【文档说明】河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.298 MB，由小赞的店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数1i3iz+=−，则z=（）A.11i55+B.12i55+C.11i55−D.12i55−【

答案】D【解析】【分析】利用复数的除法求出z，再由共轭复数的定义求得z.【详解】()()()()1i3i1i24i12i3i3i3i1055z++++====+−−+，则12i55z=−.故选：D2.已知集合1,0,1,2,3A=−，2|21,ByyxxA==−，则

AB=（）A.1,1−B.1C.1,0,1−D.0【答案】A【解析】【分析】由已知条件列举法表示出集合B，由交集的定义即可求出AB.【详解】集合1,0,1,2,3A=−，2|21,1,1

,7,17ByyxxA==−=−，1,1AB=−.故选：A3.如图是某学生在劳动实习课上制作的一个模型，该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分，圆柱和挖去的圆.台上、下底面圆的圆心重合，圆柱的底面半径和高均为3，挖去的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，则该模型的体积为

（）A.20π3B.17π3C.20πD.23π【答案】C【解析】【分析】应用圆台、圆柱体积公式求模型的体积即可.【详解】由题设，圆台上底面积1πS=，下底面积24πS=，圆台体积为13(ππ4π4π)7π3V=

++=，而圆柱体积为39π27πV==，所以该模型的体积为27π7π20π−=.故选：C4.已知1221()22xxaafx−−+=+，若(1)fx+为奇函数，则实数=a（）A.0B.12C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据(1)f

x+为奇函数，得出(1)0f=，求出实数a，再验证(1)fx+为奇函数.【详解】由(1)fx+为奇函数，定义域为R，得出(1)fx+过点()0,0，即(1)0f=，即21022aa−+=+，解得1a=.则121()22xxfx−−=+

，121121(1)22221xxxxfx+−−+==++，设()(1)Fxfx=+，因为()()121112(1)(1)221221xxxxFxfxfxFx−−−−−=−+===−+=−++，所以()Fx是奇函数，即(1)fx+是奇函数.

故选：C.5.德国哲学家、数学家莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz）是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德，他的一个重要数学发明是二进位制，他本人也确认，中国人在三千多年前的《易经》64卦里就藏匿了这个奥妙.莱布尼茨用数0表示空位，数1表示实

位，即满2进1.这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如：自然数0为二进位制中的0，自然数1为二进位制中的1，自然数2为二进位制中的10，自然数3为二进位制中的11，自然数4为二进位制中的100，自然数5为二进位制中的101，….由以上二进位制的规则，可知二

进位制中的10101表示的自然数是（）A.11B.21C.25D.42【答案】B【解析】【分析】根据题设描述，将二进制数转化为十进制自然数即可.【详解】由题设，10101表示的自然数为01234120212021221++++=.故选：B6.已知lne,0baabb=，则2ba的

最大值为（）A.2eB.12eC.1eD.21e−【答案】B【解析】【分析】根据题意转化为lnlneabaeb=，令()exfxx=，求得()0fx¢>，得到()fx单调递增，得到()()lnfafb=，即eba=，得到22ebbba−=，令()2exgxx−=，求得()2e(12)xgxx

−=−，结合函数()gx的单调性和最大值，即可求解.【详解】由lnebaab=，可得lnlne>1abaeba=，，令()exfxx=，可得()(1)e0xfxx=+，所以()fx单调递增，因为()()lnfafb=，可得lnba=，即eba=

，则22ebbba−=，令()2exgxx−=，可得()2e(12)xgxx−=−，当102x时，()0gx，()gx单调递增；当12x时，()0gx，()gx单调递减，所以当12x=时，

可得()max11()22egxg==，所以2ba的最大值为12e.故选：B.7.已知过点()1,2P可作双曲线2222:1xyCab−=(0,0)ab的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范

围为（）A.(5,)+B.(1,5)C.(1,3)D.(3,)+【答案】B【解析】【分析】要满足题意，点()1,2P必须在渐近线byxa=与y轴围成的区域，且不能在渐近线及y轴上，即可得到2ba，即可得到离心率的取值范围.【详解】要满足题意，点()1,2P必须在渐近线byxa=与y轴围

成的区域，且不能在渐近线及y轴上.所以必须满足2ba，得224ba，2224caa−，225ca，25e，又1e，15e.故选：B8.已知17ea=，8log9b=，7log8c=，则（）

