【文档说明】浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.249 MB，由管理员店铺上传

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绍兴一中2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a=，()2,,1by=−，若ab⊥，则y=（）A.﹣2B

.﹣1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a=，()2,,1by=−，ab⊥，所以()122610aby=++−=，解得2y=，故选：D.2.已知过()3,1A、()1,3B−的直线与过()3,Cm

−、(),2Dn的直线互相垂直，则点(),mn有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A与()1,3B−，则直线A

B的斜率13231ABk+==−，由ABCD⊥，则直线CD的斜率存在，即3n−，且112CDABkk−==−，由()3,Cm−与(),2Dn，则2132mn−=−+，整理化简可得27nm=−，显然该方程有无数个解.故选：D.

3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B【解析】【分析】设

半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R，()22212.52RR−+=,解得251544R+=,化简得1.3R=.故选：B.4.已知抛物线()220ypxp=的焦点在圆224xy+=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】

【分析】根据焦点坐标即可求解4p=，由p的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220ypxp=的焦点为x正半轴上，224xy+=与x正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp=

=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p=，故选：C5.已知()2,2A−−，()2,6B−，()4,2C−三点，直线l1：20kxyk−−=与直线l2：20xky++=相交于点P，则222PAPBPC++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C【解析】【分析】分析两直线特征，

恒过定点，联立两直线方程，消去k，得到交点P的轨迹方程，然后借助于P的坐标范围，求出222PAPBPC++的最大值.【详解】直线l1：20kxyk−−=变形为()20kxy−−=直线恒过定点()2,0，直线l2：20xky++=直线恒过定点()2,0−，直

线l1：20kxyk−−=与直线l2：20xky++=相交于点P，联立2020kxykxky−−=++=，消去k，得224xy+=所以P是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),Pxy且22y−≤≤，()()()()()()22222222222264+2PxyCxyx

BPyAP=++++++−++−++22334681246880472,88xyyyy=+−+=−+=−，所以222PAPBPC++的最大值为88，故选：C.6.已知双曲线()222210,0xyCabab−=：的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的

对称点为N，若190MFN=，且113FNFM＝，则C的渐近线方程为（）A.33yx=B.3yx=C.66yx=D.6yx=【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MO

F=即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M在左支,由于190MFN=，且113FNFM＝，所以1160,2MFNMNMF==，由于,MN关于原点对称，所以=OMON,结合190MFN=可得1||||FOMONO==，所以160,MOF=故渐近

线MN的倾斜角为60，双曲线C的渐近线方程为3yx=．故选：B7.如图，由点P(3,0)−射出的部分光线被椭圆22:14xCy+=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C的“外背面”．若()()2251Oxyt−+−=：位于椭圆C的“外背面”，则实数t

的取值范围为（）A.3085853055t++−B.3085853055t−−C.30585555t++−D.30585555t−−【答案】B【解析】【分析】设过点P的切线方程为(3)ykx=+，进而可

得切线方程，利用新定义可求t的最值，进而可求实数t的取值范围．【详解】设过点P的切线方程为(3)ykx=+，联立方程组22(3)14ykxxy=++=，得()222214243640kxkxk+++−=，则()()()2222244143640kkk

=−+−=，即251k=，解得55k=，所以切线PM方程为：5(3)5yx=+，即55350xy−+=，切线PN的方程为：5(3)5yx=−+，即55350xy++=，若()()2251Oxyt−+−=：位于椭圆C的“外背面”，则与PN相切时t取最小

值，由555351525t++=+，解得30855t+=−或30855t−=，结合图形可得t的最小值为30855−，则与PM相切时t取最大值，由555351525t−+=+，解得85305t+=或85305t−=，

结合图形可得t最大值为85305−，3085853055t−−．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0uabcabc=，点()0000,,Pxyz，点(),,Pxyz．（1）若直线l经过点0P，且以

u为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：000xxyyzzabc−−−==；（2）若平面经过点0P，且以u为法向量，P是平面内的任意一点，求证：()()()0000axxbyyczz−+−+−=

．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为70xyz−+−=，直线l是平面230xy+−=与10xz++=的交线，则直线l与平面所成角的正弦值的的为（）A.39B.75C.715D.1455【答案】A【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角

