【文档说明】浙江省舟山中学2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含解析.docx，共(25)页，1.520 MB，由小赞的店铺上传

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舟山中学高二第一学期第一次数学素养测评（分数：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若13210,124a−−,,,,，则方程2222210xyaxayaa+++++−=表示的圆的

个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知方程22121xymm+=−+表示的曲线是椭圆,则实数m的取值范围是A.(1,2)−B.11(1,)(,2)22−C.1(1,)2−D.1(,2)23.点()00Mxy，是圆222(0)xyaa+=内不为圆心的一点，则直

线200xxyya+=与该圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交4.若圆22:4480Cxyxy+−−−=上至少有三个不同的点到直线l：0xyc−+=的距离为2，则c的取值范围是（）A.22,22−B.(22,22)−C.22−，D.

(2,2)−5.已知圆()22:22Cxy−+=,直线:2lykx=−,若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线12,ll,使得12ll⊥,则实数k的取值范围是A.)()0,2323,−++B.[23−,23+]C.(),0−D.0+，）6.已知原点到直线l的距离为1，圆22(2

)(5)4xy−+−=与直线l相切，则满足条件的直线l有A.1条B.2条C.3条D.4条7.椭圆C：()222210xyabab+=的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，()3,

0F为椭圆C的右焦点，则OPPF的取值范围为（）A.(16,10)−−B.3910,4−−C.3916,4−−D.39,4−−8.如图，已知1F，2F分别是椭圆左、右焦点，现以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心

并且交椭圆于点M，N．若过点1F的直线1MF是圆2F的切线，则椭圆的离心率为（）A.31−B.23−C.22D.32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为12，左，右焦点分别为1

F，2F，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PFF△的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的焦距为1B.椭圆C的短轴长为23C.12PFF△面积的最大值为3D.椭圆C上存在点P，使得1290FPF=10.圆221:20xyxO+−=和圆222:240Oxyxy+

+−=的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为0xy−=B.公共弦AB所在直线的方程为10xy+−=C.公共弦AB的长为22D.P为圆1O上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为212+11.“脸谱

”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆1C的方程为()2290xyy+=，半椭圆2C的方程为221(0)916xyy+=．则下列说法正确的是（）的A.点A在半

圆1C上，点B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若()()0,7,0,7AB−，P是半椭圆2C上的一个动点，则cos∠APB的最小值为19D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日

发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆2C扩充为整个椭圆C：()22144916xyy+=−后，椭圆C的蒙日圆方程为2225xy+=12

.已知F为椭圆22:142xyC+=左焦点，直线():0lykxk=与椭圆C交于A、B两点，AEx⊥轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A.14AFBF+的最小值为2B.ABE的面积的最大

值为2C.直线BE的斜率为2kD.PAB为直角三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线:1lmxy−=，若直线l与直线10xmy−−=平行，则实数m的值为______，动直线l被圆22:2240Cxyx++−=截得弦

长的最小值为______．14.若过点()0,0作圆2222210xykxkykk+++++−=的切线有两条，则实数k的取值范围是_________．15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点1F，2F在x轴上

，离心率为22，过1F作直线l交C于,AB两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为__________．16.已知F1，F2是离心率为13的椭圆22221(0)xyabab+=的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是12MFF的内心，G是12MFF的重心，记12IFF与1GF

M的面积分别为S1，S2，则12SS=___________.的四、解答题（本大题共6小题，共73.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知动圆M过定点()30A−,，并且在定圆B：()2236

4xy−+=的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．18.在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,3)A，直线:24lyx=−设圆C的半径为1，圆心在直线l上.（1）若圆心C也在直线1yx=−上，过点()2,3B作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使得||2

||MAMO=，求圆心C的横坐标a的取值范围.19.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，椭圆C上点M满足124MFMF+=．（1）求椭圆C标准方程：（2）若过坐标原点(0,0)O的直线l交椭圆C于

