【文档说明】浙江省杭州第二中学2023届高三下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.810 MB，由小赞的店铺上传

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杭州二中2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合()214,ln4AxxBxyx=−==−，则AB=（）A.(,1][2

,)−−+B.[1,2)−C.[1,4]−D.(2,4]−【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的定义域，先求出集合B，然后利用并集的运算即可求解.【详解】因为集合22{|ln(4)}{|40}{|22}Bxyxxxxx==−=−=−，又因为集合{|14}Axx=−，由并集的概

念可知，{|24}(2,4]ABxx=−=−，故选：D.2.已知复数()2iR1ibzb+=−的实部为1−，则b的值为（）A.2B.4C.2−D.4−【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得出(2)(2)i2bbz−++=，然后根据题意即可求解.【详

解】复数2i(2i)(1i)(2)(2)i1i(1i)(1i)2bbbbz+++−++===−−+，因为复数()2iR1ibzb+=−的实部为1−，所以22b−=−，则4b=，故选：B.3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为

4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.20π【答案】C【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则圆锥

底面圆的半径为4π22πr==，底面圆的面积为22ππ24πr==，圆锥的表面积为14π44π12π2+=.故选：C.4.2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5

个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（）A.16B.17C.13D.27【答案】D【解析】【分析】先插入第一个节目，再插入第二个节目，再按照分步乘法计数原理分别计算插入的情况数量及这两个教师节目恰好相邻的情况

数量,再应用古典概率公式求概率即可.【详解】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法，再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有6742=（种）情况，其中这两个教师节目恰好相邻的情况有26

12=（种），所以所求概率为122427=.故选:D.5.已知OAB，1OA=，2OB=，1OAOB=−，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足12OEED=，则EOEA的值为（）A.328−B.121−C.29−D.221−

【答案】D【解析】【分析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得37OD=，再由平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】由题意，作出图形，如图，1OA=，2OB=，1OAOB=−12cos2cos1OAOBAOBAOB===−，1cos2AOB=

−，由()0,AOB可得23AOB=，222cos7ABOAOBOAOBAOB=+−=，又113sin222AOBSOAOBAOBODAB===△，则37OD=，()222232299721EOEAOEEDDAOEOD=−+=−=−=−

=−.故选：D．6.已知1132,5,(2)eabce===+，则,,abc的大小关系为（）A.b<c<aB.cbaCbacD.c<a<b【答案】A【解析】【分析】化简由题意，可得11132(22),(23),(2)eabce=+=+=+，构造()()1ln2fxxx=

+，得到则()()2ln22xxxfxx−++=，再令()()ln22xgxxx=−++，求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，可得11132(22),(23),(2)eabce=+=+=+，所以令()()1ln2,(0)fxxxx=+，则()()2ln22xx

xfxx−++=，.令()()ln2,(0)2xgxxxx=−++，则()20(2)xgxx+−=，所以()gx()0,+上单调递减，()()00gxg=，所以()0fx恒成立，所以()fx在()

0,+上单调递减，因为23e，所以()()()23ffef，即()()()111ln22ln2ln2323ee+++，所以11132ln(22)ln(2)ln(23)ee+++，所以111324(2)5ee+，即b<c<a.故选：A.7.已知1

F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12π4FPF=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A2B.22C.22D.2【答案】B【解析】【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得112||PFaa=+，212||PFaa=−，进而在焦点三角形中运用余

弦定理即可得221222224ee−++=，结合均值不等式即可求解.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PFPFa+=，122||||2PFPFa−=，112||PFaa=+，212||PFaa=−，设12||2FFc=，12π

4FPF=，则：在△12PFF中由余弦定理得，22212121212π4()()2()()cos4caaaaaaaa=++−−+−，化简得：22212(22)(22)4aac−++=，即221222224ee−++

=，又2212122222122?eeee−++，1212ee，即122·2ee，在.即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22．故选：B8.已知在矩形ABCD中，2AB=，4=AD，E，F分别在边AD，BC上，且1AE=，3BF=，如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成AEFB

，设二面角BEFD−−的大小为，在翻折过程中，当二面角BCDE−−取得最大角，此时sin的值为（）A.35B.45C.223D.13【答案】B【解析】【分析】过B作EF的垂线交EF与O，交AD于M，C

