【文档说明】山西省太原市第五中学2020届高三下学期4月模拟数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(26)页，2.254 MB，由小赞的店铺上传

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太原五中2019—2020学年度第二学期4月模拟考试（一）高三数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项.1.已知集合1|12xAx=，2|280Bxxx=−−，则AB=（）A.|20xx−B.

|24xxC.04xxD.|2xx−【答案】C【解析】因为{|0}Axx=，{|24}Bxx=−，所以{|04}ABxx=，应选答案C．2.若复数z1，z2在复平面内

对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数12zz在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数对应的点关于y轴对称得到22zi=−−，计算12zz可得对应点所处的象限．【详解】因为12,zz对应的点关

于y轴对称，故22zi=−−，()2122234255iziizi−−−−+===−−，故12zz对应点在第二象限，选B．【点睛】本题考察复数的几何意义和复数的除法，属于基础题．3.下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若2320

xx−+=，则2x=”的逆否命题为“若2x，则2320xx−+”；B.“2a=”是“函数()logafxx=在区间()0,+上为增函数”的充分不必要条件；C.若命题:,21000npnN，则:,21000npnN；D.命题“(),

0,23xxx−”是假命题.【答案】C【解析】对于A，命题“若2320xx−+=，则2x=”的逆否命题为“若2x，则2320xx−+”正确；对于B，只要1a时，函数()logafxx=在区间()0,+?上为增函数，故正确；对于C，若命题:,21000npnN，则:,2

1000npnN故错误；对于D，根据幂函数图象得“(),0x−时，23xx”，故正确，故选C.4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算

法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的,ab分别为675,125，则输出的a=（）A.0B.25C.50D.75【答案】B【解析】当675,125,100,125,100,abcaMODbab======此时100,c=否,12510025,1

00,25,cMODab====否,100250,25,0,0cMODabc=====是,输出25a=,选B.5.已知公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，且满足259,,aaa成等比数列，则5775SS=（）A.57B.79C.1011D.1123【答案】C【解析】【分析

】设na的公差为d，且0d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】解：设na的公差为d，且0d，因为2a，5a，9a成等比数列，可得2529aaa=

，即2111(4)()(8)adadad+=++，整理可得18ad=，故1553741775()7821025583117()2aaSaddSaddaa++====++．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数

列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】B【解析】【分析】求出甲获

得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【详解】由题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327++=，其中比赛进行了3局的概率为821212227333333+=，∴所求概率为820227

275=，故选B．【点睛】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题.7.已知函数()sin(0)fxx=,满足3()()44ff=,且在3[]44，内恰有一个最大值点和一个最小值点,则的值为(

)A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】由3()()44ff=,且在3[]44，内恰有一个最大值点和一个最小值点,由正弦函数图像性质可得其最小正周期为2,根据正弦函数最小正周期计算

公式2||T=,即可求得的值.【详解】函数()sin(0)fxx=由3()()44ff=,且在3[]44，内恰有一个最大值点和一个最小值点,正弦函数图像性质可得其最小正周期为2,根据正弦函数最小正周期计算公式

2||T=,可得4=故选:D.【点睛】本题考查了求正弦函数()sin(0)fxx=的值,掌握正弦函数图像和最小正周期公式是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8.某同学在参加

《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是（）A.2

B.4C.26D.46【答案】B【解析】【分析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可．【详解】解：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23，根据截面圆

的周长可得42r=，得2r=，故由题意知()22223Rr=+，即()22222316R=+=，所以4R=，故选：B．【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题．9.已知AB是圆22:(1)1Cxy−+=的直径，点P为直线10xy−

+=上任意一点，则PAPB的最小值是（）A.21−B.2C.0D.1【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以222||||21PAPBPCCAx=−=+，所以PAPB的最小值为1，故答案选D.考点：1

.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.10.已知直线()0ykxk=与双曲线()222210,0xyabab−=交于,AB两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为24a，

则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF的面积转化为FBF的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a与b的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F为双曲线的左焦点A

BQ为圆的直径90AFB=根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF为矩形12ABFAFBFFBFSSS==又2224tan45FBFbSba===，可得：225ca=25e=5e=本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构

造出关于,ac的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11.数列na满足11a=，1(1)(1)nnnanann+=+++，且2cos3=nnnba，记nS为数列nb的前n项和，则24S等于（）A.294B.174C.47

