在40,3

上恰有三个不相等的实数根，则函数()fx与ym=的图象在40,3上有三个不同的交点，设交点的横坐标分别为()123123,,xxxxxx.函数()fx在40,3上的图象如

下图所示：由图可知，03m.由对称性可知，1231223713102()()2212132xxxxxxx++=+++=+=.故12210tan(2)tantan333xxx++===22.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，且π8,3aA==．（1）若π2B，求2coscbB−的值；（2）求ABACABAC+−的最小值．【答案】（1）16（2）8316−【解析】【分析】（1）先利用正弦定理分别求出,bc，再根据三角形内角和定理将C用B表示，再将所求化简即可得解；（2）利用余弦定理结合可得2

264bcbc+=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得16422ABACABACbcbc+−=+−，令642tbc=+，再根据二次函数的性质即可得解.【小问1详解】因为π8,3aA==，所以16sinsinsin3b

caBCA===，所以()1616168sin,sinsin8cossin3333bBcCABBB===+=+，则161616cossinsin23316coscosBBBcbBB+−−==；【小问2详解】由222222cosabcbcAbcbc=+−=+−，得2264

bcbc+=+，因为222bcbc+，所以22642bcbcbc+=+，所以64bc，当且仅当8bc==时，取等号，()222222642ABACABACABACABACbcbcbc+=+=++=++=+，12ABACbc=，

令642,883tbct=+，则21322bct=−，则()22111621744ABACABACttt+−=−+=−−+，因为883t，所以()21831621784t−−−+，所以ABACABAC+−

的最小值为8316−．