P，Q两点，求线段PQ长为14时直线l的方程．20.已知椭圆22:41Cxy+=及直线:lyxm=+，mR.（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点；（2）若直线l与椭圆C交于P、Q两点，且OPOQ⊥，O为坐标原点，求直线l的方程.2

1.已知椭圆C：2222xyab+=1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，﹣1)，离心率为32.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=k(x﹣1)(k0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1，0)，

求证：点M不在以AB为直径的圆上.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，124FF=，且2ab=．（1）求C方程．（2）若A，B为C上两个动点，过2F且垂直x轴的直线平分2AFB，证明：直线AB过定点．的的的舟山中学高二第一学期第一

次数学素养测评（分数：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若13210,124a−−,,,,，则方程2222210xyaxayaa+++++−=表示的圆的个数为（）A.1B.2C.3D.4【

答案】C【解析】【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.【详解】由题意可知：()()()()2222242134403220aaaaaaaa+−+−=−−+−+，解之得223a−，又13210,124a−−,,,,，所以11,0,2a−.故选：C2.已知

方程22121xymm+=−+表示的曲线是椭圆,则实数m的取值范围是A.(1,2)−B.11(1,)(,2)22−C.1(1,)2−D.1(,2)2【答案】B【解析】【详解】因为方程22121xymm+=−+表示的曲线是椭圆，所以201

021mmmm−+−+，解得12m−且12m，即实数m的取值范围是111,,222−，故选B.3.点()00Mxy，是圆222(0)xyaa+=内不为圆心的一点，则直

线200xxyya+=与该圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交【答案】C【解析】【分析】先根据点在圆内，得到222000xya+，再计算圆心到直线200xxyya+=的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案．【详

解】M在圆内，且不为圆心，则222000xya+，则圆心到直线200xxyya+=的距离为2222200aadaxya==+，所以相离．故选：C．4.若圆22:4480Cxyxy+−−−=上至少有三个不同的点到直线l：0xyc−+=的距离为2，则c的取值范围是（）A.22,22−B

.(22,22)−C.22−，D.(2,2)−【答案】A【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可.【详解】由()()22222:4480224Cxyxyxy+−−−=−+−=，所以()2,2C，

半径4r=，过圆心C作直线0xyc−+=的垂线交圆分别于A、B两点，易知4BCAC==，当圆心C到0xyc−+=的距离22cd==时可得22c=，此时圆上恰有三个不同的点到直线l：0xyc−+=的距离为2，满足题意，如图所示，可知C到l的距离为：222,222

cdc=−.故选：A5.已知圆()22:22Cxy−+=,直线:2lykx=−,若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线12,ll,使得12ll⊥,则实数k的取值范围是A.)()0,2323,−++B.[23−,23+]C.(),0−D.0+，）【答

案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为22(2)4xy−+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝2，设P（

x，y），因为两切线12ll⊥，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：22(2)4xy−+=，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2lykx=−

过定点（0，－2），直线方程即20kxy−−=，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：2|22|21kdk−=+，解得：0k，即实数k的取值范围是0+，）.本题选择D选项

.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知原点到直线l的距离为1，圆22(2)(5)4xy−+−=与直线l相切，则满足条件的直线l有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】【

详解】试题分析：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点(25)，的距离为2，满足条件的直线l即为圆221xy+=和圆22(2)(5)4xy−+−=的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线.故选C.考点：相离两圆的公切线7

.椭圆C：()222210xyabab+=的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，()3,0F为椭圆C的右焦点，则OPPF的取值范围为（）A.(16,10)−−B.3910,4−−C.3916,4−−D.39,4

−−【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的定义及椭圆的定义先计算abc、、，利用三角换元设点P坐标，结合二次函数的单调性计算范围即可.详解】由题意可知2259422322aabbab=−==+=，即2212516xy+=，结合题意不妨设()π5cos,4s

in02P，【则()()5cos,4sin,35cos,4sinOPPF==−−，所以22215cos25cos16sin9cos15cos16OPPF=−−=−+−，由题意得

