【文档说明】四川省绵阳南山中学2024届高三上学期10月月考试题数学（文）试题 含解析.docx，共(20)页，992.900 KB，由小赞的店铺上传

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绵阳南山中学高2021级高三上期10月月考试题文科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,4A=，|2

Bxx=，则AB=（）A.1B.1,2C.1,2,3D.1,2,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的概念运算即可.【详解】由题意知AB=1,2.故选：B2.已知复数z满足(12i)5iz−=（i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）A.1B.1−C

.2D.2−【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式除法运算化简复数z，从而判断其虚部.【详解】解：因为(12i)5iz−=，所以()()()5i12i5i2i12i12i12iz+===−+−−+，所以复数z的虚部等于1；故选：A．3.等差数列na的前

n项和为nS，且714S=，则4a=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】由()12474772722aaaSa+===求解.【详解】解：因为等差数列na的前n项和为nS，且714S=，的所以()1247772722aaaS+===414a=，所以42a=

，故选：C4.已知34a=，2log3b=，则ab=（）A2B.9C.4D.5【答案】A【解析】【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得.【详解】因为34a=，所以3log4a=，所以322lg2

lg3log4log32lg3lg2ab===.故选：A5.已知π1sin62+=，则2πcos3+=（）A.32−B.32C.12D.12−【答案】D【解析】【分析】以π6+为整体，利用诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：2ππππ

1coscossin36262+=++=−+=−.故选：D.6.函数()2log22xxxfx−=+的图象大致为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数()f

x的奇偶性排除两个选项，再由(0,1)x时函数值的正负判断即得.【详解】函数()2log22xxxfx−=+的定义域为()(),00,−+，由()()22loglog2222xxxxxxfxfx−−−−===++，因此函数()fx是偶函数

，其图象关于y轴对称，选项CD不满足；当(0,1)x时，2log||0x，220xx−+，即()0fx，选项A不满足，B满足.故选：B7.已知向量()7,6AB=，()3,BCm=−，()1,2ADm=−，若B，C，D三点共线，则m=（）A.6B.6−C.

9D.9−【答案】D【解析】【分析】B，C，D三点共线,即,RBCBD=，即可.【详解】(8,26)BDm=−−，因为B，C，D三点共线,即,RBCBD=，338(3,)(8,26),,8269mmmmm−=−=−=−−

=−=−.故选：D8.已知0x，0y，且4912xy+=，则xy的最大值为（）A.13B.12C.1D.2【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】()()2114949136362xyxyxy+==

，当且仅当496xy==时，取等号.即xy的最大值为1.故选：C9.正项等比数列na公比为q，前n项积为nT，则“2202120223022TTT”是“1q”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列前n项积为nT的性质分析判断.【详解】由正项等比数列na公比为q，前n项积为nT，充分性：2202120223022TTT，则202220222202320

222022()TaTaT，则202320221aa，即1q，充分性成立；必要性：若1q，则202320221aa，则202220222202320222022()TaTaT，则2202120223022TTT，必要性成立，是充要

条件.故选：C10.已知点P是曲线()lnfxxx=上任意一点，点Q是直线3yx=−上任一点，则PQ的最小值为（）A.2B.3C.1D.e【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()

lnfxxx=的定义域为全体正实数，()()lnln1fxxxfxx==+，当1ex时，()()0,fxfx单调递增，当10ex时，()()0,fxfx单调递减，函数图象如下图：过点()00,Pxy的曲线

()lnfxxx=的切线与直线3yx=−平行时，PQ最小，即有()()000ln11101,0fxxxyP=+===，所以()min2213211PQ−==+−，故选：A11.我国油纸伞制作工艺巧妙.如图（1），伞不

管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC，且ABAC=，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D¢的位置，且A、B、D¢三点共线，40cmAD=，B为AD的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着平柄向下滑动的距离为24

cm，则当伞完全张开时，BAC的余弦值是（）A.1725−B.825C.35-D.825−【答案】A【解析】【分析】由伞完全张开时求得AD，再由B为AD的中点，求得,ABAC，然后由伞完全收拢时求得BD，再在ABD△中，利用余弦定理求解.【详解】解：由题意得当伞完全张开时：4

02416ADcm=−=，因为B为AD的中点，所以1202ABACADcm===，当伞完全收拢时：40ABBDADcm+==，所以20BDcm=，在ABD△中，由余弦定理得2222cos25ABADBDBADABAD+−==，所以22217coscos

