【文档说明】四川省蓬溪中学校2024届高三上学期第一次月考数学（文科）试题 含解析.docx，共(18)页，961.012 KB，由小赞的店铺上传

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高2021级第五学期第一次月考数学试卷(文科)一、单选题(每小题5分，共60分)1.已知集合()()21402AxxxByyx=−−==−，，则AB=（）A.B.14xxC.12xxD.24xx【答案】C【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【

详解】∵()1,4A=，(,2B=−，∴(1,2AB=.故选：C2.下列函数中，与函数yx=表示同一个函数的是（）A.2xyx=B.lg10xy=C.2yx=D.2log2xy=【答案】B【解析】【分析】通过分析函数的定义域

、值域和对应关系，由此确定正确选项.【详解】函数yx=的定义域和值域都为R.对于A选项，函数2xyx=的定义域为{|0}xx，故与yx=不相同.对于B选项，lg10xyx==，定义域、值域都为R，对应关系为yx=，故与yx=相同.对于C选项，函数2||yxx==的值域为[0,)+，

故与yx=不相同.对于D选项，函数2log2xy=的定义域为(0,)+，故与yx=不相同.故选：B.3.“0ab”是“11ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答

案】A【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0ab，则11ab成立，充分性成立；由11ab，若1,1ab==−，显然0ab不成立，必要性不成立；所以“0ab”是“11ab”的充分不必要条件.故选：A4.

函数2()lnfxxx=−的零点所在的区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理判断．【详解】(1)20f=−，(2)ln210f=−，22(3)ln31033f=−−，∴零点在区间(2,3)上．故选：C

．【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题基础．5.已知命题:p若幂函数()fx过点12,4，则193f=；命题:q在ABC中，sinsinAB=是AB=的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A.()pqB.(

)pqCpqD.()pq【答案】D【解析】【分析】由幂函数性质判断p，由正弦定理判断q，再由逻辑联结词的概念判断．【详解】命题p，设()mfxx=，∵()212224mf−===，∴2m=−，则()2fxx−=，∴211933f−==，所以p是真命题..的命题q，

在三角形ABC中，若sinsinAB=，由正弦定理得ab=，所以AB=；若AB=，则ab=，由正弦定理得sinsinAB=.所以sinsinAB=是AB=的充要条件，所以命题q是假命题.所以()pq、()pq、pq是假命题，ABC选项错误.()pq是真命题，故选：D

6.已知函数()fx为R上的奇函数，当0x时，()22fxxx=−，则当0x时，()fx的解析式为（）A.22xx−−B.22xx−+C.22xx+D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性

质求0x时的函数解析式即可.【详解】设0x，则0x−，又()()()()()222222fxfxxxxxxx=−−=−−−−=−+=−−.故选：A7.函数()1sinexxxfx−=的图象大致为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数排除C、D，再计算π02f，可排除B，从而可得到答案.【详解】()fx的定义域为R，因为()()()11sinsineexxxxxxfxfx−−−−−−===，所以(

)fx在R上为偶函数，可排除C、D；又121ππ2ππππ220sin2ee2f−−==，可排除B.故选：A.8.若4624ab==，则11ab+的值等于（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可

得答案.【详解】∵4624ab==，∴46log24log24ab==，，∴241log4a=，241log6b=，∴242411log4log61ab+=+=故选：B.9.若函数()elnxfxkx=−在区间()1e，上是增函数，则实数k的取值范围为（）A.(0−，B

.1e，−C.(e−，D.(ee−，【答案】C【解析】【分析】根据题意，将问题转化为恒成立问题，然后求导得最值即可.【详解】由()e0xkfxx=−，可得exkx，记()()e1exgxxx=，，，则()()1e0xgxx=

+，所以()gx在()1,e单调递增，所以()1ekg=.故选：C10.已知函数()()2fxxxm=−在1x=处有极大值，则m的值为（）A.1B.2C.3D.1或3【答案】C【解析】.【分析】根据题意，列出方程求得m的值，然后检验即可得