0D.304【答案】D【解析】【解析】由()()111nnnanann+=+++得111nnaann+=++,所以数列nan为等差数列，因此()22221,31,21111,,,32,2,33,nnnnnkkNannanbnnkkN

nnnkkN−=+=+−===−=+=+,因此31323313bbb9,2kkkkkN+++++=+,()2413901783042S=++++=,选D.点睛：本题采用分组转化法求和，即通过三个一组进行重新组合，将原数

列转化为一个等差数列.分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{2,nnnnan=为奇数为偶数）及符号型（如2(1)nnan=−）12.已知以4T=为周期的函数(){12,(1,1]1|2|,(1,3]fxmxxxx=−−−−，其中0m．若方程3()fxx=恰有5个实

数解，则实数m的取值范围为（）A.(153,83)B.(153,7)C.(43,83)D.(43,7)【答案】B【解析】【详解】因为当(1,1]x−时，将函数化为方程2221(y0)yxm+=，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x得图像，再根据周期性

作出函数其它部分的图像，由图易知直线3xy=与第二个椭圆222(4)1(y0)yxm−+=相交，而与第三个半椭圆222(8)1(y0)yxm−+=无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy=代入222(4)1(y0)yxm−+=得2222(91)721350,mxmxm+−+=

令29(0)tmt=，则有2(1)8150txtxt+−+=由2215(8)415(1)0,15,915,03ttttmmm=−+得由且得同样由3xy=与第三个半椭圆222(8)1(y0

)yxm−+=无交点，由可计算得7m综上知15(,7)3m．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()fx为奇函数，当0x时，()ln3fxxx=−，则()1f−的值为______.【答案】3【解析】【分析

】根据奇函数的性质计算可得；【详解】解：因为()fx为奇函数，当0x时，()ln3fxxx=−所以()()fxfx−=−，即()()11ff−=−，又()1ln133f=−=−所以()13f−=故答案为：3【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，属于

基础题.14.已知实数满足{2025020xyxyy−−+−−，则byx=的取值范围是【答案】【解析】如图画出的可行域如下：byx=的几何意义是可行域内的点与原点的斜率，由图可知过（1,2）有最大值，过（3,1）有最小值.所以byx=的取

值范围是15.二项式1(0,0)naxabbx+的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为________.【答案】8【解析】【分析】计算得到10n=，根据二项式定理得到1021

03231010233aaCCbb−−=，展开计算得到答案.【详解】展开式中只有第6项的二项式系数最大，故10n=，1(0,0)naxabbx+的展开式的通项为：()1010102110101rrrrrrrraTCaxCxbxb−−−+==

.故102103231010233aaCCbb−−=，化简得到8ab=.故答案为：8.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点F是线段1BC上的动点，则下列说法正确的是______（填序号）①无论点F在1

BC上怎么移动，都有11AFBD⊥；②无论点F在1BC上怎么移动，异面直线1AF与CD所成角都不可能是30；③当点F移动至1BC中点时，直线1AF与平面1BDC所成角最大；④当点F移动至1BC中点时，才有1AF与1BD相交于一

点，记为点E，且12AEEF=.【答案】①②③④【解析】【分析】推导出1BD⊥平面11ABC可判断命题①的正误；设正方体的棱长为2，求得1AF的取值范围，可求得异面直线1AF与CD所成角的余弦值的取值范围，进而可判断命题②的正误；利用

线面角的定义可判断命题③的正误；可知三棱锥111BABC−为正三棱锥，可得出点E为正11ABCV的中心，利用重心的性质可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，如下图所示，连接1AB、11AC、11BD，四边形1111DCBA为正方形，则

1111BDAC⊥，1DD⊥Q平面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，111ACDD⊥，1111BDDDD=，11AC⊥平面11BDD，111BDAC⊥，同理可得11BDAB⊥，1111AC

ABA=，1BD⊥平面11ABC，1AF平面11ABC，11AFBD⊥，命题①正确；对于命题②，过点F作FE⊥平面11AADD，垂足为点E，连接1AE，设正方体的棱长为2，则//EFCD且2EFCD==，所以，异面直线1AF与

CD所成角等于1AFE，易知11ABCV是边长为22的等边三角形，当点F在线段1BC上运动时，1622AF，1126cos,23EFAFEAE=且326,223，异面直线1AF与CD所成角都不可能是30，命题②正确；对于命题③，设点1A

