【文档说明】重庆市万州第二高级中学2024届高三上学期8月月考数学试题 含解析.docx，共(28)页，1.585 MB，由小赞的店铺上传

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万州二中2023-2024年高三上期8月月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷满分150分，考试

时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()()140Axxx=−−，23Bxx=−，则AB=（）A.)1,4−B.()1,4−C.)2,4−D.(

)2,4−【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用并集的定义求解.【详解】由()()140xx−−得14x，所以14Axx=，)2,4AB=−.故选：C.2.已知()1,1at=−−

，()3,2b=，且23ab+=，则t=（）A.2B.3C.2D.22【答案】C【解析】【分析】根据题意求得2(1,2)abt+=，结合23ab+=，列出方程，即可求解.【详解】由向量()1,1at=−−，()3,2b=，可

得2(1,2)abt+=，因为23ab+=，可得221(2)3t+=，解得22t=，所以2t=.故选：C.3.已知偶函数()fx在区间)0,+上单调递增，若满足()1213fxf−，则x的取值范围是

（）A.2,3−B.12,33C.12,23D.2,3+【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和单调性直接去“f”，得不等式，解不等式即得答案.【详解】因为()fx

是偶函数，且在区间)0,+上单调递增，所以由()1213fxf−得1213x−，解得1233x，故选：B.4.函数2cossincosyxxx=+图象的对称轴是（）A.()Zππ28kxk=+B.()ππZ28kxk=−C.()ππZ24kxk=+D.ππ

(Z)24kxk=−【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式和两角和的正弦公式化简()fx，再根据正弦函数的对称轴可求出结果.【详解】1cos212π1sin2sin(2)22242xyxx+=+=++，由ππ2

π(Z)42xkk+=+，得ππ(Z)28kxk=+，所以函数2cossincosyxxx=+图象的对称轴是ππ(Z)28kxk=+.故选：A5.若双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线被圆()2224xy++=

所截得的弦长为23，则C的离心率为（）A.3B.233C.2D.322【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出方程()2222234bab−+=+，求得223ab=，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线C的一条渐近线方

程为0bxay−=，又由圆()2224xy++=的圆心为(2,0)−，半径为2r=，因为一条渐近线被圆()2224xy++=所截得的弦长为23，可得()2222234bab−+=+，所以223ab=，即()2223aca=−，所以233cea==．

故选：B．6.若1010.1,ln,sin99abc===，则（）A.bacB.acbC.abcD.cba【答案】C【解析】【分析】根据已知条件构造函数()1ln1fxxx=−+，()()()l

n1sin,0,1gxxxx=+−，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】191101111,lnln1,sin1010109999abc==−=−==+=，构造函数()1ln1fx

xx=−+，则()22111xfxxxx−=−=，当()0,1x时，()()0,fxfx单调递减；当()1,x+时，()()0,fxfx单调递增，故()()10fxf=，所以1009f

，即109ln10.1910−=，所以ba；令()()()ln1sin,0,1gxxxx=+−，则()1cos1gxxx=−+，令()1cos1hxxx=−+，则()()21sin,(1)hxx

hxx−++=在()0,1上单调递增，()()1010,1sin104hh−−==，()00,1x使()00hx=，当()00,xx时，()()0,hxhx在()00,x上单调递减，即()gx在()00,x上单调递减

，在()0,1xx时，()()0,hxhx在()0,1x上单调递增，即()gx在()0,1x上单调递增，又()()()00,10,0gggx=，所以()gx在()0,1上单调递减，故()1009gg

=，即101lnsin99，所以bc，综上abc，故选:C.【点睛】关键点点睛：关键点是构造函数,然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可解题.7.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，S为AB

C的面积，2a=，且()222Sabc=−−，则ABC的周长的取值范围是（）A.(4,6B.(4,252+C.(6,252+D.(4,52+【答案】C【解析】【分析】利用面积公式和余弦定理可得3,14tantan22AA==，然后根据正弦

定理及三角变换可得()()5sinsin25sin2bcBCB+=+=+，再根据三角形是锐角三角形，得到B的范围，转化为三角函数求值域的问题.【详解】()222222222cosSabcabcbcbcbcA==−−−

