【文档说明】浙江省舟山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(27)页，1.700 MB，由小赞的店铺上传

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舟山市2022学年第二学期期末检测高二数学试题卷命题人：定海一中封荣旭南海实验高中何志超普陀中学金红娣审稿人：黄明才注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷选择题部分（共60分）一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2,0,23,20,2,3AB==，则()RAB=ð（）A.2,0B.0,23C.2,0,23D.R【答案】B【解析】【分析】根据补集以

及交集的定义即可求得答案.【详解】因为集合2,0,23,20,2,3AB==，则R{R|20,2,3}Bxxxx=ð，则()R0,23AB=ð,故选：B2.已知平面,，直线,,lab，若,,lab=且bl⊥，则“ab⊥rr”是“a⊥”的（）A

.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案.【详解】如下图,,lab=且bl⊥，ab⊥

rr，则l//a，此时a，l，所以//a，充分性不成立；若a⊥，因为b，所以ab⊥rr，必要性成立，故“ab⊥rr”是“a⊥”的必要不充分条件.故选：B.3.已知幂函数()yfx=的图象过

点()()()4,2,1,,sin1,ABmCn，则m与n的大小关系为（）A.mnB.mnC.mn=D.不能确定【答案】A【解析】【分析】求出幂函数的解析式，再求出m，n并比较大小作答.【详解】依题意，设()fx

x=（为实常数），于是42=，解得12=，则12()fxxx==，因此(1)1mf==，(sin1)sin11nf==，所以mn.故选：A4.2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭

在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度(v单位:km/s)与燃料质量M(单位:kg)､火箭质量(m单位:kg)的函数关系为2ln1Mvm=+

，若已知火箭的质共为3100kg,火箭的最大速度为11km/s,则火箭需要加注的燃料为(参考数值为ln20.69;ln244.695.50,结果精确到0.01)（）A.243.69tB.244

.69tC.755.44tD.890.23t【答案】C【解析】【分析】利用指对互化解出M，可得火箭需要加注的燃料的估算值．【详解】2ln1Mvm=+，则112ln13100M=+，所以5.51e3100M+=解得()()()5.53100e13100243.697

55439kg755.44tM=−=故选：C5.现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为（）A.542B.59C.18D.13【答案】A【解析】【分析】古典概型公式结合排列

组合计算可得.【详解】随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定三角形网格内，每个数字只能使用一次共有99A种排法，中间一行均为奇数的填法3656AA，则中间一行均为奇数的填法的概率365699AA5435=A78942P==.故选

：A.6.已知函数()()2cosfxx=+的部分图象如图所示，0,π，则满足()()7π4π043fxffxf−−−的整数x取值可能为（）A.3B.2C.1D.0【答案】C的

【解析】【分析】根据函数图象确定参数，求得函数解析式，根据不等式求得2π610cos2x−，即可求得x的范围，讨论即可求得答案.【详解】设函数的最小正周期为T，则313ππ,π4123TT=−=，故2π2π==，由13π13ππ2cos2cos2

1266f=+=+=，得πππ,Z,π,Z6622kkkk+=−+=，因为π，故π6=−，即()π2cos26fxx=−，7π11π4π5π2cos12cos033,42ff

−=−===，故由()()7π4π043fxffxf−−−可得0()1fx，即2π610cos2x−，则πππ2π2π,Z262

3kkxk+−−+−或πππ2π2π,Z3622kkkx−++，即ππππ,Z612xkkk+−−+或ππππ,Z43kxkk++，当0k=时，存在ππ43x，此时整数x取值为1；当1k=时，5π11π612x或5π4π43x，此时整数x取值为4

；当k取比2大的整数时，整数x的取值都大于4，结合选项可得整数x取值可为1，故选：C7.定义在R上的函数()fx满足()()()()100,11,52xffxfxffx=+−==，且当1201

xx时，()()12fxfx，则12023f=（）A.1256B.1128C.164D.132【答案】D【解析】【分析】先由已知条件求出一些特值,(1)f111,22f==

,可得2115f=,反复利用1()52xffx=，可得11312532f=，11125032f=，再由12023f与13125f、12023f与11250f的大小关系从而得出结论.【详解】(0)0,()

(1)1ffxfx=+−=，令1x=得：(1)1f=，又111()5252xffxf==，反复利用1()52xffx=可得：111111111131252625412582516532fffff

