【文档说明】重庆市万州第二高级中学2024届高三上学期8月月考数学试题 含解析.docx，共(28)页，1.585 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-e74a2b53fce70c4060391fcd67f42209.html

以下为本文档部分文字说明：

万州二中2023-2024年高三上期8月月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试

卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()()140Axxx=−−，2

3Bxx=−，则AB=（）A.)1,4−B.()1,4−C.)2,4−D.()2,4−【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用并集的定义求解.【详解】由()()140xx−−得14x，所以14Axx=，)2,4AB=−.故选：C.2.已知()

1,1at=−−，()3,2b=，且23ab+=，则t=（）A.2B.3C.2D.22【答案】C【解析】【分析】根据题意求得2(1,2)abt+=，结合23ab+=，列出方程，即可求解.【详解】由向量()1,1at=−−，()3,2b=，可得2(1,2)abt+=，因为23a

b+=，可得221(2)3t+=，解得22t=，所以2t=.故选：C.3.已知偶函数()fx在区间)0,+上单调递增，若满足()1213fxf−，则x的取值范围是（）A.2,3−B.12,33C.12,23

D.2,3+【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和单调性直接去“f”，得不等式，解不等式即得答案.【详解】因为()fx是偶函数，且在区间)0,+上单调递增，所以由()1213fxf−得1213x−，解得1233x，

故选：B.4.函数2cossincosyxxx=+图象的对称轴是（）A.()Zππ28kxk=+B.()ππZ28kxk=−C.()ππZ24kxk=+D.ππ(Z)24kxk=−【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式和两角和的正弦公式化简()fx，再根据正弦函数

的对称轴可求出结果.【详解】1cos212π1sin2sin(2)22242xyxx+=+=++，由ππ2π(Z)42xkk+=+，得ππ(Z)28kxk=+，所以函数2cossincosyxxx=+图象的对称轴是ππ(Z)28kxk=+.

故选：A5.若双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线被圆()2224xy++=所截得的弦长为23，则C的离心率为（）A.3B.233C.2D.322【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出方程()2222234

bab−+=+，求得223ab=，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线C的一条渐近线方程为0bxay−=，又由圆()2224xy++=的圆心为(2,0)−，半径为2r=，因为一条渐近线被圆()2224xy++=所截得的弦长为23，可得()2222234bab−+=

+，所以223ab=，即()2223aca=−，所以233cea==．故选：B．6.若1010.1,ln,sin99abc===，则（）A.bacB.acbC.abcD.cba【答案】C【解析】【分析】根据已知条

件构造函数()1ln1fxxx=−+，()()()ln1sin,0,1gxxxx=+−，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】191101111,lnln1,sin1010109999abc==−=−==+=，构造函数()1ln1f

xxx=−+，则()22111xfxxxx−=−=，当()0,1x时，()()0,fxfx单调递减；当()1,x+时，()()0,fxfx单调递增，故()()10fxf=，所以1009f，即109

ln10.1910−=，所以ba；令()()()ln1sin,0,1gxxxx=+−，则()1cos1gxxx=−+，令()1cos1hxxx=−+，则()()21sin,(1)hxxhxx−++=在()0,1上单调递增，()()1

010,1sin104hh−−==，()00,1x使()00hx=，当()00,xx时，()()0,hxhx在()00,x上单调递减，即()gx在()00,x上单调递减，在()0,1xx时，()

()0,hxhx在()0,1x上单调递增，即()gx在()0,1x上单调递增，又()()()00,10,0gggx=，所以()gx在()0,1上单调递减，故()1009gg=，即101lnsin99，所以bc，综上abc，故选:C.【点睛】

关键点点睛：关键点是构造函数,然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可解题.7.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，S为ABC的面积，2a=，且()222Sabc=−−，则ABC

的周长的取值范围是（）A.(4,6B.(4,252+C.(6,252+D.(4,52+【答案】C【解析】【分析】利用面积公式和余弦定理可得3,14tantan22AA==，然后根据正弦定理及三角变换可得()()5si

nsin25sin2bcBCB+=+=+，再根据三角形是锐角三角形，得到B的范围，转化为三角函数求值域的问题.【详解】()222222222cosSabcabcbcbcbcA==−−−−+=−，1cossin2Sb

cbcAbcA=−=，∴11cossin2AA−=，即22sinsincos222AAA=，A为锐角，∴11443tan,tan,sin,cos12235514AAAA=====−，又2a=，由正弦定理可得5sinsinsin2abcABC===，所以(

