【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.2 三角函数的概念 含答案【高考】.pdf，共(7)页，1.256 MB，由小赞的店铺上传

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-1-【新教材】5.2.1三角函数的概念教学设计（人教A版）三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本

章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教

材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切

)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角

函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工

具：多媒体。-2-一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概

念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学

生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意

角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图1-2-1(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α

，即tanα＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．-3-思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O

的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义定义域名称sinα������R正弦cosα������R余弦tanα������α|α≠kπ＋π2，k∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3

．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαx∈R|x≠kπ＋π2，k∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．诱导公式一四、典例分析、举一反三-4-题型一三角函数的定义及应用例

1在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】当α的终边在第二象限时，sinα＝255，cosα＝－55，tanα＝－2.当α的终边在第四象限时，sinα＝－255，cosα＝55，tanα＝－2.【解析】当α的终边

在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝－12＋22＝5，所以sinα＝25＝255，cosα＝－15＝－55，tanα＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r

＝12＋－22＝5，所以sinα＝－25＝－255，cosα＝15＝55，tanα＝－21＝－2.解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利

用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝yr，cosα＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．跟踪训练一

1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ.【答案】当x＝1时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当x＝－1时，此时sinθ＝31010，tanθ＝－3.【解析】由题意知r＝|OP|

＝x2＋9，由三角函数定义得cosθ＝xr＝xx2＋9.又∵cosθ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝312＋32＝31010，ta

nθ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝3－12＋32＝31010，tanθ＝3－1＝－3.题型二三角函数值的符号-5-例2(1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin183°；②tan7π4；③co

s5.【答案】（1）四；（2）①sin183°<0；②tan7π4<0；③cos5>0.【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cosα>0，tanα<0，∴点P(cosα，tanα)在第四象限．(2)①∵180°<183°<270°，∴sin183°<0；②∵3π2<7π4<2π，∴tan7π4<

0；③∵3π2<5<2π，∴cos5>0.解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给

出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．跟踪训练二1．确定下列式子的符号：(1)tan108°·cos305°；(2)cos5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan120°·sin269°.【答案】(1)tan108

°·cos305°＜0；(2)cos5π6·tan11π6sin2π3＞0；（3）tan120°sin269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0.从而tan108°·cos305°＜0.(2

)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan11π6＜0，sin2π3＞0.从而cos5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0，∵269°是

第三象限角，∴sin269°＜0.-6-从而tan120°sin269°＞0.题型三诱导公式一的应用例3求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sin7π3cos－23π6＋tan－15π4cos13

π3.【答案】（1）32；（2）54.【解析】(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32.(2)原式＝sin2π＋π3cos－4π＋π6＋tan－4

π＋π4·cos4π＋π3＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3＝32×32＋1×12＝54.解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)

求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．跟踪训练三1．化简下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin－11π6＋cos125π·tan4π.【答案】（1）(a－b)2；（2）12.【解析】(1)原式＝a2

sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sin－116π＋cos125π·tan4π＝si

n－2π＋π6＋cos125π·tan0＝sinπ6＋0＝12.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计-7-七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三

角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.5.2.1三角函数的概念1.三角函数的定义例1例2例32．三角函数在各象限的符号3．诱导公式一