【文档说明】湖南省部分校2021-2022学年高一下学期基础学科知识竞赛数学试卷含答案.docx，共(19)页，1.430 MB，由envi的店铺上传

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2022年高一基础学科知识竞赛数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合1,0,1,2A=

−，集合lg0Bxx=，则()AB=Rð（）A.1,0,1−B.1,0−C.0,1D.(,1−2.设,为两个平面，“内存在一条直线垂直于”是“⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件3.在下列函数中，最小值是2

的函数有（）A.()1fxxx=+B.()tancot02fxxxx=+C.()2254xfxx+=+D.()4eexxfx=+4.已知幂函数()afxx=的图象过点11,327，设12m=−，32log2n=，2.522p−

=−，则（）A.()()()fmfnfpB.()()()fnfmfpC.()()()fpfmfnD.()()()fpfnfm5.已知sincos44−=+

，则sin2=（）A.12−B.1−C.12D.16.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且3EBDE=，若(),AEADAC=+R，则（）A.12=B.2

=C.3=D.13=7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求

三角形面积的方法，用公式表示为：222222142ABCacbSac+−=−△，其中,,abc是ABC△的内角,,ABC的对边.已知ABC△中，cos3cosaBCc=+，33coscosaaAcC−=，

则ABC△面积的最大值为（）A.932B.934C.2434D.24388.已知()()()2ln1610fxxaxa=+−是奇函数，若()()210faxbxfax−++恒成立，则实数b的取值范围是（）A.()8,8−B.()0,8C.()8,16−D.()8,0−二、多项选择题（本题

共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若复数z满足()1i3iz−=+（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（）A.5z=B.

复数z的虚部是2C.i2iz=−D.复数z在复平面内对应的点位于第四象限10.已知函数()22sincos212fxxx=+−−，则（）A.其图象可由2sin2yx=的图象向右平移8个

单位得到B.()fx在0,仅有1个零点C.()fx在0,2单调递增D.()fx在,02−的最小值为2−11.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是4”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D

表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.A与C互斥B.()34PD=C.B与D对立D.B与C相互独立12.地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，

如图①，已知球的表面积为4，底座由边长为4的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（）A.直线AD与平面DEF所成的角为3B.底座多面体ABCDEF的体积为94C.平面//BCF平面ADED.球离球托底面DEF的最小距离为6313+−三、填空

题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()2,3a=−，()1,2b=−，且()()akbab+⊥+，则k=________.14.2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政

府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：t）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足()1PXz=−的z，则估计本例中0.75z=_______

_.（结果保留小数点后两位有效数字）15.已知函数()exfxx=+−，()lngxxx=+−，若()()()1210,1fxgxaaaa==，则12xx+=________.16.三棱锥PABC−中，顶点P在底面ABC的射影恰好是ABC△内切圆的圆心，

若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面ABC的最长边长为10，则点A到平面PBC的距离为________；三棱锥PABC−外接球的直径是________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.）17.（本小题满分10分）如图，在ABC△中，4BC=，3AC=，60BCA=，2DBAD=，2CEEB=.（1）设CB在CA上的投影向量为CA，求的值；（2）若DExCByCA=+，求DE.18.（本小题满分12分）已知二次函数()23fxxmx

=−++，又()()0,1,xfxn=−−+.（1）求函数()fx在2,2−上的最小值；（2）若不等式()()2232120xxfaa−−+−−对任意的3,1x−−恒成立，求实数a的

取值范围.19.（本小题满分12分）在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且()22223sinsinsin2abcaBCA+−=−.（1）求角C的大小；（2）若23c=，sinsin4sinsinABAB+=，求ABC△的面积.20.（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD中，

4AD=，4DC=，8AB=，E为AB的中点，将ADE△沿DE折起、得到四棱锥PDEBC−，F为PC的中点，（1）线段EB上是否存在点M，使//FM平面PDE？（2）证明：PCB△为直角三角形；（3）当四棱锥PDEBC−的体积最大时，求三

棱锥EDCF−的体积.21.（本小题满分12分）2022年“五一”国际劳动节期间，我市市场志愿服务团队对某“冰橙”线下冷链实体加工点作了统计调查，了解到某种冰橙的成本单价为3元，厂家全程灭菌保鲜包装，然后按照每箱100杯冰橙装箱（平均每杯冰橙的包装费约增加1元），然后以每箱500元的价格

