【文档说明】《中考数学第二轮重难题型突破》类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题（解析版）.doc，共(8)页，471.878 KB，由管理员店铺上传

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1类型五二次函数与特殊平行四边形判定问题例1、如图，抛物线2yxbxc=−++与直线122yx=+交于,CD两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx⊥轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为

m，当m为何值时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。【解析】（1）∵直线122yx=+经过点C,∴(0,2)C∵抛物线2yxbxc=−++经过点(0,2)C，D7(3,)2∴22727332

2cbbcc===−++=∴抛物线的解析式为2722yxx=−++（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上∴271(,2),(,2)22PmmmFmm−+++2∵PF∥CO，∴当PFCO=时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形①当03m时，22712(2)322PF

mmmmm=−++−+=−+∴232mm−+=，解得：121,2mm==即当1m=或2时，四边形OCPF是平行四边形②当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm=+−−++=−232mm−=，解得：12317317,22mm

+−==（舍去）即当13172m+=时，四边形OCFP是平行四边形例2、如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在

y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的

解析式为：y=﹣x2+2x+3．3（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3．设E点坐标为（

x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P点坐标为（1，0）或（2，

0）．例3、如图，抛物线32++=bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，31tan=OCA，6=ABCS．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．【解析

】解：（1）∵32++=bxaxy∴C(0,3)………………………………………………1分又∵tan∠OCA=31∴A（1，0）……………………………………………1分又∵S△ABC=6∴6321=ABCABOyx4∴AB=4…………………………

………………………1分∴B（3−，0）…………………………………………1分（2）把A（1，0）、B（3−，0）代入32++=bxaxy得：+−=++=339030baba…………………………………………1分∴1−=a，2−=b∴322+−−=xxy……………………………………2分∵4)

1(2++−=xy∴顶点坐标（1−，4）………………………………1分（3）①AC为平行四边形的一边时E1析(1−，0)………………………………………1分E2（−−27，0）………………………………1分E3（+−27，0）………………………………1分②AC为平行四边形的对角线时E4（3，0）……

……………………………………1分例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在

第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5【解析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x

2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数

的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时

只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．【答案】解：（1）把A（3，0）B（

0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2

t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=32时，二次函数的最大值，即PM最长值为=94，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四

象限：PM=OB=3，PM最长时只有94，所以不可能有PM=3．6xyAOCB（第5题图）xyAOCB（第5题图）'NPNMH'M②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第

三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．例5、如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2ABC−−三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一

动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】解：（1）设抛物线的解析式为2yaxbxc=++，根据题意，得0,2550,5.2abcabcc−+=++==−，7解

得1,22,5.2abc==−=−∴抛物线的解析式为：2152.22yxx=−−………(3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求.设直线BC的解析式为yk

xb=+，由题意，得50,5.2kbb+==−解得1,25.2kb==−∴直线BC的解析式为15.22yx=−…………(6分)∵抛物线215222yxx=−−的对称轴是2x=，∴当2x=时，1

53.222yx=−=−∴点P的坐标是3(2,)2−.…………(7分)（3）存在…………………………(8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=

2对称，∵C点的坐标为5(0,)2−，∴点N的坐标为5(4,).2−………………………(11分)（II）当存在的点'N在x轴上方时，如图所示，作'NHx⊥轴于点H，∵四边形''ACMN是平行四边形，∴'''',ACMNNMHCAO==,∴Rt△CA

O≌Rt△''NMH,∴'NHOC=.∵点C的坐标为'55(0,),22NH−=,即N点的纵坐标为52，∴21552,222xx−−=即24100xx−−=解得12214,214.xx=+=−8∴点'N的坐标为5(214,)2−和5(214,)2+

.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为5(4,).2−，5(214,)2+，5(214,)2−………………………(13分)