22cos121525BACBADBAD==−=−=−，故选：A12.函数()()πsin0,2fxx=+，已知π,03−为()fx图象的一个对称中心，直线7π6x=为()

fx图象的一条对称轴，且()fx在7π5π,63上单调递增.记满足条件的所有的值的和为S，则S的值为（）A.43B.2C.83D.3【答案】C【解析】【分析】由三角函数的对称性可得()1143k=+或()1343k=+，再由单调性可得2，分类讨论计算

即可.【详解】由题意知：7ππ634TkT+=+或7ππ3634TkT+=+，Zk，2πT=，化简得()1143k=+或()1343k=+，Zk.∵()fx在7π5,π63上单调递增，∴5π7π362T−，∴π12π222.①当(

)1143k=+时，取0k=知13=，此时()1sin3fxx=+，又()ππππ0sinπ,πZ3999fkkk−==−−==+，结合π2题意可知π9=，即()3π91si

nfxx=+，当7π5,π63x时，1ππ2π,3923x+，此时()fx在7π5,π63上单调递减，不符合题意；取1k=时，53=，此时()5sin3fxx=+，同理()π5π5π0sin

πZ399fkk−==−+=+，因为结合π2题意可知4π9=−，即()54πsin39fxx=−，当7π5,π63x时，54π3π7π,3923x−，此时()f

x在7π5,π63上单调递增，∴53=.②当()1343k=+时，取0k=知1=，此时()()sinfxx=+，同理()πππ0sinπZ333fkk−==−+=+，因为结合π2题意可知π3=，即()πs

in3fxx=+，当7π5,π63x时，π3π,2π32x+，此时()fx在7π5,π63上单调递增，∴1=.综上：53=或1，58133S=+=.故选：C

第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x，y满足约束条件010xyxyx−+，则2zxy=−的最大值为______.【答案】12##0.5【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标

函数表示的直线，找出最优解，求出目标函数的最大值.【详解】画出约束条件010xyxyx−+表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数2zxy=−可化为2yxz=−：，平移2yx=，可知当直线经过点11,22A时，

直线的截距最小，z取最大值.则2zxy=−的最大值为1112222−=.故答案为：1214.若1a=，2b=，a与b的夹角为60，且()()abmab+⊥−，则m的值为______.【答案】52##2.5【解析】【分析】先求得ab

，在利用数量积的运算律求解.【详解】解：因为1a=，2b=，a与b的夹角为60，所以cos601abab==，所以()()()221abmabmamabb+−=+−−()2211120mm=+−−=，解得52m=，故答案为：5215

.已知函数()fx的定义域为R，满足()()13fxfx=+，()()fxfx−=−，当3,0x−时，()23fxxx=−−，则()2023f=______.【答案】2−【解析】【分析】根据题意分析可知

6为函数()fx的周期，根据周期性和奇函数的定义运算求解.【详解】因为()()13fxfx=+，即()()13fxfx+=，可得()()()()11613+===+fxfxfxfx，所以6为函数()fx的周期，所以()()()()202333761112=+==−−=−ffff.故答案为：

2−.16.若函数()()()()2210fxxxaxbcc=−++−的图象关于直线2x=−对称，且()fx有且仅有4个零点，则abc++的值为________．【答案】39【解析】【分析】先得到()()()221gxx

xaxb=−++的图象也关于2x=−对称，观察到1,1−为()gx的两个零点，故由对称性可知，()gx的另外两个零点分别为5,3−−，从而得到方程组，求出815ab==，令()()()221815hxxxx=−++，求

导得到其单调性和极值情况，画出()hx的图象，进而得到()gx的图象，根据()fx的零点个数，数形结合得到16c=，从而得到答案.【详解】由()()2210xxaxbc−++−=得()()221xxaxbc−++=，令()

()()221gxxxaxb=−++，由于()()()()2210fxxxaxbcc=−++−的图象关于直线2x=−对称，所以()()()221gxxxaxb=−++的图象也关于2x=−对称，显然1,1−为()gx的两个零点，故由对称性可知，()gx的另外两个零点分别为5

,3−−，即2550930abab−+=−+=，解得815ab==，故()()()221815gxxxx=−++，令()()()221815hxxxx=−++，则()()()()()223

22815128424288hxxxxxxxxx=−+++−+=−−−+()()()32246724241xxxxxx=−++−=−++−，故当25x−−或225x−−+时，()0hx，()hx单调递增，当52x

−−或25x−+时，()0hx，()hx单调递减，又()()252516hh−−=−+=，()29h−=−，画出()()()221815hxxxx=−++的图象如下，故()()()221815gxxxx=−++

