【文档说明】湖北省襄阳四中2021届高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试适应模拟考试（二）数学试题含答案.docx，共(15)页，727.711 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2021普通高等学校招生全国统一考试适应模拟本试卷共4页,22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小

题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题

区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合22{|log(1)0},{|9},AxxBxx=−=则AB=()

.,3.3,3.3,2.1,2()ABCD−−−2.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关,某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是A.0.20B.

0.48C.0.60D.0.753.设a∈R,则“a=1”是“直线1:lax+2y-4=0与直线2:lx+(a+1)y+2=0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.小明要作一

个三角形,使它的三条高的长度分别为111,,,13115则小明所作的三角形是A.不存在的B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形5.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始

生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...,这就是著名的斐波那契数项，它的递推公式是*12(3,),nnnaaannN−−=+其中,121,1.aa==若从该数列的前120中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为

A.13B.231.2CD.346.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式(2021)(2021)02021fxfxx−−−−的解集为()()()().2020,20212022,.,20202021,2023.,20202022,.2020,202

12021,2022()()()()ABCD−+−−+7.若矩形ABCD的面积是4,沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积最小值为A.8B.823.6CD.171768.函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,0<φ

<π)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是A.函数f(x)在3(,)2−−上单调递增B.函数f(x)的图象关于点(,0)3−成中心对称

C.函数f(x)的图象向右平移512个单位后关于直线56x=成轴对称D.若圆的半径为5,12则函数f(x)的解析式为3()sin(2)63fxx=+二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分。9.“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单,但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣,浪费可耻”的氛围,某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中

随机调查了90位来店就餐的客人,制成如下表所示的列联表,通过计算得到2K的观测值为9.已知2(PK26.635)0.010,(10.828)0.001,PK==则下列判断正确的是认可不认可40岁以下202040岁以上(含40岁)4010A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认

可“光盘行动B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如图所示是正四面体的平面展开图,G,H,M,

N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直11.下列关于曲线C:222(1)(3)()xxxxyee−−−−=+的真命题是A.曲线C关于直

线x=2对称B.曲线C关于点(2,-1)对称C.曲线C不经过第三象限D.曲线C上的整点(横、纵坐标都是整数的点)个数是212.一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:(1)X⊆C;(2)∀a,b∈X对某种规定的运算a⊕

b,都有a⊕b∈X.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是A.{|,}nxxcxinZ==,其中i是虚数单位,规定运算:a⊕b=ab,(∀a,b∈X)B.{|1},XxCxx==规定运算:,(,)aababxb=C.}1{|XxCx=,规定运算:a⊕b=ab,(∀a

,b∈X)D.}1{,Xxcxyxyyi=+−=+,规定运算:a⊕b=a+b,(∀a,b∈X)三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量,ab夹角为45°,且1,|2|10,aab=−=||b=________.4.若正整数m满足151210210,mm−则

m=________.(参考数据:lg2≈0.3010)15.天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;地支有十二,即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中,天干

地支对应的规律如表:天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一

百年,中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法,2049年是己巳年,则2059年是____年;使用干支纪年法可以得到___种不同的干支纪年.16.设点P在曲线221xye+=+上,点Q在曲线1ln1yx=++上,则|PQ|的最小值为_____.四、解答题：本题共6小题，共70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)已知：f(21)3sin()sin()cos().222xxxx=+−++−(I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，A，B，

C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．18．(12分)某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的前5个月的利润情况如下表所示：第1个月第2个月第3个月第4个月第5个月利润(单位：万元)111275180设第

t个月的利润为y万元．(I)根据表中数据，求y关于t的回归方程2ˆˆˆ(1)ybta=−+(注：,ba的值要求保留小数点后两位有效数字)(II)根据已知数据求得回归方程后，为验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验证，方法如下：先计算新数据00

(,)xy对应的残差000(),yy=−再计算00||,y050||0.05,y说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该厂第6个月的利润为120万元，试判断(I)中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．参考数据：4444

1234354,+++=4194.82.87=取附：回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆˆ,=.niiiniixynxybaybxxnx==−=−−19．(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面,22,2AB

CDACPA==，E是PC上的一点，PE＝2EC．(I)证明：PC⊥平面BED；(II)设二面角A－PB－C的大小为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20.(12分)在平面直角坐标系xOy中:①已知点A(3,0),直线43:

,3lx=动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比32；②己知点S,T分别在x轴,y轴上运动,且|ST|=3,动点P满2133OPOSOT=+;③已知圆C的方程为224,xy+=直线l为圆C的切线,记点(3,0),(3,0)AB−到直线l的距离分别为12,,dd动点

P满足12||,||.PAdPBd==(I)在①,②,③这三个条件中任选-一个,求动点P的轨迹方程;(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)(II)记(I)中动点P的轨迹为E,经过点D(1,

0)的直线l’交E于M,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.21.(12分)已知2()1.xfxxe=−(I)判断f(x)的零点个数,并说明理由;(II)若对∀x∈(0,+∞),f(x)≥a(x+2lnx)恒

成立,求实数a的取值范围.22.(12分)已知正项数列{}na的前n项和nS满足()2*,,14nnsanN+=数列{}nb满足2*1221,.nnbbnnnN++=++(I)求数列{}na的通项公式(II)试问:数列{}nnbS

−是否构成等比数列(注:nS是数列{}na的前n项和)?请说明理由;(III)若11,b=是否存在正整数n,使得2211155(1)11111nnkkkkkkkkkbbbbbb==+−++++成立?若存在求所有

的正整数n;否则,请说明理由.2021年普通高等学校招生全国统一考试适应模拟数学参考答案一、单项选择题：1——4．BDCD．5——8．ADBD2．【解析】记事件:A电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件:

B电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，则()0.6PAB=，()0.8PA=，所以，已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为()()()0.60.750.8PAB

PBAPA===.故选：D.3．【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：2211aa=−+，解之得：a＝1．所以是充分必要条件．4．【提示】面积法转化．7．【提示】图像法转化．8．【解

析】由图易得点C的横坐标为π3，所以()fx的周期T＝π，所以ω＝2，又π06f−=，所以π3=，因此π()sin23fxAx=+．函数()fx的图象不关于点π,03−

成中心对称．若圆半径为5π12，则2235ππ2123A=−，∴3π6A=，函数()fx的解析式为3π()sin2)63fxx=+（，故选D．二、多项选择题：9．AC．10．BCD．11．AC．12．ABCD9．【答案】AC．【解析】∵K2的观测值为9，且

P（K2≥6.635）＝0.010，P（K2≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认

可情况与年龄有关，所以选项C正确，选项D错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为%≈66.7%，故选项A正确，选项B错误，故选：AC．10．【答案】BCD．【解析】如图,把平面展开图还原成正四面

体,知GH与EF为异面直线,A不正确；BD与MN为异面直线，B正确；//GHAD,//MNAF，而60DAF=，60GHM=,GH与MN成60°角，C正确；连接,AGFG，AGDE⊥，FGDE⊥DE⊥平面AFG,DEAF

⊥,又//MNAFDE与MN垂直,D正确.故选：BCD11．【答案】AC．【解析】将方程222(1)(3)()xxxxyee−−−−=+整理可得222(1)(3)xxxxyee−−−−=+，令()yfx=将x换成4x−时，即(4)22(4)2

22[(4)1][(4)3]2(3)(1)(4)xxxxxxxxfxeeee−−−−−−−−−−−−−==++，所以()(4)fxfx=−，所以曲线关于2x=对称，所以①正确，②不正确；当0x时，()0fx，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，曲线过的整点为(

1,0)，(3，0），（2，-1）三个整数点，故④不正确，故选：AC．12.【答案】ABCD【提示】集合元素设为复数的代数形式或者利用复数模的几何意义数形结合．三、填空题：13.32；14.155；15.己卯；60；16.21+ln22（）13.【答案】32．【解析】2221

0(2)1044cos451032ababbbb−=−=+−==14.【答案】155．【提示】取对数解．15.【答案】己卯；60.【解析】解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌

、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；故

答案为：己卯，60.16.【答案】21+ln22（）【提示】数形结合，对称性.四、解答题：17.【解析】（Ⅰ）()sin26fxx=−；单调递增区间：,,();63kkkZ−+(Ⅱ)由余弦定理及重要不等式，得()max,4,3.3ABCAbcS

==18.【解析】（Ⅰ）设()21xt=−，则6x=，111275180345y++++==，则4444201142795116805634ˆ123456b++++−=+++−4194.8287==，所以5.08aybx=−=，故y关于t的回归方