D于G，然后利用定义法可得BKH为二面角BCDE−−的平面角，设BOH=，可得3sin2BH=，53cos22HK=−，从而sintan3253cosBHBKHHK==−，然后求函数最大值时的sin值即可.【详解】过B作EF的垂线交E

F与O，交AD于M，CD于G，设B在平面AC内的投影为H，则H在直线BM上，过H作CD的垂线，垂足为K，则BKH为二面角BCDE−−的平面角，设BOH=，由题意32BOBO==，3sinsin

2BHBO==，则3cos(1cos)2BHBOBO=+=+，由45GBC=，42BG=，得342(1cos)2HGBGBH=−=−+，所以13534(1cos)cos2222HKHG==−+=−，所以sintan3253cosBHBKHH

K==−，令sin53cost=−，可得2sin3cos519ttt+=+，则14t，所以，当14t=即sin153cos4=−，也即4sin5=时，tanBKH取到最大值324，此时BKH最大，即二面角BCDE−−取得最大角.故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2B

.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x，2x，…，10x的标准差为8，则数据121x−，221x−，…，1021x−的标准

差为16【答案】AD【解析】【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得m的值，然后利用方差公式求解即可判断B；根据百分位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随

机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为11100.2055==，故A正确；对于B，数据1，2，m，6，7的平均数是4，4512674m=−−−−=，这组数据方差是()()()()()222222114244464745s=−+−+−+

−+−=265，故B错误；对于C，8个数据50百分为850%4=，第50百分位数为1719=182+，故C错误；对于D，依题意，()28Dx=，则()()2221216DxDx−==，所以数据121021,21,,21xxx−−−的标准差为16，D正确；故选：AD.

10.已知函数()()()sincoscossinfxxx=+，下列关于该函数结论正确的是（）A.()fx的图象关于直线π2x=对称B.()fx的一个周期是2πC.()fx的最大值为sin11+D.()fx是区间3ππ,2上的减函数【

答案】BC【解析】【分析】利用诱导公式判断()fx与()πfx−是否相等判断A，判断()fx与()2πfx+是否相等判断B，利用三角函数及复合函数的单调性判断CD.【详解】由()()()sincoscossin

fxxx=+，对于A，()()()()()()()()πsincosπcossinπsincoscossinfxxxxxfx−=−+−=−+，故A不正确；对于B，()()()()()()()()2πsinc

os2πcossin2πsincoscossinfxxxxxfx+=+++=+=，故B正确；对于C，因为1cos1x−，所以()sincosyx=的最大值为sin1，当cos1x=时，()cossincos01yx===，取得最大值，所以()fx的最大值为sin11+，故C正确；对于D，()

3ππ3ππsin1cos112sin112sin10244ff−=+−=+−−=（），又函数连续，故D错误；故选：BC的11.已知正四棱锥PABCD−的所有棱长均为22，E，F分别是PC，A

B的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（）A.异面直线EF、PD所成角的大小为3B.直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为66C.EMF周长的最小值为622+D.存在点M使得PB⊥平面MEF【答案】BC【解

析】【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可．【详解】如图1，取PD的中点Q，连接EQ，AQ，因为E，F分别是PC，AB的中点，所以EQDCAF，且EQAF=，所以四边形AFEQ为平行四边形

，则EFAQ，又正四棱锥PABCD−的所有棱长均为22，则AQPD⊥，所以异面直线EF，PD所成角为π2，故A错误；设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，则PO⊥平面ABCD，2OCOP==，设OC的中点为H，连接EH，FH，则EHOP，且EH⊥平面ABCD，所以EFH为直线

EF与平面ABCD所成角，所以112EHPO==，OFH中，1OH=，2OF=，135FOC=，所以由余弦定理可得5FH=，所以226EFEHFH=+=，所以16sin66EHEFHEF===，故B正确；将正PAB和PBC沿PB翻折到一个平面内，如图2，

当E，M，F三点共线时，MEMF+取得最小值，此时，点M为PB的中点，22MEMFBC+==，所以EMFV周长的最小值为622+，故C正确；若PB⊥平面MEF，则PBME⊥，此时点M为PB上靠近点P的四等分点，而此时，PB与FM

