【文档说明】湖南省长沙市麓山教育共同体2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题 含解析.docx，共(16)页，770.371 KB，由小赞的店铺上传

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2023-2024-1麓山共同体高一上第一次联考试卷高一年级数学试卷总分：150分时量：120分钟一､单选题（每小题5分，共40分）1.已知1,2,2,3PQ==，若,MxxPxQ=，则M=（）A.1B.2C.

3D.1,2,3【答案】A【解析】【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.【详解】1P且1Q，则1M；2P且2Q，则2M，所以1M=.故选：A2.若不等式220axbx++的解集为122xx−

，则实数=a（）A.2B.2−C.3D.3−【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系计算即可.【详解】由题意可知12x=−和2x=是方程220axbx++=的两个根，且a<0，利用根与系数的关系可得12222aa−==−.故选：B.3

.若0xy，则“0xy+=”是“2yxxy+=−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解法一：由2xyyx+=−化简得到0xy+=即可判断；解法二：证明充分性可由0xy+=得到xy=−，代入xyyx+化简即可，证明必要

性可由2xyyx+=−去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由xyyx+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0xy+=代入即可，证明必要性可由xyyx+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0xy+=代

入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy，且2xyyx+=−，所以222xyxy+=−，即2220xyxy++=，即()20xy+=，所以0xy+=.所以“0xy+=”是“2xyyx+=−”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy，且0xy+=，所以xy=−，所以112xyyyyx

yy−+=+=−−=−−，所以充分性成立；必要性：因为0xy，且2xyyx+=−，所以222xyxy+=−，即2220xyxy++=，即()20xy+=，所以0xy+=.所以必要性成立.所以“0xy+=”是“2xyyx+=−”的充要条件.解

法三：充分性：因为0xy，且0xy+=，所以()2222222222xyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy+−+++−−+=====−，所以充分性成立；必要性：因为0xy，且2xyyx+=−，所以()()22222222222xyxyxyxyxyxyxyxyyxxy

xyxyxy+−++++−+====−=−，所以()20xyxy+=，所以()20xy+=，所以0xy+=，所以必要性成立.所以“0xy+=”是“2xyyx+=−”的充要条件.故选：C4.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.245B.285C.5D.6【答案】C【解析】【

详解】由已知可得31155xy+=，则3194123131234()(34)555555555yxxyxyxyxy+=++=++++=，所以34xy+的最小值5，应选答案C．5.已知方程2(2)50xmxm+−+−=有两个不相等的实数根

，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）A.(5,4)(4,)−−+B.(5,)−+C.(5,4)−−D.(4,2)(4,)−−+【答案】C【解析】【分析】令()2(2)5mfxmxx=+−+−，根据二次方程根的分布可得式子()Δ022220mf

−，计算即可.【详解】令()2(2)5mfxmxx=+−+−由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520mmmmmmmmmmf−−−−−−−+−+−−

或则54m−−，即(5,4)m−−故选：C6.若关于x的不等式22860xxa−+−在14x时有解，则实数a的取值范围是（）A.6aB.2a−C.6aD.2a−【答案】A【解析】【分析】问题等价于当14

x时，()2max286axx−+，数形结合求出二次函数2286yxx=−+在14x时的最大值即可.【详解】不等式22860xxa−+−在14x时有解，等价于当14x时，()2max286axx−+.由二次函数()22286222yxxx=−+=−−的图

象知，当4x=时，max6y=，所以6a.故选：A.7.若不等式2(1)3axx++对于[0,)x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[0,3]B.[0,2]C.(,2]−D.(,3]−【答案】C【解析】【分析】原不等

式可化为231xax++，设()231xfxx+=+.只需求出()fx在0x时的最小值，即可得出答案.【详解】原不等式可化为231xax++，设()231xfxx+=+，则()()212124fxxxx+−=−++()4412212211xxxx=++−+−=+

+，当且仅当411xx+=+，且0x，即1x=时，函数()fx有最小值为2.因为()afx恒成立，所以2a.故选：C.8.定义：A表示集合A中元素的个数，,,ABABABBAAB−=−….已知集合{1,2}M=，集合AxxM=∣

，集合()()22140Bxxxxax=−−+=∣，若1AB=，则a的取值范围是（）A.{45}aa−∣B.4aa∣C.{54}aa−∣D.{4aa∣且5}a【答案】D【解析】【分析】由题意，4A=，由1AB=，得

3B=或5B=，分类讨论集合B中元素个数即可.【详解】1,2M=，,1,2,1,2AxxM==，4A=，又1AB=，3B=或5B=，方程()210xx−=

的解为1,0,1−；方程240xax−+=可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，3B=或4B=或5B=，故只需要排除4B=，若4B=，①当2160a=−=，即4a=时，4a=时方程

240xax−+=的解为2x=，4a=−时方程240xax−+=的解为2x=−，1,0,1,2B=−或1,0,1,2B=−−，成立，②若1−是方程240xax−+=的根，则5a=−，方程240xax−+=

