【文档说明】2022上海市初三数学一模（24题）压轴题精解精析（二）解析板.docx，共(13)页，951.857 KB，由管理员店铺上传

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例2022年上海市宝山区第24题已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)，顶点为D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似？并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P，使

得∠PAC＝45°．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．满分解答（1）设抛物线的交点式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得3＝－3a．解得a＝－1．所以y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3＝－(x

－1)2＋4．顶点为D(1,4)．（2）如图1，由B(3,0)、C(0,3)、D(1,4)，得BC2＝18，DC2＝2，BD2＝20．所以BC2＋DC2＝BD2．所以△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°．所以tan∠CBD＝DCBC＝218＝13．在Rt△AOC中，tan∠O

CA＝AOCO＝13．所以∠CBD＝∠OCA．所以△CBD∽△OCA（3）如图2，绕点C将CA逆时针旋转90°得线段CE，那么点P就是射线AE与抛物线的交点．作EN⊥x轴于N．作CM⊥EN于M．作PH⊥x轴于H．由△CME≌△C

OA，得CM＝CO＝3，ME＝OA＝1．所以N(3,0)．设P(x,－(x＋1)(x－3))．由PHENAHAN=，得(1)(3)214xxx−+−=+．解得52x=．所以P57(,)24（如图3所示）．事实上，图2中的点N与图3中的点B是同一个点．图1图2图3例2022年上海市崇明区第24题如图

1，抛物线234yxbxc=−++与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,3)，点M(m,0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求

m的值；（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于点A(4,0)，设抛物线的交点式为23(4)()4yxxx=−−−．代入点B(0,3)，得233(4)()4x=−−−．解得21x=−．所以2339(4)(1)3444y

xxxx=−−+=−++．对称轴是32x=．顶点坐标为375(,)216．（2）由A(4,0)、B(0,3)，得直线AB的解析式为334yx=−+．当NP＝BO＝3时，NP与BO平行且相等，四边形BOP

N是平行四边形．解方程2393333444mmm−++−−+=，整理，得m2－4m＋4＝0．解得m＝2．图2（3）因为∠APM＝∠BPN，如果△BPN与△APM相似，那么△BPN是直角三角形．分两种情况讨论．①如图3，当∠BNP＝9

0°时，BN//x轴．此时B、N两点关于对称轴对称．所以N(3,3)．所以M(3,0)．②如图4，当∠NBP＝90°时，作NH⊥y轴于H，那么△NHB∽△BOA．所以34NHBOHBOA==．所以233943344mmm=−++−．解得119m=．所以M

11(,0)9．图3图4例2022年上海市奉贤区第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标；（2）将抛物线沿y轴上下平移，平移

后所得新抛物线的顶点为M，点C的对应点为E．①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数；②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE＝2PQ时，求平移后新抛物线的表达式．图1满分解答（1）设抛物线的交点式为y＝a(x＋1

)(x－3)，根据常数项相等，得－3a＝3．解得a＝－1．所以y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．抛物线的对称轴为x＝1．所以yD＝－(x＋1)(x－3)＝－2×(－2)＝4．所以D(1,4)．（2）①如图2，由B(3,0)、C(

0,3)，得直线BC的表达式为y＝－x＋3．当点M落在线段BC上时，M(1,2)．由D(1,4)、M(1,2)，可知抛物线向下平移了2个单位．所以点C(0,3)向下平移2个单位得到点E(0,1)．由D(1,4)、B(3,0)、E(0,1)，

得DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20．所以DE2＋BE2＝BD2，DE＝BE．所以△DBE是等腰直角三角形．所以∠DBE＝45°．图2②如图3，由D(1,4)、C(0,3)，可知直线DC与x轴正半轴的夹角为45°．由ME/

/DC，∠CBO＝45°，可知直线ME⊥BC，垂足为Q．因为PE＝2PO，PQ＝22PB，当PE＝2PQ时，等量代换，得2PO＝222PB．所以PO＝PB．所以点P是OB的中点，P3(0)2,．设抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么PN＝MN＝312−＝12．所以M1(1,)2−．所以