−+=−，1cossin2SbcbcAbcA=−=，∴11cossin2AA−=，即22sinsincos222AAA=，A为锐角，∴11443tan,tan,sin,cos12235514AAAA=====−，又2a=，由正弦定理可得5sinsinsin2abcABC===，所以()

()55sinsinsinsin22bcBCBAB+=+=++534sinsincos4sin2cos255BBBBB=++=+()25sinB=+，其中1tan2=，2A=，因为ABC为

锐角三角形，所以22AB−，则22AB−+++，即：2222AAB−++，所以()cossin12BA+，又2cos25A=，∴()25sin542B+，即(425bc

+，，故ABC的周长的取值范围是(6,252+.故选：C.8.定义在R上的偶函数()fx满足()()22fxfx−=+，当0,2x时，()(e)xfx=，若在区间0,10x内，函数()()1,(

0)gxfxmxm=−−有5个零点，则实数m的取值范围是（）A.e1e1,106−−B.5e10,10−Ce1e1,116−−D.e10,10−【答案】D【解

析】【分析】等价于()yfx=与1(0)ymxm=+的图象在0,10x有5个交点，利用已知可得()fx是周期为4的函数，且图象关于2x=对称，画出()fx的图象结合图象可得答案..【详解】()()()()22224f

xfxfxfx−+=−=++=+，又()fx是偶函数，所以()()fxfx−=，则()()4fxfx+=，所以()fx的周期为4，由()()22fxfx−=+得()fx的图象关于2x=对称，当0,2x时，()()exfx=，可得()fx大致图象如

下，若在区间0,10x内，函数()()1(0)=−−gxfxmxm有5个零点，等价于()yfx=与1(0)ymxm=+的图象在0,10x有5个交点，结合图象，当10x=时()yfx=与1(0)ymxm=+的图象恰好有5个交点，当0m=时()yfx=与1(0)ymxm=+的图象

有3个交点，不符合题意，可得()10,eA，此时e101=+m，可得e110−=m，则实数m的取值范围是e10,10−.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是等价于()yfx=与1(0)ymxm=+的图象在0

,10x有5个交点，利用已知条件画出它们的图象，考查了学生的思维能力、运算能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得2分.9.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中2π3COD=，44OCOA==，

动点P在CD上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQxOCyOD=+，则下列说法正确的是（）的A.若yx=，则1xy+=B.若2yx=，则0OAOP=C.2ABOP−D.232PAPB【答案】

BD【解析】【分析】作OEOC⊥，分别以,OCOE为x，y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标求解即可.【详解】如图，作OEOC⊥，分别以,OCOE为x，y轴建立平面直角坐标系，则(1,0)A，(4,0)C，13(,)22B−，()-2,23D，设()2

πcos,sin,0,3Q，则(4cos,4sin)Pθθ由OQxOCyOD=+可得cos42,sin23xyy=−=，且0,0xy，若yx=，则()2222cossin42)231xyy+=−+=（，解得14xy==（负值舍去），故12xy+

=，A错误；若2yx=，则cos420xy=−=，2=，0OAOP=，故B正确；()33,4cos,4sin6cos23sin43sin223ABOP=−=−+=−由于2π0,3

，故πππ,333−−，故-643sin63−，故C错误；由于131-4cos,-4sin),4cos,4sin22PAPB==−−−（()()1331311-4cos4cos-4sin4sin-2cos23sin-4si

n22226PAPB=−−+−=−=+而ππ5π,666+，所以π1sin,162+，所以313

123-4sin-42622PAPB=+=，故D正确，故选：BD10.已知正三棱锥−PABC的四个顶点在球1O的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，2AB=且CEEF⊥，与该三棱锥的四个

面都相切的球记为球2O，则（）A.三棱锥−PABC的表面积为43B.球1O的表面积为6πC.球1O的体积为6π4D.球2O的半径为3266−【答案】BD【解析】【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥−PABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，2PAPBPC

===，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三棱锥−PABC的外接球1O的就是棱长为2的正方体的外接球，求出其半径R，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球2O的半径可判断D.【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又

BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，∵PB面PBM，∴AC⊥PB，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到正三棱锥−PABC

的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，则正三棱锥−PABC中，2,2ABBCACPAPBPC======，三棱锥−PABC的表面积为23123223342S=+=+，故A错误；正三棱锥−PABC的外接球1O的就是棱长为2的正方体的外接球，其半径326,22R==球1O的表面积为24π6π

R=，故B正确；球1O的体积34π6π3VR==，故C错误；设球2O的半径为r，则11(3)33ABCPABPBCASSrSP+=△△△，即(33)2r+=，则2326633r−==+，故D正确．故选：BD．【点睛】方

法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则22224Rabc=++（,,abc为三条棱的长）；（2）若PA⊥面ABC，PAa=，则22244Rra=+（r为ABC外接圆半径）；（3）可以转化为长方体的外接球；（4）特殊几何体可以

直接找出球心和半径．11.在平面直角坐标系中，定义()1212,max,dABxxyy=−−为两点()11,Axy、()22,Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称(),dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作

(),dPl，给出下列四个命题，正确的是（）A对任意三点,,ABC，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；B.已知点()2,1P和直线:220lxy−−=，则()83dPl=,；C.到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0Fc−、

()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()()12,,2220dPFdPFaca=−，则点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B，设点Q是直线21

yx=−上一点，且(,21)Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，讨论|2|x−，1|2|2x−的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选

项D，根据定义得max,max,2xcyxcya+−−=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A选项，设()()(),,,,,AABBCCAxyBxyCxy，由题意可得：()(),

,max,max,,ACACBCBCACBCABdCAdCBxxyyxxyyxxxxxx+=−−+−−−+−−同理可得：()(),,ABdCAdCByy+−，则：()()(),,max,,ABABdCAdCBxxyydAB+−−=，则对任意的三点A，B，C，都有()()(),,,dC

AdCBdAB+；故A正确；.B选项，设点Q是直线220xy−−=上一点，且1,12Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，由1222xx−−，解得0x或83x，即有(),2dPQx

=−，当83x=时，取得最小值23；由1222xx−−，解得803x，即有()1,22dPQx=−，(),dPQ的范围是2,23，无最值，综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B错误；C选项，设()

,Mab，则()()22max,xaybxayb−+−=−−，若ybxa−−，则()()22xaybyb−+−=−，两边平方整理得xa=；此时所求轨迹为xa=(yb或)yb−若ybxa−−，则()()22xaybxa−+−=−，两边平方整理得yb=；此时所求轨迹为

yb=(xa或)xa−，故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；D选项，定点()1,0Fc−、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()12,,2dPFdPFa−=（220ca），则：max,max,2xcyxcya+−−

=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.(1)当xcyxcy+−时，有2xcxca+−−=，得：0xayac=−；(2)当xcyxcy+−时，有02a=，

此时无解；(3)当xcyxcy+−时，有2,xcyaax+−=；则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则

、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”

不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12.由倍角公式2cos22cos1xx=−，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n（nN）次多项式()12012nnnnnPtatatata−−=++++（012,,,

naaaaR），使得()coscosnnxPx=，这些多项式()nPt称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A.()3343Pttt=−+B.()424881P

ttt=−+C.51sin184−=D.51cos184+=【答案】BC【解析】【分析】通过求cos3,cos4,cos5xxx，来判断出正确选项.【详解】()cos3cos2cos2cossin2sin=+=−xxxxxxx

()222cos1cos2sincosxxxx=−−()()222cos1cos21coscosxxxx=−−−34cos3cosxx=−，所以()3343Pttt=−，A错误.()()222222cos4cos22cos2si

n22cos14sincosxxxxxxx==−=−−()42224cos4cos141coscosxxxx=−+−−428cos8cos1xx=−+，所以()424881Pttt=−+，B正确.()cos5cos4cos4cossin4sinxx

xxxxx=+=−()428cos8cos1cos2sin2cos2sinxxxxxx=−+−()53228cos8coscos4sin2cos1cosxxxxxx=−+−−()()53228cos8coscos41cos2cos1cosxxxxxx=−+−−−5316co

s20cos5cosxxx=−+.所以()53cos90cos51816cos1820cos185cos180==−+=，由于cos180，所以4216cos1820cos1850−+=，由于cos18cos30，所以223cos18cos304=，所以由4216c

os1820cos1850−+=解得21025cos1816+=，所以2102562551sin181cos18116164+−−=−=−==，C正确.251625102541616+++=，所以D错误.故选：BC【点睛】三