A.bcaB.cabC.abcD.acb【答案】D【解析】【分析】构造函数()e1xfxx=−−，利用单调性得1718e177a=+=，进而根据指对数的运算性质即可比较.【详解】令()e1xfxx=−−，则()e1xfx=−，当0x

时，()0fx¢>，当0x时，()0fx，所以()fx在()0,+单调递增，在(),0-单调递减，所以当0x=时，()fx取极小值也是最小值，故()()00fxf=，因此e1xx+，故1718e177a=+=，888888log9log9log9log8log9log977776

3788888888====99，因此8log98778log9log8bc，又782097152875764801==，所以8

787，进而78log87，故ca，因此acb，故选：D【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：利用指对幂函数的单调性比较大小，构造函数，利用导数求解单调性比较大小，利用不等式

的性质以及基本不等式，进行放缩比较.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某水果店为了解本店香蕉的日销售情况,依据过

去100天香蕉的日销售量(单位:kg)绘制了如下所示的频率分布直方图,依据该直方图,下列选项正确的有（）A.直方图中的0.025a=B.过去100天香蕉的日销售量平均值的估计值为52kgC.过去100天香蕉的

日销售量众数的估计值为50kgD.过去100天香蕉的日销售量中位数的估计值为55kg【答案】AB【解析】【分析】对于A,根据频率和为1即可求解;对于BCD,根据频率分布直方图求解平均数、众数和中位数的方

法求解即可.【详解】对于A,由()100.0150.040.0150.0051a++++=,得0.025a=,故A正确;对于B,平均值的估计值为350.15450.25550.40650.15750.0552x=++++=,故B正确;对于C,根据频率分布直方图,众数的估计

值为55,故C错误;对于D,因为0.150.250.400.5,0.150.250.40.80.5+=++=,所以中位数在第3组,设中位数为x,则()0.150.25500.040.5x++−=,解得52.5x=,故D错误.故选:AB

.10.已知π0π2，1sin3=，22cos()3+=−，下列选项正确的有（）A.1sin()3+=B.7cos9=−C.17cos281=−D.23sin()27−

=−【答案】BD【解析】【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得π+=-，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.【详解】由于π02且1sin3=，所以22cos3=，又π3π,22+，22cos()cos3+=−=−，故π+=

-或π+=+，当π+=+时，π=显然不满足，故π+=-，所以1sin()3+=，故A错误，对于B，()()2222117cossinscoscoin33339s+++==+=−-，故B正确，对于C,22717cos22cos121981=−

=−=-，故C错误，对于D，由B可知242sin1cos9−==，所以17224223sin()sincoscossin393927−=−=−−=−，故D正确，故选

：BD11.已知O为坐标原点，F为抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点，C的准线与x轴的交点为(1,0)D−，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点E，直线l的倾斜角90，且点A在第一象

限，下列选项正确的有（）A.OAOB为定值B.DADB为定值C.若F为AE的中点，则tan3=D.若B为AE的中点，则tan22=【答案】ACD【解析】【分析】由题设可得2:4Cyx=、0Ay

、0By，令:1lxky=+且0k，联立抛物线，应用韦达定理求得4AByyk+=，4AByy=−，1ABxx=，242ABxxk+=+，再利用向量数量积的坐标表示判断A、B；由中点公式及韦达定理求k即可判断C、D.【详解】由题设2:4Cyx=，令:1lx

ky=+且0k，0Ay，则0By，2(1,)Ek−−，联立直线与抛物线得：2440yky−−=，216(1)0k=+，所以4AByyk+=，4AByy=−，则2()11ABABABxxkyyky

y=+++=，2()242ABABxxkyyk+=++=+，由(,),(,)AABBOAxyOBxy==，则3ABABOAOBxxyy=+=−，A正确；由(1,),(1,)AABBDAxyDBxy=+=+，则(1)(1

)ABABDADBxxyy=+++1ABABABxxxxyy=++++24k=，B错误；若F为AE的中点，则1220AAxyk−=−=，可得32AAxyk==，故2412k=，又0k，则33k=，所以1tan3k==，C正确；若B为A

E的中点，则1222ABABxxyyk−=−=，可得2122ABABxxyyk=+=+，所以2222124BBBBBBxxyykyx+=+=−=，可得12224BBxyk==−=，则222AAxy==，此时1ta

n22k==，D正确.故选：ACD12.如图，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−的各棱长均为1，下列选项正确的有（）A.过A，1C，1E三点的平面截该六棱柱的截面面积为53912B.过A，1C，1E三点的

