【文档说明】湖南省湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学2024届高三8月开学考试数学试题 含解析.docx，共(26)页，1.498 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年湖南省湘潭市钢铁集团第一子弟中学高三（上）开学数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2230Axxx=−−，exByy=

=，则AB=（）A.B.()1,−+C.()0,3D.()1,3【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，求出函数exy=的值域可得集合B，再求交集即可.【详解】解不等式2230xx−−得13x−，函数exy=的值域为()0,+，所以(

)1,3,(0,)=−=+AB，所以()0,3AB=.故选：C.2.欧拉公式iecosisinxxx=+（其中i为虚数单位，xR）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（）A.πie1=B

.πi2e为实数C.ie123ix=+D.复数2ie对应的点位于第三象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数ie3ix+，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项.【详解】

对于A选项，πiecosπisinπ1+=−=，A错；对于B选项，πi2ππcosisini2e2=+=为纯虚数，B错；对于C选项，因为()()()()icosisin3iesin3cos3sincosi443i3i3ixxxxxxx+−+−==+++−，因此

，()2222i4sincosesin3cos3sincos1441623ixxxxxxx++−=+==+，C对；对于D选项，π2,π2，则cos20，sin20，所以

，复数2iecos2isin2=+在复平面内对应的点位于第二象限，D错.故选：C.3.已知2ab=，若a与b的夹角为120°，则2ba−在a上的投影向量为（）A.33a−B.12a−C.32a−D.3a【答案】C【解析

】【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.【详解】()22222244cos1206baaaabbbb−=−+=−+=−，2ba−在a上的投影向量为()2263222bababaaaab

b−−==−，故选：C4.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为31.8mg/cm，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越

的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过30.3mg/cm，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg20.3，lg30.477）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】设

该污染物排放前需要过滤的次数为*(N)nn，则由题意得1.8(120%)0.3n−，解不等式可得答案.【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为*(N)nn，则由题意得1.8(120%)0.3n−，即564n，所以5lglg64n，10lglg2lg38n

+，(13lg2)lg2lg3n−+，所以lg2lg313lg2n+−，因为lg20.3，lg30.477，所以lg2lg30.30.4777.7713lg2130.3++=−−，所以7.77n，因为*Nn，所以n的最小值为8

，故选：B5.已知函数()yfx=对于任意的x∈ππ,22−满足()()cossin0fxxfxx+（其中()fx是函数()fx的导函数），则下列不等式成立的是（）A.()π024ff

B.ππ234ff−−C.ππ234ffD.()π023ff【答案】C【解析】【分析】构造函数()()cosfxgxx=，ππ,22x−，结合导数可判断函数单调性，进而可

比较函数值大小．【详解】设()()cosfxgxx=，则()()()2cossin0cosfxxfxxgxx+=，则()gx在ππ,22−上单调递增，对于A，()π04πcos0cos4ff，化简得()π024ff，故A错误；对于B，ππ34π

πcoscos34ff−−−−，化简得ππ234ff−−，故B错误；对于C，ππ43ππcoscos43ff，化简得ππ2

34ff，故C正确；对于D，()π03πcos0cos3ff，化简得()π023ff，故D错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用导数不等式构造函数的关键是将含导数的不等式转化

为右侧为0，左侧利用导数的四则运算与基本初等函数求导公式构建原函数，从而可确定原函数的解析式，再根据导数符号确定函数单调性，从而可比较两个函数值的大小.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．6.已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别

为a，b，c，π3B=，2c=，则ABC的周长的取值范围为（）A.()33,223++B.()33,423++C.()33,623++D.()33,++【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到3sinbC=

，2sinsinAaC=，即可将ab+转化为C的三角函数，结合C的取值范围及正切函数的性质计算可得.【详解】因为π3B=，2c=，由正弦定理sinsinsinabcABC==，即2πsinsinsin3abAC==，所以3sinbC=，πππ2sin2sincos2cossin2sin333sin

sinsinCCCAaCCC++===3cossinsinCCC+=，所以()3cos133cossin1sinsinsinCCCabCCC+++=+=+223cos212sincos22CCC=+3cos3211sintan22CCC=+=+，因为ABC为锐角三角形

，所以π022ππ032CBC=−，所以ππ62C，则ππ1224C，所以πtantan1122C，因为2π2tanπ312tanπ631tan12==−，所以πtan2312=−或πtan2312=−−（舍去），所以23tan12C−