的解为=1x−和4x=−，1,0,1,4B=−−，成立，③若1是方程240xax−+=的根，则5a=，方程240xax−+=的解为1x=和4x=，1,0,1,4B=−，成立，0不可能是方程24

0xax−+=的根，综上所述，当且仅当4a=或5a=时，4B=，故a的取值范围是4aa且5a.故选：D．二､多选题（每小题5分，共20分，部分选对得2分，有错选得0分，全部选对得5分）9.已知,R

ab，那么下列结论正确的是（）A.若0ab，0cd，则acbdB.若11ab，则abC.若22acbc，则abD.若ab，则0ab+【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.【详解

】选项A，∵0ab，0cd∴acbc，bcbd，∴acbd，故A正确；选项B，取2a=，3b=−，满足111123ab==−，但ab，故B错误；选项C，∵22acbc，∴()20abc−.又∵2c0，由22acbc成立，则20c∴

20c，则有0ab−，∴ab，故C正确；选项D，∵ab，∴bab−，∴02abb+，故D正确；故选：ACD.10.下列说法中，以下是真命题的是（）．A.存在实数0x，使200240xx+−=+B.所有的素数都是奇数C.x

R，||xxD.xR，2230xx−−【答案】ACD【解析】【分析】由已知结合真命题的定义逐一验证每一选项即可.【详解】对于A：因为方程240xx−++=有实数根，所以存在实数0x，使200240xx+−=+，所以A选项是真命题；

对于B：因为素数2不是奇数，所以B选项是假命题；对于C：因为0x时有xx=，当0x时有0xxx=−，所以xR，||xx，所以C选项是真命题；对于D：因为当4x=时有22350xx−−=，所以xR，2230xx−−，所以D选项是真命

题.故选：ACD.11.“关于x的不等式2210axax−+对Rx恒成立”的必要不充分条件有（）A.01aB.01aC.11a−D.1a2−【答案】CD【解析】【分析】讨论二次项系数，求出满足条

件的a的范围，根据题中条件考查选项即可.【详解】若关于x的不等式2210axax−+对Rx恒成立，当0a=时，不等式为10，满足题意；0a时，则必有0a且2Δ(2)410aa=−−解得01a，故a的范围为01a，

故“关于x的不等式2210axax−+对Rx恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合{|01}aa，考查选项知C,D满足条件.故选：CD.12.若x，y满足221+−=xyxy，则（）A.1xy+B.2xy+−C.222xy+D.221xy+

【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222ababab++（,abÎR），由221+−=xyxy可变形为，()221332xyxyxy++−=，解得22xy−+，当且仅当1xy

==−时，2xy+=−，当且仅当1xy==时，2xy+=，所以A错误，B正确；由221+−=xyxy可变形为()222212xyxyxy++−=，解得222xy+，当且仅当1xy==时取等号，所以C正确；因为221+−=xyxy变形可得223124yxy

−+=，设3cos,sin22yxy−==，所以12cossin,sin33xy=+=，因此222252111cossinsincos1sin2cos233333xy=−+=++++4

2π2sin2,23363=+−，所以当33,33xy==−时满足等式，但是221xy+不成立，所以D错误．故选：BC．三､填空题（每小题5分，共20分）13.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．【答案】2000,210xRxx++【解析】【分

析】根据全称命题“(),xMpx”的否定为特称命题“()00,xMpx”即可得结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“2000,210xRxx++”.故答案为：

2000,210xRxx++【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.14.若28,

46xy，则1xy-的取值范围是______．【答案】747,46【解析】【分析】根据条件得到11146y−−−，得到取值范围.【详解】46y，故11164y，则11146y−−−，又28x，

故714746xy−.故答案为：747,4615.已知正数x，y满足22xy+=，则22xyxy+的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式求得22xyxy+最小值.详解】22222224xyxxxyxyxyxyyxy

xyxyx++=+=+=+++=，当且仅当2,3xyxyyx===时等号成立.故答案为：416.关于x的不等式2(1)0xaxa−++的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．【答案】)(2,13,4−−【解析】【分析】不等式化为()()10xxa−−，讨论a与1

的大小解出不等式即可得出.的【【详解】关于x的不等式2(1)0xaxa−++可化为()()10xxa−−，当1a时，解得1xa，要使解集中恰有两个整数，则34a，当1a=时，不等式化为()210x−，此时无解，当1a时，解

得1ax，要使解集中恰有两个整数，则21a−−，综上，实数a的取值范围是)(2,13,4−−.故答案为：)(2,13,4−−.四､解答题17.解下列不等式．（1）2320xx−++．（2）115xx−−【答案】（1）213xx−（2）35xx

【解析】【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，解一元二次不等式．（2）分式不等式转化为整式不等式，解二次不等式即可.【小问1详解】不等式2320xx−++，即()()3210xx+−≤，解得213x−，所以不等式解集为213xx

