【文档说明】福建省南安市柳城中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析【精准解析】.docx，共(16)页，118.985 KB，由小赞的店铺上传

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福建省南安市柳城中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题（共8题；共40分）1.设复数𝑧=(1−2𝑖)𝑖（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若向量𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=

(0,1)，𝑘𝑎⃗−𝑏⃗⃗与𝑎⃗−2𝑏⃗⃗共线，则实数k的值为（）A.-1B.−12C.1D.23.已知正三角形ABC的边长为√2，那么△𝐴𝐵𝐶的直观图△𝐴′𝐵′𝐶′的面积为（）A.√62B.√34C.√3D.√684.在△𝐴𝐵𝐶中，�

�=4√3，𝑏=12，𝐴=𝜋6，则此三角形（）A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2√6的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）A.4√5𝜋B.(8+6√3)𝜋C.10√3𝜋D.(10+4√5)𝜋6

.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A.−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+16𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−16𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高

为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（）A.17斛B.25斛C.41斛D.58斛8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知∠𝐴𝐷

𝐶=90°𝐴=60°，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=2√6，𝐷𝐶=4√3，则BC的长为（）A.4√3B.5C.6√5D.7二、多项选择题（共4题；共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数𝑧=1+𝑖1−𝑖（i为虚数单位），则𝑧30=−1B

.若复数z满足𝑧2∈𝑅，则𝑧∈𝑅C.若复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，则z为纯虚数的充要条件是𝑎=0D.若复数z满足|𝑧|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆1

0.已知𝛼，𝛽是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若𝑚∥𝑛，𝑚⊥𝛼，则𝑛⊥𝛼B.若𝑚∥𝛼，𝛼∩𝛽=𝑛，则𝑚∥𝑛C.若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，则𝛼∥𝛽D.若𝑚⊥𝛼，𝑚∥𝑛，𝑛⊥𝛽，则𝛼∥�

�11.下列结论正确的是（）A.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴>𝐵，则sin𝐴>sin𝐵B.在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，不等式𝑏2+𝑐2−𝑎2>0恒成立C.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐶=𝜋4，𝑎2−𝑐2=𝑏𝑐，则△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形D.在△𝐴𝐵�

�中，若𝑏=3，𝐴=60°，三角形面积𝑆=3√3，则三角形外接圆半径为√3312.在△𝐴𝐵𝐶中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗B.𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗C.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐷̅̅̅̅|，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

⃗在𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的投影向量D.若点P是线段AD上的动点，且满足𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆𝜇的最大值为18三、填空题（共4题；共20分）13.已知复数𝑧=3−𝑖1+𝑖（i为虚数单位），则|

𝑧̅|=________.14.已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗夹角为30°，|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=2√3，则|2𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=________.15.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(𝑎+𝑏+𝑐)(�

�+𝑏−𝑐)=3𝑎𝑏，且𝑎2=𝑏𝑐，则𝑏𝑎sin𝐴的值为________.16.已知一个高为√3的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2√3的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________.四、解答题（共6题；共7

0分）17.己知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗，𝑐⃗是同一平面内的三个向量，其中𝑎⃗=(1,−1)（Ⅰ）若|𝑐⃗|=3√2，且𝑐⃗∥𝑎⃗，求向量𝑐⃗的坐标；（Ⅱ）若𝑏⃗⃗是单位向量，且𝑎⃗⊥(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗)，求𝑎⃗

与𝑏⃗⃗的夹角𝜃.18.如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝑃𝐴⊥底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点.（1）求证：𝑀𝑁∥平面ABC；（2）求证：平面𝑃𝐶𝐵⊥平面PAC；（3）若𝑃𝐴=

𝐴𝐶=𝐶𝐵=2，求三棱锥𝑁−𝐴𝑀𝐶的体积19.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2𝐵+sin2𝐶=sin2𝐴+√2sin𝐵sin𝐶.（1）求角

A的大小；（2）若cos𝐵=13，𝑎=3求c的值.20.已知复数𝑧1=2sin𝐴sin𝐶+(𝑎+𝑐)𝑖，𝑧2=1+2cos𝐴cos𝐶+4𝑖，且𝑧1=𝑧2，其中A、B、C为△𝐴𝐵𝐶的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边.（