显然不垂直，故D错误；故选：BC．12.已知定义域为R的函数()fx在(1,0−上单调递增，()()11fxfx+=−，且图像关于()2,0对称，则()fx（）A.()()02ff=−B.周期2T=C.在()

2,3单调递减D.满足()()()202120222023fff【答案】AC【解析】【分析】根据题意化简得到()()4fxfx=+，得到()fx的周期为4T=,结合()()22ff−=，求得()()02ff=−，得到A正确，B错误；再由()fx的对称性和单调性

，得出()fx在()2,3单调递减，可判定C正确；根据()fx的周期求得()()20211ff=，()()20222ff=，()()20233ff=，结合特殊函数()fx的图象，可判定D不正确.【详解】由()()11fxfx+=−，可得()fx的对称轴为1x=，所以()()02

,ff=又由()()11fxfx+=−知：()()2fxfx+=−，因为函数()fx图像关于()2,0对称，即()()22fxfx+=−−，故()()4fxfx+=−−，所以()()24fxfx−+=+，即()()2fxfx−=+，所以()()4fxfx=

+，所以()fx的周期为4,所以()()22ff−=，所以()()02ff=−，故A正确，B错误；因为()fx在(1,0−上单调递增，且4T=，所以()fx在(3,4上单调递增，又图像关于()2,0对称，所以()fx在(0,1上单调递增，因为关于1x=对称，所以

()fx在(1,2上单调递减，又因为关于()2,0对称，可得函数()fx在()2,3单调递减，故C正确；根据()fx的周期为4T=，可得()()()()()()20211,20222,20233ffffff===，因为关于1x=对称，所以()()20ff=且()()31ff=−

，即()()()()()()20211,20220,20231ffffff===−，由函数()fx在(1,2上单调递减，且关于1x=对称，可得()fx在(0,1上单调递增，如图所示的函数()fx中，

此时()()()()10,01ffff−，所以()()()202120222023fff不正确.故选：AC.【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现

的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知抛物线E：()220xpyp=的焦点为F，过点F的直线

l与抛物线交于,AB两点，与准线交于C点，F为AC的中点，且3AF=，则p=__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可.【详解】设y轴交准线于N，过A作准线的垂线

，垂足为Q，因为F为AC的中点，且3AF=，则由抛物线的定义可得3AQ=，在RtACQ中，1322FNAQ==，所以32p=，故答案为：3214.在6()xa+的展开式中的3x系数为160，则=a_______．【答案】2

【解析】【分析】首先求出6()xa+的展开项中3x的系数，然后根据3x系数为160即可求出a的取值.【详解】由题知616rrrrTCxa−+=，当3r=时有333333466160160TCxaxCa===，

解得2a=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.15.已知正实数,ab满足()3386311aabb++++，则23ab+的最小值是___________.【答案】433−【解析】【分析】根据不等

式特征可通过构造函数()33,0fxxxx=+，利用函数单调性解不等式可得21ab+，再根据基本不等式即可求得23ab+的最小值是433−.【详解】由题意可得将不等式变形成33223311aabb+

+++；又因为,ab都是正数，所以20,01ab+>>；可构造函数()33,0fxxxx=+，易知函数为增函数，由()3386311aabb++++可得33223311aabb++++

，即()21ffab+，根据函数单调性可得21ab+，则()()2333132314434334111bbabbbbb++=++−+−=+++−，当且仅当()3124,11abbb+=+

+=，即233,13ab==−取等号，因此23ab+的最小值是433−.故答案为：433−16.函数2()2exfxabx=++，其中,ab为实数，且(0,1)a.已知对任意23eb，函数()fx有两

个不同零点，a的取值范围为____________.【答案】)6,1−e【解析】【分析】由题意可得2ln22ee2e0xxaabxbx++=++=有两个不相等的实根，利用换元法，分离参数，令lntxa=，则22lntbat+−=ee，再利用导函数求2eett+的最小值

即可.【详解】因为()fx有两个不同零点()0fx=有两个不相等的实根，即2ln22ee2e0xxaabxbx++=++=有两个不相等的实根，令lntxa=，则220lntbta++=ee，t显然不为零，所以22lntbat+−=ee，因为()0,1a，23eb