)()55sinsinsinsin22bcBCBAB+=+=++534sinsincos4sin2cos255BBBBB=++=+()25sinB=+，其中1tan2=，2A=，因

为ABC为锐角三角形，所以22AB−，则22AB−+++，即：2222AAB−++，所以()cossin12BA+，又2cos25A=，∴()25sin542B+，即(425bc+，，故ABC的周长的取值范围是(6,252+.故选：C.

8.定义在R上的偶函数()fx满足()()22fxfx−=+，当0,2x时，()(e)xfx=，若在区间0,10x内，函数()()1,(0)gxfxmxm=−−有5个零点，则实数m的取值范围是（）A.e1e1,1

06−−B.5e10,10−Ce1e1,116−−D.e10,10−【答案】D【解析】【分析】等价于()yfx=与1(0)ymxm=+的图象在0,10x有5个交点，利用已知可得()

fx是周期为4的函数，且图象关于2x=对称，画出()fx的图象结合图象可得答案..【详解】()()()()22224fxfxfxfx−+=−=++=+，又()fx是偶函数，所以()()fxfx−=，则()()4fxfx+=，所以()fx的周期为4，由()()22

fxfx−=+得()fx的图象关于2x=对称，当0,2x时，()()exfx=，可得()fx大致图象如下，若在区间0,10x内，函数()()1(0)=−−gxfxmxm有5个零点，等价于()yfx=与1(0)ymxm=+的图象在0,10x有5个交点

，结合图象，当10x=时()yfx=与1(0)ymxm=+的图象恰好有5个交点，当0m=时()yfx=与1(0)ymxm=+的图象有3个交点，不符合题意，可得()10,eA，此时e101=+m，可得e110−=m，则实数m的取值范围是e10,10−.故选：D.【点睛】关键点点睛：本

题的解题的关键点是等价于()yfx=与1(0)ymxm=+的图象在0,10x有5个交点，利用已知条件画出它们的图象，考查了学生的思维能力、运算能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉

栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中2π3COD=，44OCOA==，动点P在CD上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQxOCyOD=+，则下列说法正确的是（）的A.若yx=，则1xy+=B.若2yx=，则0OAOP=C.2

ABOP−D.232PAPB【答案】BD【解析】【分析】作OEOC⊥，分别以,OCOE为x，y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标求解即可.【详解】如图，作OEOC⊥，分别以,OCOE为x，y轴建立平面直角坐标系，则(1,0)A，(4,0)C，13(,)22B−，()

-2,23D，设()2πcos,sin,0,3Q，则(4cos,4sin)Pθθ由OQxOCyOD=+可得cos42,sin23xyy=−=，且0,0xy，若yx=，则()2222cossin42)231xyy+=−+

=（，解得14xy==（负值舍去），故12xy+=，A错误；若2yx=，则cos420xy=−=，2=，0OAOP=，故B正确；()33,4cos,4sin6cos23sin43sin223ABOP=−=−+

=−由于2π0,3，故πππ,333−−，故-643sin63−，故C错误；由于131-4cos,-4sin),4cos,4sin22PAPB==−−−（()()1331311-4

cos4cos-4sin4sin-2cos23sin-4sin22226PAPB=−−+−=−=+而ππ5π,666+，所以π1s

in,162+，所以313123-4sin-42622PAPB=+=，故D正确，故选：BD10.已知正三棱锥−PABC的四个顶点在球1O的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，2AB=且CEEF⊥，与该三棱锥的四个面都相切的球记

为球2O，则（）A.三棱锥−PABC的表面积为43B.球1O的表面积为6πC.球1O的体积为6π4D.球2O的半径为3266−【答案】BD【解析】【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥−PABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，2PAPBPC===，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三

棱锥−PABC的外接球1O的就是棱长为2的正方体的外接球，求出其半径R，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球2O的半径可判断D.【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM

，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，∵PB面PBM，∴AC⊥PB，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，∵PA，PC面PA