到结果.【详解】()()()3fxxmxm=−−，()()()1130fmm=−−=，∴1m=或3m=，当1m=时，()()()131fxxx=−−，令()0fx¢>，得13x或1x；令()0

fx，得113x；从而()fx在1,3−单调递增，在1,13单调递减，在()1,+单调递增，所以()fx在1x=处有极小值，不合题意，当3m=时，经检验，满足题意；综上，3m=.故选：C11.已知定义在R上的奇函数()fx

满足：()fx的图象是连续不断的且()2yfx=+为偶函数.若12,2,4xx有()()()12120xxfxfx−−，则下面结论正确的是（）A.()()()65.524.583.5fff−B.()()()24.565.583.5fff−C.()()()65

.583.524.5fff−D.()()()24.583.565.5fff−【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解.【详解】∵()2yfx=+为偶函数，∴()()22fxfx−+=+且

()fx的图象关于2x=对称，∵()fx为奇函数，∴()fx的图象关于()0,0对称，∴()fx为周期函数，8T=，∵12,2,4xx有()()()12120xxfxfx−−，∴()fx在2,4上单调性递减，∴由()fx图象的连续性以及单调性、对称性可得其草

图如上所示：∵()()24.50.5ff−=−，()()83.53.5ff=，()()65.51.5ff=，∴()()()24.583.565.5fff−，故选：D.12.已知34a=，e1b=−，3ln2c=，则（）A.cbaB.acbC.b<c<aD

.c<a<b【答案】A【解析】【分析】构造函数()ln1fxxx=−−，其中1x，利用导数分析函数()fx的单调性，可得出lnee1−，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【详解】构造函数()ln1fxxx=−−，其中1x，则()1110xfxxx−=−

=，所以，函数()fx在()1,+上单调递增，所以，()()ee1lne10ff=−−=，即lnee1−，因为9e4，则3e2，所以，3lnlnee12cb=−=，又因2749e416=，则7e4，故3e14ab=−=，故cba.故选：A.二、填空题(每小

题5分，共20分)13.曲线()ln21xfxx=+−在点()1,1处的切线方程是__________【答案】320xy−−=【解析】【分析】求得导函数，即可求得切线的斜率，进而将1x=代入函数解析式可知点()1,1在曲线上，即可由点斜式得切线方程

.【详解】曲线()ln21xfxx=+−，的为则()12fxx=+，所以(1)3kf==，将1x=代入函数解析式可得()11f=，即点()1,1在曲线上，所以该函数在点()1,1处的切线方程是()131yx−=−，

即切线方程为320xy−−=．故答案为：320xy−−=.【点睛】本题考查了导数的集合意义，切线方程的求法，属于基础题.14.若0Rx，20010xax−+为假命题，则a的取值范围为___________.【答案】22a−【解析】【分析】由题意可得Rx，210x

ax−+为真命题，结合判别式即可求得答案.【详解】因为0Rx，20010xax−+为假命题，故Rx，210xax−+为真命题，故240a=−，解得22a−，即a的取值范围为22a−故答案为：22a−15.设()()211,02lo

g10xxfxxx−=+，，则不等式()3fx的解集为____________.【答案】()2,7−【解析】【分析】作出函数图象，由指数函数与对数函数的性质求解．【详解】作出函数图象如图所示，令1132x−=

得：2x=−；令()2log13x+=得：7x=，由图可得：不等式的解集为()2,7−，故答案为：()2,7−.16.关于函数f（x）=1sinsinxx+有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=2对称．④f（x）的最小值

为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x−可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解

】对于命题①，152622f=+=，152622f−=−−=−，则66ff−，所以，函数()fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()fx的定义域为,xxkkZ，定义域关于原点对称，()()()()111si

nsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx−=−+=−−=−+=−−，所以，函数()fx的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sincos22cossin2fxxxxx−=−+=+−

，11sincos22cossin2fxxxxx+=++=++，则22fxfx−=+，所以，函数()fx的图象关于直线2x=

对称，命题③正确；对于命题④，当0x−时，sin0x，则()1sin02sinfxxx=+，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题(共7

0分)17.已知集合|24Axx=−，|15Bxx=，{123}Cxaxa=−+∣.（1）设:pxA，:qxB，若pq为真，求x的取值范围；（2）若ACC=，求实数a的取值范围.【答案】（1）)2,5−（2