，所以20lnba−，所以0t，令()()2ee0tgttt+=，则()()22tttgtt−+=eee，令()()()2eee0tthttt=−+，则()0tttthttt=+−=eeee，所以()ht在()0,+上单

调递增，又()20h=，所以当()0,2t时，()0ht；当()2,t+时，()0ht，所以当()0,2t时，()0gt；当()2,t+时，()0gt，故()gt在()0,2上单调递减

，在()2,+上单调递增，所以()()2min2gtg==e，所以22lnba−e，又23eb，所以23be，所以ln32a−即ln6a−，6a−e，又()0,1a，所以)6,1a−e，故答案为：)6,1−

e【点睛】利用换元法，令lntxa=，根据t不为零，分离参数得22lntbat+−=ee，构造函数，通过求解函数的最值，即可得出a的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.17.已知,,abc分别为ABC内角,,ABC的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：①3a=；②2b=；③sinsinsin++=−BCacAbc；④21cossinsin24−−=BCBC．（1）满足有解三角形的序号组

合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC的面积．【答案】（1）序号组合为①②③，①②④（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）判断出③，④不能同时存在，由此确定正确答案.（2）选①②③，则利用余

弦定理求得c，进而求得三角形ABC的面积；选①②④，则利用余弦定理求得c，进而求得三角形ABC的面积.【小问1详解】对于③，()22212π,0,223bcacacbBBabcac+++−==−=−；对于④，()()1cos11sinsinco

s2sinsin242BCBCBCBC+−−=−−=−，即()1cos2BC+=−，且π,0,,πABCABC++=，则π3A=，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．【小问2详解】选①②③：2π3,2,3abB===时，由余弦定理：222

2134cos2223acbcBacc+−+−=−=，整理得：2310cc+−=且0c，则732c−=，ABC的面积为()3731sin28ABCSacB−==．选①②④：π3,2,3abA===时，由余弦定理：2222

143cos224bcacAbcc+−+−==，整理得：2210cc−+=，则1c=，ABC的面积13sin22ABCSbcA==．18.已知数列na满足22113,2221++==+−++nnnaaann．（1）求证：22−nnan是等差数列；（2）令2=n

nnab（x表示不超过x的最大整数．提示：当aZ时，axax+=+），求使得12100nbbb+++L成立的最大正整数n的值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据递推关系，结合等差数列定义证明即可；（2）结合（1）得()22

21nnann=−+，故2212nnnbn=−+，再根据函数()lnxfxx=的单调性得当5x≥时，22xx，进而解5n…时，2123100nbbbn+++=+即可得答案.【小问1详解】证明：因为2212221nnnaann++=+−++，所以222222111(1)2221

(1)2222nnnnnnnnnananannnan++++−+−+−++−+−−=−()2221222222nnnnanan+++−−−==，所以数列22−nnan是以1112a−=为首项，2d=为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，2212nnann−=−，即()222

1nnann=−+，所以()()22222121212222nnnnnnnnnannbnn−+===−+=−+．令函数()lnxfxx=，所以()21lnxfxx−=，当()0,ex时，()()0,fxfx单调递增；当()e

,x+时，()()0,fxfx单调递减．注意到：2552，两边同时取对数25ln5ln2，即ln5ln252，所以当5x≥时，lnln5ln252xx，即22xx，特别地，1n=时，21022nn==；当2n

=时，24124nn==；当3n=时，29128nn==；当4n=时，2161216nn==；当5n时，22nn，则202nn=．显然使得12100nbbb+++L成立的最大正整数n的值大于5，则5n

…时，()2121352133100nbbbnn+++=++++−+=+„，所以满足条件的n的最大值为9．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，PD⊥底面ABCD，90BADCDA==，1ADAB==，2CD=，E为PA的中点．（1）证明：

平面PBD⊥平面BCE；（2）若二面角P-BC-E的余弦值为265，求三棱锥P-BCE的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）312.【解析】【分析】（1）线面垂直的性质可得PDBC⊥，若F为CD中点，连接BF，由正方形的性质及勾股定理可得BDBC⊥，再由线面

垂直的性质有BC⊥面PBD，最后根据面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，设PDm=求相关点坐标，再求面PBC、面EBC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数m，最后