公式即可.【详解】平面的方程为70xyz−+−=，平面一个法向量()1,1,1m=−，同理，可得平面230xy+−=的一个法向量()1,2,0n=，平面10xz++=的一个法向量()1,0,1p=，设平

面230xy+−=与平面10xz++=的交线的方向向量为(),,qxyz=，则200qnxyqpxz=+==+=，取1y=，则()2,1,2q=−设直线l与平面所成角为，则3sincos,9mqmqmq===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索

创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下

列说法正确的是（）A.直线310xy++=的倾斜角为120B.经过点()2,1P，且在,xy轴上截距互为相反数的直线方程为10xy−−=C.直线:20lmxym++−=恒过定点()1,2-D.直线1:210lxay++=，()2:140laxy−−−=，若12ll⊥，则1a=−【答案】ACD【

解析】【分析】对于A，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B，的由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】

对于A，由直线方程310xy++=，可得其斜率13k=−，设其倾斜角为，则tan3=−，由)0,π，则解得120=，故A正确；对于B，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220kk，由过()2,1P，则()212ykx−=−，令0y=，则212xk=−，令

0x=，则212yk=−，由题意可得()221212kk−=−−，整理可得2222310kk−+=，解得212k=或1，所以直线方程为20xy−=或10xy−−=，故B错误；对于C，由直线方程20mxym++−=，整理可得()120xmy−++=，令102

0xy−=+=，解得12xy==−，所以直线过定点()1,2-，故C正确；对于D，当1a=时，直线1:210lxy++=，则111,2AB==，直线2:40ly+=，则220,1AB==，由1212102120AABB+=+=，则此时不符合题意；当1a时，直线1

:210lxay++=，则111,2ABa==，直线()2:140laxy−−−=，则221,1AaB=−=−，由12ll⊥，则()()121211210AABBaa+=−+−=，解得1a=−，则此时符合

题意，故D正确.故选：ACD.10.已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（）A.线段AP长度的最大值是5B.满足15PBO=的点P有且仅有2个C.过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（12，1）D.2|PA|+|PB|

的最小值为210【答案】AD【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A；利用15PBO=找到PB直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B；作图通过图象分析判断C；设设(),Pxy，设存在定点()0,Ct，使得点P在⊙O任意移动时均

有12PCPB=，进而求出点P的轨迹方程，结合点P在⊙O上个求得答案，判断D.【详解】对于A，x2+y2＝4圆心()0,0O，半径2r=，()()2230003OA=−+−=，所以max5APOAr=+=，故A正确；对于B，由题意知，当15PBO

=时，()0,0O到PB直线距离等于4sin15622=−，此时符合要求PB一共两条，且直线与⊙O相交，故满足15PBO=的点P有4个，故B错误；对于C，如图，显然过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN不过定点（12，

1），故C错误；对于D，2PAPB+的最小值，即为122PAPB+的最小值，假设存在定点()0,Ct，使得点P在⊙O任意移动时均有12PCPB=，设(),Pxy，则有()()22221142xyxy+−=+−，化简得()2223381164xytyt++

−=−，因为224xy+=，则有()2211tyt−=−，即()()1210tyt−−−=，所以1t=，()0,1C，所以()222210PAPBPAPCAC+=+=≥，所以D正确，故选：AD.11.

如图，已知抛物线24yx=，过抛物线焦点F的直线l自上而下，分别交抛物线与圆()2211xy−+=于,,,ACDB四点，则（）A.3OAOB=−B.1ACBD=C.当直线l斜率为3时，643ABAF=D.418AFBF+【答案】ABC【解析】【分

析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可求解BC，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F设直线l方程为1xty=+，()()1122,,,AxyBxy241yxxty==+,则2440yty−−=，所以12124,4y

ytyy+==−，对于A，()21212121231416yyxxyyOAyyOB+=+=−==−，故A正确，对于B，()()()()()1212212111111116ACBDAFBDxxxyxy=−−=+−+===−

，B正确，对于C，当直线l斜率为3时，直线l方程为()31yx=−，联立直线与抛物线方程可得231030xx−+=，解得1213,3xx==，所以()12123102,33xxyy+=++=所以()()121166421433ABAFxxx=+++==，故C正确，