整箱出售.结合市场需求及冰橙的夏季保鲜条件，厂家特制定如下促销策略：若每天下午4点之前所生产的冰橙没有售完，则对未售出的冰橙以每箱300元的价格出售（降价后能把剩余冰橙全部处理完毕，且当天不再生产该种冰橙），根据厂家市场调研暂定每天最多加工7箱.（1）若某天该厂家加工了7箱该种冰橙

，且被7家不同的门店购买，其中在下午4点之前售出的有5箱.现从这7家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，则恰好一家是以500元购买的门店，另一家是以300元购买的门店的概率是多少？（2）该加工点统计了100天内该种冰橙在每天下午4点之前的销售量x（单位：箱）

，结果如下表（视频率为概率）：x（箱）4567频数（天）20302030求每天加工7箱该种冰橙的平均利润.22.（本小题满分12分）对于函数()lnbfxax=+.（1）若()()1gxf

x=−，且()gx为奇函数，求a的值；（2）若1b=，方程()()ln324fxaxa=−+−恰有一个实根，求实数a的取值范围；（3）设0a，2b=，若对任意实数1,14c，当12,,1xxcc+时，

满足()()12ln2fxfx−，求实数a的取值范围.2022年高一基础学科知识竞赛数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.A【解析】因为集合lg01Bxxxx==，所以1Bxx=R

ð，又集合1,0,1,2A=−，所以()1,0,1AB=−Rð，故选A.2.C【解析】内存在一条直线垂直于，则⊥，反之也成立，故选C.3.B【解析】对于A：当0x时，由基本不等式可得12xx+，当且仅当1xx=，即1x=时，等号成立，但当0x时，由基本

不等式可得12xx+−，当且仅当1xx=，即1x=−时，等号成立，故A错误；对于B：∵02x，∴tan0x，由基本不等式可得()1tancottan2tanfxxxxx=+=+，当且仅当1tantanxx=，即tan1x=，即4x=时等号成立，故B正确；对于C：由基本不等式可得()

222254144xxfxxx+++===++221424xx+++，当且仅当22144xx+=+，即23x=−时，等号成立，显然不可能取到，故C不正确；对于选项D：∵e0x，∴由基本不等式可得()44e2e4eexxxxf

x=+=，当且仅当4eexx=，即ln2x=时，等号成立，但最小值不是2，故D错误.4.B【解析】因为幂函数()afxx=的图象过点11,327，所以11327a=，解得3a=.∴()3fxx=.()2.52.5332

13221loglog2232pmn−−=−−=−===，所以nmp.因为()fx为R上的增函数，所以()()()fnfmfp，故选B.5.D【解析】因为sincos44−=+，所以sincoscossincoscossinsin

4444−=−，即sincoscossin−=−，所以sincos=，即tan1=，所以2222sincos2tansin21cossin1tan===++，故选D.6.B【解析】平行四边形ABCD中，因为3EBDE=，所以()112

2DEDOAOAD==−，又因为12AOAC=，所以11112242AEADDEADACADACAD=+=+−=+，又因为AEADAC=+，所以12=，14=，则2=，故选B.7.B【解析】∵cos3cosaB

Cc=+，∴()cos3cosacBC=+，∴()sinsincos3cosACBC=+，即()coscos3sincossinsincoscossinCBCCBCBCBC+=+=+，即3sincossincosCCBC=，又()0,C且2C，则cos0C，∴sin3sinBC=，

∴3bc=；∵33coscosaaAcC−=，∴()3coscosaCcAac+=，则222222322abcbcaacbb+−+−+=，即3acb=，则3a=，∴2222222222421193181918424224cabccScaccc

+−+−=−=−=−+−=()221243924c−−+，∴3c=时，max93S4=.8.B【解析】∵()fx是奇函数，∴()()()()0fxfxfxfx−=−+−=恒成立，即()()()()22ln161ln1610xaxxax+−

+−+−−=，则2160a−=，解得4a=，又∵0a，∴4a=，则()()2ln1614fxxx=+−，所以()()221ln1614ln1614fxxxxx=+−=++，由复合函数的单调性性判断得，函数()fx在)0,+上单调递减，又

()fx为奇函数，所以()fx在R上单调递减；由()()210faxbxfax−+恒成立得，()()()()22441441fxbxfxfxbxfx−−+−−−恒成立，则()224414410xbxxxbx−

−−−−+恒成立，所以()244410b=−−△恒成立，解得08b.故选B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.ABD【解析】

