【文档说明】广东省佛山市南海区南海中学2022-2023学年高二下学期第一次阶段考（3月） 数学 答案.docx，共(20)页，1.863 MB，由小赞的店铺上传

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南海中学2022~2023学年度第二学期高二年级数学科第一次阶段考考试时间：2023年3月24日14：40－16：40命题人：周福隽审题人：胡文华本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120

分钟．注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目；2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上；3.非选择题必须用黑色字迹的钢或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不

按以上要求作答的答案无效．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列na中，12a=，1221nnaa+−=，则101a

的值为（）A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】【分析】由题判断出函数为等差数列，即可求出.【详解】由题意，数列na满足1221nnaa+−=，即112nnaa+−=，又由12a=，所以数列na为首项为2，公

差为12的等差数列，所以101111002100522aad=+=+=.故选：A．2.一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆22143yx+=的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（）A.22311616xy−=B.22311616yx−=C.22314

4yx−=D.223144xy−=【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程可确定焦点在y轴上且离心率12e=，从而得双曲线的焦点也在y轴上，离心率2e=，再结合离心率公式及所求双曲线的虚轴长为4，即可求得双曲线的方程.【详解】解：因为椭圆22

143yx+=的焦点在y轴上，离心率12e=，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率2e=，即2ca=，所以224ca=，又因为双曲线的虚轴长为4，即24b=，所以2b=，即22234caa−==，所以243a=，所以所求双曲线的方程为：223144yx−=.故选：C.3

.等比数列na的前n项和为nS，且14a，22a，3a成等差数列，若11a=，则4s=A.7B.8C.15D.16【答案】C【解析】【详解】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和

公式．考点：1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．4.已知数列{}na的通项公式为22nankn=++，若对于*Nn，数列{}na为递增数列，则实数k的取值范围为（）A.3k−B.2k−C.3k

−D.2k−【答案】C【解析】【分析】由1nnaa+可得(21)kn−+，再根据当*Nn时，()(21)fnn=−+单调性求解即可.【详解】因为数列{}na为递增数列，所以1nnaa+，即22(1)(1)22++++++nknnkn

，整理得：(21)kn−+，因为当*Nn时，()(21)fnn=−+单调递减，max()(1)(211)3fnf==−+=−，所以3k−.故选：C.5.已知函数()fx的图像如图所示，()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A.()()()()310132ffff−

B.()()()()310312ffff−C.()()()()310312ffff−D.()()()()310132ffff−【答案】B【解析】【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12ffff−的大小关系.【详解】由题图可知函

数()fx的图像在1x=处的切线的斜率比在3x=处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031ff.AB的斜率为()()3131ff−−，其比在1x=处的切线的斜率小，但比在3x=处的切线的斜率大，所以()()()()310312ffff−.故选:B6.在平行六面体

1111ABCDABCD−中，已知4AB=，3AD=，15AA=，90BAD=，1160BAADAA==，则1ACBD的值为（）A.10.5B.12.5C.22.5D.42.5【答案】A【解析】【分析】将1,,ABADAA作为基底，然后用基底表示出1,ACBD，再求其数量

积即可.【详解】由题意得ACABAD=+，111BAADDDABADAABD=++=−++，因为4AB=，3AD=，15AA=，90BAD=，1160BAADAA==，所以11()()ABADABADAACDAB=+−++2211

ABABADABAAABADADADAA=−++−++2211ABABAAADADAA=−+++1645cos60935cos60=−+++161097.5=−+++10.5=，故选：A7.我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均

分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月

还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为na元，则na=（）A.2192B.39128n−C.39208n−D.39288n−【答案】D【解析】【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出n个月

的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第n个月的还款金额为na元，则()2000480000120000.4%39288nann=+−−=−，故选：D8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一

次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16

，17，19…则这个数列中第2023个数是（）A.3978B.3980C.3982D.3984【答案】C【解析】【分析】由题意找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前n次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第n次的最后一个数为2n，据此即

可求解.【详解】由题意可得：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前n次共取了()11232nnn+++++=个数，且第n次的最后一个数为2n，当63n=时，636420162=，故到第63次取时取

了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为2633969=，∴64n=时，依次为3970,3972,3974,3976,3978,3980,3982,，∴第2023个数为3982.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果每次兑奖活动中奖概率都是0.05，且每次中奖互不影响，

则两次抽奖中（）A.都中奖的概率为0.05B.都没有中奖的概率为0.95C.恰有一次中奖的概率为0.095D.至少有一次中奖的概率为0.0975【答案】CD【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算可得.【详解】因为每次中奖互不影响，即相互独立，每次中奖的概率为0.

