【文档说明】安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷 含解析.docx，共(20)页，1.795 MB，由小赞的店铺上传

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合肥六校联盟2022—2023学年第二学期期末联考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟满分150分）命题学校：合肥十一中命题老师：詹步创审题老师：孙邦国一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求的．1.若复数z满足i34iz=−，则z=（）A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34ii34i43iiiiz−−−===−−−，故()()223|54|z−+−==．故选：B．2.sin

18cos63sin72sin117−的值为（）A.22−B.22C.12D.12−【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式化简求值即可.【详解】sin18cos63sin72sin117

−()()sin18cos63sin9018sin18063=−−−sin18cos63cos18sin63=−()()2sin1863sin45sin452=−=−=−=−.故选：A.3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥

而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与至少有一个红球【答案】C【解析】【分析】列举出各事件的基本事件，从而利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.【详解】依题意，记2个红球为,ab，2个黑球为,mn，则从

中任取2个球的总的基本事件为,,,,,abamanbmbnmn，对于A，至少有一个黑球的基本事件为,,,,amanbmbnmn，都是黑球的基本事件为mn，显然两个事件有交事件mn，所以不为互斥事件，故A错误；对于B，至少有一个

黑球的基本事件为,,,,amanbmbnmn，都是红球的基本事件为ab，显然两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；对于C，恰有一个黑球的基本事件为,,,amanbmbn，恰有两个黑球的基本事件为

mn，显然两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；对于D，至少有一个黑球的基本事件为,,,,amanbmbnmn，至少有一个红球的基本事件为,,,,abamanbmbn，显然两个事件不是互斥事件，故D错误.故选：C.4.

已知命题p：23100xx−−，命题q：23xmm+＞﹣，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A.[﹣1，2]B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D.（﹣1，2）【答案】B【解析】【分析】由p是q的充分不必要条件,则q是p的充分

不必要条件,由23100xx−−得5x或<2x−，只需235mm−+,即可.【详解】由23100xx−−得5x或<2x−,因为p是q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,所以235mm−+,解得2m或

1m−.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件求参数取值范围问题,难度一般.5.已知[]x表示不超过实数x的最大整数，()[]gxx=为取整函数，0x是函数()ln4fxxx=+−的零点，则()0gx=（）A.4B.5C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的

相邻整数区间，即可由定义求得()0gx的值.【详解】函数()ln4fxxx=+−在(0,)+递增，且(2)ln220f=−，(3)ln310f=−，所以函数()fx存在唯一的零点0(2,3)x，故()02gx=，故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应

用，由定义求函数值，属于基础题.6.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若⊥，m，n，则mn⊥B.若//，m，n，则//mnC.若mn⊥，m，n，则⊥D若m

⊥，//mn，//n，则⊥【答案】D【解析】【详解】试题分析：m⊥，,n⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.7.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是().A.164B.5564C.18D.116

【答案】B【解析】【详解】设A与B中至少有一个不闭合的事件为,TE与F至少有一个不闭合的事件为R，则()()1131224PTPR==−=，所以灯亮的概率为()()1PPTPR=−()()3311551442264PCPD=−=

，故选B.【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥

事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.8.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体

现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（）A.BC⊥平面ABEB.该二十四等边体的体积为3223

C.ME与PN所成的角为45D.该二十四等边体的外接球的表面积为16π【答案】D【解析】【分析】依题意补齐正方体，对于A，假设BC⊥平面ABE，得到90EBC=，根据六边形EBCGQM为正六边形，120EBC=，得出矛盾判断

A；对于B，结合集合图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B；对于C，由平移法找出异面直线所成角为60NPF=，判断C；对于D，取正方形ACPM对角线交点为O，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进

而求出外接球体积，判断D.【详解】依题意，补齐正方体，如下图，对于A，假设BC⊥平面ABE，BE平面ABE，BEBC⊥，90EBC=，二十四等边体就是一种半正多面体，由对称性可知，六边形EBCGQM为正六边形，

120EBC=，这与“90EBC=”矛盾，所以假设不成立，A错误；对于B，2BFFN==，正方体的棱长为22，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉8个三棱锥体积，即()311402228222323

−=，B错误；对于C，//EMPF，NPF为异面直线ME与PN所成角（或补角），在等边NFP△中，60NPF=，C错误；对于D，如图，取正方形ACPM对角线交点为O，即为该二十四等边体的外