3i(3i)(1i)24i(1i)3i12i1i(1i)(1i)2zz++++−=+====+−−+，12iz=−，∴5z=，故A正确；复数z的虚部为2，故B正确；i2iz=−+，故C错误；复数z在复平面内对应的点为()1,2−在第四象

限，故D正确.故选ABD.10.AD【解析】()()212sincos2cos2sin22sin224fxxxxxx=−−+−=−+=−.对于A：2sin2yx=的血象向右平移8个单位得到2sin24yx=−，故A正确；对于B：当0,x时，

72,444x−−，由()2sin204fxx=−=，可得204x−=，或24x−=，即8x=或58x=，则()fx在0,有且仅有2个零点.故B错误；对于C：由2sin22sin14444f=−==，3

2sin22sin12244f=−==，可得42ff=，则()fx在0,2上不单调递增.故C错误；对于D：由,02x−

，可得52,444x−−−，则2sin21,42x−−，2sin22,14x−−，则()fx在,02−的最小值为2−.故D正确.故选AD.11.BD【解析

】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“()2,2”的点数之和等于4，故A与C不一定互斥，故A错误；“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两

次掷出的点数都是偶数点”，所以()3331664PD=−=，故B正确；由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”.故B与D不是对立的，故C错误；先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点

数组(),xy有6636=种等可能的不同情况，第二次掷出的点数为偶数的情况有(),2x，(),4x，(),6x()1,2,3,4,5,6x=共18种不同情况，两掷出的点数相同的情况有：()1,1，()

2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6共6种，两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有()2,2，()4,4，()6,6，3种情况，所以()181362PB==，()61366PC==，()313612PBC==，

所以()()()PBPCPBC=，所以,BC独立，故D正确.故选BD.12.ABD【解析】根据图形的形成可知，,,ABC三点在底面DEF上的投影分别是DEF△三边中点M，N，P，如图所示，对于A，AM⊥面DEF，∴ADE就是直线AD与平面DEF所成的角，∵ADE△是等

边三角形，∴3ADE=，A正确；对于B，将几何体补全为直三棱柱，如下图示，∴多面体ABCDEF的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，∴由下图知：1119322sin3311sin233234V=−=，

故B正确；对于C，因为//CPBN且CPBN=，故四边形BCPN为平行四边形，故//BCPN，因为P、N分别为DF、EF的中点，则//PNDE，故//BCDE，∵BC平面ADE，DE平面ADE，∴//BC平面ADE，∵//BNAM，BN平面ADE，AM平面ADE，∴//BN平

面ADE，∵BCBNB=，所以，平面//BCPN平面ADE，因为过直线BC有且只有一个平面与平面ADE平行，显然平面BCF与平面BCPN不重合，故平面BCF与平面ADE不平行，故C错误；对于D，由上面讨论知1ABBCCA===，设O是球心，球半径为R，由244R=得1R=，则OABC

−是正四面体，棱长为1，设H是ABC△的中心，则OH⊥平面ABC，又CH平面ABC，所以OHCH⊥，33CH=，则2236133OH=−=，又3AM=.所以球离球托底面DEF的最小距离为6313

+−，D正确.故选ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.53【解析】由题意可得()2,32akbkk+=−−+，()1,1ab+=−，因为()()akbab+⊥+，所以()()()2320akbabkk++=−+−=，

即530k−=，解得53k=.14.2.45【解析】由题意可知：0.75z就是满足()0.750.25PXz=的横坐标的值，因为4,4.5对应的频率为0.040.50.02=，)3.5,4对应的频率为0.060.50.03=，)3,3.5对应的频率为0.10

0.50.05=，)2.5,3对应的频率为0.250.50.125=，)2,2.5对应的频率为0.520.50.26=，所以0.75z落在)2,2.5内，设0.75z距离2.5的距离为x，所以0.020.030.050.1

250.520.25x++++=，所以0.05x，所以0.752.50.052.45z=−=.15.【解析】()()()1210,1fxgxaaaa==，则()111e0xfxx=+−=，得：11exx=−；令()222ln0g

xxx=+−=，得：22lnxx=−；所以1x，2x分别为exy=和lnyx=与yx=−的图像交点的横坐标，如图所示：因为exy=和lnyx=互为反函数，所以exy=和lnyx=的图像关于yx=对称，所以A、B两点关于yx=对称.又A、B两点均在yx=−的图像上，所以12

xx=−，所以12xx+=.16.43（2分）22373（3分）【解析】不妨设12PBCS=△，16PACS=△，20PABS=△，设P在底面ABC的射影为H，分别作HDBC⊥于点D，HEAB⊥于点E，HFAC⊥于点F，则PDBC⊥，PEA