1）求角B的大小；（2）若𝑏=2√2，求△𝐴𝐵𝐶的面积.21.如图所示，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.（1）求AC与𝐴1𝐷所成角的大小；（2）求证：平面𝐴𝐶𝐵1⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1；（3）若E，F分别为AB，AD的中点，求EF

与平面𝐴𝐵1𝐶所成角的正切值.22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.（1）求证：𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗；（2）已

知𝐴(1,cos𝑥)，𝐵(1+cos𝑥,cos𝑥)，𝑥∈[0,𝜋2]，𝑓(𝑥)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−(2𝑚+23)|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|若𝑓(𝑥)的最小值为𝑔(𝑚)，求𝑔(�

�)的最大值.答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.设复数𝑧=(1−2𝑖)𝑖（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【考点】复数的代

数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】复数𝑧=(1−2𝑖)𝑖=2+𝑖，对应的点坐标为(2,1)，在第一象限.故答案为：A.【分析】先做复乘法，得到Z，再根据Z的坐标判断。2.若向量𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=(0,1)，𝑘𝑎⃗−𝑏⃗⃗与𝑎⃗−2

𝑏⃗⃗共线，则实数k的值为（）A.-1B.−12C.1D.2【答案】B【考点】向量的共线定理，平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】∵向量𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=(0,1)，∴𝑘𝑎⃗−𝑏⃗⃗=𝑘(1,2)−(0,1)=(𝑘,

2𝑘−1)，𝑎⃗+2𝑏⃗⃗=(1,2)+2(0,1)=(1,4)，又𝑘𝑎⃗−𝑏⃗⃗与𝑎⃗+2𝑏⃗⃗共线，∴4𝑘=2𝑘−1，解得𝑘=−12故答案为：B.【分析】先分别求出𝑘𝑎⃗−𝑏⃗⃗与𝑎⃗−2𝑏⃗⃗的

坐标式，然后根据两个向量共线的条件求解。3.已知正三角形ABC的边长为√2，那么△𝐴𝐵𝐶的直观图△𝐴′𝐵′𝐶′的面积为（）A.√62B.√34C.√3D.√68【答案】D【考点】平面图形的直观图【解析】【解答】如图，直观图△𝐴′𝐵′𝐶′的底边𝐴′𝐵′长度为

原图形的底边长，高为原图形的高CD的一半乘以√22，故其直观图面积为12×√2×√32×√2×12×√22=√68.故答案为：D【分析】先画出三角形ABC的直观图，再根据原图与直观图之间的数量关系，即可求得。4.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=4√3，𝑏=12，𝐴=𝜋6，则此三角形（）A

.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定【答案】B【考点】正弦定理【解析】【解答】∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=4√3，𝑏=12，𝐴=𝜋6，由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵得：sin𝐵=𝑏sin𝐴𝑎=

12×124√3=√32<1，又∵𝑎<𝑏，∴此三角形有两解.故答案为：B.【分析】先由正弦定理计算出sinB,再由b>a,可知，B有两上值，从而三角形有两解。5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2√6的同一个球的球面上，则圆柱的表

面积为（）A.4√5𝜋B.(8+6√3)𝜋C.10√3𝜋D.(10+4√5)𝜋【答案】D【考点】球的体积和表面积，球内接多面体【解析】【解答】由题得圆柱的底面圆的半径为√(√6)2−12=√5，所以圆柱的侧面积为2×𝜋×(√5)2+2𝜋×√5×2=

(10+4√5)𝜋.故答案为：D.【分析】先由勾股定理计算圆柱底面半径，进一步求解。6.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A.−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+16𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.14𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−16𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】C【考点】向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】∵∠𝑀𝐴𝑁=∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑀𝑁𝐴=∠𝐵𝑁�

�，∴△𝐴𝑁𝑀∽△𝐶𝑁𝐵∴𝐴𝑀𝐵𝐶=𝐴𝑁𝑁𝐶=12，∴𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−12𝐴𝐷⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−16𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.故答案为：C.【分析】由由平行四边形，得到△𝐴𝑁𝑀∽△𝐶𝑁𝐵，从而得出𝐴𝑀𝐵𝐶=𝐴𝑁𝑁𝐶=12，进一步根据向量的加减法得到答案。7.《九章算术》是我国古

代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米

堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（）A.17斛B.25斛C.41斛D.58斛【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：设圆