平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分C.以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为5π3D.以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为31π3+【答案】ACD【解析】【分析

】对于A：根据平行关系分析交线，进而运算求解；对于B：利用割补法求体积，分析运算；对于C、D：根据球的半径分析交线，运算求解.【详解】对于A：过点A作GH//11CE，设GHBCGGHEFH==II,，连接11CGEH,，设1111CGBBMEHFFN==II,，则

过A，1C，1E三点的平面截该六棱柱的截面即为11AMCEN，可得22111113113,,,2222BCAGAGAHCEGBCGGCCC⊥=====+=，因为13GBGC=，且1BB//1CC，则11111213,3333MBCCCMCG====，可得2

2103AMABBM=+=，因为1BB⊥平面ABCDEF，GH平面ABCDEF，所以1BBGH⊥，1BCBBB=，1,BCBB平面11BCCB，可得GH⊥平面11BCCB，1CG平面11BCCB，则1GHCG⊥，由G

H//11CE，则111CECG⊥，连接,BFMN，则3MNBF==，故截面面积11113135393326312AMNMNECSSS=+=+=△，故A正确；对于B：连接CE，因为1BB⊥平面ABCDEF，GB平面ABC

DEF，所以1BBBG⊥，BFBG⊥，1BFBBB=，1,BFBB平面11BFFB，可得GB⊥平面11BFFB，则四棱锥ABFNM−的高为12GB=，则其体积1113332318ABFNMV−==，四棱柱11BCCMFEEN−的体积11111233323

BCCMFEENV−+==，三棱柱111CDECDE−的体积11111339312612CDECDEV−==，故平面下半部分的体积1111113233913339183121812ABFNMBCCMFEENCDECDEVVVV

−−−=++=++=+，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−的体积13336111222V==，显然112VV，故B错误；对于C：因为球的半径为1，则球只与侧面11ABBA、侧面11AFFA和底面ABCDEF相交，因为11π

2π,23AAFAABFAB===，在侧面11ABBA、侧面11AFFA的交线为14个圆，在底面ABCDEF的交线为13个圆，半径均为1，故交线的长为115π22π12π1433+=，故C正确；对于D：因为球的半径为2，显然球不与

侧面11ABBA、侧面11AFFA相交，由选项A可知：GH⊥平面11BCCB，且2212AGCG+=，则球与侧面11BCCB、侧面11EFFE分别交于点1C、1E，连接AC，则ACCD⊥，因为1CC⊥平面ABCDEF，AC平面ABCDEF，所以1CCAC⊥，1CDCCC=，1,CDCC

平面11CDDC，可得AC⊥平面11CDDC，且()223,231AC=−=，则球与侧面11CDDC的交线为14个圆，且半径为1，同理可得：球与侧面11EDDE的交线为14个圆，且半径为1，又因为1

AA⊥平面111111ABCDEF，且221111π1,213,3AAEAC=−==，则球与底面111111ABCDEF的交线为16个圆，且半径为3，又因为2AD=，则球与底面ABCDEF的交点为D，所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为11322π1

2π31π463+=+，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法定睛：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然

后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量(,2)am=，(1,3)bm=−，若//ab，则aba+=_________.【答案】1222+【解析】【分析】由向量平

行的坐标表示列方程求得2m=−，再应用向量数量积和模长的坐标运算求结果.【详解】由题设32(1)mm=−，可得2m=−，则(2,2)a=−，(3,3)b=−，所以(2)(3)23221222aba+=−−++=+.故答案为：1222+14.已知nS是等比数列na的前n项和，

若374S=，6314SS−=，则9a=_________.【答案】64【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解.【详解】设等比数列的公比为q，则312374Saaa==++，()31236345614aSSaaaaa−=++=q

=++，故2q=，又2311174Saaqaq==++，所以114a=，所以8869112644aaq===2=，故答案为：64.15.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a=，sin2si

nsinABC=，点E在BC边上，且AEBC⊥，则AE=_________；若226bcbc+=，则cosA=_________.【答案】①.1②.624−【解析】【分析】已知2a=，sin2sinsinABC

=，在直角三角形中把角的正弦值化为边的比，利用三角形面积公式化简，可求得AE边；226bcbc+=，由余弦定理和三角形面积公式，结合辅助角公式，求得π2π43A+=，可求cosA的值.【详解】如图所示，记AE边为h，由AEBC⊥，AEB