B⊥，PFAC⊥.依题意，H为ABC△的内心，则RtRtRtPDHPFHPEH△△△，故PDPFPE==，又12PBCSBCPD=△，12PACSACPF=△，12PABSABPE=△，所以::::12:16:203:4:5PBCPACP

ABSSSBCACAB===△△△，所以90ACB=，令3BCx=，4ACx=，5ABx=.底面ABC的最长边长为10，可得510ABx==，解得2x=，所以6BC=，8AC=，10AB=.设ABC△内切圆半径为r，则()12ABCBCACABrS++=△，因为1242ABCSACBC==

△，即()16810242r++=，解得2r=，故2HD=，由1122PBCSBCPD==△，6BC=，得4PD=，所以2223PHPDHD=−=，所以11242316333PABCABCVSPH−===△.设点A到平面PBC的距离为d，由PABCAPBCVV−−=，12PBCS=△

，所以11633APBCPBCVSd−==△，所以43d=；∵90ACB=，∴点C在以AB为直径的圆上，取AB中点为G，则以AB为直径的圆的圆心为点G，设三棱锥PABC−的外接球球心为点O，连接OG，易知O

G⊥平面ABC，又PH⊥平面ABC，则//OGPH，过点O作//ONGH交PH于点N，∵PH⊥平面ABC，GH平面ABC，∴PHGH⊥，即2GHP=，∴四边形GHNO为矩形，则OGNH=，GHON=，在平面ABC上建立如图所示直角坐标系，则()6,0B，()0,8A，()2,2H

，()3,4G，2125ONGH==+=，设GOx=，若点N在线段PH上，则23PNx=−，22225OAOBOPGBOGx===+=+，在直角ONP△中，222ONNPOP+=即()()22252325

xx+−=+，解得2303x=−，故点N在线段PH的延长线上，则23PNx=+，同理可得()()22252325xx++=+，解得233x=，所以三棱锥PABC−的外接球半径为2237253OAOBOPx===+=，三棱锥PABC−的外接球的直径为2237

3.四、解答题（本题共6小题，共70分.，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）∵CB在CA上的投影向量为12cos4233CACACBBCACACA==，………（3分）∴23=.…………………

……………………………………………………………………………………（5分）（2）()212112333333DEDBBEABBCCBCACBCBCA=+=+=−−=−，()()22211112821643652

44399929DEDECBCACBCA==−=−+=−=，∴273DE=.…………………………………………………………………………………………（10分）18.【解析】（1）二次函数()23fxxmx=−++，由()()0,

1,xfxn=−−+，可得1−，n是230xmx−−=的两个根，…………………………………………………………………………………（1分）所以113nmn−+=−=−，解得2m=，3n=，所以()223fxxx=−++，………………………………（3分）因为

2,2x−，根据二次函数的性质，可得函数()fx在2,1−上单调递增，在1,2上单调递减，…………………………………………（5分）由对称性可知()()min24435fxf=−=−−+=−，所以函数()fx在2,2−上的最小值为5−.……………………

…………………………………………（6分）（2）设2xt−=，因为3,1x−−，可得2,8t，不等式()()2232120xxfaa−−+−−对任意的3,1x−−恒成立，即不等式()()23120ftaat+−−对任意的

2,8t恒成立，即不等式()22233120ttaat−+++−−对任意的2,8t恒成立，…………………………（8分）所以2932aatt−++对任意的2,8t恒成立，又由9926tttt+=，当且仅当3t=时，取等号，所以2326aa−+，………………………………

……………………………………………………（10分）即2340aa−−，解得14a−，所以实数a的取值范围为1,4−.…………………………………………………………………………（12分）19.【解析】（1）由正弦定理得()2223sin2abcabC+−=−，………

……………………………（1分）由余弦定理得()2223sin3cos2abcCCab+−=−=−，…………………………………………（3分）所以tan3C=−，因为()0,C，所以23C=.……………………………………………

……………………………（5分）（2）由23c=，则4sinsinsinabcABC===，故14sinAa=，14sinBb=，…………………（6分）而sinsin4sinsinABAB+=，则11444sinsinABab+=+=，可得abab+=，……

…………（8分）又2221cos22abcCab+−==−，整理得22120abab++−=，则22()12()12(4)(3)0abababababab+−−=−−=−+=，可得4ab=，……………………（10分）所以ABC△的面积为112sin4sin3223SabC===.………………

