【文档说明】山西省太原市第五中学2020届高三下学期4月模拟数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(23)页，2.027 MB，由小赞的店铺上传

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太原五中2019-2020学年度第二学期4月模拟考试（一）数学试题（文）（2020.4）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1.已知集合{|0}Axx=，|

||2xByy==，则AB=ð()A.{|0}xxB.{|01}xxC.{|12}xx剟D.{|01}xx剟【答案】B【解析】【分析】首先求出集合B，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为|||2{|1}xByyyy===…，{|0}Axx=，所以{|01}ABxx=

ð，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.若43zi=+，则zz=（）A.1B.1−C.4355i+D.4355i−【答案】D【解析】【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】由题意可得22435z=+=，且43zi=−，4343555ziiz−

==−.故选：D【点睛】本题主要考查了共轭复数与模长的概念与计算,属于基础题.3.已知非零向量mn、满足4nm=|||||，且2mmn⊥+()，则mn、的夹角为A.3B.2C.23D.56【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性

质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．【详解】∵()2mmn⊥+ururr，∴()20mmn+=ururr，即220mmn+=，又∵4nm=，∴224cos,0mmmmn+=，解

得1cos,2mn=−，结合0,mn，所以2,3mn=，故选C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.4.若3tan4=，则2cos2sin2+

=（）A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan4=，得34sin,cos55==或34sin,cos55=−=−，所以2161264cos2sin24252525+=+=，故选A．【考

点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．5.已知双曲

线22:12xCy−=的左右焦点为1F，2F，点M为双曲线C上任意一点，则12MFMF的最小值为()A.1B.2C.2D.3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，设点M在双曲线C右支上，则12||222MFMFa−==，设2||(32)MFxx=−…，再根据二次函数的性质计算

可得；【详解】解：由题意知，1(3,0)F−，2(3,0)F，不妨设点M在双曲线C右支上，则12||222MFMFa−==，设2||(32)MFxx=−…，所以()212(22)22MFMFxxx=+=+−，所以当32x=−时，12MFMF的值最小，最小为1，故选：A.【点睛】本题考

查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题.6.以下四个命题中，真命题的个数是（）①若2ab+，则a，b中至少有一个不小于1；②是的充要条件；③；④函数(1)yfx=+是奇函数，则()yfx=的图像关于

(1,0)对称.A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】利用逆否命题的真假判断①的正误；由ab⊥可得0ab=，反之不成立，取0a=即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误.【详解】解：对于①，逆否命题为：a

，b都小于1，则2ab+是真命题所以原命题是真命题对于②，ab⊥0ab=，反之不成立，取0a=，不能说ab⊥，所以②是假命题；对于③，[0x，)+，30xx+…；显然是真命题；对于④，函数(1)yfx=+是奇函数，函数的对称中心为(

0,0)，则()yfx=的图象是(1)yfx=+的图象向右平移1个单位得到的，所以()yfx=关于(1,0)对称．是真命题；故选：D．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题．7.执行如图所示的程序框图.则输出的所有点(),xy（）A.

都在函数1yx=+的图象上B.都在函数2yx=的图象上C.都在函数2xy=的图象上D.都在函数12xy−=的图象上【答案】C【解析】【分析】列出循环的每一步，根据输出的点(),xy的坐标可判断出点(),xy符合哪一个函数

的解析式.【详解】开始：1x=，2y=，进行循环：输出()1,2，2x=，4y=，输出()2,4，3x=，8y=，输出()3,8，4x=，16y=，输出()4,16，5x=，32y=，因为54x=，退出循环，则输出的所有点()1,2、()2,4、()3,8、()4,16都

在函数2xy=的图象上.故选：C.【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.8

.已知函数()fx满足：()fxx且()2,xfxxR．（）A.若()fab，则abB.若()2bfa，则abC.若()fab，则abD.若()2bfa，则ab【答案】B【解析】【详解】可设2(0)(){2(0)xxxfxx−=，则f（x）满足题意.易知

(1)25=5,f=−但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f，=但2＜3,排除C.(2)42=221,f−=−，但排除D.故选B.9.函数()logaxxfxx=（01a）的图象大致形状是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【

分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调

减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．10.已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若161133aaa=−，16117bbb++

=，则3948tan1bbaa+−的值是（）A.1B.22C.22−D.3−【答案】D【解析】【分析】由等差数列和等比数列的性质求出39bb+，481aa−的值，代入3948tan1bbaa+−得答案.【详解】在等