05，则不中奖的概率为10.050.95−=，则两次抽奖中，都中奖的概率为20.050.0025=，故A错误；两次抽奖中，都没有中奖的概率为()210.050.9025−=，故B错误；两次抽奖中，恰有一次中奖的概率为()()0.0510.0510.050.050.095−+−

=，故C正确；两次抽奖中，至少有一次中奖的概率为()2110.0510.90250.0975−−=−=，故D正确；故选：CD10.已知数列na满足3211nan=−，前n项的和为nS，关于na，nS叙述正确的是（）Ana有最小值B.nS有

最小值C.na有最大值D.nS有最大值【答案】ABC【解析】【分析】利用函数性质研究数列的性质，结合na，nS的单调性逐项分析判断.【详解】对于函数()3112112fxxx=−可知：()fx在1111,,,22−+上单调递减，且当11

2x时，()0fx；当112x时，()0fx.故对于数列3211nan=−可知：当*15,nnN，则12345133aaaaa−==−；当*6,nnN，则数列na为递减数列，且603naa=；故数列na有最大值63a=，

有最小值53a=−，A、C正确；又∵当*15,nnN，0na；当*6,nnN，0na；故当*15,nnN，则12345SSSSS；当*6,nnN，则51nnSSS+；故nS有最小值5S，B正确，D错误；故

选：ABC.11.设na是等差数列，nS是其前n项的和，且56SS，678SSS=，则下列结论正确的是（）A.0dB.70a=C.95SSD.6S与7S均为nS的最大值【答案】BD【解析】【分析】根据题意，由等差数列的性质分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，设等差

数列na的公差为d，依次分析选项：na是等差数列，若67SS=，则7670SSa−==，故B正确；.又由56SS得6560SSa−=，则有760daa=−，故A错误；而C选项，95SS，即67890aaaa

+++，可得()7820aa+，又由70a=且0d，则80a，必有780aa+，显然C选项是错误的.∵56SS，678SSS=，∴6S与7S均为nS的最大值，故D正确；故选：BD.12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是

最美的数列，斐波那契数列na满足：11a=，21a=，()*123,nnnaaannN−−=+.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为nS，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的

扇形面积为nc，则下列结论正确的是（）A.2111nnnnSaaa+++=+B.12321nnaaaaa+++++=−C.1352121nnaaaaa−++++=−D.()1214nnnnccaa−−

+−=【答案】ABD【解析】【分析】根据题中递推公式，求出nS，nc，数列的前n项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.【详解】对于A选项，因为斐波那契数列总满足()*123,nnnaaannN−−=+，所以2121aaa=，()22222312321aaaaaaaaaa==−=−，

()23333423432aaaaaaaaaa==−=−，类似的有，()21111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa+−+−==−=−，累加得22221231nnnaaaaaa+++++=，由题知222222112311211nnnnnnnnSaaaaaaaaaa

++++++=+++++==+，故选项A正确，对于B选项，因为11aa=，231aaa=−，342aaa=−，类似的有11nnnaaa+−=−，累加得123122++1nnnnaaaaaaaa++++=+−=−，故选项B正确，对于C选项，因为

11aa=，342aaa=−，564aaa=−，类似的有21222nnnaaa−−=−，累加得13211222++nnnaaaaaaa−+=+−=，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积24nnac=，故()()2222

111124444nnnnnnnnccaaaaaa+−−−−−=−=−=，故选项D正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.第II卷（非选择题共90分）三、

填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.从1，2，3，4，5这5个数字中有放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是___．【答案】925##0.36【解析】【分析】首先求出取一次取出奇数的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得.【

详解】从1，2，3，4，5这5个数字随机取一个数字是奇数的概率为35，则从1，2，3，4，5这5个数字中有放回地任取两数，则两数都是奇数的概率239525P==.故答案为：92514.已知函数()yfx=的图象在点()()5,5Pf处的切线方程是28yx=−+，则()()55ff+

=___．【答案】4−【解析】【分析】根据切点在切线上以及导数的几何意义求解即可.【详解】由已知得()52582f=−+=−，()52f=−，()()554ff+=−.故答案为：4−.15.已知函数()11fxx=+，则()()()()1111289=9

82fffffff++++++++___．【答案】172##8.5【解析】【分析】先计算得到()11fxfx+=，然后利用倒序相加法求和.【详解】()11fxx=+，()1111111111fxfxxxxx

x+=+=+=++++，设()()()()1111289982fffffffm++++++++=①，则()()()()1119981282fffffffm++++++++=②，①+②得()()