△中，sinAEhBABc==；AEC△中，sinAEhCACb==，22sin2sinsinhABCbc==又11sin22ABCSbcAah==，得sinahAbc=，则有22hahbcbc=，即22hah=，解得

1h=，即1AE=；11sin122ABCSbcAah===，2sinbcA=，226bcbc+=，由余弦定理，2222cos62cosabcbcAbcbcA=+−=−，即()()2462cos62cossin

bcAAA=−=−，可得2sin2cos6AA+=，即π3sin42A+=，由()0,πA，有π2π43A+=，2ππ2ππ2ππ62coscoscoscossinsin3434344A−=−=+=.故答案为：1；624−16.某校高三年级有(2,N)nnn

个班，每个班均有(30)n+人，第k（1,2,3,,kn=）个班中有(10)k+个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n=_________.【答案】9【解析】【分析】根据

题设，第k个班中，取三次的方法有(30)(29)(28)nnn+++种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第k个班中第三次取出的人为男生的概率2030knkPn−+=+，再由11813nkkPn==即可求参数.【

详解】每个班被取出的概率为1n，取第k个班中取三次的方法有(30)(29)(28)nnn+++种；第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：男男男：(20)(19)(18)nknknk−+−+−+种；女男男：(10)(20)(19)knknk+

−+−+种；男女男：(20)(10)(19)nkknk−++−+种；女女男：(10)(9)(20)kknk++−+种；所以，第三次取出为男生的方法数：(20)(19)(18)nknknk−+−+−+2(10)(20)(19)knknk++−+−+(10)(9)(

20)kknk+++−+=(20)(28)(29)nknn−+++，综上，第k个班中第三次取出的人为男生的概率(20)(28)(29)20(30)(29)(28)30knknnnkPnnnn−+++−+==++++，所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率111112018(20

)30(30)13nnnkkkknkPnknnnnn===−+==−+=++，则1(1)398[20](30)22(30)13nnnnnnn−++==++，即91613013n+=+，可得9n=.故答案为：9【点睛】关

键点点睛：首先求出第k个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第k个班中第三次取出的人为男生的概率kP为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1，函数π()cos3fx

x=−.（1）当2=时，求()fx的单调递增区间；（2）若()fx在区间ππ,63上单调，求的取值范围.【答案】（1）ππ[π,π],Z36kkk−++（2）[2,4]【解析】【分析】（1）令ππ2π22π,Z3kxkk−+−求x的范围，即可得增

区间；（2）由题意cosyt=在ππππ[,]6333t−−上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求的取值范围.小问1详解】由题设π()cos(2)3fxx=−，令ππ2π22π,Z3kxkk−+−，所以ππππ,Z36kxkk−++，故()fx的单调递

增区间为ππ[π,π],Z36kkk−++.小问2详解】由ππ,63x，则πππππ[,]36333tx=−−−，所以cosyt=在ππππ[,]6333−−上单调，又1，若ππ

ππ[,][2π,π2π]6333kk−−+，Zk，则ππ2π63πππ2π33kk−−+，Zk，所以46212kk++，Zk，故0k=时24，满足题设；若ππππ[,][π2π,2π]63

33kk−−−+，Zk，则πππ2π63ππ2π33kk−−+−，Zk，所以62121kk−++，Zk，此时没有满足题设的k值；综上，[2,4].18.某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效

果，通过实验，收集到其不同浓度x（mol/L）与灭死率y的数据，得下表：【【浓度x（mol/L）1210−1010−810−610−410−灭死率y0.10.240.460.760.94（1）以x为解释变量，y为响应变量，在ˆˆˆy

bxa=+和12lgyccx=+中选一个作为灭死率y关于浓度x（mol/L）的经验回归方程，不用说明理由；（2）（i）根据（1）的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；（ii）依据（i）中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多

少mol/L？参考公式：对于一组数据11(,)xy，22(,)xy，L，(,)nnxy，其经验回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==

−−，ˆaybx=−.【答案】（1）选12lgyccx=+（2）（i）1.380.11lgyx=+，（ii）581110−mol/L【解析】【分析】（1）根据表格数据的特征选择回归模型；（2）（i）令lgiiux

=，将所给数据处理，再求出u，y，521iiu=，51iiiuy=，即可求出2c，1c，从而得到回归方程；（ii）令0.8y，根据对数函数的性质解出不等式，即可得解.【小问1详解】根据表格数据可知解析变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相