=====①，再令12x=，由()(1)1fxfx+−=,可求得1122f=,同理反复利用1()52xffx=可得:1111111111125022504508101623

2fffff=====②，由①②可得：有1111250312532ff==，1201xx，()()12fxfx，而11101,3125

20231250所以1112023312532ff=,1112023125032ff=故11202332f=.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数及其应用,难点在于利用(0)0,()(1)1ffx

fx=+−=两次赋值后都反复应用1()52xffx=,分别得到关系式①②,从而使问题解决,考查抽象函数的性质的应用及转化思想，属于难题.8.如图，已知四棱锥PABCD−中，正三角形PAB的边长为2，AD⊥平面,//PCDBCAD，且2BCAD=，则四棱锥

PABCD−的体积的最大值为（）A.22B.32C.2D.3【答案】B【解析】【分析】连接AC可得3−−=PABCDPACDVV，设ADa=，取PC的中点E，可得DEPC⊥，由111332−−===PACDAPCDPCDVV

SADPCDEAD2313=−aa，利用基本不等式可得答案.【详解】连接AC，因为AD⊥平面,//PCDBCAD，且2BCAD=，所以2−−=PACDPABCVV，且3−−=PABCDPACDVV，设ADa

=，则2BCa=，在直角三角形PBC中可得22a，所以01a，可得2244=−=−PDADa，222142=−=−CDABBCa，22244=−=−PCPBBCa，取PC的中点E，连接DE，可得DEPC⊥，所以()2222413=−=−−−=DECDCEaa，所以

111332−−===PACDAPCDPCDVVSADPCDEAD2222331313326−+=−=aaaa，当且仅当221−=aa即22a=等号成立，此时四棱锥PABCD−的体积的最大值为32.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是求

出111332−−===PACDAPCDPCDVVSADPCDEAD，考查了显示的空间想象能力、运算能力.二、选择题Ⅱ（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.舟山某校为了加强食堂用餐质量

，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成))))50,60,60,70,70,80,80,90,90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.0.01x=B.

该样本数据的中位数和众数均为85C.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在)50,60的学生4人【答案】ACD【解析】【分析】根据直方图的

性质逐项分析.【详解】由直方图可知：()0.0150.0200.0300.025101,0.01xx++++==，A正确；设中位数为80y+，则()50.010.0150.020100.0300.5,3yy+++==，即中位数为2813（分），B错误；平均分()550.0165

0.015750.020850.030950.0251079.585=++++=，故C正确；)50,60组有0.011010010=（人），同理)60,70组有15（人），)70,80组有20（人），根据分层

抽样的原理，从)50,60组抽取的人数为10184101520=++（人），D正确；故选：ACD.10.在复平面内，复数1230,12i,2izzz==+=+（i为虚数单位）对应的点分别为,,OAB，下列描述正确的是

（）A.23izz=B.22cos3AOB=C.若2z是关于x的实系数方程20xpxq++=的一个根，则2,2pq==D.若复数z满足23zzz−=，则z的最大值为23【答案】BD【解析】【分析】对于A，利用共轭复数定义，结合复数的除法，可得答案

；对于B，利用嫩几何意义写出点的坐标，利用向量的数量积求夹角即可；对于C，根据一元二次方程的韦达定理，结合共轭复数的定义，可得答案；对于D，利用复数的几何意义，将问题转换为圆相关的距离问题，可得答案.【详解】对于A，212iz=

−，()()()()2312i2i12i3ii32i2i2izz−−−−====−++−，故A错误；对于B，由题意可知：()()()0,0,1,2,2,1OAB，()()1,2,2,1OAOB==，的123OA=+=，213OB=+=，2222co

s333OAOBAOBOAOB+===，故B正确；对于C，由题意可知：方程20xpxq++=的两个根为212i,12izz=+=−，则2222zzpzzq+=−=，23pq=−=，故C错误；对于D，3213z=+=，设izxy=+，则其对应的点为(

),xy，,Rxy由23zzz−=，则()()22123xy−+−=，动点(),xy的轨迹为以()1,2为圆心，以3为半径的圆由()0,0也在该圆上，故22max23zxy=+=，故D正确.故选：BD.11.设函数()22min(2),,(2)fxxxx=

−+，其中min,,abc表示,,abc中的最小者，则下列说法正确的是（）A.()()fxfx−=B.当3,3x−时，则()1fx≤C.当)1,x+时，则()()2fxfx−D.()()()ffxfx【答案】ABD