，所以1113223tan2C=+−，所以3311423tan2C+++，即31423ab+++所以33623abc++++，即ABC的周长的取值范围为()33,623++.故选：C7.已知CD，是圆22:9Oxy+=上两个不同动

点，直线()()120mxym++−+=恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（）A.42−B.42+C.822−D.62−【答案】A【解析】【分析】根据题意，设以CD为直径的圆的圆心为Q，利用OPPQOQ+列不等式求解即可【详解】依题意，设

以CD为直径的圆的圆心为Q，半径为r，将直线()()120mxym++−+=化简得()120mxxy−++−=，即1020xxy−=+−=，得11xy==，所以直线恒过定点()1,1P，在RtOCQ△中，2229OQOCCQr=−=−，因为OPPQOQ+，所以229

rr+−，即222270rr+−，解得422r−−（舍），422r−，所以min242CDr==−，故选：A8.对于函数()yfx=，若存在0x，使()()000fxfx+−=，则称点()()00,xfx是曲线()fx“优美点”，已知()22,03,0xxxfxkxx

+=+，若曲线()fx存在“优美点”，则实数k的取值范围为（）A.(),23−−B.(,223−−C.)23,−+D.()223,−+【答案】B【解析】【分析】根据题意，由当0x时，()22fxxx

=+的关于原点对称的函数与()3fxkx=+有交点求解.【详解】解：由题意得：点()()00,xfx是曲线()fx的“优美点”，则点()()00,xfx−−也在曲线上，当0x时，()22fxxx=+关于原点对称的函数与()3fxkx=+有交点，当0x时

，22yxx=+，其关于原点对称的函数为22yxx=−+，由22yxx=−+与()3fxkx=+联立得，32kxx=−−+在0x时有解；而33222223xxxx−−+−+=−，当且仅当3xx=，即3x=时，等号成立，则实数k的取值范围为(,223−−故选：B二、多选题

：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，的9.已知0,0ab，且22ab+=，则（）A.ab的最小值是12B.12ab+的最小值是4C.2214ab+的最小值是8D.()()211abab

++的最小值是26【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式根据22ab+=可得222ab，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得221448abab+即可求解选项C；根据()()211233226ababa

bababab+++==+，再结合等号成立条件可求解选项D.【详解】因为0,0ab，且22ab+=，所以222ab，所以12ab，当且仅当21ab==时，等号成立，则A错误；由题意可得()1211214124(44)4222baabababab+=++

=+++=，当且仅当21ab==时，等号成立，则B正确；因为12ab，所以221448abab+，当且仅当21ab==时，等号成立，则C正确；由题意可得()()211233226abababababab+++==+，此时，

23ab=．因为22ab+=，所以不存在,ab，使得23,22,abab=+=，则D错误．故选:BC.10.下列说法正确的是（）A.相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强B.若一组数据1x，2x，3x，…，10x的方差为2，则12x+，22x+，32x+，…，102x+的方差为2C.若随

机变量X服从正态分布()22,N，()30.64PX=，则()120.14PX=D.若()12PA=，()14PBA=，()23PBA=，则()724PB=【答案】BCD【解析】【分析】由相关系数的实际意义判断A；由方差性质判断B；根据正态分布对称性求概率判断C；应用全概率公式、条件概

率公式求概率判断D.【详解】A：相关系数r的绝对值越大，两变量的线性相关程度越强，错；B：由()2DX=，则(2)2DX+=，对；C：由正态分布的对称性知：()12(3)0.50.14PXPX=−=，对；D：由()()()(|)()()(|)PBPABP

ABPBAPAPAPBA=+=+，而11()1(),(|)1(|)23PAPAPBAPBA=−==−=，所以()11117423224PB=+=，对.故选：BCD11.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab

−=的右焦点2(3,0)F到渐近线的距离为1，P为C上一点，下列说法正确的是（）A.C的离心率为62B.2PF的最小值为22C.若A，B为C的左、右顶点，P与A，B不重合，则直线PA，PB的斜率之积为12D.设C的左焦点为1F，

若12PFF△的面积为33，则122π3FPF=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意列关于,,abc的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，2PF的最小值，结合动点P满足的方程220012xy−=，列式计算PAPBkk，在焦点三角形12PFF△中，由双曲线