应的增加量大约相等，故选12lgyccx=+.【小问2详解】（i）令lgiiux=，则12yccu=+，所以可得如下数据u12−10−8−6−4−y0.10.240.460.760.94则()1121086485u=−−−−−=−，

()10.10.240.460.760.940.55y=++++=，()()()()()522222211210864360iiu==−+−+−+−+−=，()()()()()51120.1100.2480.4660.7640.9415.6i

iiuy==−+−+−+−+−=−，所以()()2215.6580.50.1136058c−−−==−−，()10.50.1181.38c=−−=，所以1.380.11yu=+，即1.380.11lgyx=+；（ii）依题意1.380.11lg0.

8yx=+，即0.11lg0.58x−，即58lg11x−，所以581110x−，即要使灭死率不低于0.8，则该灭草剂的浓度至少要达到581110−mol/L.19.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面

ABCD，2AB=，点E，F分别为棱PB和PC上的点，且AEPB⊥，AFPC⊥.（1）证明：EFPC⊥；（2）若4PA=，求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（

1）由线面垂直的性质有PABC⊥，进而可得BC⊥面PAB，再由线面垂直的性质和判定依次证BCAE⊥、⊥AE面PBC、AEPC⊥，最后由线面垂直判定得PC⊥面AEF，即可证结论；（2）构建空间直角坐标系Axyz−，根据已知求出E坐标，进而求出面A

EC、面AEF的法向量，利用向量夹角的坐标表示求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值.【小问1详解】由PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，则PABC⊥，由底面ABCD为正方形，则ABBC⊥，又PAABA=，,PAAB面PAB，所以BC⊥面PAB，而AE面PAB

，则BCAE⊥，又AEPB⊥，PBBCB=，,PBBC面PBC，所以⊥AE面PBC，PC面PBC，则AEPC⊥，由AFPC⊥，AEAFA=，,AEAF面AEF，则PC⊥面AEF，由EF面AEF，故EFPC⊥.【小问2详解】构建如下图示的空间直角坐标系Axyz−，则(2,0,0)B

，(2,2,0)C，(0,0,4)P，由PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，则PAAB⊥，故2225PBPAAB=+=，由AEPB⊥，则PAABAEPB=，可得45PAABAEPB==，所以2285PEPAAE=−=，则||45||PE

PB=，即45PEPB=，而(2,0,4)PB=−，若(,0,)Eac，则(,0,4)PEac=−，故4(,0,4)(2,0,4)5ac−=−，所以851645ac=−=−，则8545ac==，则84(,0,)55E，故84(,0,)55AE=，而(2,2,

0)AC=uuur，若(,,)mxyz=是面AEC的一个法向量，则84055220mAExzmACxy=+==+=，令2z=，则(1,1,2)m=−，由（1）知：(2,2,4)PC=−是面AEF的一个法向量，所以82|cos,|||3|

|||626mPCmPCmPC===，故面AEF与面AEC夹角余弦值为23.20.已知数列na满足13a=，133,,12,.3nnnanaan++=+为奇数为偶数（1）证明：数列21na−为等差数列；（2）若将数列na中满足ijaa=的项ia，()jaij称为

数列na中的相同项，将数列na的前40项中所有的相同项都剔除，求数列na的前40项中余下项的和.【答案】（1）证明见解析（2）2166【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义证明；（2）数列na中奇数项与偶

数项分别构成等差数列，利用通项求出两个数列相同的项，可求所需项的和.【小问1详解】数列na满足13a=，133,,12,.3nnnanaan++=+为奇数为偶数设21nnba−=，则113ba==，有()121221211123323333nnnnnnbaaaab+

+−−==+=++=+=+，13nnbb+−=，所以数列nb是首项为3公差为3的等差数列，即数列21na−为等差数列.【小问2详解】由（1）可知，3nbn=，设2nnca=，同理可证数列nc是首项为12公差为9的等差数列，39ncn=+，设数列nb

的前n项和为nS，数列nc的前n项和为nT，数列na的前40项和为2020ST+，若()*,Nknbckn=，即339kn=+，得13kn=+，1320kn=+，有6n，将数列na前40项中所有的相同项都剔除，则数列na的前40项中余下项的和为：()()()20206203

60201218361257222166222STT++++−=+−=.21.已知斜率为k的直线l与椭圆22:163xyC+=交于A，B两点，线段AB的中点为(,)Mnm.（1）若1n=，1m=−，求k的值；（2）若线段AB的垂直平分线交y轴