）(1,41,2−−−.【解析】【分析】（1）由或命题的概念求解．（2）转化为集合间的关系列式求解．【小问1详解】由题意得p真或q真，即xA或xB，∴x的取值范围)|252,5ABxx==−=−.【小问

2详解】因为ACC=，所以CA，当C=时，由123aa−+得：4a−，满足题意；当C时，由CA，有12312234aaaa−+−−+，解得112a−；综上：a的取值范围为(1,41,2−−−.18.等差数列na的前n项和为nS，满足2

5535aS==，.（1）求na的通项公式；（2）设()*2Nnanbn=，求证数列nb为等比数列，并求其前n项和nT.【答案】（1）21nan=+；（2）证明见解析，()8413nnT=−【解析】【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式以及前n项和公

式，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由等比数列的定义即可证明，再结合等比数列的前n项和公式，即可得到结果.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，∴11551035adad+=+=，解得132ad==，∴()(

)1131221naandnn=+−=+−=+.【小问2详解】由（1）可得212nnb+=，∴()212112422nnnnbnb+−−==，∴数列nb为等比数列，首项为18b=，公比为4q=∴()()814841143nnnT−==

−−19.已知()sin2cos2fxxx=+.（1）求()fx的周期及单调递增区间；（2）求函数()fx在π0,2上的最大值和最小值.【答案】（1）周期为()3ππππ,π+Z88kkk−

，，（2）()max2fx=,()min1fx=−【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简()fx，由周期公式求周期，根据正弦函数的单调性求()fx递增区间；（2）根据角的范围，求出π24x+的范围，利用正弦函数求出值域即可得解.【小问1详解】由()πsin2cos22sin24

xxxfx=+=+，所以周期2ππ2T==，令πππ2π22π+242kxk−+，得()3ππππ+Z88kxkk−，，∴()fx的单调递增区间为()3πππ,π+Z88kkk−，.【小问2详解】当π0,2x时，则ππ5π2,444

x+，所以π2sin2,142x+−，故π2sin21,24x+−，∴()max2fx=，()min1fx=−．20.设()33fxxx=−.（1）求()fx在0,2上的

最值；（2）若过点()2,Pm可作曲线()yfx=的三条切线，求m的取值范围.【答案】（1）最大值2，最小值2−（2）()6,2−.【解析】【分析】（1）求导得到()fx的单调性，然后求最值即可；（2）分P在曲线上和不在曲线上两种情况讨论，当P不在曲线上时，将过点P可作曲线()yf

x=的三条切线转化为()32266gxxxm=−++的图像与x轴有三个不同交点，然后根据()gx的单调性列不等式即可.【小问1详解】由题：()()()233311fxxxx==+−−，0,2x，令()0fx=得1x=，列表得：x0()01，1

()12，2y-0+y02−2∴max2y=，min2y=−.【小问2详解】若P在曲线()yfx=上，则2m=，()2,2P，当切点为P时有一条，设切点为()31111,3,2xxxx−，则()321111132332xxfxxx−−==−−，整理得()()211

210xx−+=，解得11x=−，所以过点P可作曲线()yfx=的两条切线，不合题意，舍.若P不在曲线()yfx=上，则P不是切点，设切点为()3000,3xxx−，∵过点P可作曲线()yfx=的三条切线，∴方程3200003332xxmxx−−−=−有三个不等

实根，即方程32002660xxm−++=有三个不等实根，∴()32266gxxxm=−++的图像与x轴有三个不同交点，∵()()261262gxxxxx=−=−，∴()gx在(),0−，()2,+上单调递增，

()0,2上单调递减，∴()()060gxgm==+极大值且()()220gxgm==−极小值，∴62m−，∴m的取值范围为()6,2−.21.设()()211ln2fxaxaxx=−++，aR.（1）当2a=时，求()fx的极值；（2）讨论函数()fx的单调

性；（3）若0x有()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）()5ln24fx=−−极大值，()2fx=−极小值（2）答案见解析（3）2,0−【解析】【分析】（1）利用导数求出极值即可；（2）求出()fx，分0a=、a<0、1a、1a=