对于D，()()()()()1212121212421111111122tyyxxAFBFxxxxtyty+++++=+==++++++，将12124,4yytyy+==−代入可得()()()()21221212124114412224tyytAFBFtytytyytyy++

++===+++++，所以()445549411FAFBFAFBFBFAFAFBFAFB+=+=++=++，故D错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为正方体内及表面上一点，且1APmABnAD=+，其中0,1m，0,1n，则下

列说法正确的是（）A.当12n=时，1BP与平面ABCD所成角的最大值为π3B.当1mn+=时，11ACBP⊥恒成立C.存在0,1n，对任意0,1m，CP与平面11ABBA平行恒成立D.当1mn+

=时，22PAPC+的最小值为74【答案】BC【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D为坐标原点，DA所在直线为x，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如

下图：则：()1,0,0A，()11,0,1A，()1,1,0B，()11,1,1B，()0,1,0C，()10,1,1C，()10,0,1D，()0,1,0AB=，()11,0,1AD=−，(),,APnmn=−，得：()1,,Pnmn−对于A项：当12n=时，1

1,,22Pm，111,1,22BPm=−，平面ABCD的一个法向量为：()0,0,1m=，设1BP与平面ABCD所成的角为，所以：()11211·2sincos,112BPmBPmBPmm===+−因为：

0,1m，所以：()21131222m+−，所以：当1m=时，sin有最大值22，此时：π4=，故A项错误；对于B项：()111,1,0AC=−，(),1,BPnmn=−−则：11·10ACBPnm=+−=，所以：11ACB

P⊥，所以：11ACBP⊥，故B项正确；对于C项：由题意知平面11ABBA的一个法向量为：()1,0,0n=，()1,1,CPnmn=−−·1CPnn=−，所以：当1n=时，·10CPnn=−=，即：CPn⊥，且CP不在平面11ABBA

内，此时：对于任意0,1m，CP与平面11ABBA平行恒成立，故C项正确；对于D项：当1mn+=时，得：(),,1Pmmm−，()()()()22222222222641111684633PAPCmmmmmmmmm

+=−++−++−+−=−+=−+，当23m=时，有最小值43，故D项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210xy−−=与3210xy−+=间的距离______________

．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意2211213133(2)d−−==+−．故答案为：21313．14.已知()2,4,ax=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=−r，且,,abc共面

，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,R，则abc=+，可得222422x=−=+=+，解得215x

===.故答案为：5.15.已知点()()0020AB，,，，圆()()222440Mxyrr−+−=：（）上恰有两点()1,2iPi=满足3iiPAPB=，则r的取值范围是______

____．【答案】37r【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),Pxy，则()()22,2,23PAPBxyxyxx

y=−−−−=−+=，由2223xxy−+=得()2214xy−+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440Mxyrr−+−=：（）上恰有两点()1,2iPi=满足3iiPAPB=，则(

)2214xy−+=与()()222440Mxyrr−+−=：（）两圆有两个交点，故()2224142rr−−++，解得37r，故答案为：37r16.已知椭圆2221(1)xymm+=和双曲线

2221(0)xynn−=有共同的焦点12,FF，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,ee，则221211ee+的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,mn关于c的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的

半焦距为c，则22211mnc−=+=，则22221222,cceemn==，22221,1mcnc=+=−，所以22222222122211211mneecccccc++−=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111

ABCABC-中，12BMMA=uuuruuur，11CNNB=uuuruuur．设ABa=，ACb=，1AAc=．（1）试用,,abc表示向量MN；（2）若1160BACBAACAA===，11ABACAA===，求MN的

长．【答案】（1）111623MNabc=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BMMA=uuuruuur，则1113MABA=uuuruuur，由11CNNB=uuuruuur，

则11112BNBC=uuuruuuur，由图形知()()111111111113232MNMAABBNBAABBCcaaba=++=++=−++−111623abc=++．【小问2详解】由题设条件：1coscos602ababBAC===orrrr，