锥的底面半径为r，则𝜋2𝑟=10，解得𝑟=20𝜋，故米堆的体积为14×13×𝜋×(20𝜋)2×6=200𝜋≈2003，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴2003÷1.62≈41，故答案为：C.【分析】先求得圆锥底面半

径，然后求其体积，然后根据题意求解。8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知∠𝐴𝐷𝐶=90°𝐴=60°，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=2√6，𝐷𝐶=4√3，则BC的长为（）A.4√3B.5C.6√5D.7【答案】A【考点】正弦定理，余弦定理【解析】

【解答】解：在△𝐴𝐵𝐷中，由正弦定理可得𝐵𝐷sin𝐴=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐷𝐵，即2√6sin60°=2sin∠𝐴𝐷𝐵，所以sin∠𝐴𝐷𝐵=√24，又因为∠𝐴𝐷𝐶=90°，所以cos

∠𝐵𝐷𝐶=cos(90°−∠𝐴𝐷𝐵)=sin∠𝐴𝐷𝐵=√24在△𝐶𝐵𝐷中，由余弦定理可得𝐵𝐶2=𝐷𝐶2+𝐵𝐷2−2𝐷𝐶⋅𝐵𝐷cos∠𝐵𝐷𝐶即𝐵𝐶2=(4√3)2+(2√6)2−2×4√3×2√6×√24所

以𝐵𝐶=4√3，故答案为：A.【分析】先在△𝐴𝐵𝐷由正弦定理求出sin∠𝐴𝐷𝐵=√24，进一步得到cos∠𝐵𝐷𝐶＝√24，最后由余弦定理求得结果。二、多项选择题（共4题；共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数𝑧=1+𝑖1−𝑖（i为虚数单位），则𝑧3

0=−1B.若复数z满足𝑧2∈𝑅，则𝑧∈𝑅C.若复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，则z为纯虚数的充要条件是𝑎=0D.若复数z满足|𝑧|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆【答案】A,D【考点

】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】解：对于A：𝑧=1+𝑖1−𝑖=(1+𝑖)2(1−𝑖)(1+𝑖)=𝑖，𝑖2=−1，𝑖4=1，所以𝑧30=𝑖30=𝑖4×7+2

=𝑖2=−1，A符合题意；对于B：设𝑧=𝑎+𝑏𝑖，𝑎,𝑏∈𝑅，所以𝑧2=(𝑎+𝑏𝑖)2=𝑎2−𝑏2+2𝑎𝑏𝑖，若𝑧2∈𝑅，则2𝑎𝑏=0，则𝑎=0,𝑏≠0或𝑏=0,𝑎≠0或𝑎=𝑏=0，当𝑏=0时𝑧∈𝑅，B不符合题意；复数𝑧=𝑎

+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，则z为纯虚数的充要条件是𝑎=0且𝑏≠0，C不符合题意；若复数z满足|𝑧|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，D符合题意；故答案为：AD【分析】根据题意选项A先化简.复数𝑧=1+𝑖1−�

�’根据复数的周期性及其运算法则即可得出z30，即可判断出正误.选项B举例𝑧=𝑖即可判断出正误.选项C.复数z=a+bi(a，bER)，则z为纯虚数的充要条件是𝑎=0,𝑏≠0，即可判断出正误.D.根据复数的几何意义即可判断出正误.10.已知𝛼，𝛽是两个不重合的平面，m，n

是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若𝑚∥𝑛，𝑚⊥𝛼，则𝑛⊥𝛼B.若𝑚∥𝛼，𝛼∩𝛽=𝑛，则𝑚∥𝑛C.若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，则𝛼∥𝛽D.若𝑚⊥𝛼，𝑚∥𝑛，𝑛⊥𝛽，则𝛼∥𝛽【答案】

A,C,D【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】解：若𝑚⊥𝛼，则𝑎,𝑏⊂𝛼且𝑎∩𝑏=𝑃使得𝑚⊥𝑎，𝑚⊥𝑏，又𝑚∥𝑛，则𝑛⊥

𝑎，𝑛⊥𝑏，由线面垂直的判定定理得𝑛⊥𝛼，A对；若𝑚∥𝛼，𝛼∩𝛽=𝑛如图，设𝑚=𝐴𝐵，平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1为平面𝛼，𝑚∥𝛼，设平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1为平面𝛽，𝛼∩𝛽=𝐴1𝐷1=𝑛，则𝑚⊥𝑛，B不符合题意；垂直于同