C，∴PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到正三棱锥−PABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，则正三棱锥−PABC中，2,2ABBCACPAPBPC======，三棱锥−PABC的表面积为23123223342S=+=+，故A错

误；正三棱锥−PABC的外接球1O的就是棱长为2的正方体的外接球，其半径326,22R==球1O的表面积为24π6πR=，故B正确；球1O的体积34π6π3VR==，故C错误；设球2O的半径为r，则11(3)33ABCPABPBCASSrSP+=△△△，即(33)2r+=，则2326

633r−==+，故D正确．故选：BD．【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则22224Rabc=++（,,abc为三条棱的长）；（2）若PA⊥面ABC，PAa=，则22244Rra=+（r为ABC外

接圆半径）；（3）可以转化为长方体的外接球；（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．11.在平面直角坐标系中，定义()1212,max,dABxxyy=−−为两点()11,Axy、()22,Bxy的“切比雪夫距离”，又设

点P及l上任意一点Q，称(),dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(),dPl，给出下列四个命题，正确的是（）A对任意三点,,ABC，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；B.已知点()2,1P和直线:220lxy−−=，则()83dP

l=,；C.到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0Fc−、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()()12,,2220dPFdPFaca=−，则点P的轨迹与直线y

k=（k为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B，设点Q是直线21yx=−上一点，且(,21)Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=

−−，讨论|2|x−，1|2|2x−的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D，根据定义得max,max,2xcyxcya+−−=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A选项，设()()(),,,

,,AABBCCAxyBxyCxy，由题意可得：()(),,max,max,,ACACBCBCACBCABdCAdCBxxyyxxyyxxxxxx+=−−+−−−+−−同理可得：()(),,ABdCAdCByy+−，则：()()

(),,max,,ABABdCAdCBxxyydAB+−−=，则对任意的三点A，B，C，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；故A正确；.B选项，设点Q是直线220xy−−=上一点，且1,12Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，由12

22xx−−，解得0x或83x，即有(),2dPQx=−，当83x=时，取得最小值23；由1222xx−−，解得803x，即有()1,22dPQx=−，(),dPQ的范围是2,23，无最值，综上可得，P，Q两点的“切比

雪夫距离”的最小值为23，故B错误；C选项，设(),Mab，则()()22max,xaybxayb−+−=−−，若ybxa−−，则()()22xaybyb−+−=−，两边平方整理得xa=；此时所求轨迹为xa=(yb或)yb−若ybxa−−，则()()22x

aybxa−+−=−，两边平方整理得yb=；此时所求轨迹为yb=(xa或)xa−，故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；D选项，定点()1,0Fc−、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()12,,2dPFdP

Fa−=（220ca），则：max,max,2xcyxcya+−−=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.(1)当xcyxcy+−时，有2xcxca+−−=，得：0xayac=−；(2)当xc

yxcy+−时，有02a=，此时无解；(3)当xcyxcy+−时，有2,xcyaax+−=；则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.故选：AD.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是

基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12.由倍角公式2cos22cos1xx=−，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n（nN）次多项式()12012nnnnnPtatatata−−=++++（01

2,,,naaaaR），使得()coscosnnxPx=，这些多项式()nPt称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A.()3343Pttt=−+B.()424881Pttt=−+C.51si

n184−=D.51cos184+=【答案】BC【解析】【分析】通过求cos3,cos4,cos5xxx，来判断出正确选项.【详解】()cos3cos2cos2cossin2sin=+=−xxxxxxx()222cos1cos2sincosxxxx=−−(

)()222cos1cos21coscosxxxx=−−−34cos3cosxx=−，所以()3343Pttt=−，A错误.()()222222cos4cos22cos2sin22cos14sincosxxxxxxx==−=

−−()42224cos4cos141coscosxxxx=−+−−428cos8cos1xx=−+，所以()424881Pttt=−+，B正确.()cos5cos4cos4cossin4sinxxxxxxx=+=−()428cos8cos1cos

2sin2cos2sinxxxxxx=−+−()53228cos8coscos4sin2cos1cosxxxxxx=−+−−()()53228cos8coscos41cos2cos1cosxxxxxx=