接球球心，在等腰RtPFC△中，22=PC，在正方形ACPM中，2AO=，即外接球半径2R=，该二十四等边体的外接球的表面积24π16πSR==，D正确.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分．9.已知向量()1,1a=，()()cos,sin0πb=，则下列命题正确的是（）A.若22,22b=，则π4=B.向量a与b夹角的取值范围是3π0,4

C.与a共线的单位向量为22,22D.存在，使得abab+=−【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用三角函数的商数关系求解即可；对于B，利用向量夹角的余弦公式与三角函数的性质即可求解；对于C，利用共线单位向量的定义求解即可；对于D，利用向量积的运算法则，结合三角函数的商数

关系即可得解.【详解】对于A，若22,22b=，则2cossin2==，即tan1=，又0π，则π4=，故A正确；对于B，设向量a与b的夹角为，则cossin22πcoscossinsin224||||21abab+

===+=+，因为0π，则ππ5π444+，所以2πsin124−+，即2cos12−，又0π，所以3π04，即向量a与b夹角的取值范围是3π0,4，故B正确；对于C，与a共线的单位向量为

||aa或||aa−，即22,22或22,22−−，故C错误；对于D，假设存在，使得abab+=−，则222222aabbaabb++=−+，即0ab=，则ab⊥，所以cossin0+=，

即tan1=−，又0π，则3π4=，故D正确.故选：ABD.10.如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（）A.2017~2022年全国城镇居民人均可

支配收入及人均消费支出均呈增长趋势B.2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535C.2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差D.2017~2022年全国城镇居

民人均消费支出占人均可支配收入的比例均大于80%【答案】BC【解析】【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.【详解】对于选项A：由图知2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比20

19年少，故A不正确；对于选项B：由图可知2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为2806327007275352+=，故B正确；对于选项C：2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为492833639612887−=，人均消费支出的极差为3039124445

5946−=，因为128875946，所以人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差，故C正确；对于选项D：2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为303910.649283，小于80%，故D不正确.故选：BC.11.关于

函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的叙述正确的是（）A.f(x)是偶函数`B.f(x)在区间,2ππ单调递增C.f(x)在[－π，π]有4个零点D.f(x)的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】根据函数()fx的奇

偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；B.当,2x

时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx，f(x)在,2ππ单调递减，故B错误；C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根

为－π，0，π，有3个零点，故C错误；D.∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，当()22xkkZ=+或()22xkkZ=−−时两等号同时成立，∴f(x)的最大值为2，故D正确．故选：AD12.已知正方

体1111ABCDABCD−，则（）A.直线1BC与1AB所成的角为60°B.直线1BC与1AC所成的角为90°C.直线1BC平面11ABBA所成的角为45°D.直线1BC与平面11BDDB所成的角为45°【答案】ABC【解析】【分析】由异面直线所

成角可判断A，B；直线与平面所成角可判断C，D.【详解】对于A，连接1AD，11DB，由正方体的性质知：11//ADBC，直线1BC与1AB所成的角即为1AD与1AB所成的角，因为11ABD为等边三角形，所以直线1BC与1AB所成角为60°，故A正确；对于B，连接111,,ADACBC，因为DC⊥

平面11BBCC，1BC平面11BBCC，所以DC⊥1BC，又因11BCBC⊥，11//ADBC，所以11ADBC⊥，11,,ADDCDADDC=平面1ADC，所以1BC⊥平面1ADC，1AC平面1ADC，所以1BC⊥1AC，所以直线1BC与1AC所成的角为90°，故B正确；对于

C，因为11BC⊥平面11ABBA，所以直线1BC平面11ABBA所成的角为11CBB，1145CBB=，所以直线1BC平面11ABBA所成的角为45°，故C正确；对于D，连接1111,ACBD交于点O，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面11

11DCBA，所以11BBCO⊥，又因为111COBD⊥，的为1111111,,BBBDBBBBD=平面11BDDB，所以1CO⊥平面11BDDB，所以直线1BC与平面11BDDB所成的角为1OBC，设正方体的边长为2

，所以221111122222COCA==+=，122CB=，所以121sin222OBC==，所以130OBC=，所以直线1BC与平面11BDDB所成的角为30，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()(