…………………………（12分）20.【解析】（1）存在，取EB的中点M，连接CM并延长与DE的延长线交于G，则G在面PDE内，M为EB的中点，则M为CG中点，在CPG△中//FMPG，又PG面PDE，PM面PDE，……………………………………（3分）所以//FM平面PDE.…………

…………………………………………………………………………（4分）（2）设H为DE中点，连接PH，CH，由题设//CDEB且4CDEB==，即DEBC为平行四边形，则4DEBC==，所以PDE△为等边三角形，故PHDE⊥，又ABCD为等腰梯形，则60EBC=，所以60EDC=，

又2DH=，4CD=，易知：CHDE⊥，……………………………………（6分）又PHCHH=，则DE⊥面PHC，PC面PHC，故DEPC⊥.又//DECB，所以CBPC⊥，所以PCB△为直角三角形.………………………………………………（8分）（3）当四棱锥PDEBC−的

体积最大时，面PDE⊥面DEBC，则PDE△的高PH即为四棱锥PDEBC−的高，又F为PC的中点，所以F到面DEBC的距离32PHh==，………………………………………………………………（10分）由（2）易知DEBC为边长为4的菱形，又1432DEC

DEBCSS==△，所以143EDCFFDECDECVVhS−−===△.…………………………………（12分）21.【解析】（1）设这7家不同的门店分别是,,,,,,ABCDEFG，其中4点前购买的门店是,,

,,ABCDE，4点以后购买的门店是,FG，………………………………………………………………………………（1分）从这7家不同的门店中任选2家有21种选法：(),AB，(),AC，(),AD，(),AE，(),AF，(),AG，(),BC，(),BD，(),BE，(),BF，(),BG，(

),CD，(),CE，(),CF，(),CG，(),DE，(),DF，(),DG，(),EF，(),EG，(),FG.……………………………………………………………………………………………（3分）其中恰好一家是以500元价格购买的门店，另一家是以300元价

格购买的门店的情况有10种：(),AF，(),AG，(),BF，(),BG，(),CF，(),CG，(),DF，(),DG，(),EF，(),EG，………………………（5分）根据古典概型的概率公式得所求的概率为1021P=.………………………………………………………

（6分）（2）每天加工7箱该种冰橙的平均利润为2030(4500330071004)(55002300100100+−++−203071004)(6500130071004)(750071004)42010

0100++−+−=（元），…（11分）所以每天加工7箱该种冰橙的平均利润为420元.………………………………………………………（12分）22.【解析】（1）∵()lnbfxax=+

，∴()(1)lnln11bbaaxgxfxaxx+−=−=+=−−，又()gx为奇函数，∴2222()()()lnlnln0111baaxbaaxbaaxgxgxxxx+−+++−+−=+==−+−，∴()222()11

0baax+−+−=对定义域内任意x恒成立，………………………………………………（2分）∴22()1010baa+−=−=，解得1,2ab=−=或1,0ab=−=（舍去）或1,0ab==（舍去），当1,2ab=−=时，1

()ln1xgxx+=−，定义域为()1,1−符合奇函数的条件，当1,2ab==−时，1()1xgxx−−=−，与定义域为(,1)(1,)−−+符合奇函数的条件，所以1a=−或1.…………………………

……………………………………………………………………（4分）（2）由1lnln[(3)24]aaxax+=−+−得2(3)(4)10axax−+−−=；当3a=时，1x=−，经检验，满足题意；当2a=时，121xx==−，经检验，满足题意；当

2a且3a时，113xa=−，21x=−，12xx，…………………………………………………（6分）若1x是原方程的解，当且仅当110ax+，即32a，若2x是原方程的解，当且仅当210ax+，即1a，于是

满足题意的31,2a.综上，a的取值范围为31,2,32.………………………………………………………………………（8分）（3）令2tax=+，则2txa=+在()0,+上为减函数，lnyt=在()0,+上为增函数，∴函数()2lnfxax=+

在,1cc+上为减函数，当12,,1xxcc+时，满足()()12ln2fxfx−，则()()()()maxmin221lnlnln21fxfxfcfcaacc−=−+=+−++，∴2221aacc+

++，即()2220acac++−对任意的1,14c恒成立.……………………（10分）设()()222hcacac=++−，又0a，所以函数()()222hcacac=++−在1,14上单调递增，所以()min12204164

aahch+==+−，∴245a.……………………………………………………………………………………………………（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com