差数列nb中，由16117bbb++=，得637b=，673b=，3961423bbb+==，在等比数列na中，由161133aaa=−，得3633a=−，63a=−，()2248611132aaa−=−=−−=−，则39481473tant

antantan31233bbaa+==−=−=−−−.故选：D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题.11.抛物线2:2Cxy=的焦

点为F，点M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若MOF△的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为()A.4B.2C.916D.34【答案】C【解析】【分析】依题意可得MOF的外接圆的圆心P一定在抛物线上，且圆心P在OF的垂直平分线上，所以||2pOF=，

从而求出外接圆的半径以及圆的面积；【详解】解：因为MOF△的外接圆与抛物线C的准线相切，所以MOF△的外接圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径||PF，则MOF的外接圆的圆心P一定在抛物线上.又因为圆心P在OF的垂直平分线上，||2pOF=，3||424ppp

MF=+=，则此外接圆的半径3344pr==，故此外接圆的面积2916Sr==，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档题.12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图

，则该多面体的表面积为（）A.14B.1042+C.21422+D.213422++【答案】D【解析】【详解】还原三视图如下：其表面积为11113213222222211222242222242++−+−+

+=+故选D二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.若样本数据1x、2x、、10x的平均数为10，则数据143x−、243x−、、1043x−，的平均数为_____.【答案】37【解析】【分析

】利用平均数公式可求得结果.【详解】因为样本数据1x、2x、、10x的平均数为10，则12101010xxx+++=，所以数据143x−、243x−、、1043x−的平均数为()1210121043043434341003037101010xxxxxx+++−−+−+

+−−===，故答案为：37.【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.14.已知x，y满足约束条件020xyxyy−+，若zaxy=+(0)a的最大值为4，则a=__________．【答案

】2【解析】【分析】画出可行域，当直线yaxz=−+的截距最大时，zaxy=+取得最大值，若10a−−，则目标函数在A点取得最大值，若1a−−，则目标函数在B点取得最大值，分别求解即可得到答案．【详解】

画出x，y满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为yaxz=−+，若10a−−，则目标函数在A点取得最大值，解方程02xyxy−=+=，得()11A，，则41a=+，解得3a=，不满足题意；若1a−−，则目标函数在B点取得最大值，解方程20xyy+==，得()20B，，

则420a=+，解得2a=，满足题意．故答案为2.【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题．15.函数()sin3fxx=+的图象向右平移3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，

则的最小正值是_____.【答案】3【解析】【分析】求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于x轴对称，可得出关于的等式，即可求得的最小正值.【详解】函数()sin3fxx=+的图象向右平移3个单位后与

原函数的图象关于x轴对称，则平移后函数的解析式为sinsin333yxx=−+=−+，()213k−=+，kZ，当1k=−时，取得最小正值，此时3=，因此，的最小正值为3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函

数图象的对称性，考查推理能力，属于中等题.16.已知()xfxxe=，()()()()2gxfxtfxtR=+若满足()1gx=−的x有四个，则t的取值范围为_____.【答案】21,ee+−−【解析】【分析】满足

()1gx=−的x有4个，等价于方程()()210fxtfx++=有4个根，设()xhxxe=，利用导数得到函数()yhx=的单调性和极值，画出函数()yhx=的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数()yfx=的大致图象，要使方程()(

)210fxtfx++=有4个根，则方程210mtm++=应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设()21mmtm=++，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t的取值范围.【详解】满足()1gx=−的x有4个，方程()

()210fxtfx++=有4个根，设()xhxxe=，则()()1xhxxe=+，令()0hx=，得1x=−.当(),1x−−时，()0hx，函数()yhx=单调递减；当()1,x−+时，()0hx，函数()yhx=单调递增，()()m

in11hxhe=−=−，画出函数()xhxxe=的大致图象，如图所示：()()xfxxehx==，保留函数()yhx=的x轴上方的图象，把x轴下方的图象关于x轴翻折到x轴上方，即可得到函数()xfxxe=的图象如下图所示：令()mfx=，则210mtm++=，所以

要使方程()()210fxtfx++=有4个根，则方程210mtm++=应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在10,e内，一个根在1,e+内，设()21mmtm=++，因为()010=，则只需21110t

eee=++，解得：21ete+−，因此，实数t的取值范围是21,ee+−−.故答案为：21,ee+−−.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用

导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.三､解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知数列na是等比数列，24a=，32a+是2a和4a的等差中项.（1）求数列na的通项公式；（2）设22log1

nnba=−，求数列nnab的前n项和nT.【答案】（1）2nna=；（2）()16232nnTn+=+−.【解析】【分析】（1）等比数列na中，24a=，32a+是2a和4a的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结