的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出12FPF.【详解】由已知可得3c=，221cbbab==+，所以2a=，则C的方程为2212xy−=，离心率为3622=，A正确；因为2PF的最小值为32ca−=−，所以B错误；设()00,Pxy，则220012xy−=，()2,0A−，

()2,0B20200022000011222222PAPBxyyykkxxxx−====−−+−，所以C正确；设12FPF=，由12122221212121222cos1sin2PFFPFPFaF

FPFPFPFPFSPFPF−==+−=可得122133tantan22=PFFSb==，得tan32=，则122π3FPF=，所以D正确．故选：ACD12.若定义在()1,1−上的函数()fx满足()()1

xyfxfyfxy++=+，且当0x时，()0fx，则下列结论正确的是（）．A.若1x，()21,1x−，21xx，则()()120fxfx+B.若1122f=−，则40241f=−C.若()()

24fxgx−+=，则()gx的图像关于点()2,4对称D.若π0,4，则()()sin22sinff【答案】BC【解析】【分析】根据已知应用单调性分情况可以判断A选项，应用单调性结合反证

法可以判断D选项，赋值法可以求出B选项，根据对称性可以判断C选项.【详解】令yx=−，则()()()00fxfxf+−==，∴()fx为奇函数，把y用y−代替，得到()()1xyfxfyfxy−−=−，设11yx−，()()110xy−

+，∴011xyxy−−．又∵当0x时，()0fx，∴()()fxfy，∴()fx在()1,1−上单调递减．∵()12,1,1xx−，21xx，当0x时，()0fx，则当1>0x时，则210xx，()()120fxfx+，当10x

时，则210xx−，()()()()12210fxfxfxfx+=−−．综上，()()120fxfx+，∴A错误．令12xy==，得14225ff=，∴415f=−，令45==xy，得4402

541ff=，∴40241f=−，∴B正确．由()()24fxgx−+=，得()()24fxgx−=−，得()()42fxgx=−−，又∵()()42fxgx−=−+，()fx为奇函数，∴()()0fxfx+−=，则()()228gxgx−++=，

则()gx的图像关于点()2,4对称，∴C正确．()()()22tansin22sincos2tan1tanffff===+，假设()()sin22sinff，可得()()tansinff，即tan

sin，当π0,4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误．故选：BC.【点睛】方法点睛：抽象函数已知奇偶性结合单调性定义得出单调性，结合对称性可以确定对称中心进而可以解题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在7(3)x−的展开式中，6x的系数是______

（用数字作答）.【答案】21【解析】【分析】直接根据二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题可得7(3)x−的展开式的展开式通项为()77C?3?1?rrrrx−−，其中07,Nrr，令6r=，则含6x的系数为667C3(1)21=

−.故答案为：21.14.已知抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线与,PQ两点，且1PF18FQ+=，则拋物线的准线方程为________.【答案】18x=−【解析】【分析】根据题意作出图形，设直线PQ与x轴的夹角为，不妨设||||PFQF，设抛物线的准线与x轴

的交点为E，过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为,PH，过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为,QG，进一步可以得到||||||||||||cosPFPPEHEFFHpPF===+=+，进而求出||PF，同理求出||QF，最后解得答案.【详解】

设直线PQ与x轴的夹角为(0)2，根据抛物线的对称性，不妨设||||PFQF，如图所示.设抛物线的准线与x轴的交点为E，过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为,PH，过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为,QG.由抛物线的定义可知，||||||||||||cos||1cospPFP

PEHEFFHpPFPF===+=+=−，同理：||||||||||||cos||1cospQFQQEGEFGFpQFQF===−=−=+,于是，111cos1cos218||||4pPFQFppp−++

=+===，则抛物线的准线方程为：18x=−.故答案为：18x=−.15.若函数()()2π12sin06fxx=−−在0,π上有且仅有四个零点，则的取值范围为______．【答案】2329,1212【解析】【分析】利用余弦函数图象和性质结合题

意可得792232−，解不等式即可得出答案.【详解】()2ππ12sincos263fxxx=−−=−，因为0,πx，πππ2,2π333x−

−−，函数()()2π12sin06fxx=−−在0,π上有且仅有四个零点，所以792232−，解得：23291212.故答案为：2329,121216.在ABC中，π2BAC=