求PBCS、向量法求E到面PBC的距离，再由体积公式求棱锥的体积.【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，则PDBC⊥，由90BAD=，1ADAB==，则2BD=，又90CDA=

，则//ABDC，若F为CD中点，连接BF，易知：ABFD为正方形，则1BF=，又2CD=，即1FC=，所以2BC=，综上，222BCBDCD+=，即BDBC⊥，又BDPDD=，则BC⊥面PBD，又BC面BCE，所以平面PBD⊥平面BCE.【小问2详解】由题设，可构建如下图示的空间直角

坐标系，若PDm=，则(0,0,0)D，(1,1,0)B，(0,2,0)C，1(,0,)22mE，(0,0,)Pm，所以(1,1,)PBm=−，1(,1,)22mEB=−，(1,1,0)BC=−，若(,,)xyz=为面

PBC的一个法向量，则00BCxyPBxyzm=−+==+−=，令1x=，则2(1,1,)m=，若(,,)abc=为面EBC的一个法向量，则0022BCabacmEBb=−+==+−=，令1a=，则3(1,1,

)m=，所以2226226|cos,|||5||||4922mmm+===++，整理得429610mm−+=，所以3m=，即3PD=，易得：2,7PAPC==，由PD⊥底面ABCD，AB面ABCD，则PD⊥AB，

又90BAD=，即AD⊥AB，由=PDADD，则AB⊥面PAD，PA面PAD，即AB⊥PA，所以在直角△PAB中，5PB=，在△PBC中，5PB=、7PC=、2BC=，即222PBBCPC+=，则PBBC⊥，所以1105222PBC

S==.由上有：13(,1,)22EB=−且面PBC的一个法向量2(1,1,)3=，则1152|cos,|||201023EB==，故E到面PBC的距离1530|||cos,|22020dEBEB===，所以11301033320212PBCEPBCVdS−=

==.20.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.（1）已知如下结论：若()2,

XN，从X的取值中随机抽取()*,2kkNk个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量2,YNk.利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求()980PY；（ii

）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有

两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布()2,N

，则()0.6827P−+=，()()220.9545,330.9973PP−+=−+=；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.【答案】（1）（i）0.02275；（ii）理由见解析.（2）012p5314

044984073840()1724E=【解析】【分析】（1）（i）由正太分布的对称性及3原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分

布列及数学期望.【小问1详解】（i）因为25010025=，所以()21000,10YN，因为()220.9545P−+=，所以()10.954520.022752P−−==，因为9801000210=−，所以()()9

8020.02275PYPY=−=；（ii）由第一问知()()98020.02275PYPY=−=，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g，978.72980，而0.022

750.05，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由；【小问2详解】设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,则()143154530265287140p==+=；()124135449122265287840p==+

=，()121132732265287840p==+=，故分布列为：012p5314044984073840其中数学期望()53449731701214084084024E=++=21.已知抛物线21:Cyx=，开口向上的抛

物线2C与1C有一个公共点(2,4)T，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线2C的方程；（2）设点P是抛物线2C上的动点，且与点T不重合，过点P且斜率为k的直线l交抛物线1C于,AB两点，其中PAPB，问是否存在实常数k，使得PAPB为定值？若存在，求出实常数k；若不

存在，说明理由.【答案】（1）2(2)4(1)yaxx=−+−（0a且1)a（2）存在，4k=.【解析】【分析】（1）设22:Cyaxbxc=++，根据题意结合导数的几何意义，得到44ab+=，再由2C过点T，

求得44ca=−，即可求得抛物线2C的方程；（2）根据题意得到l即为公共点T处的切线，得出4k=，设2(,(2)4(1))Ptatt−+−，求得切线方程为()()()24241yxtatt=−+−+−

，联立方程组，得到12PAxtPBxt−=−，令mxt=−，得到12PAmPBm=，并代入整理得222(24)(2)4(1)0mtmtatt+−+−−−−=，根据根与系数的关系，化简求得22212212(

22)(88)882(1)(1)(44)441mmatataammatataa++−++++==−−−−+−为定值，分1a和01a，两种情况讨论，结合21yy，得到,AB在点P的两侧和同侧，进而得到答案.【小问1详