果；（2）把（1）中求得的结果代入22log1nnba=−，求出nb，利用错位相减法求出nT.【详解】（1）设数列na的公比为q，因为24a=，所以34aq=，244aq=.因为32a+是2a和4a的等差中项，所以()

32422aaa+=+.即()224244qq+=+，化简得220qq−=.因为公比0q，所以2q=.所以()222422nnnnaaqnN−−===；（2）因为2nna=，所以22log121nnban=−=

−，所以()212nnnabn=−.则()()231123252232212nnnTnn−=++++−+−，①，()()23412123252232212nnnTnn+=++++−+−，②，①−②得，()2312222222212nnnTn+−=++++−−()()()

11141222212623212nnnnn−++−=+−−=−−−−，所以()16232nnTn+=+−.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错位相减法，考查运算能力，属中档题.18.如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABC

D，四边形ABCD为平行四边形，3CACD=，120BCD=.（1）若ACBDO=，求证：1BO//平面11ACD；（2）若2CD=，且三棱锥1ACDC−的体积为22，求1CD.【答案】（1）见解析；（2）110CD=【解析】【分析】（1）连接11BD交11AC于

点1O，连接1DO，根据四边形ABCD为平行四边形，可得1BO//1DO，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用正弦定理，可得1sin2CAD=，进一步可得ACCD⊥，然后根据1ACDCV−，可得1CC，最后利用勾股

定理，可得结果.【详解】（1）连接11BD交11AC于点1O，连接1DO.如图由四棱柱的性质可知11BD//BD，且11BDBD=，则11BO//DO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴12DOBD=.同理111112BOBD=，∴11DOBO=

，∴四边形11DOBO为平行四边形，∴1BO//1DO.又1DO平面11ACD，1BO平面11ACD，∴1BO//平面11ACD.（2）∵120BCD=，∴60ADC=.又3CACD=，∴23CA=.由正弦定理可得sinsinCACDADCCAD=

，解得1sin2CAD=，∵0120CAD，∴30=CAD，∴90ACD=∠，即ACCD⊥.又1AA⊥平面ABCD，即1CC⊥平面ABCD，∴1CC，CD，CA两两垂直.∴111112322323ACDCVCDCCCACC−===，∴16CC=，∴221

110CDCCCD=+=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.19.2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量

，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量.某部门在某小区年龄处于区间[25,45)内的人中随机抽取x人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到图各年龄段人数的频率

分布直方图和表中统计数据.（1）求,,xyz的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；（3）从年龄段在[25,35)的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，

求选取的2名记录员中至少有一人年龄在区间[30,35)中的概率.组数分组“环保族”人数占本组频率第一组[20,25)450.75第二组[25,30)25y第三组[30,35)z0.5第四组[35,40)30.2第五组[40

,45]30.1【答案】（1）200x=，0.625y=，6z=；（2）31；（3）1318.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和表中统计数据计算可得；（2）根据频率分布直方图计算出平均数即可；（3）根据古典概型的概率计算公式计算可得；【详解】解：（1）对于第一组，人数为4

5600.75=，占总人数0.0650.3=，故总人数602000.3x==人，所以200x=，0.0352000.26z==，250.6250.045200y==.（2）设这x人年龄的平均值为m，所以2

2.50.327.50.232.50.237.50.1542.50.1530.7531m=++++=.（3）易知采用分层抽样法抽取的9人中，在[25,30)内的有5人，在[30,35)内的有4人，选取2名记录员的可能情况共有123836++++=种，均在[30,35)内

的有1236++=种，恰有一个在[30,35)内的有4520=种，故所求概率620133618P+==.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率计算问题，属于中档题.20.已知过原点的动直线l与圆1C:22650xyx+−+=相交于

不同的两点，．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L:()4ykx=−与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243

xyx−+=；（3）存在，252577k−或34k=．【解析】【分析】（1）通过将圆1C的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆1C的方程，利用根的判别式大

于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l与圆1C的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由22650xyx+−+=得()2234

xy−+=，∴圆1C的圆心坐标为()3,0；（2）设(),Mxy，则∵点M为弦AB中点即1CMAB⊥，∴11=−CMABkk即13yyxx=−−，∴线段AB的中点M的轨迹的方程为223953243xyx−+=；（3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C为圆

心32r=为半径的部分圆弧EF（如下图所示，不包括两端点），且525,33E，525,33F−，又直线L：()4ykx=−过定点()4,0D，当直线L与圆L相切时，由223402321kk−−