【解析】【分析】根据题意画出()fx的大致图象,然后依据图象逐个检验即可．【详解】根据()22min(2),,(2)fxxxx=−+，作出以下图形，对A选项，()()22,4411,()2,41,2,14,xxxxfxxx

xx−−=+−−−或或，结合图象可知()fx为偶函数，所以()()fxfx−=恒成立，故选项A正确；对B选项，当3,3x−时，()()331ff=−=，()()111ff=−=，显然根据图象得()1fx≤，故B正确；对C选项，当1x时

,()()22,14=,4xxfxxx−，当32x=时，()3111222222fxfff−=−=−==，而23312224f=−=，此时()()2

fxfx−，故C错误；对D选项，由图知,当xR时,()0fx,且0x时，()fxx恒成立，可令()tfx=,则0t，故()()fttfx=，所以()()()ffxfx，故选项D正确；故选：ABD12.

已知,PQ是边长为1的正方形ABCD边上的两个动点，则下列结论正确的是（）A.APDQ的最小值为1−B.CQBP的最大值为2C.APCQBPDQ−的最小值为2−D.APCQBPDQ−的最大值为1【答案】AD【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式逐项计算

后可得正确的选项.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A，()()()1,0,1,1,0,1BCD，.设()(),,,PxyQmn，其中0x=或1x=时，0,1y；0y=或1y=时，0,1x；0m=或1m=时，0,1

n；0n=或1n=时，0,1m.又()(),,1,AxymnPDQ==−，()(1,1),1,mnxyCQBP=−−=−对于A，()()100011mxynyAPDyQ=+−+−−−，当且仅当0,1m

xny====时等号成立，故APDQ的最小值为1−，故A正确.对于B，()()11(1)yCxQBmPn=−−+−，因为110m−−，110x−−，故()()0111mx−−，而()10ny−，故1CQBP，所以CQBP的最大值不可能为2，故B错误.对于C，()()(

)()1111xAPCQBPDQxmynxmynm=−+−−=−−−−−，因为01,01mx，故11mx−−，当且仅当1,0mx==时，1mx−=；当且仅当0,1mx==时，1mx−=−；所以APCQBPDQ−的

最小值为1−，APCQBPDQ−的最大值为1，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：对于几何图形下的数量积的计算问题，如果图形比较规则，则可以考虑建立平面直角坐标系，让数量积的计算问题归结为坐标计算，另外在估计多变量的代数式的最值时，可利用不等式的性质结

合等号成立的条件来处理.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.二项式2nxx+的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含6x的项是_____________．【答案】6180x【解析】【分析】根据二项式系数的特征求出n，求出二项式

展开式的通项公式，再令x的幂指数等于6，求得r的值，可得答案．【详解】因为二项式2nxx+的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，10n=，故102+xx展开式

的通项为1010211010C22C−−−+==rrrrrrrrTxxx，令1026r−=，解得2r=，故展开式中含6x的项是2266102C180=xx.故答案为：6180x．14.已知2tant

an74−+=，则2cossin2+=_____________．【答案】1【解析】【分析】用正切函数的两角和公式化简题目条件可得tan2=，再将2cossin2+化简为212tantan1++

，将tan代入从而得出答案.【详解】因为tantantan14tan41tan1tantan4+++==−−，所以tan12tantan2tan741tan+−+=−=−，化简得2tan4tan40−+=，解得t

an2=，222222cos2sincos12tan122cossin21sincostan121++++====+++.故答案为：1.15.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有___

__种上楼梯的方法.【答案】21【解析】【详解】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有16

6C=种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有5210C=种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有344C=种方法；共计21种上楼梯的方法.16.在

三棱锥−PABC中，,222,6PABCBCPAABPC⊥====，点,MN分别是,PBBC的中点，且AMPC⊥，则平面AMN截三棱锥−PABC的外接球所得截面的面积是_____________．【答案】7π6#

#7π6【解析】【分析】证明出PC的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出h，进而得到r，得到截面面积.【详解】因为PAAB=，M是PB的中点，所以AMPB⊥，又,,,AMPCPBPC

PPBPC⊥=平面PBC，所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以AMBC⊥，又,,,PABCPAAMAPAAM⊥=平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又,,PAABPB平面PAB，所以,BCABBCPB⊥⊥，BCPA⊥，在△ABC中，1,2,==⊥ABBCBCAB，所以