、01a讨论，可得答案；（3）欲使()0fx恒成立，只需()max0fx，根据（2）的结论，分0a、0a、1a、1a=、01a讨论可得答案.【小问1详解】()fx的定义域为()0,+，因为()23lnfxxxx=−+，∴()()()211123xxfxxxx−−=−+=

，∴10,2x时，()0fx¢>，()fx单调递增，()1,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，1,12x时，()0fx，()fx单调递减，∴()15ln224fxf==−−极大值，()()12fxf==−极小值；【小问2

详解】由题：()()()()1111axxfxaxaxx−−=−++=，1°当0a=时：()()1xfxx−−=，()1,x+时，()0fx，()fx单调递减，()0,1x时，()0fx

¢>，()fx单调递增；2°当a<0时：∵10ax-<，∴()1,x+时，()0fx，()fx单调递减，()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；3°当0a时：①若11a即1a，所以10,xa时，()0fx¢>，()fx单调递增，1,1xa

时，()0fx，()fx单调递减；()1,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，②若11a=即1a=，()()()110−−=xxfxx，则()fx在()0,+单调递增；③若11a即01a，所以

()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增，11,xa时，()0fx，()fx单调递减；1,xa+时，()0fx¢>，()fx单调递增；【小问3详解】欲使()0fx恒成立，只需()max0fx，根据(2)的结论，1°，当0a

时：()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；()1,x+时，()0fx，()fx单调递减，∴令()()max11102fxfa==−−，得2a−，此时，20a−；2°当0a时：①若11a即1a，所以10,xa时，()0fx¢>，()fx单调递增

，1,1xa时，()0fx，()fx单调递减；()1,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增；②若11a=即1a=，()0,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增；③若11a即01a，所以()0,1x时，()0fx¢>

，()fx单调递增，11,xa时，()0fx，()fx单调递减；1,xa+时，()0fx¢>，()fx单调递增；不论上述哪种情况，均有x→+时y→+，因此，不可能有()0fx恒成立，舍去.综上：a的

取值范围为2,0−.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用分类讨论思想解题．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路.四、选做题(共10分)22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31212x

tyt=+=（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos=．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于,AB两点，交x轴于点P，求1

1PAPB+的值．【答案】（1）曲线C：2240xyx+−=，直线l：310xy−−=（2）153【解析】【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程，根据公式cos,sinxy==化简曲线C的极坐标方程可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程与曲线C的

直角坐标方程联立，根据直线参数方程中t的几何意义即可求解.【小问1详解】直线l的参数方程31212xtyt=+=（t为参数），消去参数t，可将直线l的参数方程转化为普通方程为310xy−−=，将4cos

=两边同乘，得24cos=，根据222cossinxyxy==+=得曲线C的直角坐标方程为2240xyx+−=.【小问2详解】将31212xtyt=+=代入2240xyx+−=中，可得223

131410222ttt++−+=，化简得2330tt−−=，设,AB两点对应参数分别为12,tt，则123tt+=，123tt=−，由题意得()1,0P，且在直线l上，

又12,tt异号，∴()2121212121212121241111153ttttttttPAPBtttttttt+−+−+=+====.23.已知函数()212fx|x||x|=−++．（1）求()9fx的解集；（

2）若函数()fx的最小值为M，且abcM++=，求2224abc++的最小值.【答案】（1）[3,3]−（2）4【解析】【分析】（1）利用分区间讨论的方法，去掉绝对值符号，化简函数()fx的表达式，进而将()9fx

转化为3个不等式组求解，即得答案；（2）结合（1）中()fx的表达式，确定M的值，利用河西不等式即可求得答案.【小问1详解】32()21242131xxfxxxxxxx−−=−++=−+−，，，，故()9fx等价于239

xx−−或2149xx−−+或139xx，解得33x−，不等式的解集为[3,3]−；【小问2详解】当<2x−时，()36fxx=−；当21x−时，()4[3,6]fxx=−+；当1x时，()33fxx=，故函数()fx的的最小值

为3M=，即3abc++=利用柯西不等式可得222214)11))4abcabc(++(++(++，即22244abc++，当且仅当21112abc==时等号成立，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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