到平面1BCD的距离为h，设直线1AF与平面1BCD所成的角为，当11AFCD⊥时，即当点F为1BC的中点时，1AF取最小值，此时1sinhAF=取最大值，即当点F移动至1BC中点时，直线1AF与平面1BDC所成角最大，命题③正确；

由①可知，1BD⊥平面11ACB，11111BBABBC==且1111ABACBC==，则三棱锥111BABC−为正三棱锥，则1BD与平面11ACB的唯一交点E为正11ABCV的中心，如下图所示：连接1AE并延长1AE交1BC于点F，则F为1BC的中点，且E为正11ABCV的重

心，由重心的性质可知12AEEF=，命题④正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查线线垂直的判断、异面直线所成角与线面角的计算，同时也考查了三角形重心性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA+=30，27a=，b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且A

DAC⊥，求△ABD的面积.【答案】（1）c=4（2）3【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得tanA，由此求得A的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得c.（2）先求得三角形ABD和三角形ACD的面积

比，再由三角形ABC的面积，求得三角形ABD的面积.【详解】（1）由已知可得tan3A=−，所以23A=.在△ABC中，由余弦定理得222844cos3cc=+−，即22240cc+−=，解得c=-6（舍去

），c=4.（2）由题设可得2CAD=，所以6BADBACCAD=−=.故△ABD与△ACD面积的比值为1sin26112ABADACAD=.又△ABC的面积为142sin232BAC=，所以△ABD的面积为3.【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.18.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°.（

1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为155，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）首先通过证明DE⊥平面BEF证得DEBF⊥.结合余弦定理和勾股定理证得FBEB⊥，由此

证得BF⊥平面BCDE，进而证得平面BFC⊥平面BCDE.（2）建立空间直角坐标系，由直线DF与平面BCDE所成角的正切值求得正弦值，结合直线DF的方向向量和平面BCDE的法向量列方程，解方程求得DE的长.由此通过平面EDF和平面DFC的法向量，计算出二面角EDFC−−的余弦值，进而求得

其正弦值.【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF2223EFEBEFEBcosFEB=+−=，∴EF2＝EB

2+BF2，∴FB⊥EB，由①②得BF⊥平面BCDE，∴平面BFC⊥平面BCDE.（2）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，3

），DF=（﹣1，﹣a，3），∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为155，∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为64，平面BCDE的法向量n=（0，0，1），∴|cosnDF＜，＞|23644nDFnDFa===+

，解得a＝2，∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴ED=（0，2，0），DF=（﹣1，﹣2，3），设平面EDF的法向量m=（x，y，z），则20230EDmyDFmxyz===−−+=，取z＝1，得m=（301，，），同理得平面DFC的一个

法向量p=（0，3，2），∴cos27727mpmpmp===＜，＞，∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin142177mp=−=＜，＞.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知圆()

221:14Cxy−+=，一动圆与直线12x=−相切且与圆C外切.（1）求动圆圆心P的轨迹T的方程；（2）若经过定点()6,0Q的直线l与曲线T交于AB、两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NANB⊥，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明

理由.【答案】(1)24yx=;(2)存在直线36180xy+−=或36180xy−−=，使得NANB⊥.【解析】试题分析：（1）本题用直接法求动点轨迹方程，设支点坐标为(,)xy，当然由已知分析，动点不能在y轴左侧，然后利用直线与圆相切和两圆外切的条件

列出方程，化简即可；（2）假设存在满足题意的直线，设出直线方程，分析发现直线的斜率为0时不合题意，从而设直线方程为6xmy=+，设()()1122,,,AxyBxy，直线方程与曲线方程联立方程组，消去变量x后得y的一元二次方程，由韦达定理得1212,yyyy+，设00(

,)Nxy，得0ym=，20xm=，由0NANB=求出m值，得直线方程，若不能求出实数m，则说明假设错误，不存在相应的直线.试题解析：（1）设(),Pxy，分析可知：动圆的圆心不能在y轴的左侧，故0x，∵动圆与直线12x=

−相切，且与圆C外切，∴1122PCx−+=，∴1PCx=+，∴()2211xyx−+=+，化简可得24yx=；（2）设()()1122,,,AxyBxy，由题意可知，当直线l与y轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l的方程为6xmy=+，联立6xmy=+和24

yx=并消去x，可得24240ymy−−=，显然216960m=+，由韦达定理可知12124{·24yymyy+==−，①又∵()()121266xxmymy+=+++，∴212412xxm+=+，②∵1212··44yyxx=，∴1