225ACABBC=+=，在△PAC中，516，，===ACPAPC，所以222ACPAPC+=，所以ACPA⊥，取PC的中点O，又,⊥⊥BCPBACPA，所以OAOBOCOP===，即点O是三棱锥−PABC的外接球

的球心，且ACBCC=，ACBC、平面ABC，所以PA⊥平面ABC，AB平面ABC，所以ABPA⊥，因为6PC=，故外接球半径为62R=，设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，因为M

N是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，故OAMNBAMNNAMBVVV−−−==，即11261122132223222=h，得33h=，所以22276=−=rRh，所以截面圆的面积为27ππ6==Sr．故答案为：7π6.

【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造

出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系中，O是坐标原点，向量()()()3,1,2,1,,OAOBOCab==−=，其中0,0ab

．（1）若OB与OC夹角为45，求ba的值；（2）若ABAC⊥，求11ab+的最小值．【答案】（1）13（2）3225+【解析】【分析】（1）根据向量夹角的坐标表示，列式化简即可求得答案.（2）根据向量垂直的坐标表示求得25ab+=，将11ab+

化为()11125abab++，结合基本不等式即可的求得答案.【小问1详解】由题意知向量()()2,1,,OBOCab=−=，因为OB与OC的夹角为45，所以2cos,2OBOC=，即2222cos,25OBOCabOBOCOBOCab−===+，解得13ba=（

负值舍去）；【小问2详解】因为()()1,2,3,1ABOBOAACOCOAab=−=−−=−=−−，又ABAC⊥，则0ABAC=，即()()()()13210ABACab=−−+−−=，即得25ab+=，又0,

0ab，故()111111232223555baabababab++=++=++，当且仅当2baab=且25ab+=，即525,2222ab==++时取得等号，所以min113225ab++=．18.记ABC的内角,,

ABC的对边分别为,,abc，函数()2sin3sincosfxxxx=+，角C满足()0fC=．（1）求C的值；（2）若2coscbB=，且在下列两个条件中选择一个．．．．作为已知，求BC边上的中线长度．①ABC的周长为23+；②ABC的面积为34．【答案】（1）2π3C=（

2）72【解析】【分析】（1）先应用二倍角公式及辅助角公式化简求值即可；（2）由已知先得出边长，再应用余弦定理结合中线计算可得.【小问1详解】()21cos23π1sin3sincossin2sin22262

xfxxxxxx−=+=+=−+，由()0fC=得π1sin262C−=−，因为()ππ11π0,π,2,666CC−−，所以π72π66C−=，所以2π3C=【小问2详解】2coscbB=

,由正弦定理边化角得sin2sincossin2CBBB==,所以2CB=或2πCB+=得π3B=（舍）或π6B=所以π6A=，选①，因113::sin:sin:sin::1:1:3222abcABC===,所以周长2323abcaa++=+=+，解得1,3abc===,设BC边

上的中线为m，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−,D为BC中点，()()222222,2,42cosADABACADABACmbcbcA=+=+=++()22222(2)bcma+=+即()27213412mm+=+=.选②因113::sin

:sin:sin::1:1:3222abcABC===，所以三角形面积21133sin2224SabCa===，解得1,3abc===，设BC边上的中线为m，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−,D为BC中点，()()

222222,2,42cosADABACADABACmbcbcA=+=+=++,()22222(2)bcma+=+,即()27213412mm+=+=.19.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时

，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的65倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提

出零假设为0H：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到24.040x．（1）根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；（2）求被抽样调查的总人数，并依据小概率值0.05=的卡方独立性检验，分析该校学

生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；（3）用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为X，求随机变量X的方差．附：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++a0.10.050.010.0050.001ax2.