一条直线的两个平面平行，C对；若𝑚⊥𝛼，𝑚∥𝑛，则𝑛⊥𝛼，又𝑛⊥𝛽，则𝛼∥𝛽，D对；故答案为：ACD.【分析】对于A，根据直线垂直平等的性质，显然有𝑛⊥𝛼，所以A正确；对于B，平行于平面的直

线，不一定平等于平面内的任意直线，所以B错；对于C，根据同平行于一条直线的两个平面平行，所以C正确；对于D，同垂直于两条平行直线的两个平面，一定是平行的，所以D正确。11.下列结论正确的是（）A.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴>𝐵，则sin𝐴>sin�

�B.在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，不等式𝑏2+𝑐2−𝑎2>0恒成立C.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐶=𝜋4，𝑎2−𝑐2=𝑏𝑐，则△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形D.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑏=3，𝐴=60°，三角形面积𝑆=3√3，则三角形外接圆半径为√33【答案】A,B,C【考点

】解三角形，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】对A，在△𝐴𝐵𝐶中，由𝐴>𝐵⇒𝑎>𝑏⇒2𝑅sin𝐴>2𝑅sin𝐵⇒sin𝐴>sin𝐵，A符合题意.对B，若𝑏2+𝑐2−𝑎2>0，则cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐>0，又因为0<𝐴<𝜋，所

以𝐴为锐角，符合△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，B符合题意.对C，𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝜋4，整理得：𝑐2=𝑎2+𝑏2−√2𝑎𝑏.因为𝑎2−𝑐2=𝑏𝑐，所以𝑏𝑐+𝑏2−√2𝑎𝑏=0

，即𝑏+𝑐=√2𝑎.所以sin𝐵+sin𝜋4=√2sin𝐴，即sin𝐵+√22=√2sin(𝐵+𝜋4)，sin𝐵+√22=√2(sin𝐵cos𝜋4+cos𝐵sin𝜋4)=sin𝐵+cos𝐵，即cos𝐵=√22，又0<𝐵<𝜋，所以𝐵=𝜋4.故�

�=𝜋−𝜋4−𝜋4=𝜋2，则△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，C符合题意.对D，𝑆=12𝑏𝑐sin𝐴=12×3×𝑐×√32=3√3，解得𝑐=4.𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴=9+

16−2×3×4×12=13，所以𝑎=√13.又因为√13sin60∘=√13×2√3=2√393=2𝑅，𝑅=√393，D不符合题意.故答案为：ABC【分析】根据题意①直接利用正弦定理求出结果．②直接利用余弦定理求出结果．③直接利用余弦定理和关系式的变换求出结果．④直接

利用三角形的面积公式的应用和三角形的边角关系的应用求出结果，从而得出答案。12.在△𝐴𝐵𝐶中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗B.𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗C.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐷̅̅̅̅|，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗在𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的投影向量D.

若点P是线段AD上的动点，且满足𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆𝜇的最大值为18【答案】B,C,D【考点】向量的加法及其几何意义，平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】如图所示：对A，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗≠0⃗⃗，A不符合题意.对B，𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−12(

𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，B符合题意.对C，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别

表示平行于𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的单位向量，由平面向量加法可知：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|为∠𝐵𝐴𝐶的平分线表

示的向量.因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以AD为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，又因为AD为BC的中线，所以𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，如图所示：𝐵𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗⃗在𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的投影为|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝐵=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗在𝐵𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗⃗的投影向量，C符合题意.对D，如图所示：因为P在AD上，即A，P，D三点共线，设𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−𝑡)𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，0≤𝑡≤1.又因为𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−𝑡)2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则{𝜆=𝑡𝜇=1−𝑡2，0≤𝑡≤1.令

𝑦=𝑙𝑚=𝑡⋅1−𝑡2−12(𝑡−12)2+18，当𝑡=12时，𝜆𝜇取得最大值为18.D符合题意.故答案为：BCD【分析】对于A，根据平行四边形法则，𝐴𝐵⇀+𝐴𝐶⇀＝2𝐴𝐷⇀,故A错；对于B，由三角形法则，及向量的加法与数乘，可以推出