()()()()()11111982112898228ffffffffffff+++++++++++++

217m=，172m=.故答案为：172.16.无穷数列na满足：只要)(,Npqaapq+=，必有11pqaa++=，则na称为“和谐递进数列”．若na为“和谐递进数列”，且11a=，22a=，41a=，686aa+=，则8a=___，2022S=___.【答

案】①2②.4718【解析】【分析】根据所给定义列出数列的前几项，即可得到数列na是周期数列，且周期为3，从而求出8a、6a，再根据并项求和法计算可得.【详解】因为na为“和谐递进数列”，且11a=，22a=，41a=，即14aa=，则252aa==，36aa=

，471aa==，582aa==，L，3nnaa+=，所以数列na是周期数列，且周期为3，又686aa+=，所以64a=，则34a=，所以1231247aaa++=++=，且20223674=，所以()20221236744718Saaa=++=.故答案为：2；4

718四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列的前三项依次为a、4，3a，前n项和为nS，且110kS=．（1）求a及k的值；（2）设数列{nb}的通项公式为2nannba=+，求数列{nb}前n项和nT．【答

案】（1）2a=，10k=.（2）124433nnTnn+=+−+【解析】【分析】（1）设该等差数列为{an}，根据等差数列的前三项依次为,4,3,aa由a＋3a＝8，求得a，再利用等差数列前n项和的公式，由Sk＝110求解；（2）由（1）得到24n

nbn=+，进一步利用分组求和思想及等差数列、等比数列求和公式求解即可.【小问1详解】设该等差数列na，首项为1a，公差为d，则123,4,3aaaaa===,由已知有38aa+=，得12aa==，所以1232,4,6aaa===，.为所以公差2d=，所以()

()21112222kkkkkSkadkkk−−=+=+=+，由110kS=，得21100kk+−=，解得10k=或11k=−(舍去)，故2a=，10k=.【小问2详解】由（1）知，1(1)2naandn=+−=，所以22224

nnnbnn=+=+，所以212(2462)(444)nnnTbbbn=+++=++++++++12(22)4(14)4421433nnnnnn++−=+=+−+−.18.已知函数为()1fxx=．（1）函数()yf

x=在点P处的切线与直线45yx=−互相垂直，求点P的坐标；（2）过点(1,3)Q−作曲线()yfx=的切线，求此切线的方程．【答案】（1）12,2P或12,2P−−（2）96yx=−

−或2yx=−+【解析】【分析】（1）求导，然后设001,Pxx，利用()014fx=−求出0x，进而可得点P的坐标；（2）设切点1,xx，求出()fx，利用点斜式写出切线方程，代入点(1,3)Q−，求出x

，进而可得切线方程.【小问1详解】()1fxx=，()21fxx=−，设001,Pxx，函数()yfx=在点P处的切线与直线45yx=−互相垂直为()020114fxx=−=−，解得02x=，12,2P

或12,2P−−；【小问2详解】过点(1,3)Q−作曲线()yfx=的切线，设切点为1,xx，则()21fxx=−，切线方程为()221112yxxxxxxx−−+−=+=，代入点(1,3)Q−得2231xx+=，解得13x=−或1x=，即

切线方程为96yx=−−或2yx=−+.19.给定椭圆()2222:10xyCabab+=，称圆心在原点O、半径是22ab+的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为()2,0F，其短轴的一个端点到点F的距离为3．（1）求椭圆C和其“准圆”

的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BDx⊥轴，求ABAD的取值范围，【答案】（1）椭圆C的方程为2213xy+=，其“准圆”方程为224xy+=（2）)0,743+【解析】分析】（1）依题意可得2c=、3a

=，即可求出b，从而得解；（2）设(),Bmn则()(),33Dmnm−−，即可表示出AB、AD，再根据数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解：由题意知2c=，且223abc=+=，可得221bac=

−=，【故椭圆C的方程为2213xy+=，其“准圆”方程为224xy+=．【小问2详解】解：由题意，可设(),Bmn、()(),33Dmnm−−，则有2213mn+=，又A点坐标为()2,0，所以()2,ABmn=−，()2,ADmn=−−，所以()222224413

mABADmnmm=−−=−+−−2244343332mmm=−+=−，又33m−，所以)2430,74332m−+，所以ABAD的取值范围是)0,743+．20.如图，四边形ABCD是

圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，若4ACPC==，且,60ABADBAD==．（1）记圆柱的体积为1V，四棱锥P－ABCD的体积为2V，求12VV；（2）设点F在线段AP上，4PAPF=，求二面角FCDP−−的余弦值．【答案】（1）3π（2

）23913【解析】【分析】（1）根据题意利用柱体、锥体的体积公式运算求解；（2）建系，利用空间向量求二面角.【小问1详解】由题意可得：圆柱的底面半径2r=，高为4，则圆柱的体积214π216πV==；四棱锥P－ABCD的高为4，,ABCACD均为直角