−+−−−5316cos20cos5cosxxx=−+.所以()53cos90cos51816cos1820cos185cos180==−+=，由于cos180，所以4216cos1820cos1850−+=，由于cos18c

os30，所以223cos18cos304=，所以由4216cos1820cos1850−+=解得21025cos1816+=，所以2102562551sin181cos18116164+−−=−=−==，C正确.251625102541

616+++=，所以D错误.故选：BC【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,,abc均为正实数，4abac+=，则228abca

bc+++++的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】将bc+看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可.【详解】设ax=，bc

y+=，原题转化为：已知0x，0y，且4xy=，求228xyxy+++的最小值.由228144818()()22yxxyxyxyxyxy++=++=+++++244=.当且仅当18()2yxxy+=+即2xy==时，等号成立.所以228xyxy+++的

最小值为4.故答案为：4.【点睛】方法点睛：一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，

齐次比型，双勾函数型等等；从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.14.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1

654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，

……，则此数列的前119项的和为__________．(参考数据：16265536=，172131072=，182262144=)【答案】131022【解析】【分析】分析“杨辉三角形”的性质，每一行的数字和为首项为1，公比为2的等比数列，除去1之后各

行的项的个数为首项为1，公差为1的等差数列，其中所求数列的前119项可以视为，杨辉三角形中前17行中除去1和第17行的最后一个数之外的项之和，分别计算即可.【详解】n次二项系数对应杨辉三角的第n+1行，例如()22121xxx+=++，系数分别为1,2,1,对应杨辉三角的第三行，令x=1

,就可以求出该行的系数之和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为122112nnnS−==−−，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列

，则前n项和()12nnnT+=，可得当n=14，再加上第15行的前14项时，所有项的个数和为119，由于最右侧为2,3,4,5，……，为一个首项为2，公差为1的等差数列，则第15行的第15项为16，则杨辉

三角的前17项和为171721S=−，且前17行中有152333+=个1，故此数列的前119项的和为17171310233162502S−−=−=.故答案为：131022【点睛】本题考查在“杨辉三角形”中由其性质求项的系数和，属于难题.15.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱

柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABCABC-中，123,2,4,BBBCABAC====且有鳖臑C1-ABB

1和鳖臑1CABC−，现将鳖臑1CABC−沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑1CABC−经翻折后，与鳖臑11CABB−拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003【解析】【分析】当1CABC−沿线B

C1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑1CABC−经翻折后，A点翻折到E点，,AE关于B对称，所拼成的几何体为三棱锥11CAEB−，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1CABC−沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑1CABC−

经翻折后，A点翻折到E点，,AE关于B对称，所拼成的几何体为三棱锥11CAEB−,如图，由123,2,4,BBBCABAC====可得22114ABBBAB=+=,22114BEBBBE=+=,即1BAE△为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O，设三棱锥外接球球心为O，连接1OO，则1OO⊥

平面1ABE，连接1OC,1OB,在11OBCV中作11OMBC⊥,垂足为M，如图，因11OCOBR==,11OMBC⊥,为所以M是11BC的中点，由矩形11MOOB可知11111322OOBCBC===,因为1O为三角形1ABE的中心，所以1112243233

33BOBB===在11RtBOOV中，221111653333ROOBO=+=+=,所以210043SR==,故答案为：1003【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面

积公式，考查了空间想象力，属于难题.16.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O，球2O的半径分别为3和1

，球心距离128OO=,截面分别与球1O，球2O切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．【答案】255【解析】【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率

．【详解】如图，圆锥面与其内切球1O，2O分别相切与,AB，连接12,OAOB,则1OAAB⊥，2OBAB⊥，过2O作21ODOA^垂直于D，连接12,OEOF，EF交12OO于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为.在2

1RtODOD中，1312DO=-=，22282215OD=-=11221515cos84OOODa\===128OO=128COOC\=-12EOCFOCDD22128OCOCOEOF-\=解得2=2OC222222213CFOFOC

\=-=-=即23cos2CFOCb==则椭圆的离心率3cos252cos5154eba===【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos之比，即coscoseba=．四、解答

题：本题共6小题，共70分.17.数列na的前n项和为nS，已知2nnSan=−．（1）证明：1na+是等比数列；（2）求和：13521naaaa−++++．【答案】（1）证明见解析（2）2