新抛物线的表达式为2213(1)222yxxx=−−−=−+−．图3例2022年上海市虹口区第24题已知开口向上的抛物线y＝ax2－4ax＋3与y轴交于点A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点

D．（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；（2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2－4ax＋3的表达式；（3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长．满分解答（1）由y＝ax2－4ax＋3，可得

A(0,3)，对称轴是x＝2．所以C(4,3)．当x＝2时，y＝ax2－4ax＋3＝4a－8a＋3＝3－4a．所以B(2,3－4a)．（2）当∠ABC＝90°时，△ABC是底边AC＝4的等腰直角三角形．所以AC边上的高为2．因为抛物线的开口向上，所以B(2,1)．所以3－4a

＝1．解得12a=．所以21232yxx=−+．（3）设抛物线的对称轴与AC交于点M，与OC交于点G．由OA＝3，AC＝4，得OC＝5．因为MG是△AOC的中位线，所以GM＝12OA＝32，GC＝12OC＝52．因为∠ABC＝2∠MBC，当∠ABC＝

2∠BCD时，∠MBC＝∠BCD．所以GB＝GC＝52．所以MB＝GM＋GB＝3522+＝4．所以tan∠ABM＝AMBM＝24＝12．作DH⊥y轴于H．在△DAO中，tan∠OAD＝tan∠ABM＝12，t

an∠DOA＝43．设DH＝4m，那么AH＝8m，OH＝3m．由AO＝8m＋3m＝3，得311m=．所以OD＝5m＝1511．图1图2例2022年上海市黄浦区第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线

y＝ax2－3ax－4a（a＜0）与x轴交于A(－1,0)、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）如果158MD=，求抛物线y＝ax2－3ax－4a（a＜0）的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点F是

该抛物线的对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．图1满分解答（1）由y＝ax2－3ax－4a＝a(x＋1)(x－4)，得B(4,0)．由A(－1,0)、B(4,0)，得抛物线的对称轴

是32x=．（2）由B(4,0)、C(0,－4a)，得直线BC的解析式为y＝ax－4a．当32x=时，yD＝ax－4a＝342aa−＝52a−．当32x=时，yM＝a(x＋1)(x－3)＝55()22a−＝254a−．如果158MD=，那么25515()()428aa−−−=．解得1

2a=−．所以213222yxx=−++．（3）在（2）的条件下，B(4,0)，C(0,2)，D35(,)24．因为∠BCO＝∠FDB，当∠CFB＝∠BCO时，∠CFB＝∠FDB．又因为∠CBF是公共角，所以△BFC∽△BDF．所以BFBDBCBF=．所以BF2＝BD·BC＝55254＝252．

在Rt△BEF中，EF2＝BF2－BE2＝2255()22−＝254．所以EF＝52．所以F35(,)22−．图2例2022年上海市嘉定区第24题如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点在直线12yx=上，二次函数y＝ax2＋bx－2的图像也经过A、B两点，并与y轴交于点C，如果BC//x轴，

点A的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图像的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；（3）设这个二次函数的图像的顶点是M，求tan∠AMC的值．图1满

分解答（1）当x＝2时，112yx==．所以A(2,1)．由y＝ax2＋bx－2，得C(0,－2)．由BC//x轴，得yB＝yC＝－2．所以B(－4,－2)．由B(－4,－2)、C(0,－2)，可设抛物线的解析式为y＝ax(x＋4)－2

．代入点A(2,1)，得1＝a×2×6－2．解得14a=．所以211(4)2244yxxxx=+−=+−．（2）由BC//x轴，所以∠OBD＝∠BOE．分两种情况讨论△OBE与△OBD相似．①如图2，当OEBOOBBD=

