【文档说明】上海市虹口区2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学试题 含答案.doc，共(9)页，850.000 KB，由小赞的店铺上传

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虹口区2020学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2021.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知集合RxyyAx==,10，

212==xxyyB，，则=BA．2．=+−→1313limnnn_____________.3．在6)1(xx+的二项展开式中，常数项是．4．某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的

概率等于．5．给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其

中所有正确命题的序号为．6．已知P为抛物线)0(2:2=ppxyC上一点，点P到抛物线C的焦点的距离为7，到y轴的距离为5，则=p．7．若cossink=，则cossin的值等于（用k表示）．8．设函数)(xf的定义域为

D.若对于D内的任意1x,2x)(21xx，都有0)]()()[(1212−−xfxfxx，则称函数)(xf为“Z函数”.有下列函数：①1)(=xf；②12)(+−=xxf；③3)(xxf=；④xxflg)(=.其中“Z函数”的序号是（写出所有的正确序号）

9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18(3cm)．若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积等于________(3cm).10．在平面直角坐标系xOy中，定义),(11yxA，),(22yxB两点的折线距

离2121),(yyxxBAd−+−=.设点),(22nmP，),(nmQ，)0,0(O，)0,2(C，若1),(=OPd，则),(CQd的取值范围．11．已知MN为圆122=+yx的一条直径，点),(yxP的坐标满足不等式组+++−201

0302yyxyx，则PNPM的取值范围是．12．在数列na中，对任意Nn，kan=，当且仅当Nknkk+,221，若满足5216842++++mmmmmaaaaa，则m的最小值为_______.二．选择题（每小题5分，满分20分）13．双曲线1322=−yx的两条渐近线

的夹角的大小等于……………………（）.A6.B3.C32.D6514．已知函数)2sin(2)(+=xxf，则“2=”是“)(xf为偶函数”的（）条件.A充分非必要条件.B必要非充分条件.C充要条件.D既非充分也非必要条件15．复数z满足1=z，且使得关于x的

方程02=++zxzx有实根，则这样的复数z的个数为…………（）.A1个.B2个.C3个.D4个16．在平面上，已知定点)0,2(A，动点)cos,(sinP．当在区间−4,4上变化时，动线段AP

所形成图形的面积为……………………（）．.A42−.B33−.C6.D4三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）在三棱锥ABCP−中，22====ACPCPBPA，2==BCBA，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点．（1）求证：⊥P

O平面ABC；（2）求直线PM与平面PBO所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）设0a且1a，Rt，已知函数)2(log2)(),1(log)(txxgxxfaa+=+=．（1）当1−=t时，求不等式)()(

xgxf的解；（2）若函数12)(2)(+−+=ttxaxFxf在区间(2,1−上有零点，求t的取值范围．19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中2=ACB，6=ABC，AC长a千

米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设=DEC.（1）若3=，求DEF的边长；（2）当多大时，DEF的边长最小？并求出最小值.20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知椭圆C的方程

为1222=+yx.（1）设),(MMyxM是椭圆C上的点，证明：直线12=+yyxxMM与椭圆C有且只有一个公共点；（2）过点)21(，N作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B，点N在直线AB上的射

影为点Q，求点Q的坐标；（3）互相垂直的两条直线1l与2l相交于点P，且1l、2l都与椭圆C只有一个公共点，求点P的轨迹方程．21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.若数列na满足“对任意正整数i，j，ji，都存在正整数k，使得jikaaa=”

，则称数列na具有“性质P”．（1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列na具有“性质P”，求首项1a的值；（3）若首项21=a的无穷等差数列na具有“性质P”，求公差d的值.虹口区2020学年度第二学期期中学生学习能力

诊断测试高三数学试题答案一.填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1.4,1；2.1；3.20；4.76；5.②③；6.4；7.21kk+；8.③④；9.3728；10.]22,1[+；11

.19,1；12.512；二.选择题（每小题5分，满分20分）13.B；14.A；15.C；16.D；三.解答题（本大题满分76分）17.（14分）解:（1）由2==BCBA，22=AC，有222BABCAC+=，从而有2ABC=，BOAC⊥且2BO=.…

………………………3分又PAC是边长等于22的等边三角形，ACPO⊥，6PO=.又22PB=，从而有222PBPOBO=+，2POB=，BOPO⊥.又OBOAC=，⊥PO平面ABC.………7分（2）过点M

作BOMN⊥交BO于点N，连PN.由（1）知⊥PO平面ABC，得POMN⊥，又BOMN⊥，⊥MN平面ABC，MPN是直线PM与平面PBO所成的角.………………10分由（1）证BOAC⊥，从而N为线段BO的中点，224121===ACOCMN，71)22(222=−=−=MCPCPM，14

14722sin===PMMNMPN，1414arcsin=MPN.所以直线PM与平面PBO所成的角的大小等于1414arcsin.……………………14分注：用空间向量解答的相应给分18.（14分）解：(1)1−=t，不等式

)()(xgxf可化为)12(log2)1(log−+xxaa若10a，则−−+012)12(12xxx，解得4521x，不等式)()(xgxf的解集为4521，.若1a，则−−+012)12(102xxx，解得45x，

不等式)()(xgxf的解集为+,45.综上所述：10a，)()(xgxf的解集为4521，；1a，)()(xgxf的解集为+,45.…7分（2）2212112)(222)

(+−+=+−++=+−+=txtxttxxttxaxFxf.…………8分令0222=+−+txtx，即)2()2(2+−=−xxt，∵(2,1−x，∴(4,12+x，∴02,02−xt；∴4]22)2[(2212++++−=+−−=xxxxt.……………………11分设(4,12+

=xm，4)2(2212++−=+−−=mmxxt，得：224100121−−tt或，解得4222+−tt或.……………………………………14分19.（14分）解：（1）设DEF的边长为x千米.