同理可得12abbc==，则()222221111||94612462336MNabcabcabbcac=++=+++++()1251943623636=+++++=，∴11156236MNa

bc=++=.18.如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是()()3013D，,，,为线段AB上的动点．（1）当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程；（2）求线段CD的中点M的轨迹方程．【答案】（

1）35180xy+−=（2）5629022xyx−−=【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CDk=−，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB方程中即可求解.小问1详解】∵()()1,3,4,3CB,故7322D，

，35CDk=−．所以直线CD方程为()3315yx−=−−，即35180xy+−=∴CD所在直线方程一般式是35180xy+−=．【小问2详解】设点M的坐标是(),Mxy，点D的坐标是()00,Dxy，由平

行四边形的性质得()43B，,∵M是线段CD的中点，∴0031,22yxyx++==，于是有0021,23xxyy−==−，直线AB的方程为()33yx=−，∵点D在线段AB上运动，∴()00039034xyx=−−

，，∴()()3212390xy−=---，即5629022xyx−−=．19.已知圆C过点()8,1A，且圆C与两坐标轴均相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若半径小于6的圆C与直线:0lxym−+=交于A、B两点，____，求m的值．从下列两个

条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB=；条件②：53AB=．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525xy−+−=或()()221313169xy−+−=【（2）条件选择见解析，522m=【解析】【分析】（1）设圆C的方程

为()()()2220xaybrr−+−=，根据已知条件得出()()22281abr−+−=，rab==，分ab=、=−ba两种情况讨论，求出a的值，即可得出圆C的方程；（2）求出圆C的方程，选①或选②，过点C作CDAB⊥于点D，求出CD，即为圆心C到直线l

的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m的值.【小问1详解】解：设圆C的方程为()()()2220xaybrr−+−=，因圆C过点()8,1A，所以()()22281abr−+−=，又因为圆C两坐标轴均相切，所以rab==，若ab=，则()(

)22281aaa−+−=，整理可得218650aa−+=，解得5a=或13，此时，圆C的方程为()()225525xy−+−=或()()221313169xy−+−=；若=−ba，则()()22281aaa−++=，整理可得214650

aa−+=，2144650=−，方程214650aa−+=无解.综上所述，圆C的方程为()()225525xy−+−=或()()221313169xy−+−=.【小问2详解】解：因为圆C的半径小于6，所以，圆C的方程为()

()225525xy−+−=，如果选择条件①：由120ACB=，5ACBC==，得30ACBABC==，过点C作CDAB⊥于点D，则D为AB的中点，则1522CDAC==，为所以圆心C到直线l的距离52d=，则

555222mmd−+===，解得522m=；如果选择条件②：53AB=，在ABC中，5ACBC==，过点C作CDAB⊥于点D，则2222535522CDACAD=−=−=，所以圆心C到直线l的距离52d=，则555222mmd−+===，解得522m=.20.已知双曲线C

：()2222100xyabab−=＞，＞的离心率为2，点()3,5A在双曲线上．（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中3Px），都有PAPBkk

为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144xy−=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=abc列方程组求解可得；（2）设(,)PPPxy是双曲线上任一点，取点(3,5

)B−−，计算PAPBkk得定值．【小问1详解】由题意得222222?951?caabcab=−==+，解得2?2?22abc===，故双曲线C的方程为22144xy−=；【小问2详解】法一：

存在点B()3,5−−，使得对双曲线上任意一点P（其中3Px），都有PAPBkk为定值1，证明如下：设(,)PPPxy是双曲线22144xy−=上任意一点P（其中3Px），则22144ppxy−=，即22

ppxy−=4∴2222555513395ppppPBPAppppyyyykkxxxy+−−−====+−−−．法二：设定点为00(,)Bxy，设(,)PPPxy是双曲线22144xy−=上任意一点P（其中3Px），则22144ppxy−=，即22ppxy−=4，22001xy−=，2

20000022000005(5)5(5)53(3)3(3)34PPPPPPPAPBPPPPPPyyyyyyyyyyykkxxxxxxxyxxx−−−++−++===−−−++−+++，由于224PPxy=+，而Py是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由005030yx+=

+=得0035xy=−=−，满足00534yx=+，所以存在定点(3,5)B−−，使得PAPBkk为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1