，2AB=，1AC=，点D为边BC边上一动点，将ABD△沿着AD翻折，使得点B到达B，且平面ABD⊥平面ACD，则当BC最小时，CD的长度为______.【答案】53##153【解析】【分析】作出图形，根据面面垂直的性质得BECE

⊥，利用条件将BC转化为三角函数表示，进而求出当4=时，BC最小，从而可得AD为BAC的角平分线，再由角平分线定理可得2BDCD=，从而求得结果.【详解】在ABC中，π2BAC=，2AB=，

1AC=，由勾股定理可得5BC=;设π,0,2BAD=，过B作BEAD⊥交AD或AD的延长线于E点，过C作CFAD⊥交AD或AD的延长线于F点，ABDABD，BEAD⊥，BEAD⊥,又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD平

面ACDAD=，BE⊥平面ACD，CE平面ACD，BECE⊥,ACFBAD==,在RtABE中，2sin2cosBEAE==；在RtACF中，cossinCFAF==；2cossinEFAEAF=−=−,又2222

2BCBECEBECE=+=+，而222CEEFCF=+,()22222224sincos2cossin54sincos52sin2BCBEEFCF=++=++=−=−−，52sin2BC=−，当sin21=时，BC取最小值为3，即0

,22,2π=，4=，AD为BAC的角平分线，由角平分线定理可得ABBDACCD=，即221BDCD==，2BDCD=，1533CDBC==,故答案为：53【点睛】关键点睛：画出图形并作出辅助线，将线段长度最值转化为三角函数求最

值是关键，考查空间中的线段长度的计算与解三角形的综合应用，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的公差0d，其前n项和为nS，若1a，2a，5a成等比数列，且636S=.（1）求数列na的通项

公式；（2）记12231111nnnTaaaaaa+=+++，求证：12nT.【答案】（1）21nan=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知条件列方程组求出数列na的首项和公差，可得数

列na的通项公式；（2）利用裂项相消法求出nT，即可得到结论.【小问1详解】的因为1a，2a，5a成等比数列，636S=，所以()()211114656362adaadad+=++=，由0d，解得112ad==，所以()()11112

21naandnn=+−=+−=−.【小问2详解】由()()111111212122121iiaaiiii+==−−+−+，1,2,,in=，得111111111123352121221nTnnn=−+−++−=−−++L，由*Nn，有1021n

+，所以11121n−+，得11112212nTn=−+.18.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，__________．在①()2coscoscosAcBbCa+=；②3sincosaCbcaC

−=−这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．（1）求角A；（2）若ABC为锐角三角形，求22bcca−的取值范围．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3A=;（2）21,33−.【解析】【分析】（1）选择条件①：由正弦定理、两角和的正弦公式及

诱导公式可求出cosA的值，从而可求角A；选择条件②：由正弦定理可得3sin1cosAA=+，根据两角差的正弦公式，结合角A的范围即可求解；（2）由余弦定理可得2221bccbaa−=−，根据正弦定理求出ba的取值范围即可.【

小问1详解】若选择条件①．由正弦定理，得()()()2coscoscos2cossincossincos2cossinsinAcBbCACBBCABCA+=+=+=，即()2cossinπ2cossinsinAAAAA−==，因为()0,πA，所以sin0

A，所以1cos2A=，则π3A=．若选择条件②．因为3sincosaCbcaC−=−，由正弦定理可得3sinsinsinsinsincosACBCAC−=−，即()3sinsinsincossinsinACACCAC+=++，所以3sinsinsinsincosACCCA=+，因为sin0C

，所以3sin1cosAA=+，所以π2sin16A−=，又因为0πA，所以π3A=．【小问2详解】由余弦定理，可得2221cos22bcaAbc+−==，则222bcbca=+−，所以222bccba−=−，则2222221bccbabaaa−−==−

，由正弦定理，得sin23sinsin3bBBaA==，因为π2πππ,,0,03322ABCBC=+=，所以ππ1,sin1622BB，所以2232321,,,3333bbccaa

−−，即22bcca−的取值范围为21,33−．19.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，24,,90,,PDCDADABABCDC

DAEF=====分别为棱,PDPB的中点，14PGPC=.（1）证明：,,,AGFE四点共面；（2）求平面ABF与平面AEF的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）建