解】解：设22:,(0)Cyaxbxca=++，可得2yaxb=+，抛物线21:Cyx=，可得2yx=，因为抛物线2C与1C有一个公共点(2,4)T，且在该点处有相同的切线，可得44ab+=，即44ba=−，所以22:(44)

Cyaxaxc=+−+，因为抛物线2C过点(2,4)T，代入可得44ca=−，即满足条件的22:(44)(44)Cyaxaxa=+−+−即抛物线2C的方程为2(2)4(1),(0yaxxa=−+−且1)a.【小问2详解

】解：当0PB→时，若PAPB为常数，则0PA→，此时l即为公共点T处的切线，故若存在，则4k=.下面证明：4k=时，PAPB为常数，设2(,(2)4(1))Ptatt−+−，则切线方程为()()()24241yxtatt=−+−+−，联立方程组()()()2242

41yxyxtatt==−+−+−，整理得224()(2)4(1)0xxtatt−−−−−−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则12PAxtPBxt−=−，令mxt=−，可得xmt=+，所以12PAmPBm=，代入上式得22()4(2)4

(1)0mtmatt+−−−−−=，即222(24)(2)4(1)0mtmtatt+−+−−−−=，可得()()12221242241mmtmmtatt+=−=−−−−，所以222121224(2

)mmmmt++=−，则2222222124(2)22(2)8(1)22(2)8(1)mmttatttatt+=−−+−+−=+−−−，所以22212212(22)(88)882(1)(1)(44)441mmatataammatataa++−++++==−−−−+−为

定值，且2221(1)4(1)4(1)(1)(2)yyaxaxaax−=−+−+−=−−，①当1a时，由21yy，可得,AB在点P的两侧，所以11221PAxtmPBxtm−==−−，令12mtm=，可得12(1)1atta++=−，即2(1)2(1

)10atata−−++−=，解得121aata+=−，因为1t−，所以121aata+−=−为定值；②当01a时，由21yy，可得,AB在点P的同侧，所以11221PAxtmPBxtm−==−，因为1t，所以121aata++=−为定值，综上可

得，存在4k=时，使得PAPB为定值.【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的常见策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②

利用条件找到k过定点的曲线0(),Fxy=之间的关系，得到关于k与,xy的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22.已知221ln,

0(),0xxxxfxex−−−=.（1）当(0,)x+时，求()fx的最大值；（2）若存在[0,)a+使，得关于x的方程2()0fxaxbx++=有三个不相同的实数根，求实数b的取值范围.【答案】（1）

112e+；（2）1(,22),e−−+【解析】【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出最值.（2）验证0x=不是方程的根，将原方程的根等价于()fxaxbx=−−的根，记0Aa=−，Bb=−，令()txAxB=+，令2(

)g()(0)xfxexxxx−−==，讨论B的取值，利用导数求出函数()gx的最值，通过比较即可确定答案.【详解】（1）当(0,)x+时，2()1lnfxxx=−，即()2ln(2ln1)fxxxxxx=−−=−+当1xe时，()0fx¢>，()fx单调

递增；当1xe时，()0fx，()fx单调递减，所以max11()()12fxfee==+（2）()20fxaxbx++=，经验证0x=不是方程的根，所以原方程的根等价于()fxaxbx=−−的根，记0Aa=−，Bb=−，令()tx

AxB=+，0A，单调递减，令2()g()(0)xfxexxxx−−==，即22(1)()xxegxx−−−+=，令()01gxx==−为极大值点，其在(),1−−上单调递增，在()1,0

−上单调递减，当22B，1()(1)()(0)txBggxxe−=−，所以()()gxtx=在0x无实数根当0x时，21()()()lnBgxtxhxxAxx==−−=……①.2323212()BxBxhxxxxx−+=−−+=−()hx有两个极值点12

,xx，且12122220xxBxx+==，即120xx，2282BBx+−=故22222221388()ln8ln422BBBBxhxxxBBBx+−+−=−−=−−−−32222322ln22ln204222−−=−−，所以()20h

x，存在A使①有三个实根所以22B满足条件.当22B„，()hx的分子中2=80B−，()0hx，显然()0,0xhx+→，所以①仅有一个正根，要使2xeAxBx−−=+有两个负根，则max1()(0)

Bgxxe=−﹐综上所()1,22,Be−−+﹐即1(,22),be−−+.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根、利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.