，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CMBNa==()02a．（1）问a为何值时，MN的长最小？（2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．【答案】（1）22a=（2）13【解析】【分析】（1）建立空间

直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD⊥平面ABEF，,BCABBEAB⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB⊥平面ABEF，于是BCBE⊥，从而,,BCABBE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,

0,0A，()0,0,1C，()1,1,0F，()0,1,0E，CMBNa==，,0,122aaM−，,,022aaN．222201212222aaaaMNaa=−+−+−=−+

，22212122MNaaa=−+=−+，当22a=时，MN最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222MN，取MN的中点G，连接

AG，BG，则111,,244G，22AMAN==，22BMBN==，AGMN⊥，BGMN⊥，AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA=−−，111(,,)244GB=−−−，2222221·18cos,3·111111

·244244GAGBGAGBGAGB−===−+−+−−+−+−．平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=的离心率为12e=，且过点31,2P

−.点P到抛物线22:2(0)Cypxp=−的准线的距离为32.（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（2）如图过抛物线2C的焦点F作斜率为(0)kk的直线交抛物线2C于A，B两点（点A在x轴下方），直线PF交椭圆1C于

另一点Q.记FBQ，APQ△的面积分别记为12SS、，当PF恰好平分APB时，求12SS的值.【答案】（1）221:143xyC+=，22:2=−Cyx（2）15(35)56−【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P可得答案；（2）设1:2=+AB

ykx，()2112,2−Att，()2222,2−Btt，设直线,PAPB的斜率为12,kk，且A，F，B共线得ABAFkk=，从而()222121212+=++tttt，12kk+，12kk，可求出直线PF的斜率为0k.当PF平分APB时，利用0120010211−

−=++kkkkkkkk，求出12tt+，从而ABkk=的值，由此直线3:32=−−PQyx，由于11212211||,,24||+=−=−=−AFtttttBFt，联立直线PQ和椭圆方程可得||||=−PQyPFQFy

，再利用||||=APFAFQSPFSFQ，||||=AFQQFBSAFSBF可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)xyCabab+=的离心率为12e=，则2222214cabaa−==，所以2234ab=，故设221:(0)43+=

xyC，由于椭圆1C经过点31,2P−，从而13144=+=，故椭圆1C的方程为221:143xyC+=.由于点P到抛物线22:2(0)Cypxp=−的准线2px=的距离为32，则3122p+=，故1p=，从而抛物线22:2=−Cyx.【小问2详解】由于

1,02F−，设1:2=+ABykx，()2112,2−Att，()2222,2−Btt，设直线,PAPB的斜率为12,kk，由于31,2P−，则1112211324322142−−==−+−+ttktt，

22224342−=−+tkt，由于()1222121222122−==−+−+ABttktttt，1212122=−+AFtkt，且A，F，B共线得ABAFkk=，故1212112122=−−−+tttt

，从而1214tt=−，()()222212121212122+=+−=++tttttttt，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421−+++++−−−+=+==−+−+−++ttttttttttkk

tttttt()()()212122121212681+++−=−++tttttt，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481−++−++−−===

−+−+−++−++ttttttttkktttttttt，由于31,2P−，则直线PF的斜率为0323112==−−+k，当PF平分APB时，则0120010211−−=++kkkkkkkk，即()()()212012012220++−−

+=kkkkkkkk，即()()()()()21212122212121212612593228181+++−−++−−−−++−++tttttttttt()()()2121221212126081+++−=−++tttttt即()()21212610

+++−=tttt，从而1212tt+=−或1213+=tt，从而()1212===−+ABkktt或3−，由于0k，故2k=，由此直线3:21,:32=+=−−AByxPQyx.由于11212211||,,2

4||+=−=−=−AFtttttBFt，考虑到()2121212211212244314++−+===−−tttttttttt，从而12352+=−tt，从而||35||2+=AFBF，联立2213:32:143PQyxxyC=−−+=

，即2131210+−=xx，从而113=Qx，则3453226=−−=−QQyx，从而3||13245||1526===−PQPFyQFy，由此||1326||1530===APFAFQSPFSFQ，||35230||23515(35)+====−−AFQQF

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