于点10,3P−，且4ABPM=，求直线l的方程.【答案】（1）12（2）1yx=+【解析】【分析】（1）根据中点坐标，利用点差法求中点弦的斜率；（2）令直线l为()ykxnm=−+，讨论0k=、0k，应用点差法得2kmn=−，写出中垂线PM方程

，根据(,)Mnm在PM上求得13m=，进而得到13:()32lynxn=−−联立椭圆方程，应用弦长公式及已知列方程求得23n=，即可得直线方程.【小问1详解】由题设2222163163AABBxyxy+=+=，作差可得2222()()

()()06363ABABABABABABxxyyxxxxyyyy−−+−+−+=+=，又22,22ABABxxnyym+==+==−，故2()33ABABxxyy−−=，所以12ABlAByykxx−==−.的【小问2详解】由题意，直线l斜率一定存在，令直线l为()ykxn

m=−+，若0k=时:lym=且(0,)Mm，33m−，此时中垂线PM与y轴重合，与题设中，垂直平分线与y轴交于10,3P−矛盾，不合要求；若0k，由（1）知：()2()33ABABnxxmyy−−=−，则2ABAByyxxmn

k−=−−=，则中垂线PM为123myxn+=，即630mxnyn−−=，又(,)Mnm在该直线上，所以30mnn−=，得0n=或13m=，当0n=时0k=不满足要求，故13m=，故32nk=−，即13:()32lynxn=−−，联立椭圆得：2213()32[2]6nxxn−−+=，整理得22

2429(29)18(29)81361040nxnnxnn+−+++−=，所以2ABxxn+=，42281361049(29)ABnnxxn+−+=，则22||1()4ABABABkxxxx=++−22210418491881nnn−=++，而24||9PMn

=+，由4ABPM=，则2222(49)(529)32818819nnnn+−=++，解得23n=，所以:1lyx=.综上，直线l的方程为1yx=+.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本

步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知

函数()4lnfxaxx=−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若11e()xxfxx−+，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）,2]−（【解析】【分析】（1）先求定义域，求导后，对a

进行分类讨论，即可得到函数的单调性；（2）由题意，可取1x=，得2a，对原不等式进行放缩可得12e124ln0xxxxx−+−+，构造函数()12e124lnxSxxxxx−=+−+，求导得()()12e2221xxxxSxx−−+=+−，再构造()1222exxTxx−−++=

，求导得()1222exTxx−−−=，取特殊值可得()Tx的最小值为正数，所以可知()Sx在1x=处取得极小值，可得()min0Sx=，所以121e4lnxaxxxx−−+恒成立，故实数a的取值范围是()2,+.【小问1详解】()fx的定义域为

()0,+，()44axfxaxx−=−=，当0a时，()0fx，()fx在()0,+上单调递减；当0a时，由()0fx¢>，解得：4xa，由()0fx，解得：40xa，所以()fx在4,a+上单调递增，在40,a上单调递减，综上：当0

a时，()fx在()0,+上单调递减；当0a时，()fx在40,a上单调递减，在，4,a+上单调递增.【小问2详解】由11e()xxfxx−+，得()11e4lnxxaxx

x−+−，取1x=时，得11a+，所以2a，下证：()11e24lnxxxxx−+−，即证：12e124ln0xxxxx−+−+，令()12e124lnxSxxxxx−=+−+，则()()12e2221xxxxSxx

−−+=+−，构造()1222exxTxx−−++=，则()1222exTxx−−−=，易知()Tx在()0,+上是单调递增函数，又()11220T=−−，()12e202T=−−，()Tx在()0,+上存在唯一零点，设该零点为0x，且满

足012x，()0100220e2xTxx−−−==，当()00,xx时，()0Tx，当()0,xx+时，()0Tx，故()Tx在区间()00,x上单调递减，在区间()0,x+上单调递增，()000022000n0

1i0m22222222224e20xxxxxxxTxxx−−++=+−++=−++=，当()0,1x时，()0Sx，当()1,x+时，()0Sx，故()Sx在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增，(

)()min10SxS==，()0Sx在()0,x+上恒成立，即12e124ln0xxxxx−+−+，1221e24ln4lnxxxxaxxxx−−+−在()0,x+上恒成立，故实数a的取值范围是,2]−（.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现

，难度相对较大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数零点（零点个数），或知道零点个

数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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