三角形且全等，323ABBC==，则四棱锥P－ABCD的体积21116322324323V==；故1216π3π1633VV==.【小问2详解】如图，以底面圆心O为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,0,0,

1,3,0,2,0,4ACDP−−−，设点(),,Fabc，可得()()4,0,4,2,,4PAPFabc=−=+−uuruuur，∵4PAPF=uuruuur，则()()42440444abc+==−=−，解得103abc=−==，即()1,0,3F−，可得(

)()()1,3,0,0,0,4,1,0,3CDCPCF===uuuruuruuur，设平面PCD的法向量()111,,xnyz=，则1113040nCDxynCPz=+===，令13x=，则111,0yz=−=，

即()3,1,0n=−，设平面FCD的法向量()222,,mxyz=，则22223030nCDxynCFxz=+==+=，令13x=，则113,1yz=−=−，即()3,3,1m=−−ur，设二面角FCDP−−的平面角为π0,2，则

43239coscos,13213nmnmnm====rurrurrur，故二面角FCDP−−的余弦值23913.21.设数列na的前n项和为nS，满足()113,222nnaaann−==−+（1）证明：数列

nan−是等比数列，并求na；（2）数列nb满足2nnnab=，若12312564mbbbbm++++−，求实数m的最小值．【答案】（1）证明见解析，2nnan=+（2）8【解析】【分析】（1）由()1222nnaann−=−+可得()121nnanan−−=−−，即可证明

，再求出nan−的通项公式，即可求出na；（2）由（1）可得12nnbn=+，令2nnnc=，且数列{}nc前n项和为nT，利用错位相减法求出nT，则12312564mbbbbm++++−，即为23264mm+，

再令()22xxfx+=，()0,x+，利用导数说明函数的单调性，结合特殊点处的函数值，即可求出m的取值范围，即可得解.【小问1详解】13a=，()1222nnaann−=−+()121nnanan−−=−−，()122(1)nnannan−−=−−，数列na

n−是首项为112a−=，公比为2的等比数列，所以2nnan−=，则2nnan=+.【小问2详解】因为2nnnab=，所以21222nnnnnnabnn===++，令2nnnc=，且数列{}nc前n项和为nT，则1234123422222nnnT=+++++①，234111

2322222nnnT+=++++②，由①−②得12311111111111222112222222212nnnnnnnnnT+++−+=++++−=−=−−，则222nnnT+=−，所以123222mmmbbbbm+++++−=−，因为1

2312564mbbbbm++++−，所以21252264mm+−，即23264mm+，令()22xxfx+=，()0,x+，则()()1ln222xxfx−+=，当0x时22x+，则()2ln22ln2

ln41x+=，所以()0fx，即()fx在()0,+上单调递减，又()62683626464f+==、()7279637212812864f+===，()8285638212812864f+===，又m为正整数，所以当

8m时23264mm+，所以m的最小值为8.22.已知递增数列na的前n项和为nS，且满足211,441nnaSna=−+=，设11nnnbaa+=，*nN，且数列nb的前n项和为nT．（1）求证：数列na为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得222121mmmmma

aaaa++++−为整数；（3）若对任意的*Nn，不等式118(1)nnTn++−恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见证明（2）1或2（3）40−【解析】【分析】（1）由na与nS的关系及等差数列的定义即可证明；（2）由n

a的通项化简式子即可；（3）由裂项相消先求得nT，再分类讨论解不等式即可.【小问1详解】由题意可得()22114414411nnnnSnaSna++−+=−++=，两式相减化简得()2212nnaa+−=因为na是递增数列，故12nnaa

+−=，即12nnaa+−=，所以na是以1为首项，2为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()12121nann=+−=−，所以()()()()()22222212121212361212121mmmmmmmmaaaaa

mmm+++−++−++−==−−+−若要()222121Nmmmmmaaamaa++++−为整数，则需621m−为整数，故当211,3m−=，即1,2m=时上式为整数；故答案为：1或2.【小问3详解】由上得：21nan=−，则()()111111212122121nnnbaannnn+

===−−+−+所以1111111.....21335212121nnTnnn=−+−+−=−++原不等式可化为：()118121nnnn++−+当n为奇数时，上式等价于()()

()211818237Nnnnnnn++=++，根据基本不等式1823749nn++，当且仅当3n=时可取最小值，此时49；当n为偶数时，上式等价于()()()211818235Nnnnnnn+−=−−不难发现()18235Nynnn=−−在定义域上单调递增，故

18182352235402nn−−−−=−，此时40−综上40−故答案为：40−