角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,,abc均为正实数，4abac+=，则228abcabc+++++的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】将bc

+看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可.【详解】设ax=，bcy+=，原题转化为：已知0x，0y，且4xy=，求228xyxy+++的最小值.由228144818()()22yxxyxyxyxyxy++=++=+++++244

=.当且仅当18()2yxxy+=+即2xy==时，等号成立.所以228xyxy+++的最小值为4.故答案为：4.【点睛】方法点睛：一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；从元的次数角度，关键在于转化目标

函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到

的条件.14.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成

数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为__________．(参考数据：16265536=，172131072=，182262144=)【答案】131022【解析】【分析】分析“杨辉三角形”的性质，每一行的数字和为首项为1

，公比为2的等比数列，除去1之后各行的项的个数为首项为1，公差为1的等差数列，其中所求数列的前119项可以视为，杨辉三角形中前17行中除去1和第17行的最后一个数之外的项之和，分别计算即可.【详解】n次二项系数对应杨辉

三角的第n+1行，例如()22121xxx+=++，系数分别为1,2,1,对应杨辉三角的第三行，令x=1,就可以求出该行的系数之和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为122112nnnS−==−−，若去除所

有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前n项和()12nnnT+=，可得当n=14，再加上第15行的前14项时，所有项的个数和为119，由于最右侧为2,3,4,5，……，为一个首项

为2，公差为1的等差数列，则第15行的第15项为16，则杨辉三角的前17项和为171721S=−，且前17行中有152333+=个1，故此数列的前119项的和为17171310233162502S−−=−=.故答案为：1

31022【点睛】本题考查在“杨辉三角形”中由其性质求项的系数和，属于难题.15.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四

面体）.在如图所示的堑堵111ABCABC-中，123,2,4,BBBCABAC====且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑1CABC−，现将鳖臑1CABC−沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑1CABC−经翻折后，与

鳖臑11CABB−拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003【解析】【分析】当1CABC−沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑1CABC−经翻折后，A点翻折到E点，,AE关于B对称，所

拼成的几何体为三棱锥11CAEB−，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1CABC−沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑1CABC−经翻折后，A点翻折到E点，,AE关于B对称，所

拼成的几何体为三棱锥11CAEB−,如图，由123,2,4,BBBCABAC====可得22114ABBBAB=+=,22114BEBBBE=+=,即1BAE△为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O，设三棱锥外接球球

心为O，连接1OO，则1OO⊥平面1ABE，连接1OC,1OB,在11OBCV中作11OMBC⊥,垂足为M，如图，因11OCOBR==,11OMBC⊥,为所以M是11BC的中点，由矩形11MOOB可知1111

1322OOBCBC===,因为1O为三角形1ABE的中心，所以111224323333BOBB===在11RtBOOV中，221111653333ROOBO=+=+=,所以210043SR==,故答案为：1003【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式

，考查了空间想象力，属于难题.16.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分

别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O，球2O的半径分别为3和1，球心距离128OO=,截面分别与球1O，球2O切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．【答案】255【解析】【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截

面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率．【详解】如图，圆锥面与其内切球1O，2O分别相切与,AB，连接12,OAOB,则1OAAB⊥，2OBAB⊥，过2O作21ODOA^垂直于D，连接12,OEOF，EF交12OO于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为.在

21RtODOD中，1312DO=-=，22282215OD=-=11221515cos84OOODa\===128OO=128COOC\=-12EOCFOCDD22128OCOCOEOF-\=解得2=2OC2222

22213CFOFOC\=-=-=即23cos2CFOCb==则椭圆的离心率3cos252cos5154eba===【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos之比，即coscoseba=．四、解答题：本题共