程为24.82(1)5.08yt=−+.（Ⅱ）由（1）知，当6t=时，24.8255.08125.58y=+=，因为00120125.5860.05120120y−==，所以（1）中求得的回归方程可靠.19.【解析】解法2:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,

则设.(Ⅰ)证明:由2PEEC=得,所以,,,所以,.所以,,所以PC⊥平面ACBDO=OOCxODy(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),ACP−−(0,,0),(0,,0),(,,)BaDaExyz−22(,0,)33E(2

2,0,2)PC=−22(,,)33BEa=(0,2,0)BDa=22(22,0,2)(,,)033PCBEa=−=(22,0,2)(0,2,0)0PCBDa=−=PCBE⊥PCBD⊥BED;(Ⅱ)设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角APBC−−为

90,所以,解得.所以,平面的法向量为,所以PD与平面PBC所成角的正弦值为,所以PD与平面PBC所成角为.【点评】试题变化的地方就是点E的位置的选择是三等分点,这样的垂直问题对于同学们来说是有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好

.20.【解析】（Ⅰ）若选①：设P(x，y)，根据题意，得（x－3）2＋y2x－433＝32.整理，得x24＋y2＝1.所以动点P的轨迹方程为x24＋y2＝1.若选②：设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则（x′）2＋（y′）2＝3(*).因为

＝23＋13，所以x＝23x′，y＝13y′.整理，得x′＝32x，y′＝3y，代入(*)得x24＋y2＝1.所以动点P的轨迹方程为x24＋y2＝1.若选③：设P(x，y)，直线l与圆相切于点H，则|PA

|＋|PB|＝d1＋d2＝2|OH|＝4>23＝|AB|.由椭圆的定义，知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.所以2a＝4，2c＝|AB|＝23，故a＝2，c＝3，b＝1.所以动点P的轨迹方程为x24＋y2＝1.（Ⅱ）法一设Q(0，y0)，

当直线l′的斜率不存在时，y0＝0.PAB(,,)nxyz=(0,0,2),(2,,0)APABa==−0,0nAPnAB==2(1,,0)na=PBC(,,)mxyz=(2,,0),(22,0,2)BCaCP==−0,0m

BCmCP==2(1,,2)ma=−0mn=2a=(2,2,2)PD=−PBC(1,1,2)m=−||12||||PDmPDm=6当直线l′的斜率存在时，若斜率为0，则线段MN的垂直平分线与y轴重合，不合题意，所以设直线l′的方程为y＝k(x－1)(k

≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立得方程组y＝k（x－1），x24＋y2＝1，消去y并整理，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，则Δ>0恒成立，且x1＋x2＝8k21＋4k2.

设线段MN的中点为G(x3，y3)，则x3＝x1＋x22＝4k21＋4k2，y3＝k(x3－1)＝－k1＋4k2.所以线段MN的垂直平分线的方程为y＋k1＋4k2＝－1kx－4k21＋4k2，令x＝0，得y0＝3k1＋4k2＝31k＋4k.当k<0时，1k＋4k≤－4，当且仅当k＝－1

2时取等号，所以－34≤y0<0；当k>0时，1k＋4k≥4，当且仅当k＝12时取等号，所以0<y0≤34.综上所述，点Q纵坐标的取值范围是－34，34.法二设Q(0，y0)，由题意，得直线l′的斜率不为0，设直线l′的方程为x＝my＋1.若m＝0，则y0＝0.当m≠0时

，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得方程组x＝my＋1，x24＋y2＝1.消去x并整理，得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，则Δ>0恒成立，且y1＋y2＝－2mm2＋4.设线段MN的中点为G(x3，y3)，则y3＝y1＋y22＝－mm2＋4，x3＝my3＋1＝4m2＋4.所以

线段MN的垂直平分线的方程为y＋mm2＋4＝－mx－4m2＋4.令x＝0，得y0＝3mm2＋4＝3m＋4m.当m<0时，m＋4m≤－4，当且仅当m＝－2时取等号，所以－34≤y0<0；当m>0时，m＋4m≥4，当且仅当m＝2时取等号，所以0<y0≤3

4.综上所述，点Q纵坐标的取值范围是－34，34.法三设Q(0，y0)，当直线l′的斜率不存在时，y0＝0.当直线l′的斜率存在时，设直线l′的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段