()cos0,1，令cost=，则2253991516964OPPFttt=−+−=−−−由二次函数的单调性知当5cos6t==时，上式取得最大值394−，当cos0t==时，225399151691664ttt−+

−=−−−=−，故3916,4OPPF−−.故选：C8.如图，已知1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，现以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N．若过点1F的直线1MF是圆2

F的切线，则椭圆的离心率为（）A.31−B.23−C.22D.32【答案】A【解析】【分析】由切线的性质，可得2MFc=，13MFc=，再结合椭圆定义122+=MFMFa，即得解【详解】因为过点1F的直线1MF圆2F的切线，2MFc=，122FFc=，所以13MFc=．由椭圆定义可

得1232MFMFcca+=+=，可得椭圆的离心率23113cea===−+．故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为12，左，右焦点分别为1

F，2F，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PFF△的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的焦距为1B.椭圆C的短轴长为23C.12PFF△面积的最大值为3D.椭圆C上存在点P，使得1290FPF=【答案】BC【解析】

【分析】根据12e=，226ac+=解得,,abc可判断AB；设()00,Pxy，由1212012PFFSFFy=V知当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆C上存在点P，设12,PFmPFn==，求出

mn+、mn，,mn可看作方程2460xx−+=，求出判别式可判断D.【详解】由已知得12cea==，226ac+=，解得2,1ac==，2223bac=−=，对于A，椭圆C的焦距为22c=，故A错误；对于B，椭圆C的短轴长为223b=，故B正确

；对于C，设()00,Pxy，12120012==PFFSFFycy，当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03==yb，所以12PFF△面积的最大值为3，故C正确；对于D，假设椭圆C上存在点P，使得1290FPF=，设12

,PFmPFn==，所以24mna+==，22216244mnmnc+=−==，6mn=，所以,mn是方程2460xx−+=，其判别式16240=−，所以方程无解，故假设不成立，故D错误.故选：BC.10.圆221:20xyxO+−=和圆222

:240Oxyxy++−=的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线的方程为0xy−=B.公共弦AB所在直线的方程为10xy+−=C.公共弦AB的长为22D.P为圆1O上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为212+【答案】AD【解析】【分析】根据公共弦方程的求法计算即可判定A、

B选项，利用圆的弦长公式计算可判定C选项，利用圆的性质及点到直线的距离公式可判定D项.【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB方程为：()22222244400xyxxyxyxyxy+−−++−=−+=−=，故A正确，B错误；由()22221:2011Oxyxxy+−=−+=，易知()

11,0O，半径1r=，则点()11,0O到0xy−=的距离为()22102211d−==+−，故弦长2222ABrd=−=，故C错误；当1POAB⊥，并在如下图所示位置时，P到直线AB的距离的最大，为212dr+=+，故D正确；故选：AD11.“脸谱”

是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆1C的方程为()2290xyy+=，半椭圆2C的方程为221(0)916xyy+=．则下列说法正

确的是（）A.点A在半圆1C上，点B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若()()0,7,0,7AB−，P是半椭圆2C上的一个动点，则cos∠APB的最小值为19D.画法几何的创始人加

斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆2C扩充为整个椭圆C：()22144916xyy+=−后，椭圆C的蒙日圆方程为2225xy+=【答案】ABD【解析】【分析】选

项A，易得3OA=，4OB，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到PA、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠

APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．【详解】解：对于A，因为点A在半圆1C上，点B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OA⊥OB，则3OA=，4OB，则1

3622AOBSOAOBOB==，当B位于椭圆的下顶点时取等号，所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；对于B，半圆1C上的点到O点的距离都是3，半椭圆2C上的点到O点的距离的最小值为3，最大值为4，所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；对于C，()()0,7,

0,7AB−是椭圆221916xy+=的两个焦点，在△PAB中，27AB=，由余弦定理知：22222||||()2cos22PAPBABPAPBABPAPBAPBPAPBPAPB+−+−−==()2282821818111284PAPBPAPB