1223+−−nn【解析】【分析】（1）利用()12nnnaSSn−=−和等比数列定义判断可得答案；（2）由（1）得21nna=−，再利用分组求和、等比数列求和可得答案.【小问1详解】由2nnSan=−，可

知2n时，1121nnSan−−=−+，两式相减可得121nnaa−=+，所以1111211211nnnnaaaa−−−+++==++，又11121aSa==−，得11a=，故1na+是以2为首项，2为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得21nna=−，所以()()

()()135213521121212121−−=−++++−+−−+++nnaaaaL135212222−=++++−nnL()221214nn−=−−21223nn+−=−．18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平

面ABCD，正方形ABCD的边长为2，4PA=，设E为侧棱PC的中点.（1）求正四棱锥EABCD−的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小.【答案】（1）83；（2）230arcsin15.【解析】【分析】（1）求出点E到平面ABCD

的距离114222hPA===，再根据四棱锥的体积公式求解即可；（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面PCD所成角.【小问1详解】解：∵在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，4PA=，E

为侧棱PC的中点，∴E到平面ABCD的距离114222hPA===，正方形ABCD的面积224S==，∴正四棱锥EABCD−的体积：11842333VSh===；【小问2详解】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则(2,0,0)B，

(2,2,0)C，(0,0,4)P，(1,1,2)E，(0,2,0)D，所以(1,1,2)BE=−uuur，(0,2,4)DP=−uuur，(2,0,0)DC=，设平面PCD的法向量(,,)nxyz=，则

24020nDPyznDCx=−+===，取2y=，得(0,2,1)n=，∵直线BE与平面PCD所成角，∴||4230sin15||||65BEnBEn===uuurruuurr，∴230arcsin15=.∴直线BE与平面PCD所成角为230arcsin15.19.今

年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”.围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际

跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”.我校也希望大力改善学生的膳食结构，让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子.于是学校从晚餐在食堂就餐的

学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：更喜欢吃面食更喜欢吃米饭总计男生302555女生202545总计5050100（1）依据小概率0.05=的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？（2）在样本中，从晚餐更喜欢吃面食

的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；（3）现用频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差.附：()()()()()22=nadbcabcdacbd

−++++，其中nabcd=+++．0.050.010.005x3.8416.6357.879【答案】（1）没有关联（2）分布列见解析（3）9(),5=EY18()25=DY【解析】【分析】（1）根据题意计算

2100=99，从而根据独立性检验思想即可求解；（2）由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，再根据分布列的求解步骤即可求解；（3）由题意可得3(3,)5YB，再根据二项分布的期望公式及方差公式即可求解.【小问1详解】零假设0H：晚餐是否

更喜欢吃面食与性别没有关联.由列联表，计算，得()2210030252025100==1.0103.8415050554599−根据小概率=0.05的独立性检验，我们没有充分的理由推断0H不成立.所以我们认为晚餐更喜欢吃面食与性别没有关联.【小问2详解】由题意，在抽取出来的

5人中，男生有3人，女生有2人，从中任取2人，女生人数为X，则X所有可能的值为0，1，2，其中2325C3(=0)==,C10PX113225CC3(=1)==,C5PX2225C1(=2)==,C10PX所以，X的分布列为X012P31035110【小问3详解】在样本中晚餐喜

欢吃面食学生共50人，其中男生有30人，其频率为303=505，所以3(3,)5YB，所以39()3,55EY==3318()315525DY=−=20.已知命题p：实数m满足不等式2232

0(0)mamaa−+；命题q：实数m满足方程22116xymm+=−−表示双曲线.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）(),2aa（2）13a【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分解因式后，直

接求解；（2）分别求解两个命题为真命题时m的取值范围，再转化为子集关系，即可求解.【小问1详解】由22320mama−+，得()()20mama−−，而0a，所以2,ama所以实数m的取值范围为(),2aa

..【小问2详解】命题p为真时，实数m的取值范围为(),2aa；命题q为真时，()()160mm−−，即实数m的取值范围为()1,6，而p是q的充分不必要条件，即(),2aa()1,6，所以126aa（等号不同时成立），解得13a，所以实数a的取值范围