7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案见解析（2）有关联（3）9940【解析】【分析】（1）根据题意完善22列联表，结合相应的频率分析说明；（2）根据题意结合2求总人数，并与临界值对比分析；（3）

由题意可得1110,20XB，结合二项分布求方差.【小问1详解】设被调查的总人数为()*20nnN人，则男、女生人数均为10n，则女生中“了解”和“不了解”的人数均为5n，“了解”的学生中男生人数是6565nn=

，可得22列联表如下：性别亚运会项目合计了解不了解男生6n4n10n女生5n5n10n合计11n9n20n男生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为60.610nn=和40.410nn=；女生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为50.510nn=和50.510nn=；由0.6

1.20.5=，可见，在被调查者中，男生了解亚运会项目是女生了解亚运会项目的频率的1.2倍，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生了解亚运会项目的概率大于女生了解亚运会项目的概率，即男生更了解亚运会项目．【小问2详解】因为()22206545204.040101011999nnnnnnn

nnn−==，所以20n=，被调查的总人数为400人．因为20.054.0403.841x=，所以我们推断0H不成立，即认为该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的

概率不大于0.05．【小问3详解】由题意可知：1110,20XB，则()()11999110202040DXnpp=−==.20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面是边长为2的正三角形，1145AABAAC==，平行于1AA和1BC的平面

分别与1111,,,ACAAABBC交于,,,DEFG四点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若13,AAD=是AB的中点，求直线DF与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）四边形DEFG是矩形，理由见解析（2）3

010【解析】【分析】（1）首先根据面面平行的判定以及面面平行的性质证明线线平行，然后证明四边形DEFG是矩形；（2）首先求出F到平面ABC的距离，然后求解直线DF与平面ABC所成角的正弦值；【小问1详解

】四边形DEFG是矩形，下面给出证明：因为11AACC∥，由题意1CC//平面1,DEFGBC//平面DEFG，111CCBCC=，11CCBC，面11BCCB，所以平面11BCCB//平面DEFG，又平面11ABBA平面DEFGDG=，平面11ABBA平面111BCCBBB=，

所以1DGBB∥，同理1EFCC∥，又11CCBB∥，所以DGEF∥，同理11DEBCBCGF∥∥∥，所以四边形DEFG是平行四边形．取BC中点P，连接1APAP、，则⊥APBC．又因为11ABAACA，所以11ABAC=，故有1APBC⊥．AP、A1P交于P且都在面

AA1P内，所以BC⊥平面1,AAP又1AA面1,AAP所以1BCAA⊥，综上知：DEDG⊥，即四边形DEFG是矩形．【小问2详解】设F到平面ABC的距离为h，即为1A到平面ABC的距离．作1AHAP⊥交AP于点H，由（1）及BC在面ABC内知：平面1AAP⊥平面ABC，而AP为两垂直平

面的交线，A1H在面AA1P内，所以1AH⊥平面1,ABChAH=．设直线DF与平面ABC所成角为，则sinhDF=．设13AA=，在1ABA△中余弦定理知：1194621362ABAC=+−=−=，在1ABC中，21111262APAB=−=−，

在1AAP中，222111163,cos23AAAPAPAPAAPAAAP+−===，所以13sin3AAP=，111sin3hAHAAAAP===．221910DFFGDG=+=+=，所以330sin1010hDF===，所以直线DF与

平面ABC所成角的正弦值为3010；解法二：设DF与面ABC所成角为,F到面ABC距离为h，设BC中点P，因为面1AAP⊥面ABC，所以112cos62coscos332AABAAPPAB===，所以1-113sin333

AABChdAAAAP====，又在矩形DEFG中，9110DF=+=，所以30sin10hDF==解法三：向量法作CO垂直1AA交1AA于O，连接BO，易知ACOABO△≌△，则1BOAA⊥所以COB即为二面角1C

AAB−−的平面角，2,2CBCOBO===，所以222COBOBC+=，所以90COB=，即OCOB⊥，如图以O为坐标原点，1OAOBOC、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则()()()22222,0,0,0,2,0,0,0,2,,,0,3,0,2222ABCDF

−−−，所以()()2,2,0,2,0,2ABAC==，设面ABC的法向量为(),,nxyz=r则220220nABxynACxz=+==+=，令1x=，得1,1yz=−=−，则()1,

1,1n=−−，223,,22DF=−，设DF与面ABC所成角为，330sincos,1030DFnDFnDFn====；21.在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每

道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定．（1）若甲同学在解

答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；（2）若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：①从BCD三个选项中随机选一个作为答案；②从BCD选项中随机选两个作为答案；③直接选择BC

D作为答案；为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由．【答案】（1）916（2）建议乙同学选择方案②作答，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意利用条件概率公式和全概率公式求解；（2）方法一：分别求正确答案为