由3=，得xCE21=，xaAE21−=.在AEF中，33=−−=FEA，3=A，AEF为等边三角，得xaxAE21−==,解得ax32=.所以DEF的边长等于a32千米.………

………6分（2）设DEF的边长为x千米.cosxCE=，cosxaAE−=……8分在AEF中，−=32FEA，3=A，=EFA，sincos3sinxax−=，解得)23arctansin(73)cos73sin72(73cos3sin23+=+=+=

aaax，当223arctan=+，23arctan2−=时，72173minaax==.………………13分所以当23arctan2−=时，DEF的边长取得最小值为721a千米.……14分20.（16分）解：解：（1）当0=My时，2=Mx，直线12=+

yyxxMM即直线2=x，与椭圆C只有一个公共点.当0My时，由=+=+121222yxyyxxMM得011)42122222=−+−+MMMMMyxyxxyx（，2222224222)11

)(421(4MMMMMMMMyxyyyxyx++−=−+−=，又1222=+MMyx，有0=，从而方程组只有一组解，直线12=+yyxxMM与椭圆C的有且只有一个公共点.…………4分（2）设),(11yxA，),(22yxB.则两条直线为1211=+yyxx，1222=

+yyxx，又)21(，N是它们的交点，12211=+yx，12222=+yx，从而有),(11yxA，),(22yxB的坐标满足直线方程122=+yx，所以直线AB：122=+yx.………………8分直线NQ的方程为)1(222−=−xy，由−=−=+)1(22212

2xyyx解得==3232yx，即)32,32(Q，………………10分由=+−=−12)1(222yxxky得02)2(2)2(4)12(222=−−+−++kxkkxk，由0=，得01222=−+kk，得32−=k，……，相应的给分）（3）设),(

00yxP.当直线1l与2l有一条斜率不存在时，)1,2(P，32020=+yx.…………11分当直线1l与2l的斜率都存在时，设为1k和2k，由=+−=−12)(2200yxxxkyy得0)12(2)(

4)21(00202020022=−−++−++ykxyxkxkxykxk，由0)12(2)21(4)](4[00202022200=−−++−−=ykxyxkkkxyk，整理得012)2(2000220=−++−ykyxkx，220x，1k和2k是这个方程的两个根，有1

21202021−=−−=xykk，得32020=+yx，所以点P的轨迹方程是322=+yx.…………………………16分21.（18分）解：（1）若数列na具有“性质P”，由已知对于任意正整数i，j，ji，，都存

在正整数k，使得jikaaa=，所以2aa=,解得0=a或1=a.…………3分所以当0=a或1=a时，常数数列满足“性质P”的所有条件，数列具有“性质P”；当0a且1a时，数列na不具有“性质P”.……………………4分（2）对

于任意正整数i，j，ji，存在正整数k，使得jikaaa=，即111111222−−−=jikaaa，jika−−+=112，令Zmjik=−−+1，则ma21=.……6分当1−m且Zm时，则11122−+−==nmnnaa，对任意正整数i，j，

ji，由jikaaa=得111222−+−+−+=jmimkm,得1−++=mjik，而1−++mji是正整数，所以存在正整数1−++=mjik使得jikaaa=成立,数列具有“性质P”.……8分当2−m且Zm时，取2,1==ji

，则021+=−++mmji，正整数k不存在，数列不具有“性质P”.综上所述ma21=，1−m且Zm.………………10分（3）dnan)1(2−+=.对于任意的正整数n,存在整数k，使得nkaaa

=1得122+−=nkd.…………12分对于任意的正整数n,存在整数1k和2k，使得nkaaa=11，nkaaa=22，两式相减得dkkdan)(12−=.当0=d时，显然不合题意.当0d时，得12kkan−=，是整数，从而得到公差d也是整数.…………14

分若0d时，此数列是递减的等差数列，取满足=−2)(012aaamm正整数m，解得++−+−12212dmdm，由121aaaammm+，所以不存在正整数k使得kmmaaa=+1成立.从而0d时，不具有“性质P

”.…………16分当1=d时，数列2，3，4，……，1+n，……，对任意正整数i，j，ji，由jikaaa=得)1()1(1++=+jik,得jijik++=，而jiji++是正整数，从而数列具有“性质P”.当2=d时，数列2，4，6，……，n2，……，对

任意正整数i，j，ji，由jikaaa=得jik222=,得jik=2，而ji2是正整数，从而数列具有“性质P”.综上所述1=d或2=d.……………………18分