图象是将()()()221815hxxxx=−++图象位于x轴下方部分沿着x轴翻折到x轴上方即可，如下：要想()fx有且仅有4个零点，则16c=，的故8151639abc++=++=.故答案为：39【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点

问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行

解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知向量()2cos,si

naxx=，()cos,2cosbxx=−.设函数()fxab=.（1）求()fx的单调减区间；（2）若先将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度，再将得到的图象各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到

函数()gx的图象.当π,π2x时，求函数()gx的最大值.【答案】（1）()π3ππ,πZ88kkk−+（2）212+【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简再结合三角函数的性质计算即可；（2

）利用三角函数图象的变换及三角函数的图象与性质计算最值即可.【小问1详解】由条件及二倍角公式、辅助角公式可知：()2π2cos2sincoscos2sin212cos214fxabxxxxxx==−=−+=++，所以π2π2π2π4kxk++，Zk，解得单

调减区间为：()π3ππ,πZ88kkk−+；【小问2详解】由（1）知函数()fx的图象向右平移π12个单位长度，得到πππ2cos212cos2112412yxx=−++=++

，再将得到的图象各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()π2cos1212xgx=++，当π,π2x时，可得ππ7π,212312x+，由余弦函数的单调性可知π7π,312t时2c

os1yt=+单调递减，所以当ππ2123x+=时，即π2x=，函数()gx的最大值为212+.18.已知数列na满足()2*11NnSnan=+−.（1）求na的通项公式；（2）求数列11nnaa+的

前n项和nT.【答案】（1）21nan=−（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）根据nS与na的关系计算即可得通项公式；（2）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】由题意可知：()()22111111212nnnSSananann−−==+−−

−+−=−，令1n=得1111aa=+−，解得11a=，也符合上式，因此()*21Nnann=−.【小问2详解】由（1）可知：()()111111212122121nnaannnn+==−−+−+，故1111111

112335572121nTnn=−+−+−++−−+，故11122121nnTnn=−=++.19.记ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin231cos2BB=+.（1）求角B；（2）若2ac=，ABC的周长为623+，求ABC的面

积.【答案】（1）π3B=（2）23【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简条件式计算即可；（2）利用余弦定理及面积公式计算即可.【小问1详解】由已知及二倍角公式可知：2sin22sincossintan31cos22coscosBBBBB

BBB====+，π0π,3BB=；【小问2详解】由（1）及余弦定理得222222π2cos54cos33bacacBccc=+−=−=，∴3bc=，又因为ABC的周长为()2333623abccccc++=++=+=+，得2c

=，4a=，23b=.所以ABC的面积为11πsin42sin23223ABCSacB===.20.已知函数()()323Rfxxaxa=−+.（1）当32a=时，求()fx的极值；（2）若方程()10fx+=在R上恰有3个实数解，求实数a的取值范围.【答案】（1）极

大值3，极小值52（2）()3,+【解析】分析】（1）求导后判断单调性，从而可求得极值；（2）令32()()14gxfxxax=+=−+，求导后，分0a=、0a、0a确定单调性求得极值，从而可求解.【小问1详解】32a=时，()32332fxxx=−+，()()23331fxxxxx=−=

−，令()0fx=，解得0x=或1x=.当1x或0x时，()0fx¢>，()fx在()(),0,1,−+上单调递增；当01x时，()0fx，()fx在()0,1上单调递减.所以()fx的极大值为()03f=，极小值为()512f=.【小问2详解】令32

()()14gxfxxax=+=−+，2()32(32)gxxaxxxa=−=−，令()0gx=，得0x=或23ax=，当0a=时，2()30gxx=，()gx在R上单调递增，()0gx=在R上没有3个实数解，舍去.当0a时，0x或23ax时，()0gx；

203ax时，()0gx，()gx在2(,0),,3a−+上单调递增，在20,3a上单调递減，且(0)40g=，所以若方程()10fx+=在R上恰有3个实数解，只需203ag

，即344027a−，解得3a.当0a时，23ax或0x时，()0gx；203ax时，()0gx，()gx在()2,,0,3a−+上单调递增，在2,03a上单调递減，【2(0)403agg=

，()0gx=在R上没有3个实数解，舍去.综上所述，实数a的取值范围为()3,+.21.已知函数()()()11lnRfxaxaxax=++−.（1）讨论()fx单调性；（2）若方程()2eln1xxfxxxx=+−有两个不相等的实根1x，2x，求实数a的取值范围，并证明12212eexxx

x+.【答案】（1）答案见解析（2）()e,a+；证明见解析.【解析】【分析】（1）求导得()()()211xaxfxx++=，分0a、a<0两种情况，确定()fx的正负，从而即可得函数()fx的单调性；（2）由题意可得

