【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.2 三角函数的概念 （2） 含答案【高考】.docx，共(10)页，158.790 KB，由小赞的店铺上传

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-1-5.2.1三角函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第3课时，这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同

一抽象(概括)层次。它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已

经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角

三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。课程目标学科素养A.借助单位圆理解任意角三角函数的

定义；B.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；1.数学抽象：三角函数的定义；2.逻辑推理：三角函数概念的推导过程；3.数学运算：根据定义求三角函数值；4.直观想

象：三角函数定义的推导。-2-D.体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。多媒体-3-教学过程教学设

计意图核心素养目标-4-一、复习回顾，温故知新1.1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角2.角度制与弧度制的换算：【答案】==30.571801180）（弧度，3.关于扇形的公式【答案】.21)3(;21)2(;12lRSRS

Rl===）（4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？【答案】.tan,cos,sinabcacb===二、探索新知探究一.角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P。当6=时，点P的坐标是什

么？当322或=时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？【答案】当6=时，点P的坐标为），（2123。当2=时，点P的坐标为），（10。通过复习上节知识和初中所学锐角三角函数，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究，让学能求

角的终边与单位圆的交点坐标，进而明白其确定性，提高学生的解决问题、分析问题的能力。-5-当32=时，点P的坐标为）（23,21−。探究二：一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？【答案】点P的横、纵坐标都能唯一确定。

1.任意角的三角函数定义设角，是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点),(Pyx。那么（1）;sin,sin=yy即的正弦函数。记作叫做（2）;cos,cos=xx即的余弦函数。记作叫做（3）;tan,tan=xyxy

即的正切。记作叫做)0(tan=xxy是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangentfunction)正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.通常将它们记为：正弦函

数Rxxy=,sin余弦函数Rxxy=,cos让学生了解三角函数的定义，提高学生分析问题、概括能力。-6-正切函数)(2,tanZkkxxy+=探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变

量。以比值为函数值的函数，设)2,0(x，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为1z，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为1y。1z与1y相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？【答案】都相等例1.求35的正弦、余弦和正切值.变式：把角35改

为67呢？【答案】,2167sin−=2367cos−=3367tan=例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证：.tan

,cos,sinxyrxry===探究四.1.根据三角函数的定义，确定三角函数的定义域。三角函数定义域sin=yRcos=yR通过探究让学生理解锐角的三角函数与任意角的三角函数的关系。提高学生分析问题的能力。通过例题让学生学会根据三角函数的定义求角的三角函数值，提高学

生解决问题的能力。通过探究让学生明-7-tan=y+)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号。口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。例3.求证：角为第三象限角的充要条件是0tan0sin.【答案】见教材思考：如果

两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(=+=+=+kkk，其中，zk。作用：利用公式一，可以把

求任意角的三角函数值，转化为求)360~0(2~0或角的三角函数值.例4确定下列三角函数值的符号：.3tan)4();672tan()3();4sin()2(;250cos1−−）（例5求下列三角函数值：白三角函数的定义域及在

各象限的符号，提高学生分析问题、概括问题的能力。通过例题巩固三角函数的正负，提高学生解决问题的能力。通过例题让学生理解判断任意角的三-8-).611tan()3(;49cos2);001.0(011480sin1−）（精确到）（角函数值的正负及求值，提高学生解决问题的

能力。三、达标检测1．sin(－315°)的值是()A．－22B．－12C.22D.12【答案】C【解析】sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝222.已知角α终边过点P(1，－1)，则tanα的值为()A．1B．－1C.22D．－22【答案】B【解析】由三角函数

定义知tanα＝－11＝－1.3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα＝15，则sinβ＝________.【答案】－15【解析】设角α的终边与单位圆相

交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。-9-由题意知y＝sinα＝15，所以sinβ＝－y＝－15.4．求值：(1)sin180°＋cos

90°＋tan0°.(2)cos25π3＋tan－15π4.【解析】(1)sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0.(2)cos25π3＋tan－15π4＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4

＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.四、小结1.内容总结①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.2.方法总结运用了定义法、公式法、数形结合法解题.3.体现的数学思想化归的思想，数形结合的思想.

五、作业习题5.21.（1）、（2）2题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。-10-任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任

意角的三角函数与其边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义。如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论(与点的位置的选取无关)后，首先提供“坐标系”作为脚手架，引发学生的认知冲突一“在坐标系下，如何

研究一个任意角的三角函数?”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角(认识研究方法的变化，以及符号表示的变化0-2范围内的角(认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化)不同象限下终边相同的角(逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程)。锐角三角函数概念教学时如

果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是家当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。