时，220102BOOEBD===．所以E(－10,0)．②如图3，当OEBDOBBO=时，OE与BD平行且相等，四边形OEBD是平行四边形．此时两个三角形全等，相似比为1，舍去．图2图3（3）已知A(2,1)，M(－2,

－3)，C(0,－2)．【解法一】如图4，过点A作AM的垂线交MC的延长线于点N．构造△AMN的外接矩形FMGH，使得GH//y轴．设MG与y轴交于点K．由A(2,1)，M(－2,－3)，可知△AFM是腰长为4的等腰直角三角形．所以△ANH也是等腰直角三角形．设腰长A

H＝NH＝m，所以N(2＋m,1－m)．由tan∠NMG＝NGCKMGMK=，得1(3)12(2)2mm−−−=+−−．解得43m=．所以tan∠AMC＝41433ANAHAMAF===．【解法二】如图5，△AMC

中，已知边边边，作高不设高．设AM边上的高为CQ．设MQ＝n．在Rt△CQM和Rt△CQA中，由CQ2＝CQ2，得22513(42)nn−=−−．解得322n=．所以cos∠AMC＝3235210MQM

C==．所以tan∠AMC＝13．图4图5例2022年上海市金山区第24题已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0,1)和B(1,4)，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠

PAQ的度数；（3）把抛物线向上或向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线的解析式．满分解答（1）将点A(0,1)代入y＝－x2＋bx＋c，得c＝1．将点B(1,4)代入y＝－x2＋bx＋1，得4＝－1＋b＋1．解得b＝4．所以抛物线的解析式为y＝－

x2＋4x＋1．（2）如图1，由y＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，得P(2,5)，Q(2,0)．已知A(0,1)，所以AQ2＝5，AP2＝20，PQ2＝25，得AQ2＋AP2＝PQ2．所以△PAQ是直角三角形，∠PAQ＝90°．（3）设平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋

c．因为BC//PQ，如果BQ＝CP，那么四边形PQBC是平行四边形，四边形PQCB是等腰梯形．①如图2，对于平行四边形PQBC，按照Q→P的方向，将点B(1,4)向上平移5个单位，得C(1,9)．将点C(1,9)代入y＝－x2＋4x＋c，得

9＝－1＋4＋c．解得c＝6．此时抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋6．②如图3，对于等腰梯形PQCB，点B(1,4)和点P(2,5)间的竖直距离为1，所以点C和点Q(2,0)间的竖直距离也为1．所以C(1,1)．将点C(1,1)

代入y＝－x2＋4x＋c，得1＝－1＋4＋c．解得c＝－2．此时抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2．图1图2图3例2022年上海市静安区第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx经过点A(2,0)

和点B(－1,m)，顶点为D．（1）求直线AB的表达式；（2）求tan∠ABD的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．图1满分解答（1）将点A(2,0)代入y＝x2＋bx

，得0＝4＋2b．解得b＝－2．所以y＝x2－2x．所以B(－1,3)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，分别代入A(2,0)、B(－1,3)，得20,3.kbkb+=−+=解得k＝－1，b＝2．

所以直线AB的表达式为y＝－x＋2．（2）由y＝x2－2x＝(x－1)2－1，得顶点为D(1,－1)．如图2，由A(2,0)、B(－1,3)、D(1,－1)，得AB2＝18，AD2＝2，BD2＝20．所以AB2＋AD2＝BD2．所以△ABD是

直角三角形，∠BAD＝90°．所以tan∠ABD＝ADAB＝218＝13．（3）如图2，作BN⊥x轴于N，作DM⊥BN于M．由B(－1,3)、D(1,－1)，得34NPBNMDBM==．所以3332442NPMD===．所以AP＝AN－NP＝332−＝32．图2如图3所示，当点C在点P左侧

时，∠A是△ABC和△ABP的公共角，如果△ABC与△ABP相似，那么ACABABAP=．所以2181232ABACAP===．所以OC＝10，C(－10,0)．图3获得更多资源请扫码加入享学资源网微信

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