6小题，共70分.17.数列na的前n项和为nS，已知2nnSan=−．（1）证明：1na+是等比数列；（2）求和：13521naaaa−++++．【答案】（1）证明见解析（2）21223+−−nn【解析】【分析】（1）利用()

12nnnaSSn−=−和等比数列定义判断可得答案；（2）由（1）得21nna=−，再利用分组求和、等比数列求和可得答案.【小问1详解】由2nnSan=−，可知2n时，1121nnSan−−=−+，两式相减可得121nnaa−=

+，所以1111211211nnnnaaaa−−−+++==++，又11121aSa==−，得11a=，故1na+是以2为首项，2为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得21nna=−，所以()()()()135213521121212121−−=−+++

+−+−−+++nnaaaaL135212222−=++++−nnL()221214nn−=−−21223nn+−=−．18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，4PA=，设

E为侧棱PC的中点.（1）求正四棱锥EABCD−的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小.【答案】（1）83；（2）230arcsin15.【解析】【分析】（1）求出点E到平面ABCD的距离114222hPA===，再根据四棱锥的体积公

式求解即可；（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面PCD所成角.【小问1详解】解：∵在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，4PA=，

E为侧棱PC的中点，∴E到平面ABCD的距离114222hPA===，正方形ABCD的面积224S==，∴正四棱锥EABCD−的体积：11842333VSh===；【小问2详解】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则(2,0,0)B

，(2,2,0)C，(0,0,4)P，(1,1,2)E，(0,2,0)D，所以(1,1,2)BE=−uuur，(0,2,4)DP=−uuur，(2,0,0)DC=，设平面PCD的法向量(,,)nxyz=，则2

4020nDPyznDCx=−+===，取2y=，得(0,2,1)n=，∵直线BE与平面PCD所成角，∴||4230sin15||||65BEnBEn===uuurruuurr，∴230arcsin15=.∴直线BE与平

面PCD所成角为230arcsin15.19.今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”.围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下

一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”.我校也希望大力改善学生的膳食结构，

让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子.于是学校从晚餐在食堂就餐的学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：更喜欢吃面食更喜欢吃米饭总计男生302555女生202545总计5050100（1）依据小

概率0.05=的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？（2）在样本中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；（3）现用

频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差.附：()()()()()22=nadbcabcdacbd−++++，其中nabcd=+++．0.050.01

0.005x3.8416.6357.879【答案】（1）没有关联（2）分布列见解析（3）9(),5=EY18()25=DY【解析】【分析】（1）根据题意计算2100=99，从而根据独立性检验思想即

可求解；（2）由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，再根据分布列的求解步骤即可求解；（3）由题意可得3(3,)5YB，再根据二项分布的期望公式及方差公式即可求解.【小问1详解】零假设0H：晚餐是否更喜欢吃面食与性别没有关联

.由列联表，计算，得()2210030252025100==1.0103.8415050554599−根据小概率=0.05的独立性检验，我们没有充分的理由推断0H不成立.所以我们认为晚餐更喜欢吃面食与性别没有关

联.【小问2详解】由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，从中任取2人，女生人数为X，则X所有可能的值为0，1，2，其中2325C3(=0)==,C10PX113225CC3(=1)==,C5PX2225C1(=2)==,C10PX所以，X的分布列为X012P31035110【小问3

详解】在样本中晚餐喜欢吃面食学生共50人，其中男生有30人，其频率为303=505，所以3(3,)5YB，所以39()3,55EY==3318()315525DY=−=20.已知命题p：实数m满足不等式22320(0)mamaa−+；命

题q：实数m满足方程22116xymm+=−−表示双曲线.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）(),2aa（2）13a【解析

】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分解因式后，直接求解；（2）分别求解两个命题为真命题时m的取值范围，再转化为子集关系，即可求解.【小问1详解】由22320mama−+，得()()20mama−−，而0a，所以2,ama所以实数m的取值

范围为(),2aa..【小问2详解】命题p为真时，实数m的取值范围为(),2aa；命题q为真时，()()160mm−−，即实数m的取值范围为()1,6，而p是q的充分不必要条件，即(),2aa()1,6，所以126aa（等号不同时成立），解得13a，所以