PAPBPAPB−−==−−=+，当且仅当PAPB=时取等号，所以cos∠APB的最小值为18，故C错误；对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆C：221(44)916xyy

+=−中取两条切线：3x=和4y=，它们交点为()3,4，该点在蒙日圆上，半径为22345+=此时蒙日圆方程为：2225xy+=，故D正确．故选：ABD．12.已知F为椭圆22:142xyC+=的左焦点，直线():0lykxk=与椭圆C交于A、B两点，AEx⊥轴，垂

足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A.14AFBF+的最小值为2B.ABE的面积的最大值为2C.直线BE的斜率为2kD.PAB为直角【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭

圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【详解】设椭圆C的右焦点F，由椭圆对称性知线段AB，FF互相平分于点O，则四边形AFBF为平行四边形，如图，则||||||||4AFBFAFAF+=+=，有14114(||||)()4AFB

FAFBFAFBF+=++1||4||1||4||9(5)(52)444BFAFBFAFAFBFAFBF=+++=，当且仅当||4||BFAFAFBF=，即8||2||3BFAF==时取“=”，A不正

确；设00(,)Axy，000xy，则2222000000||||1242422xyxyxy=+=，当且仅当220042xy=，即00||2||2xy==时取“=”，即00||||2xy，因AEx⊥轴，垂足为E，则002||||2ABEAOESSxy==，B正确；因00(,)

Axy，有00ykx=，由椭圆对称性可得00(,)Bxy−−，而00(,)Ex，则直线BE的斜率00122BEykkx==，C正确；设(,)Pmn，由2200142xy+=及22142mn+=得，222200042mxny−−+=，即22022012n

ymx−=−−，直线PA，PB的斜率,PAPBkk有22000220001·2PAPBnynynykkmxmxmx−+−===−−+−，而12PBBEkkk==，于是得1PAkk=−，有1·1ABPAkkkk=−=−，所以PAB为直角，D正确.

故选：BCD【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线:1lmxy−=，若直线l与直线10xmy−−=平行，则实数m的值为______，动直线l被

圆22:2240Cxyx++−=截得弦长的最小值为______．【答案】①.1−②.223【解析】【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解m；首先判断直线l过定点()0,1−，利用直线与圆的位置关系，判断当过点P()0,1−且与PC垂直的弦的弦长最短.【详解】由题意得()

()110mm−−−=，所以1m=．当1m=时，两直线重合，舍去，故1m=−．因为圆C的方程222240xyx++−=可化为()22125xy++=，即圆心为()1,0C−，半径为5．由于直线:10lmxy−−=过定点()0,1P−，所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为(

)22252223−=．故答案为：1−；22314.若过点()0,0作圆2222210xykxkykk+++++−=的切线有两条，则实数k的取值范围是_________．【答案】()122,1,23−−【解析】【分析】先将圆转化成标准方程，得到圆心和半径，通过半径的平

方大于0可得到223k−，再通过点()0,0能作两条圆的切线，可得到点()0,0在圆外，能得到12k或1k−，即可得到答案【详解】圆的标准方程为2223()124kxykkk+++=−−+，圆心为,2kk−−，半径的平方为23104kk−−+，即223

k−，因为过点()0,0作圆的切线有两条，所以点()0,0在圆外，故点()0,0到圆心的距离大于圆的半径，即22230(0)124kkkk+++−−+，解得12k或1k−，综上所述，k的取值范围是()122,1,23−−，故答案为：

()122,1,23−−．15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点1F，2F在x轴上，离心率为22，过1F作直线l交C于,AB两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为__________．【答案】221168xy+=【解析】【详解】试题分

析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝ca＝22，∴c＝22，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为221168xy+=考点：椭圆的定义及几何性质16.已知F1，F2是离心率为13的椭圆22221(0)xyabab+=的焦点，M是椭圆上

第一象限的点，若I是12MFF的内心，G是12MFF的重心，记12IFF与1GFM的面积分别为S1，S2，则12SS=___________.【答案】34【解析】【分析】先根据离心率确定3ac=，再根