立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件可知，若存在,Rmn，使AGmAEnAF=+，则,,,AGFE四点共面；（2）分别求出平面ABF与平面AEF的法向量，从而根据夹角公式求解即可.【小问1详解

】因为PD⊥平面ABCD，,ADCD平面ABCD，所以,PDADPDCD⊥⊥，又底面ABCD为直角梯形，90CDA=，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()4,0,0,0,0,2,2,1,2,0,1,3AEFG.()()

()4,0,2,2,1,2,4,1,3AEAFAG=−=−=−.设AGmAEnAF=+，即4421322mnnmn−=−−==+，解得1,21,mn==所以12AGAEAF=+.故,,,AGFE四点共面.【小问2详解】设(),,nxyz=r是平面AE

F的法向量，则420220nAExznAFxyz=−+==−++=，令2z=，得()1,2,2n=−r.取AP的中点H，则(2,0,2)H，连接DH，又因为PDAD=，所以DHAP⊥，又由（1）,CDADPDCD⊥⊥，ADPDD=I，AD平面PAD，PD平面

PAD，所以CD⊥平面PAD，又ABCD∥，所以AB⊥平面PAD，又DH平面PAD，所以DHAB⊥，又APABA=，AP平面ABF，AB平面ABF，所以DH⊥平面ABF，即平面ABF的一个法向量为()2,0,2DH=.所以2cos,2nDHnDHnDH

==.故平面ABF与平面AEF的夹角的大小为π4.20.新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续

游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为13，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量X，求X的数学期望；（2）（i）记()*kpkN表示“从游客中随机

抽取k人，总分恰为2k分”的概率，求kp的前4项和；（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记()*nanN表示“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率，探求na与()12nan−的关系，并求数列na的通项公式.【

答案】（1）163（2）（i）413081S=；（ii）1113nnaa−=−，311443nna=+−【解析】【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求解即可；（2）（i）根据题意可得“总分恰为2k分”的概率为23k，再根据等比数

列前n项和公式求解即可；（ii）方法一：“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为na，得不到2n分的情况只有先得22n−分，再得4分，概率为()11122,33nana−=，则1113nnaa−−=，再利用构造法求解即可.方法二：得分2n分可以先得()22n−分，再得2分，也可以先得

()24n−分，再得4分，“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为na，则“得()22n−分的概率为1na−”，“得()24n−分”的概率为2na−，根据题意可出12,,nnnaaa−−的关系，再利用构造法求解即可.【小问1详解】X可能取值为4,6,8，()224439PX===，(

)121246C339PX===，()211839PX===，X的数学期望()441481646899993EX=++==；【小问2详解】（i）“总分恰为2k分”的概率为23k

，数列kp是以首项为23，公比为23的等比数列，记前n项和为nS，则前4项和442213313028113S−==−；（ii）方法一：“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为na，得不到2n分的情况只有先得22n−分，再得4分，概率为()11122,3

3nana−=，所以1113nnaa−−=，即1113nnaa−=−，1313434nnaa−−=−−，∴数列34na−是以131412a−=−为首项，13−为公比的等比数列，11133111443123nnnaa−−−=−−=−

−，311.443nna=+−方法二：得分2n分可以先得()22n−分，再得2分，也可以先得()24n−分，再得4分，“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为na，则“得()22n−分”的概率为1na−，“得()24n−分”的概率为2

na−，所以12122122217,,3333339nnnaaaaa−−=+==+=，由122133nnnaaa−−=+，得1121133nnnnaaaa−−−+=+，112211117121333933nnnnaaaaaa−−−+=+==+=+=，111

3nnaa−=−，（后面同方法一）另解：由122133nnnaaa−−=+，得()11213nnnnaaaa−−−−=−−，21721939aa−=−=，21111933nnnnaa−−−=−=−.又()()1121111193213

13nnnnaaaaaa−−−−=+−++−=++121113123n−=+−−13114123n−=−−311443n=+−.21.已知函数()()()1ln1fxxxmx=−−+.（1）若1m=，求曲线()yf

x=在1x=处的切线方程；（2）若对任意的1,ex+，()0fx恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）10xy++=（2）(,0−【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率()1f，结合()12f=-可得切线方程；（2）参变