，B正确；对于C，首先由邻边相等的平行四边形是菱形，得到AD是角平分线，得到AD与垂直，再四投影的概念，得到结果正确；对于D,根据A，P，D三点共线，建立向量关系式，然后由二次函数的知识，得到结果正确。三、填空题（共4题；共20分）13.已知复数𝑧=3−𝑖1+𝑖（i为虚数

单位），则|𝑧̅|=________.【答案】√5【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】𝑧=3−𝑖1+𝑖=(3−𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=3−3𝑖−𝑖+𝑖22=2−4𝑖2=1−2𝑖，𝑧̅=1+2𝑖，|𝑧̅|=√12+

22=√5.故答案为：√5.【分析】先做复数除法，化简Z，再求模。14.已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗夹角为30°，|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=2√3，则|2𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=________.【答案】2√13【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】因为向量𝑎⃗，𝑏

⃗⃗，夹角为30°，|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=2√3所以|2𝑎⃗+𝑏⃗⃗|2=4𝑎⃗2+4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+𝑏⃗⃗2=4×4+4×2×2√3×√32+12=52，所以|2𝑎⃗+𝑏⃗⃗|2=2√13.故答案为：2√13.

【分析】将|2𝑎→+𝑏→|化为|2𝑎→+𝑏→|=√（2𝑎→+𝑏⇀）2,然后再由模及夹角就可以求解。15.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏−𝑐)=3𝑎𝑏，且𝑎2=𝑏𝑐，则𝑏

𝑎sin𝐴的值为________.【答案】2√33【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【解答】∵(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏−𝑐)=3𝑎𝑏，∴𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏，∴cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏

=12，由𝐶∈(0,𝜋)可得𝐶=𝜋3，又𝑎2=𝑏𝑐，∴𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐶，∴𝑏𝑎sin𝐴=1sin𝐶=1sin𝜋3=1√32=2√33.故答案为：2√33.【分析】先由余弦定理求出角𝐶=𝜋3，再由正弦定理求解。16.已知一个高为√3的三棱锥，各侧棱

长都相等，底面是边长为2√3的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________.【答案】9√3；4√3𝜋27【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】由题意，三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶如图所示：

取BC的中点E，连接AE、PE，由正三角形的性质可得△𝐴𝐵𝐶的中心O在线段AE上，且𝑂𝐸=13𝐴𝐸=√33𝐶𝐸=1，连接PO，则PO即为该三棱锥的高，即𝑃𝑂=√3，所以𝑃𝐸=√𝑂𝐸2+𝑃𝑂2=2，又𝑃𝐵=𝑃𝐶，所以𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，所以𝑆△𝑃

𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝑃𝐸=2√3，又𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=3√3，所以三棱锥的表面积𝑆=𝑆△𝐴𝐵𝐶+3𝑆△𝑃𝐵𝐶=3√3+3×2√3=9√3；所以该三棱锥的体积𝑉1=13𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝑃

𝑂=13×3√3×√3=3，当球与三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶内切时，体积最大，设三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的内切球的半径为R，则𝑉1=13(𝑆△𝐴𝐵𝐶+3𝑆△𝑃𝐵𝐶)⋅𝑅=13×9√3⋅𝑅=3，解得𝑅=√3

3，则𝑉max=43𝜋𝑅3=43𝜋⋅(√33)3=4√3𝜋27.故答案为9√3；4√3𝜋27.【分析】显然，当球与三棱锥内切时，体积最大，然后根据题意此棱锥是一个正三棱锥，不难求出其高，进而求得体积。四、解答题（共6题；共70

分）17.己知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗，𝑐⃗是同一平面内的三个向量，其中𝑎⃗=(1,−1)（Ⅰ）若|𝑐⃗|=3√2，且𝑐⃗∥𝑎⃗，求向量𝑐⃗的坐标；（Ⅱ）若𝑏⃗⃗是单位向量，且𝑎⃗⊥(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗)，求𝑎

⃗与𝑏⃗⃗的夹角𝜃.【答案】（Ⅰ）设𝑐⃗=(𝑥,𝑦)，由|𝑐⃗|=3√2，且𝑐⃗∥𝑎⃗可得{𝑦+𝑥=0𝑥2+𝑦2=18，所以{𝑥=−3𝑦=3或{𝑥=3𝑦=−3，故𝑐⃗=(−3,3)，或𝑐⃗=(3,−3)（Ⅱ）因为|𝑎⃗|=