)22loglog2fxxx=的最小值为______．【答案】14−##0.25−【解析】【分析】利用对数的运算法则与换元法得到()()1fxtt=+，结合配方法即可得解.【详解】因为()()2222loglo(lo

g1)g2logfxxxxx==+，令2logtx=，则Rt，则()()1fxtt=+，因为()221111244yttttt=+=+=+−−，当且仅当12t=−时，等号成立，所以()fx的最小值为14−.故答案为：14−.14.已知非零向量a，b满足

||2||ab=，且()abb−⊥，则a与b的夹角为__________.【答案】π3【解析】【分析】根据()abb−⊥可得()0−=abb，推得2abb=，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】因为()abb−⊥，故()0−=abb，即220,abbabb−=

=，由于||2||ab=，故221cos,2||||2abbababb===，因为,(0,π)ab，故π,3ab=，故答案为：π315.在ABC中，若()cos2coscaBabA−=−，则ABC的形状为_________.【答

案】等腰或直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理边角互化化简可得cos0A=或sinsinAB=，进而可判断出ABC的形状.【详解】()cos2coscaBabA−=−，由正弦定理可得sinsincos2sincossincosCABAABA−=−，所以，()sinsincos2sinc

ossincosABABAABA+−=−，即cossin2sincoscossinABAAAB=−，()cossinsin0AAB−=，cos0A=或sinsinAB=，0A，2A=或ab=.因此，A

BC为等腰或直角三角形.故答案为：等腰或直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.16.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.【答案】23【解析】【分析】利用列举法把互

质的2个数找出来，然后利用古典概型求概率的公式求概率即可.【详解】从2至8的整数有2,3,4,5,6,7,8，互质的两个数有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14对，所以随机取2个数

，互质的概率为271423=C.故答案为：23.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其内部有一个高为x的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面

积；（2）求圆柱的侧面积的最大值及此时x的值．【答案】（1）22πxSRxh=−+（2）当2hx=时，maxπ2RhS=【解析】【分析】（1）作出轴截面，根据线段比例关系可求得圆柱底面半径r，代入圆柱侧面积公式即可；（2）根据二次函数最值的求法可确定最大值及x的取值

.【小问1详解】设圆锥顶点为S，底面圆心为O，圆柱的底面半径为r，作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示，//EFAB，rhxRh−=，则1xrRh=−圆柱侧面积22π2πxSrxRxh==−+.

【小问2详解】由（1）知：()2222π2π24RRhhSxhxxhh=−+=−−+，当2hx=时，圆柱侧面积取得最大值maxπ2RhS=.18.已知向量(cos,sin)a=，(cos,sin)b=，41313ab−

=.（Ⅰ）求cos()−的值；（Ⅱ）若02，02−，且4sin5=−，求sin的值.【答案】(1)5.13(2)16.65【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于向量413(cos,sin),(cos,sin),.13abab==−=，那么可知

2413165·=cos(),=1+1-2?=,cos()131313abababab−−=−−=,（）（2）根据题意，由于0,022−且4sin5=−，那么16sinsin[()]s

in()coscos()sin65=−+=−+−=考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积公式以及两角和差的三角公式的运用，属于中档题．19.定义在[4,4]−上的奇函数()fx，已知当[4,0]x−时，1

()43xxafx=+．（1）求()fx在[0,4]上的解析式；（2）若[2,1]x−−使不等式11()23xxmfx−−成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）()34xxfx=−（2）)5,+【解析】【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有(0)0f=，

即可求出a的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；（2）参变分离后构造函数()12223xxgx=+，根据函数()gx的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.【小问1详解】（1）因为(

)fx是定义在[4,4]−上的奇函数，[4,0]x−时，1()43xxafx=+，所以001(0)043af=+=，解得1a=−，所以[4,0]x−时，11()43xxfx=−，当[0,4]x时，[

4,0]x−−，所以11()4343xxxxfx−−−=−=−，又()()fxfx−=−，所以()43−=−xxfx，()34xxfx=−，即()fx在[0,4]上的解析式为()34xxfx=−.【小问2详解】因为[2,1]x−−时，11()43xxfx=−

，所以11()23xxmfx−−可化为11114323xxxxm−−−，整理得1121222323++=+xxxxxm，令()12223xxgx=+，

根据指数函数单调性可得，12xy=与23xy=都是减函数，所以()gx也是减函数，()()11min1212523gxg−−=−=+=，所以5m，故实数m的取值范围是)5,+.20.在ABC中，内角,,AB

C的对边分别为,,abc，设ABC的面积为S，满足2sincossinaCacBCS=+.（1）求角C；（2）若sinsin6sinbCcBB+=，求ABC周长最大值.【答案】（1）π3C=（2）9【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，由2sincossinaCacBCS=