MN的中点为G(x3，y3).由x214＋y21＝1，x224＋y22＝1，得（x1＋x2）（x1－x2）4＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.所以k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x24（y1＋y2）＝－2x

34·2y3＝－x34y3.线段MN的垂直平分线的方程为y－y3＝4y3x3(x－x3)，令x＝0，得y0＝－3y3.由k＝－x34y3＝y3x3－1，得y23＝－14x23＋14x3＝－14x3－122＋116，由y

23>0得0<x3<1，所以0<y23≤116，则－14≤y3<0或0<y3≤14，所以－34≤y0<0或0<y0≤34.综上所述，点Q纵坐标的取值范围是－34，34.21.【解析】（Ⅰ）f′（x）＝2xex+x2ex＝xex（x+2），令f′（x

）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得；﹣2＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增，故x＝﹣2时，f（x）取极大值，f（x）的极大值是f（﹣2）＝＜0，而f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0，故f（x）只

有1个零点；（Ⅱ）由2lnx+x＝lnx2+lnex＝ln（x2ex），故原不等式等价于x2ex﹣1≥aln（x2ex），令t＝x2ex，则t﹣1≥alnt，由（1）知：x＞0时，f（x）＞f（0），即x2ex﹣1＞﹣1，故x2ex＞0，即t∈（0，+∞），∴t﹣1≥alnt.即

t﹣alnt﹣1≥0在t∈（0，+∞）时恒成立，令g（t）＝t﹣alnt﹣1，则g′（t）＝1﹣＝，且g（1）＝1﹣aln1﹣1＝0，①若a≤0，则g′（t）＞0在t∈（0，+∞）时恒成立，g（t）在（0，+∞）单调递增，∴t∈（0，1）时，g（t）

＜g（1）＝0，不满足g（t）≥0恒成立，②若a＞0，令g′（t）＝0，解得：t＝a，∴t∈（0，a）时，g′（t）＜0，g（t）递减，t∈（a，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）递增，（i）若0＜a＜1，

则g（t）在（a，1）上单调递增，t∈（a，1）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足g（t）≥0恒成立，（ii）若a＝1，则g（t）min＝g（1）＝0，g（t）≥0，（iii）若a＞0，则g（t）在（1，a）上单调递减，t∈（1，a）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足

g（t）≥0恒成立，综上：a＝1时，符合题意，故a的取值范围是{1}．（注：其它方法酌情给分）22.【解析】（Ⅰ）由于2(1),4nnaSnN+=，故2111(1)14aSa+==；2n时22114(1),4(1)nnnn

SaSa−−=+=+；作差得，221114(1)(1)()(2)0nnnnnnnaaaaaaa−−−=+−++−−=.由于{}na是正项数列，故12nnaa−−=，{}na是等差数列，221,.nnanSn=−=（Ⅱ）由于22111,(1)nnnnnnbSbnbS

bn+++−=−−=−+，2221221(1)nnbbnnnn++=++=++，故11()nnnnbSbS++−=−−.由于1111bSb−=−，所以（1）当11b时，111nnnnbSbS++−=−−，数列{}nnb

S−构成等比数列；（2）当11b=时，数列{}nnbS−不构成等比数列．（Ⅲ）若11b=，由（Ⅱ）知2kbk=.于是，所求不等式即2424211155(1)11111nnkkkkkkkkk==+−++++.设21()1fkkk=−+，则21(1).1fkkk+=++故()224222

2221111121(1)(1)11()(1)((1)(1)).12(1)2(1)(1)22nnnnkkkkkkkkkkfkfkffnkkkkkkkk====++−−+===−+=−++++−++−+同理，有()222422211111(1)(1)(1)(1)12(1)(1)1((1)

(1)),21,*12(1)()(1)12((1)(1)),2,*2nnkkkknkkkkkkkkkkkkkffnnmmNfkfkffnnmmN===++++−+−=−++++−+++=−==−++=−+=由于11155((1)(1))(1)222111ffnf++

=，故而只能有2,*nmmN=.于是，24242112155(1)111111551((1)(1))((1)(1)),(2,*)21112155((1)(1)),(2,*)21111111,(2,*)10.nnkkkkkkkkkffnffnn

mmNffnnmmNnnnmmNn==+−++++−+−+=−+==++===综上所述，所有符合条件的正整数n只有10.n=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com