√2，且𝑎⃗⊥(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗)，所以𝑎⃗⋅(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗=0)，即𝑎⃗2−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=0，所以2−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=0，𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=1，故cos𝜃=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗|⋅|

𝑏⃗⃗|=√22，𝜃=𝜋4.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【分析】（1）由𝑐⇀的模及与向量𝑎⇀平行，由平行向量的关系，求得𝑐⇀的坐标；（2）先设出𝑏⇀的坐标式，由其模为1及

𝑎⃗⊥(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗)这一条件，即以求了𝑏⇀，再求𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角。18.如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝑃𝐴⊥底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点.（1）求证：𝑀𝑁∥平面ABC；（2）求证：平面𝑃𝐶𝐵⊥平面PA

C；（3）若𝑃𝐴=𝐴𝐶=𝐶𝐵=2，求三棱锥𝑁−𝐴𝑀𝐶的体积【答案】（1）证明：M，N分别为PB，PC的中点，所以𝑀𝑁∥𝐵𝐶，𝐵𝐶⊂平面ABC，𝑀𝑁⊄平面ABC，所以𝑀𝑁∥平面ABC；（2）𝑃𝐴⊥底面ABC，�

�𝐶⊂平面ABC，所以𝑃𝐴⊥𝐵𝐶，因为∠𝐴𝐶𝐵=90°，所以𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，又𝑃𝐴∩𝐴𝐶=𝐴，所以𝐵𝐶⊥平面PAC，𝐵𝐶⊂平面ABC，所以平面𝑃𝐶𝐵⊥平面PAC；（3）由（2）知，𝑀𝑁∥𝐵𝐶，𝐵𝐶⊥平面PAC，所以�

�𝑁⊥平面PAC，𝑀𝑁=12𝐵𝐶=1，在三角形PAC中，𝐴𝑁=√2，𝑁𝐶=√2，𝑆△𝐴𝑁𝐶=12×𝐴𝑁×𝑁𝐶=1，所以𝑉𝑁−𝐴𝑀𝐶=𝑉𝑀−𝐴𝑁𝐶=13×𝑆△𝐴𝑁�

�×𝑀𝑁=13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）利用MN是三角形的中位线，得到MN||BC，进面得到MN||平面ABC；（2）由题意知道可以推出BC⊥平面PAC，从而有MN⊥平面ACP，进一步得到平面𝑃

𝐶𝐵⊥平面PAC。19.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2𝐵+sin2𝐶=sin2𝐴+√2sin𝐵sin𝐶.（1）求角A的大小；（2）若cos𝐵=13，𝑎=3求c的值.【答案】（1）解：由正弦定理可得𝑏2+𝑐2=𝑎2+√2𝑏�

�，由余弦定理得os𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=√22，因为𝐴∈(0,𝜋)，所以𝐴=𝜋4；（2）由（1）可知sin𝐴=√22，因为cos𝐵=13，B为△𝐴𝐵𝐶的内角，所以sin𝐵=2√23，故sin𝐶=

sin[𝜋−(𝐴+𝐵)]=sin(𝐴+𝐵)=sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵=√22×13+√22×2√23=4+√26，由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶得𝑐=𝑎sin𝐶

sin𝐴=3×4+√26√22=2√2+1.【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由正弦定理与余弦定理求得A＝𝐴=𝜋4；（2）由cosB的值，求出sinB的值，由三角形内角和定理及诱导公式，求出sinC,再由正弦定理求得c的值。20.已知复数

𝑧1=2sin𝐴sin𝐶+(𝑎+𝑐)𝑖，𝑧2=1+2cos𝐴cos𝐶+4𝑖，且𝑧1=𝑧2，其中A、B、C为△𝐴𝐵𝐶的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边.（1）求角B的大小；（2）若𝑏=2√2，求△𝐴𝐵𝐶的面积.【答案】（1）∵𝑧1=𝑧2，∴2

sin𝐴sin𝐶=1+2cos𝐴cos𝐶①，𝑎+𝑐=4②，由①得2(cos𝐴cos𝐶−sin𝐴sin𝐶)=−1，即cos(𝐴+𝐶)=cos(𝜋−𝐵)=−cos𝐵=−12，∵cos𝐵=12，∵0<𝐵<𝜋，∴𝐵=𝜋3；（2）∵