−.【小问2详解】不等式115xx−−，即1621055xxxx−−−=−−，等价于()()625050xxx−−−，解得35x，所以不等式解集为35xx18.已知集合2280,333AxxxBxmxm=−−=−+∣∣.（

1）若“xA”是“xB”充分不必要条件，求实数m的取值范围；的（2）若AB=，求实数m的取值范围.【答案】（1）113mm∣（2）573∣或mmm−【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出AB，再列出不等式组计算即可.（2）分B=

和B两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可.【小问1详解】由题意，2280xx−−，解得24x−，24Axx=−∣.由“xA”是“xB”的充分不必要条件，得AB，则32334mm−

−+且等号不能同时取到，解得113m，故实数m的取值范围为113mm∣.【小问2详解】当B=时，得333mm−+，即3m−，符合题意；当B时，得333mm−+，即3

m−，由AB=，得34m−或332m+−，解得7m或53m−，533m−−或7m；综上所述，实数m的取值范围为573∣或mmm−.19.已知0a，0b.（1）若

不等式313mabab++恒成立，求m的最大值；（2）若228abab++=，求2+ab的最小值.【答案】（1）12；（2）4.【解析】【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答.（2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等

式作答.【小问1详解】因为0a，0b，则3131()(3)3mmabababab++++，而3199()(3)66212babaabababab++=+++=，当且仅当9baab=，即3ab=时取等号，依题意，不等式31()(3)mabab++恒成立，

于是12m所以m的最大值为12.【小问2详解】若228abab++=，0a，0b，则228(2)2()2ababab+−+=，当且仅当2ab=，即1b=，2a=时取等号，于是2(2)4(2)320abab+++−，而20ab+，解得24ab+，所以2+ab的最

小值为4.20.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图

中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最

小值.【答案】（1）()224000004000380000102Sxxx=++（2）10x=，118000元【解析】分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；【（2）根据题意，由（1）中的函数关

系式，结合基本不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，22004xAMx−=，且0AM，则0102x，则()222220042002102008024xSxxx−=+−+42222400000104000420

04200210xxxxx+−=+−+()224000004000380000102xxx=++【小问2详解】由（1）可知，22224000004000004000380002400038000118000Sxxxx

=+++=当且仅当224000004000xx=时，即10x=时，等号成立，所以，当10x=米时，min118000S=元.21.解关于x的不等式:2(21)20axax−++.【答案】答案见解析【解析】【分析】分成0a=，102a，12a=，12a，0a几种情况分别讨论不等式的解集

；【详解】原不等式可化为(1)(2)0axx−−.(*).（1）当0a=时，有(2)02xx−−−.（2）当0a时，(*)式1(2)0xxa−−，∵1122aaa−−=，①当102a时，12a，∴12xa.②当12a=时，12a=，2(2)0x−，此时解集为

.③当12a时，12a.∴12xa.（3）当0a时，(*)式1(2)0xxa−−，∵0a，∴12a.∴1xa或2x.综上所述，原不等式的解集为:当0a时，为1|xxa或2x；当0a=时，为|2xx；当102a时，为1|2xxa

；当12a=时，为；当12a时，为1|2xxa.22.已知一元二次函数()()200fxaxbxcac=++＞，＞的图像与x轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为()0c，，且当0xc＜＜时,恒有()0.fx＞(1)求出不等式()0fx＜的解(用ac

、表示)；(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a的取值范围；(3)若不等式2210mkmbac−+++对所有11k−，恒成立,求实数m的取值范围.【答案】（1）1,c

a；（2）10,8；（3）(),22,0−−+.【解析】【分析】（1）利用()0fc=求得b关于,ac表达式，进而求得不等式()0fx的解集.（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得a的表达式，进而求得a的取值范围.（

3）根据（1）中求得b的表达式化简不等式2210mkmbac−+++.对m分成0,0,0mmm=三种情况进行分类讨论，由此求得m的取值范围.【详解】（1）依题意可知()0fc=，即20acbcc++=①，由0c，故①式可化为1bac=−−.所以()()21fxaxacxc=

−++()()1axxc=−−.令()0fx=，解得11xa=，2xc=.由于当0xc时，恒有()0fx，所以1ca.令()()()10fxaxxc=−−，解得1cxa.所以不等式()0fx的解集为1

,ca.（2）结合（1）可知，三个交点的坐标为()()10,,,0,,0AcBcCa，且1ca.根据三角形的面积得的1182cca−=，化简得211116168162c

accccc===++，16,4ccc==时等号成立，故a的取值范围是10,8.（3）由于1bac=−−，所以不等式2210mkmbac−+++可化为220mkm−②.当0m=时，②成立.当0m时，②可化为2mk，而22,2k−，所以2m.当0

m时，②可化为2mk，而22,2k−，所以2m−.综上所述，m的取值范围是(),22,0−−+.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中

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