分离可得1ln1xmxx−+，令()1ln1xgxxx−=+，利用导数可求得()mingx，由此可得m范围.【小问1详解】()1lnxfxxmx−=+−，当1m=时，()12f=-，()11f=−，∴曲线()yfx=的切线方程()21yx+=−−，即10

xy++=.【小问2详解】若()()()1ln10fxxxmx=−−+在1,ex+上恒成立，则1ln1xmxx−+在1,ex+上恒成立，令()1ln1xgxxx−=+

，则()()()22112ln1lnln111xxxxxgxxxxxxx−−+−=+=+++，令()22ln1hxxxx=+−，则()2ln22hxxx=++.当1,ex+时，()0hx，∴h（x）在1,e+上单调递增且()1

0h=，故当1x时，()()()0,0,hxgxgx单调递增；当11ex时，()()()0,0,hxgxgx单调递减；故当1x=时，()gx取得极小值，也是最小值()10g=，∴实数m的取值范围为(,0−【点睛】方法定睛：利用导数证明不

等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．22.已知椭圆2222:1(0)x

yCabab+=的离心率为121,,2AA分别为椭圆C的左右顶点，12,FF分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的上顶点，且11BAF的外接圆半径为2213．（1）求椭圆C的方程；（2）设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于,PQ两点（,PQ

在x轴的两侧），记直线1221,,,APAPAQAQ的斜率分别为1234,,,kkkk．（i）求12kk的值；（ii）若()142353kkkk+=+，则求2FPQ△的面积的取值范围．【答案】（1）2

211612xy+=（2）（i）34−；（ii）95(0,)2【解析】【分析】（1）根据已知求出,ac关系，可推得1||7ABc=，结合11BAF的外接圆半径，利用正弦定理求得c，即可求得,ab，即得

答案；（2）设l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数关系，（i）化简整理可得12kk以及34kk的值；（ii）利用（i）的结论推出23920kk=−，结合根与系数的关系式化简可求得m的值，继而求得2FPQ△的面积的表达式，结合

函数的单调性即可求得答案.【小问1详解】由于椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，故12ca=，故11||22||BFacOF===，则1111306012,,0FBOBFOBFA=

==，又22223bacc=−=，则22221||437ABabccc=+=+=，又11BAF的外接圆半径为2213，则111||72212sinsin1203ABcBFA==，解得2c=，故423,ab==，故椭圆方

程为2211612xy+=；【小问2详解】（i）设l与x轴的交点为D，由于直线l交椭圆C于,PQ两点（,PQ在x轴的两侧），的故直线l的斜率不为0，设l的方程为xtym=+，联立2211612xtymxy=++=，则()2223463480tymtym++

+−=，需满足2248(1216)0tm=−+，设()()1122,,,PxyQxy，则212122263483434,mtmyyyytt−−+==++，又()()120,,40,4AA−，故12221

1111222111134441643PAPAyyyykkkkxxxy=====−+−−−，同理可得123434QAQAkkkk==−；（ii）因()142353kkkk+=+，则()2323232323335354434),(3kkkkkkk

kkk+−−=+−=+，又直线l与x轴不垂直可得230kk+，则23920kk=−，即22920PAQAkk=−，所以121294420yyxx=−−−，即()121220944)0(yytymtym++−+−=，即()(

)()()22121292094940tyytmyym++−++−=，即()()222223486920949(4)03434mmtttmmtt−−++−+−=++，整理得2340mm−−=，解得1m=−或4m=，因为,PQ在x轴的两侧，故212

2348034myyt−=+，则44m−，为故1m=−，此时直线l1xty=−，过定点(0,1)−，与椭圆C交于不同两点；此时1212224,645343tyyyytt−+==++，()22212121213||||422

FPQSFDyyyyyy=−=+−222223645184542343434ttttt−+=−=+++，令245t+=，由于l与x轴不垂直，故0t，所以5，故2272721313FPQS==++，设211()3,()3gg=+=−，5时，()0

g，即()g在(5,)+上单调递增，即165()(5)5gg=，故7295(0,)123+，即2FPQ△的面积的取值范围为95(0,)2.【点睛】难点点睛：解答此类直线和椭圆位置关系中的范围问题，解答的思路并不困难，一般是联

立方程，得到根与系数的关系，进而化简，难点在于计算的过程比较复杂且计算量较大，因此对于含有字母的复杂计算要十分细心.为获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com