𝑏=2√2，由余弦定理得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵，即𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=8，④由②得𝑎2+𝑐2+2𝑎𝑐=16⑤，由④⑤得𝑎𝑐=83，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12

×83×√32=2√33.【考点】复数的基本概念，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）由向量相等建立关系式，进一步求得𝐵=𝜋3；（2）由（1）有𝑎+𝑐=4，再由余弦定理建立关系式：𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=8，配方(𝑎+𝑐)2

−3𝑎𝑐=8，进一步得到得𝑎𝑐=83，利用面积公式得到结果。21.如图所示，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.（1）求AC与𝐴1𝐷所成角的大小；（2）求证：平面𝐴𝐶𝐵1⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1；（3）若E

，F分别为AB，AD的中点，求EF与平面𝐴𝐵1𝐶所成角的正切值.【答案】（1）解：如图所示，连接𝐵1𝐶，𝐴𝐵1，由𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是正方体，易知𝐴𝐷∥𝐵𝐶，从而𝐵1𝐶与AC所成的角就是AC与𝐴1𝐷所成的

角，∵𝐴𝐵1=𝐴𝐶=𝐵1𝐶，∴∠𝐵1𝐶𝐴=60°，即𝐴1𝐷与AC所成的角为60°.（2）连接BD与AC交于点O，因为𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵1𝐵，且𝐵𝐷∩𝐵1𝐵=𝐵，所以𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，所以平面𝐴𝐶𝐵1⊥平面𝐵

𝐷𝐷1𝐵1，（3）在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴𝐸𝐹∥𝐵𝐷，所以EF与平面𝐴𝐵1𝐶所成角即等于BD与平面𝐴𝐵1𝐶所成角，连接𝐵1𝑂，所以𝐵1𝑂即为BO在平面𝐴𝐶𝐵1的射影所在的线段；∠𝐵1�

�𝐵即为BO与平面𝐴𝐶𝐵1所成的角，设该正方体边长为2，得𝑂𝐵=√2，𝐵1𝐵=2，tan∠𝐵1𝑂𝐵=√2，所以EF与平面𝐴𝐵1𝐶所成角的正切值为√2.【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面垂

直的判定，直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）连接𝐵1𝐶，𝐴𝐵1，由A1D||B1C,而三角形ACB1是正三角形，得到结果；（2）通过证明𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1即可。22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.（1）求证：𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗；（2）已知𝐴(1,cos𝑥)，𝐵(1+cos𝑥,cos𝑥)，𝑥∈[0,𝜋2]，𝑓(𝑥)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−(2𝑚+23)|�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|若𝑓(𝑥)的最小值为𝑔(𝑚)，求𝑔(𝑚)的最大值.【答案】（1）由题意知A，B，C三点满足𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，可得𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗即𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗（2）由题意，函数

𝑓(𝑥)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗•𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−(2𝑚+23)|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1+23cos𝑥+cos2𝑥−(2𝑚+23)cos𝑥=(cos𝑥−𝑚)2+1−𝑚2因𝑥∈[0,𝜋

2]，所以cos𝑥∈[0,1]当𝑚<0时，𝑓(𝑥)取得最小值𝑔(𝑚)=1，当0≤𝑚≤1时，当cos𝑥=𝑚时，𝑓(𝑥)取得最小值𝑔(𝑚)=1−𝑚2，当𝑚>1时，当cos𝑥=1时

，𝑓(𝑥)取得最小值𝑔(𝑚)=2−2𝑚，综上所述，𝑔(𝑚)={1𝑚<01−𝑚20≤𝑚≤12−2𝑚𝑚>1，可得函数𝑔(𝑚)的最大值为1，即𝑔(𝑚)的最大值为1.【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示，复合三角函数的

单调性，三角函数的最值【解析】【分析】（1）由条件可以得到𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐶→||𝐶𝐵→;(2)先求得𝑓(𝑥)=1+23cos𝑥+cos2𝑥−(2𝑚+23)cos𝑥=(cos𝑥−𝑚)2+1−𝑚2然后

对m分类讨论，根据cosx的值域，即可求得结果。