据条件用c表示12MFF△的面积，然后寻找1S及2S与12MFF△的面积的关系即可得出结果.【详解】由于椭圆的离心率为13，所以13ca=，即3ac=，设12MFF△的面积为S，内切圆的半径为r，则()121211(22)422SMFMFF

Fracrcr=++=+=，所以4Src=，所以1121122244SSSFFrcc===，因为G是12MFF△的重心，所以11222213323MOFMFFSSSS===，所以1234SS=.故答案为：34.【点睛】关键点睛：本题的关键是1S及2S和12MFF△

的面积建立联系.四、解答题（本大题共6小题，共73.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知动圆M过定点()30A−,，并且在定圆B：()22364xy−+=的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【答案

】221167xy+=【解析】【分析】根据椭圆的定义结合圆内切的性质求解即可.【详解】设动圆M和定圆B内切于点C，由MAMC=得8+=+==MAMBMCMBBC，即动圆圆心M到两定点()30A−,，()3,0B的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M的轨迹是以,AB为焦点的椭圆，且28,26==

ac，则4,3ac==，2227bac=−=.∴M的轨迹方程是221167xy+=．18.在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,3)A，直线:24lyx=−设圆C的半径为1，圆心在直线l上.（1）若圆心C也在直线1yx=−上，过点()2,3B作圆C的切线，

求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使得||2||MAMO=，求圆心C的横坐标a的取值范围.【答案】（1）所求切线方程为2x=或3y=；（2）120,5【解析】【分析】（1）先求得圆心()3,

2C，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；（2）可设圆心(,24)Caa−，设点(,)Mxy，则由||2||MAMO=可得22(1)4xy++=，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，故两圆相交，由此有

|21|||21CD−+剟，解之可得a的取值范围.【详解】（1）由题设，知圆心C是直线24yx=−和1yx=−的交点，所以点C的坐标为(3,2)，圆C的方程为22(3)(2)1xy−+−=，当过点()2,3B的切线的斜率不存在时，切线

方程为2x=，满足条件；当过点()2,3B的切线的斜率存在时，设切线方程为3(2)ykx−=−，由题意得2|1|11kk+=+，解得0k=，所以切线方程为3y=.故所求切线方程为2x=或3y=.（2）因为圆心C在直线24

yx=−上，所以设点C的坐标为(,24)aa−，圆C的方程为22()[2(2)]1xaya−+−−=，设点(,)Mxy，因为||2||MAMO=，所以2222(3)2xyxy+−=+，化简得22230xyy++−=，即22(1)4xy++=，所以点

M在以点(0,1)D−为圆心，2为半径的圆上.由题意，点(,)Mxy在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|||21CD−+剟，即221(23)3aa+−剟，解得1205a剟.所以圆心C的横坐标a的取值范围为120,5.【点睛

】本题考查直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，此题属综合性较强的中档题.19.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为F1，F2，

离心率为12，椭圆C上点M满足124MFMF+=．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若过坐标原点(0,0)O的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为14时直线l的方程．【答案】（1）22143xy+=（2）32yx=【解析】【分析】（1）依题

意可得2221224ceaacab====−，即可求出a、b，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线斜率不存在时弦PQ显然可得直线的斜率存在，设直线方程为ykx=、()11,Pxy、()22,Qxy，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达

定理，再根据弦长公式得到方程，求出k，即可得解；【小问1详解】解：依题意2221224ceaacab====−，解得23ab==，所以椭圆方程为22143xy+=；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线l的方程为0x=，此时23PQ

=，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为ykx=，则22143xyykx+==，消元整理得()2234120kx+−=，设()11,Pxy，()22,Qxy，则120xx+=，1221234xxk−=

+，所以()2212121414PQkxxxx=++−=，即2212141434kk−+−=+，解得32k=，所以直线l的方程为32yx=；20.已知椭圆22:41Cxy+=及直线:lyxm=+，mR.（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有