两个选项和正确答案为三个选项两种情况的得分期望，结合期望的性质求相应的期望，并对比分析；方法二：根据题意结合独立事件概率乘法公式求相应的分布列和期望，并对比分析.【小问1详解】设事件A=“第20题为双选题”，事件B=“第20题得2分”，则()()()()11321144CC31

13,,,44C2C4PAPAPBAPBA======，根据全概率公式有()()()()()31139424416PBPAPBAPAPBA=+=+=.【小问2详解】解法一：在20道多项选择题中，双选题出现的概率为153204=，三选题出现

的概率为51204=．①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为X，若正确答案为两个选项，则得分X的分布列为X02P1323此时X的期望为()12402333EX=+=；若正确答案为三个选项，则任意选

一个均正确，得分2X=，此时X的期望为2；故()341324342EX=+=；②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为Y.若正确答案为两个选项，则得分Y的分布列为Y05P2313Y的期望为(

)21505333EY=+=；若正确答案为三个选项，则得分Y的期望为2；故()351724344EY=+=．③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设乙同学在解答第20题的得分为Z，若正确答案为两个选项，则得分Z的期望为0：若正确答案为三个选项，则得分Z的期望为5；故()31505444

EZ=+=．因此()()()EYEXEZ，建议乙同学选择方案②作答．解法二：在20道多项选择题中，双选项由现的概率为153204=，三选题出现的概率为51204=．①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设得分为变量X，则X的可能取值为0、2，则()()3111321300

,2143444344PXPX==+===+=，X的概率分布列为X02P1434所以()13302442EX=+=；②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设得分为变量,YY的可能取值为0、2、5则()()()122233C311311311100,201,504C424444C4

4PYPYPY==+===+===+=，Y的分布列为Y025P121414所以()11170252444EY=++=；③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设得分为变量,ZZ的可能取值为0、5则()()313311010,001444444PZPZ==+===+=，Z分

布列为Z05P3414故()31505444EZ=+=；因此()()()EYEXEZ，建议乙同学选择方案②作答．22.已知函数()22(0)xfxxax=++满足()()22log2logfafb=−，函数()()()22log24lo

g1xbgxx=−−，其中,abR．（1）求()fx的值域（用a表示）；（2）求ab+的取值范围；（3）若存在实数b，使得()()3log3bgfxa−有解，求a的取值范围．【答案】（1）()1,a++（2）)()4,55,

+（3）()1,4【解析】【分析】（1）利用函数的单调性即可得出结论；的（2）由题意可得22log001bbb−且，得出b的取值范围，再根据()()22log2logfafb=−可推出,ab关系，从而得出结论；（3）由()()3log3bgfx

a−可推出()()()3gfxg，再由()()41,44,ab=+，可得()12fxa+，从而可求得复合函数()()gfx的定义域为()0,+．再分类讨论b的范围，用函数解不等式恒成立即可得出结论.【小问1详解】因为()22xfxxa=++在(

)0,+上单调递增，当0x+→时，()1fxa→+；当x→+时，()fx→+．所以()fx的值域为()1,a++．【小问2详解】因为22log001bbb−且，所以01b或14b．由（1）知，

()()22224log2loglog2log4fafbababab=−=−==，所以)()44,55,abbb+=++，即ab+的取值范围是)()4,55,+．【小问3详解】()()()()()()()3log33log13l

oglog643bbbbgfxagfxaabg−+===．因为()()41,44,ab=+，所以()12fxa+，此时()240fx−和()210fx−均成立，所以()()gfx的定义域为()0,

+．①当14b时，令x→+，则()()gfx→+．所以()()()3gfxg恒有解，满足条件，此时()41,4ab=．②当01b时，log20b，因为()15fxa+，所以()()()()222log240,log10fxfx−−，此

时()()()222log2log24log1xbgxx=−−在()5,+上单调递减，所以()()()()33gfxgfx，与()15fxa+矛盾，此时a不存在．综上所述，a的取值范围是()1,4．②解法二：当01b时，()15fxa+，所以()()()()222

log24log284,log1log240fxbbfx−−，此时()()()()()()22log24log14log24log64fxbbbgfxfx=−−，即()()log64bgfx无解，不符

合题意，此时a不存在．综上所述，a的取值范围是()1,4．【点睛】关键点睛：解决第三小问时，由()()3log3bgfxa−可推出()()()3gfxg是关键，考查了分类讨论思想，函数的性质，以及函数与不等式恒成立问题的综合

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