2·36xx=，③假设存在()00,Nxy，使得·0NANB=，由题意可知1202yyy+=，∴02ym=，④由N点在抛物线上可知2004yx=，即20xm=，⑤又()()10202020,,,NAxxyyNBxxyy=−−=−−，若·0NANB=，则()()

221201201201200xxxxxxyyyyyy−+++−++=，由①②③④⑤代入上式化简可得42316120mm+−=，即()()226?320mm+−=，∴223m=，故63m=，∴存在直线36180xy+−=或36180xy−−=，使得NANB

⊥．点睛：解答探索直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，主要有两个方向：（1）根据圆锥曲线的方程及性质直接进行解答；（2）通过假设存在，然后由此出发进行推，最后判断其推导结果是否合理．20.已知函数()emxfxx=.（1）若函数()fx的图象在点()()1,1f−−处的切线平行于x轴，

求函数()fx在22−,上的最小值；（2）若关于x的方程()1fxx=在()0,+上有两个解，求实数m的取值范围.【答案】（1）1e−；（2）2,0e−.【解析】【分析】（1）由题意得出()

10f−=可求得m的值，利用导数求得函数()yfx=的极值，结合函数()yfx=的单调性可得出该函数在区间22−,上的最小值；（2）由参变量分离法可知：直线2my=−与函数()lnxFxx=的图象有两个交点，利用导数分析函数()yFx=的单调性与极值，数形结合可得2m−的取值范围，进而可求

得实数m的取值范围.【详解】（1）()mxfxxe=Q，()mxmxfxemxe=+，由题意可得()10mmfeme−−−=−=，解得1m=.()xfxxe=，则()()1xfxxe=+，令()0fx=，解得1x=−.令()0fx

，解得1x−，此时函数()yfx=单调递增；令()0fx，解得1x−，此时函数()yfx=单调递减.所以，函数()yfx=在区间)2,1−−上单调递减，在区间(1,2−上单调递增，所以，当1x=−时，函数()yfx=取得极小值

即最小值，即()()1min11fxfee−=−=−=−；（2）()11mxfxxexx==在()0,+有两解，即lnlnxmxx+=−在()0,+有两解，ln2mxx−=.设()lnxFxx=，()21lnxFxx−=，令()

0Fx=，得xe=.当0xe时，()0Fx；当xe时，()0Fx.所以，函数()yFx=在()0,e上为增函数，在(),e+上为减函数.当0x→，()Fx→−；当x→+时，()0Fx→，()(

)max1FxFee==，如下图所示：由图象可知，当102me−时，即当20em−时，直线2my=−与函数()yFx=的图象有两个交点.因此，实数m的取值范围是2,0e−.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题

，考查数形结合思想以及参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）

是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液

是否为阳性，现有()*nnN份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中()*,2kkNk份血液样本分别取样混合在一起检验，若不是阳性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐

份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k+.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01pp.现取其中()*,2kkNk份血液样本，记采用逐份检验方式，样本

需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.（1）若()()12EE=，试求p关于k的函数关系式()pfk=；（2）若p与干扰素计量nx相关，其中()12,,,2nxxxn是不

同的正实数，满足11x=且()*2nNn都有122213221223121111nnnnxxxexxxxxxxx−−+++=−成立.（ⅰ）求证：数列nx为等比数列；（ⅱ）当3411px=−时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次

数的期望值更少，求k的最大值.（ln41.3863，ln51.6094）【答案】（1）()111kfkk=−；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）k的最大值为4.【解析】【分析】（1）由随机变量的概

率公式和数学期望，计算可得所求函数()fk的解析式；（2）（ⅰ）当2n=时可得132xe=，当2n时，可得1322122313111111nnnexxxxxxxe−++=−−，1322122311131111111nnnnnexxxxxxxx

xe−+++++=−−两式作差可得113nnxex+=即可得证；（ⅱ）运用（ⅰ）的结论和构造函数，求得导数和单调性，计算可得所求最大值.【详解】解：（1）由已知可得()1Ek=，2的所有取值为1，1k+，()()211kPp==−，()21Pk=+=()11kp−