公共点；（2）若直线l与椭圆C交于P、Q两点，且OPOQ⊥，O为坐标原点，求直线l的方程.【答案】（1）55,22−；（2）105yx=【解析】分析】（1）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用0可求得实数m的取值范围；（2）设点()11

,Pxy、()22,Qxy，列出韦达定理，由OPOQ⊥，可得出0OPOQ=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，进而可计算得出m的值，由此可求得直线l的方程.【详解】（1）联立直线l的方程与椭圆C的方程2241yxmxy=++=，消去y得2

25210xmxm++−=，由于直线l与椭圆C有公共点，则()222420120160mmm=−−=−，解得5522m−，因此，实数m的取值范围是55,22−；.【（2）设点()11,Pxy、()22,Qxy，由韦达定理可得1225mxx

+=−，21215mxx−=，OPOQ⊥，所以，()()()21212121212122OPOQxxyyxxxmxmxxmxxm=+=+++=+++()2222212520555mmmm−−=−+==，解得105m=.因此，直线l的方程为105yx

=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx

+、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知椭圆C：2222xyab+=1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，﹣1)，离心率为32.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=k(x﹣1)(k0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1，0)，求证：点M不在以AB为直径的

圆上.【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出,ab，即可写出椭圆方程；（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，联立直线与椭圆，写出韦达定理，将AMBM用k表示出来，证明0AMBM即可.【详解】（1）解：由题意可知2

22321bcacab+===，解得213abc===，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，由()22141xyykx+==−，，得()2222418440kxkxk+−+−=，所以()()()2

2222Δ8441444816kkkk=−−+−=+.所以当k为任何实数时，都有0.所以2122841kxxk+=+，21224441kxxk−=+.因为线段PQ的中点为M，所以212024241xxkxk+==+，()00

2141kykxk−=−=+，因为B(1，0)，所以()001AMxy=+，，()001BMxy=−，.所以()()220000000011AMBMxxyyxxyy=−++=−++2222222244()()41414141kkkkkkkk−−=−++++++()2322

22243143(41)(41)kkkkkkkk−++−−−==++222374816(41)kkk−++=+.又因为k0，2374()0816k++，所以0AMBM

，所以点M不在以AB为直径的圆上.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，属于较难题.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=左、右焦点分别为1F，2F，124FF=，且2a

b=．（1）求C的方程．的（2）若A，B为C上两个动点，过2F且垂直x轴的直线平分2AFB，证明：直线AB过定点．【答案】（1）22184xy+=；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)由条件124FF=，可得c的值，再由条件2ab=结合222abc=+，可得答案.（2）由条

件先得出220FAFBkk+=，设()11,Axy，()22,Bxy，设直线AB的方程为ykxm=+，与椭圆方程联立得出韦达定理，代入结论220FAFBkk+=中可求解.【详解】（1）解：因为1242FFc==，所以2c=，所以224ab−=

，又20ab=，所以28a=，24b=，故C的方程为22184xy+=．（2）证明：由题意可知直线AB的斜率存在，()22,0F，设直线AB的方程为ykxm=+，设()11,Axy，()22,Bxy，由22184xyykxm+==+，得()222124280kxkm

xm+++−=，则()()2222221641228648320kmkmkm=−+−=−+，122412kmxxk+=−+，21222812mxxk−=+．设直线2FA，2FB的倾斜角分别为，，则π=−，221212022FAFByykkxx+=+=

−−，所以()()1221220yxyx−+−=，即()()()()1221220kxmxkxmx+−++−=，所以()()12122240kxxmkxxm+−+−=，的所以()22228422401212mkmkkmmkk−+−−=++，

化简可得4mk=−，所以直线AB的方程为()44ykxkkx=−=−，故直线AB过定点()4,0．【点睛】本题考查求椭圆的方程和直线过定点问题，解答本题的关键是根据条件得出220FAFBkk+=，设出直线AB的方程为ykxm=+，与椭圆方程联立由

韦达定理代入解决，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com