13a.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点为()1,0F，椭圆上的点到F的最大距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）不经过F的直线l与x轴垂直，l与椭圆C交于,AB两点，连接AF并延长交椭圆C于点D，求证：直线BD过定点.【答案】（1）22143xy+=（2）

证明见解析【解析】【分析】（1）由题意1c=，椭圆上的点到F的最大距离为3ac+=，结合222acb−=可得答案；（2）设直线AD的方程为()()()()112210,,,,ykxkAxyDxy=−，与椭圆方程联立，求出直线BD的方程令0y=，结合韦达定理可得答案.【

小问1详解】由题意1c=，椭圆上的点到F的最大距离为3ac+=，所以2,3ab==，所以椭圆方程为22143xy+=；【小问2详解】显然直线AD的斜率存在且不为0，设直线AD的方程为()()()()112210,,,,

ykxkAxyDxy=−，则()11,Bxy−，由()221143ykxxy=−+=，可得()22224384120kxkxk+−+−=，()()2422Δ=6443412363604+−−=+kkkk，22

12122284124343kkxxxxkk−+==++，，所以直线BD的方程为()211121yyyyxxxx++=−−，令0y=，可得()()()()2111212211112121121222xxkxxxxxxxxyxxyykx

xxx−−−+−=+=+=++−+−22222241282434348243kkkkkk−−++==−+，所以直线BD过定点()4,0.【点睛】方法点睛：对于直线过定点问题，一般是将直线设成ykxm=+的形式，通过已知条件，找到变量k与m之间

的关系，代回直线方程，将其由两个变量化作一个变量，即可判断出定点.22.已知12,xx是方程()elnxaxaxx−=−的两个实根，且12xx.（1）求实数a的取值范围；（2）已知()fxax=，()ln(1)cos2gxxx=+−+，若存在正实数3x，使得13()()fx

gx=成立，证明：13xx.【答案】（1）ea（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将()elnxaxaxx−=−整理为()lneelnxaxxax+=+，即可得到方程()elnxaxaxx−=−的根即方程exax=的根，由此令()xehxx=，利用导数求该函数的最小值，即可

求得答案.（2）由题意可得要证明13xx即证明31eexx，结合（1）可知11exax=，从而将问题转化为证明()eln(1)cos20xxxx+−+，由此构造函数，判断函数的单调性，利用导数即可证明结论

.【小问1详解】由()elnxaxaxx−=−，可得()elnxxaxax+=+，即()lneelnxaxxax+=+，设()exmxx=+，函数()mx为单调递增函数，则()()(ln)mxmax=，则

()lnxax=，即exax=，所以方程()elnxaxaxx−=−的根即方程exax=的根.令()xehxx=，则2(1)e()xxhxx−=，当1x且0x，()0hx；当1x，()0hx；()hx在(,0)−上单调递减

，且()0hx，()hx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，当0,0xx→时，()xehxx=的值趋近于正无穷大，当x→+时，()xehxx=的值趋近于正无穷大，因为方程exax=有两个实根，

所以min()(1)hxhe==，故ea.【小问2详解】要证13xx，即证31eexx，由（1）可得11exax=，只需证明3133ln(1)cos2eexxxx+−+=，下面证明()eln(1)cos20xxxx+−+；令()si

nxxx=−，()1cos0xx=−，所以()yx=在R上单调递增，又因为(0)0=，则当0x时，sinxx.设()()eln1cosxkxxx=−++，则()1esin1xkxxx=−−+

，当0x时，()11esine11xxkxxxxx=−−−−++，设()extxx=−，则()e1xtx=−，所以当0x时，()0tx，()tx在(0)+，上单调递增，所以()()e01xtxxt=−=，则e1xx+，所以()11e1011xkx

xxx−−−++，则()kx在()0,+单调递增，所以()()02kxk=，即()eln1cos2xxx−++．综上所述，13xx.【点睛】难点点睛：证明13xx时，要结合题意转化为证明3133ln(1)cos2eexxxx+−+=，结合（1）的结论即证明

()eln(1)cos20xxxx+−+，由此要连续构造函数，即利用导数正负与函数单调性的关系，连续证明不等式，从而证明结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com