实数a的取值范围13a.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点为()1,0F，椭圆上的点到F的最大距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）不经过F的直线l与x轴垂直，l与椭圆C交于,AB两点

，连接AF并延长交椭圆C于点D，求证：直线BD过定点.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意1c=，椭圆上的点到F的最大距离为3ac+=，结合222acb−=可得答案；（2）设直线AD的

方程为()()()()112210,,,,ykxkAxyDxy=−，与椭圆方程联立，求出直线BD的方程令0y=，结合韦达定理可得答案.【小问1详解】由题意1c=，椭圆上的点到F的最大距离为3ac+=，所以2,3ab==，所以椭圆方程为22143xy+=；【小问2详解】显

然直线AD的斜率存在且不为0，设直线AD的方程为()()()()112210,,,,ykxkAxyDxy=−，则()11,Bxy−，由()221143ykxxy=−+=，可得()22224384120kxk

xk+−+−=，()()2422Δ=6443412363604+−−=+kkkk，2212122284124343kkxxxxkk−+==++，，所以直线BD的方程为()211121yyyyxxxx++=−−，令0y=，可得()()(

)()2111212211112121121222xxkxxxxxxxxyxxyykxxxx−−−+−=+=+=++−+−22222241282434348243kkkkkk−−++==−+，所以直线BD过

定点()4,0.【点睛】方法点睛：对于直线过定点问题，一般是将直线设成ykxm=+的形式，通过已知条件，找到变量k与m之间的关系，代回直线方程，将其由两个变量化作一个变量，即可判断出定点.22.已知12,xx是方程()elnxaxa

xx−=−的两个实根，且12xx.（1）求实数a的取值范围；（2）已知()fxax=，()ln(1)cos2gxxx=+−+，若存在正实数3x，使得13()()fxgx=成立，证明：13xx.【答案】（1）ea（2）证明见解析【解析】【分

析】（1）将()elnxaxaxx−=−整理为()lneelnxaxxax+=+，即可得到方程()elnxaxaxx−=−的根即方程exax=的根，由此令()xehxx=，利用导数求该函数的最小值，即可求得答案.（2）由题意可得要证明13xx即证明31eexx，结合（1）可知11exax

=，从而将问题转化为证明()eln(1)cos20xxxx+−+，由此构造函数，判断函数的单调性，利用导数即可证明结论.【小问1详解】由()elnxaxaxx−=−，可得()elnxxaxax+=+，即()lneelnxaxxax+=+，设()exmxx=+，函数()mx为单调递增

函数，则()()(ln)mxmax=，则()lnxax=，即exax=，所以方程()elnxaxaxx−=−的根即方程exax=的根.令()xehxx=，则2(1)e()xxhxx−=，当1x且0x，()0hx

；当1x，()0hx；()hx在(,0)−上单调递减，且()0hx，()hx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，当0,0xx→时，()xehxx=的值趋近于正无穷大，当x→+时，()xe

hxx=的值趋近于正无穷大，因为方程exax=有两个实根，所以min()(1)hxhe==，故ea.【小问2详解】要证13xx，即证31eexx，由（1）可得11exax=，只需证明3133ln(1)cos2eexxxx+−+=，下面证明()eln(1)c

os20xxxx+−+；令()sinxxx=−，()1cos0xx=−，所以()yx=在R上单调递增，又因为(0)0=，则当0x时，sinxx.设()()eln1cosxkxxx=−++，则()1esin1xkxxx=−−+，当0x时，()11esine

11xxkxxxxx=−−−−++，设()extxx=−，则()e1xtx=−，所以当0x时，()0tx，()tx在(0)+，上单调递增，所以()()e01xtxxt=−=，则e1xx+，所以()11e1

011xkxxxx−−−++，则()kx在()0,+单调递增，所以()()02kxk=，即()eln1cos2xxx−++．综上所述，13xx.【点睛】难点点睛：证明13xx时，要结合题意转化为证明3133ln(1)cos2eexxxx+−+=，结合（1）

的结论即证明()eln(1)cos20xxxx+−+，由此要连续构造函数，即利用导数正负与函数单调性的关系，连续证明不等式，从而证明结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com