+结合余弦定理，整理可得1cos2C=，求得角π3C=；（2）由已知条件，利用正弦定理角化边可得3c=，进一步根据余弦定理可得2()93abab+−=，利用基本不等式可得6ab+，得到ab+的最大值，进而得到三角形周长的最大值

.【小问1详解】因为2sincossinaCacBCS=+，所以21sincossinsin2aCacBCabC=+.因为(0,π)C，所以sin0C，所以222cosaacBab=+.由余弦定理，得2222222acbaacabac+−=+，

整理，得222abcab+−=.由余弦定理，得2221cos22abcCab+−==，因为(0,π)C，所以π3C=；【小问2详解】因为sinsin6sinbCcBB+=，所以根据正弦定理，得6bccbb+=，所以3c=.在ABC中，由余弦定理2222coscababC=+−，得229aba

b=+−，整理得2()93abab+−=，因为22abab+„，所以22()932abab++−„，的整理可得()236ab+即6ab+，当且仅当3ab==时等号成立，所以+ab取得最

大值是6，当3ab==时取到,所以ABC周长的最大值为9.21.随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在)60,80的老年人的年收入按年龄)60

,70，)70,80分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在)60,70的老年人500人．年龄在)70,80的老年人300人．现作出年龄在)60,70的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在

)60,70的老年人年收入的平均数及第95百分位数；（2）已知年龄在)60,70的老年人年收入的方差为3，年龄在)70,80的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在)60,80的老年人年收入的方差．【答案】（1

）5.35；8.3（2）3【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：1niiixxp==，求得平均数；再先计算出第95百分位数位于[7.5,8.5)内，列出式子即可求解；（2）设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x，方差记为

2xs；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y，方差记为2ys；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z，方差记为2s，根据样本中不同层的方差公式得到222221500()300()800xyssxzsyz=+−++−，即可求解.【小

问1详解】频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.0420.0830.1840.2650.2060.1570.0580.0495.35+++++++=，由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为10.0410.96−=，年收入在7

.5万元以下的老年人所占比例为1(0.0510.041)0.91−+=，因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，由0.950.917.518.30.05−+=，可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95

百分位数为8.3.【小问2详解】设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x，方差记为2xs；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y，方差记为2ys；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z，方差记为2s.由（1）得5.35x=，由题意得，23xs=，3.75y

=，21.4ys=，则5003004.75500300500300zxy=+=++，由222221500()300()800xyssxzsyz=+−++−，可得22215003(5.354.75)3001.4(3.75

4.75)3800s=+−++−=，即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3.22.如图，AB是半球的直径，O为球心，4,,ABMN=依次是半圆AB上的两个三等分点，P是

半球面上一点，且PNMB⊥，（1）证明：平面PBM⊥平面PON；（2）若点P在底面圆内的射影恰在BM上，求二面角−−APBN的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）15.【解析】【分析】（1）连接OM，MN，证明ONMB⊥，再利用线

面、面面垂直的判定推理作答.（2）确定点P在底面圆内的射影点位置，再作出二面角−−APBN的平面角，然后解三角形作答.【小问1详解】连接OM，MN，如图，,MN是半圆AB上的两个三等分点，则有60MONNOB==，而2OMONOB===，即有,M

ONNOB都为正三角形，因此，MNNBBOOM===，四边形OMNB是菱形，ONMB⊥，而PNMB⊥，PNONN=，,PNON平面PON，因此，MB⊥平面PON，BM平面PBM，所以平面PBM⊥平面PON.小问2详解】由（1）知，平面PON⊥平面OMNB，平面PON平面OM

NBON=，则点P在底面圆内的射影在ON上，因点P在底面圆内的射影在BM上，因此，点P在底面圆内的射影是ON与MB的交点Q，即PQ⊥平面OMNB，有PQON⊥，2PNPOBOBN====，223PQPOOQ

=−=，而3BQ=，即有226PBPQBQ=+=，取PB的中点C，连,CNCO，于是得,CNPBCOPB⊥⊥，则有OCN是二面角−−APBN的平面角，【在OCN中，22226102()22CNCOOBB

C==−=−=，所以222221010()()4122cos251010222CNCOONOCNCNCO+−+−===，所以二面角−−APBN的余弦值是15.【点睛】思路点睛：在二面角的棱上取一点，在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，即可

得二面角的平面角．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com