=+得34k=，又2032357554DEDFkk−−=−=−=−，结合上图可知当332525,,4477k−−时，直线L：()4ykx=−与曲线L只有一个交点．考点

：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程21.已知函数()lnfxxx=+，()()240gxxmxm=+，函数()fx在点1x=处的切线与函数()ygx=相切.（1）求函数()gx的值域；（2）求证：()()fxgx.【答案】（1）1,4−+

；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出曲线()yfx=在点1x=处的切线方程，与函数()ygx=的解析式联立，由0=可求得m的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数()ygx=的值域；（2）要证明()()fxgx，即证242lnxx

xx−+，即证244lnxxxx−−，求出函数()244xxx=−的最小值，并利用导数求出函数()lnhxxx=−的最大值，由此可得出结论.【详解】（1）切点()1,1P，()lnfxxx=+，

则()11fxx=+，()12f=.所以，函数()yfx=在点1x=处的切线方程为()121yx−=−，即21yx=−.函数()yfx=在点1x=处的切线与函数()ygx=相切.联立2421yxmxyx=+=−，化为()24210xmx+−+=，()()()2216620mmm=

−−=−+=，0m，解得2m=−.()22111424444gxxxx=−=−−−，所以，函数()ygx=的值域为1,4−+；（2）要证()()fxgx，即证242lnxxxx−+，即证244lnxxxx−−.设()244xxx=

−，()lnhxxx=−，则函数()yhx=的定义域为()0,+.()min112x==−，()111xhxxx−=−=.当01x时，()0hx，此时，函数()yhx=单调递增；当1x时，()0hx，此时，函数()yh

x=单调递减.所以，函数()yhx=的最大值为()()max11hxh==−.所以，()()minmaxxhx=，但是函数()yx=的最小值和函数()yhx=的最大值不在同一处取得，因此，()()fxgx.【点睛】本题考查了利用导数求函数的

切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于难题.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0

.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P(2，0)．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设点Q与点G的极坐标分别为32,2，(2，π)，若直线l经

过点Q32,2，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【答案】(1)y2＝8x，2cos,sinxtyt=+=(t为参数)．(2)162.【解析】【分析】（1）曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l的参数方

程；（2）先求出直线l的参数方程为22,222xtyt=+=，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得到t2－82t－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义求出|AB|=16,再求点G到直线l的距离，即得△GAB的面积．【详解】(1)曲线C可化为ρ2s

in2θ－8ρcosθ＝0，其直角坐标方程为y2＝8x，直线l的参数方程为2cos,sinxtyt=+=(t为参数)．(2)将点32,2Q的极坐标化为直角坐标得(0，－2)，易知直线l的倾斜角α＝π4，所以直

线l的参数方程为22,222xtyt=+=(t为参数)．将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2228222tt=+，整理得t2－82t－32＝0，Δ＝(82)

2＋4×32＝255＞0，设t1，t2为方程为t2－82t－32＝0的两个根，则t1＋t2＝82，t1·t2＝－32，所以()2121212||425616ABtttttt=−=+−==.由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l的距离2||sin

454222dPG===，所以11122216222GABSdAB===.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的写法，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.选修

4-5：不等式选讲23.（1）若a、b均为正数，且1ab+=.证明：11119ab++；（2）若不等式32xxa+−−的解集为1xx，求实数a的值.【答案】（1）证明

见解析；（2）3a=.【解析】【分析】（1）将1ab+=代入可得11111111baabab++=++++，由三元均值不等式，即可得证；（2）先由方程32xxa+−−=的根为1x=求出a的值，然后代入不等式，解不等式

验证即可，进而可得出实数a的值.【详解】（1）a、b均为正数，且1ab+=，331111111111339abbababaabababab++++=++=++++=

，当且仅当12ab==时，等号成立，因此，11119ab++；（2）由题意可知方程32xxa+−−=的根为1x=，则412a−−=，解得1a=−或3.①当1a=−时，原不等式为312xx+−+.当3x−时，由()()313122xxxx+−+=−

+++=−，此时x；当31x−−时，由()()3131242xxxxx+−+=+++=+，得1x−，此时x；当1x−时，由()()31312xxxx+−+=+−+=，此时1x−.所以，不等式312xx+−+的解集

为1xx−，不合乎题意；②当3a=时，原不等式为332xx+−−.当3x−时，由()()333362xxxx+−−=−++−=−，此时x；当33x−时，由()()333322xxxxx+−−=++−=，解得1x，此时13x；当3x时，由()()333362xxxx+

−−=+−−=，此时3x.所以，不等式332xx+−−的解集为1xx，合乎题意.综上所述，3a=.【点睛】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题.