−，()()()()()2111111kkkEpkpkkp=−++−−=+−−，由()()12EE=，可得()11kkkkp=+−−，即()11kpk−=，即111kpk−=，即111kpk=−，可得()111kfkk

=−，*kN，2k；（2）（ⅰ）证明：当2n=时，12222213221221xxxexxxx−=−，即1231xex=，由11x=，得132xe=，因为当2n时，1223212231311111nnnnxxexxxxxxe

−−++=−，所以1322122313111111nnnexxxxxxxe−++=−−，1322122311131111111nnnnnexxxxxxxxxe−++

+++=−−两式相减得132221131111nnnnexxxxe++=−−，()132211231nnnnexxxxe++=−−则111331nnnnxxeexx+−+−=−，可得113

nnxex+=，因为1231xex=，所以数列nx为等比数列，且13nnxe−=；（ⅱ）由（ⅰ）可知3341111pxe=−=−，()()12EE，可得()11kkkkp+−−，即()11kpk−=31ke，所以1ln3kk，设()1ln3f

xxx=−，0x，()33xfxx−=，当3x时，()0fx，()fx递减，又ln41.3863，41.33333，则4ln43；ln51.6094，51.66673，则5ln53，可得k的最大值为4.【点睛】本题考查随机变量的数学期望和等比数列的证明，等比数列的通项

公式的应用，考查函数的导数的运用，考查化简运算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中

，曲线1C的参数方程为1+cos1cos2sin1cosxy=−=−(为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0=(0(0,π))，将曲线1C向左平移2个单

位长度得到曲线C.（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，求11OAOB+的取值范围.【答案】（1）C的极坐标方程为22sin4cos80−−=，普通方程为24(2)yx=+；（2）12(,]22【解析】【分析】（1）根据三角

函数恒等变换可得22cos2sin2x=，2cos2sin2y=，可得曲线1C的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线C的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将0=代入曲线C的极坐标方程得2200sin4cos80

−−=，运用韦达定理可得201111sin2OAOB+=+，根据0(0,π)，可求得11OAOB+的范围；法二:设直线l的参数方程为cossinxtyt==(t为参数，为直线的倾斜角)，代入曲

线C的普通方程得22sin4cos80tt−−=，运用韦达定理可得21111sin2OAOB+=+，根据(0,π)，可求得11OAOB+的范围；【详解】（1）22222coscos1+cos221cos2sinsin22x===−，2

4sincos2cos2sin2221cos2sinsin22y===−2224cos24sin2yx==，即曲线1C的普通方程为24yx=，依题意得曲线C的普通方程为24(2)y

x=+，令cosx=，siny=得曲线C的极坐标方程为22sin4cos80−−=；（2）法一：将0=代入曲线C的极坐标方程得2200sin4cos80−−=，则012204cossin+=，12208sin=−，

120，12,异号202221200121220121212204cos32()sinsin()4111111sin82sinOAOB+−+−+=+====+，0(0,π)，0sin(0,1]，1112(,

]22OAOB+；法二:设直线l的参数方程为cossinxtyt==(t为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线C的普通方程得22sin4cos80tt−−=，则1224cossintt+=，1228sintt=−，120tt，12,tt异号222212

1212212121224cos32()()4sinsin111111sin82sinttttttOAOBtttttt+−+−+=+====+(0,π)，sin(0,1]，1112(,]

22OAOB+.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.[

选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2725fxxx=−+−.(1)解不等式()6fx；(2)设函数()fx的最小值为m，已知正实数a，b，且221max,abkabab+=++，证明：21km.【答案】(1

)39,,22−+；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)分类讨论去绝对值，解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可得()2fx，得2m=，由()22222112ababababab++=+++得221k，进而可证明.【详解】(1)不等式

()6fx，即为不等式27256xx−+−，当52x时，不等式可化为()()27256xx−−−−，解得32x≤；当5722x时，不等式可化为()()27256xx−−+−，即26，无解；当72x时，不等式可化为()()27256xx−+−，

解得92x.综上，不等式()6fx的解集是39,,22−+；(2)()()272527252fxxxxx=−+−−−−=，当且仅当()()27250xx−−时取等号，2m=.()22212abab++，22112ababab+++.221

max,0abkabab+=++，222112abkabab+++，221k，即21km.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查计算能力与分析能力，是中档题.