()lneexxaxx=，令e0xtx=，则有lntat=，将问题转化ya=与lntyt=有两个不同交点，令()lnthtt=，利用导数求出()ht的极小值即可得a的取值范围；将问题转化为证明12lnln2tt+，结合1122lnlntattat==

，可得12112122lnlnlntttttttt++=−，进而转证12112221ln1tttttt−+，令121tst=，()()21ln1spsss−=−+，利用导数，只需证明()0ps即可得证.【小问1详解】解：因为()()()()22

11110xaxafxaxxxx+++=++=，当0a时，()0fx¢>，所以()fx在区间()0,+上单调递增；的当0a时，令()0fx¢>，得10xa−；令()0gx，得1xa

−，所以()fx在区间10,a−上单调递增，在区间1,a−+上单调递减；综上：当0a时，()fx在区间()0,+上单调递增，当0a时，()fx在区间10,a−上单调递增，在区间1,a−+上单调递减.【小问2详解】

解：方程()2eln1xfxxxx=+−，即lnexaxaxx+=，等价于()lneexxaxx=，令e0xtx=，其中0x，则lnatt=，显然1t，令()lnthtt=，则()2ln1lnthtt−=，当()0,1t

时，()0ht，所以()ht在区间()0,1上单调递减，且当x趋于0时，()0ht，所以在区间()0,1上()0ht，当()1,et时，()0ht；当()e,+t时，()0ht，所以()ht在

区间()1,e上单调递减，在区间()e,+上单调递增，所以()ht极小值()eeh==，所以关于t的方程lntat=有两个实根1t，2t，即ya=与lntyt=有两个不同交点，所以()e,a+；要证12212eexxxx+，即证12212eee

xxxx，又因为111extx=，222extx=，即证212ett，只需证12lnln2tt+，因为1122lnlntattat==，所以()()12121212lnlnlnlnttattttatt−=−+=+，整理可得121

21212lnlnlnlntttttttt++=−−，不妨设120tt，则只需证12112122lnlnln2tttttttt++=−，即()1122112122212ln1tttttttttt−−=++，令

121tst=，()()21ln1spsss−=−+，其中1s，因为()()()()222114011spsssss−=−=++，所以()ps在区间()1,+上单调递增，所以()()10psp=，故12212eexxxx+.【点睛】方法点睛：对

于利用导数求参数的范围的题型，常采用参变分离法，将问题转化为直线与函数交点的问题进行解答.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知

曲线1C的参数方程为212212xtyt=−=+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为224sin1=+.（1）求1C，2C在直角坐标系下的普通方程；（2）设M是2C上的任意一点，求M到1C的距离最大值.【答案】（1）20

xy+−=，22142xy+=（2）32+【解析】【分析】（1）利用消参的方法将参数方程变为普通方程，根据222xy=+，siny=将2C的极坐标方程变为普通方程；（2）设()2cos,2sinM，然后利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求最大值即可.【小问1详解】由212xt=−

得212tx=−，代入得1C的普通方程为20xy+−=.由224sin1=+得222sin4+=，因为222xy=+，siny=，所以2C的直角坐标方程为22142xy+=.【小问2详解】设曲线2C：22142xy+=上的任意一点的坐标为()2cos,2sin，)0,2π

，则M到1C的距离()2cos2sin26sin222d+−+−==，当()sin1+=−时，M到1C的距离最大，此时62322d+==+.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()32fxxmx=++−.（1）若1m=，求不等式()4fx的解集；（2）若()1|30

,2xfx，求实数m的取值范围.【答案】（1）15,24−（2）()1,1−【解析】【分析】（1）根据题意，得到不等式1324xx++−，结合绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；（2）根据题意，转化为10,2x，()3fx恒

成立，得到()()maxmin4121xmx−−+，结合一次函数的单调性，求得最值，即可求解.【小问1详解】解：当1m=时，不等式()4fx，即为1324xx++−，则不等式等价于1144xx−−或213324xx−

−或23414xx−，解得或1223x−或2534x，所以不等式()4fx的解集为15,24−.【小问2详解】解：由题意，不等式()3fx的解集包含10,2，即10,2x

，()3fx恒成立，即233xmx++−，即31xmx++，即3131xxmx−−++，即4121xmx−−+，所以()()maxmin4121xmx−−+，因为函数41yx=−−在10,2

上为单调递减函数，所以max1y=−，函数21yx=+在10,2上为单调递增函数，所以min1y=，所以11m−，即实数m的取值范围为()1,1−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com