【文档说明】湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题 含解析.docx，共(27)页，1.528 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题总分：150分；时间：120分钟命题人：周湘伟；审题人：周兴国一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合20Axxx=−=，11Bxyx

==−，则AB=（）A.B.0C.1D.0,1【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.【详解】因为200,1Axxx=−==，11Bxyx==−=|1xx，所以AB=0，故选：B2.已知()21i32iz+=+，则z=

（）A.134B.3C.132D.133【答案】C【解析】【分析】求出31i2z=−，即得解.【详解】解：由题得332i32i,11i2i2zz=+=+=−，所以22313131()242z=+−==.故选：C3.若向量(),3am=−，()3,1b=r，则“1m

”是“向量a，b夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由向量a，b夹角为钝角可得0ab且a，b不共线，然后解出m的范围，然后

可得答案.【详解】若向量a，b夹角为钝角，则0ab且a，b不共线所以330133mm−−，解得1m且9m?所以“1m”是“向量a，b夹角为钝角”的必要不充分条件故选：B4.2019年6月7日，是我国的传统节

日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）A.17B.13C.37D.310【答案】B【解析】【分析】设事件A为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个

粽子都为腊肉馅”，计算P（A）、()PAB的值，从而求得(|)PBA的值．【详解】由题意，设事件A为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P（A）22342737CCC+==，23271()7CPABC==，()1(

|)()3PABPBAPA==．故选B．【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.5.函数()1()1xxfxex−=+的部分图象大致是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由解析式分析函数的性质，函数值的正负，

由排除法可得．【详解】1x或1x−时，()0fx，排除B、D，11x−时()0fx，排除C，只有A正确．故选：A．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象．可根据解析式研究函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等等，研究函数图象

的特殊点，如与坐标轴的交点，顶点，极值点等，特殊的函数值或函数值的正负、函数值的变化趋势．利用排除法得出正确的结论．6.已知函数2()ln1fxxax=−+在(1,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.

(2,18)B.[2]18,C.(,2)[18,)−+D.[2,18)【答案】A【解析】【分析】先讨论得出()fx的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，()fx定义域为()0,+，22()2axafxxxx−=−=.若0a，则()0fx恒成立，

则()fx在()0,+上单调递增，与已知不符，舍去；当0a时，由()0fx=可知，2ax=或2ax=−（舍去）当02ax时，有()0fx，所以()fx在0,2a上单调递减；当2ax时，有()0fx，所以()fx在,2a+上单调递增

.由已知函数2()ln1fxxax=−+在(1,3)上不是单调函数，.所以应有132a，所以218a.故选：A.7.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱

中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()yx=+π0,||2的图象上，且图象过点π,224，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34−−B.π5π,824

C.5π3π,248D.5π3π,84【答案】B【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出，根据点的坐标，结合的取值范围，求出的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T=，所以πT=，2π2T

==，()4sin2yx=+.又图象过点π,224，所以有π4sin212+=，所以，π1sin122+=.因为π2，所以5ππ7π121212−+，所以ππ126+=，所以π12=，π4

sin212yx=+.由πππ2π22π,2122kxkk−+++Z可得，7π5πππ,2424kxkk−++Z，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424kkk−++Z.当1k=−时，单调递增区间为31π19π,2424

−−；当0k=时，单调递增区间为7π5π,2424−；当1k=时，单调递增区间为17π29π,2424；对于A项，19ππ7π24324−−−，故A项错误；对于B项，因为7ππ5

π24824−，故B项正确；对于C项，因为5π3π17π24824，故C项错误；对于D项，因5π5π17π24824，故D项错误.故选：B.8.已知正三棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为16π，且222l，则该正三棱锥体积

的取值范围是（）A.33,234B.3,23C.3,33D.33,324【答案】A【解析】【分析】由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为a，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可确定正三棱锥体积关于a的函数关系.【详解

】设球的半径为R，因为24π16πVR==球，所以正三棱锥外接球半径2R=，设ABC的外接圆的圆心为D，因为−PABC是正三棱锥，所以PD⊥平面ABC，设外接球球心为O，则OD⊥平面ABC，所以//ODPD，故点O在直线PD上，当球心O与点P在平面ABC的同侧，如图所示，设ODa=(02

)a为由已知2OPOA==，2224ADOAODa=−=−,因为()22224aal++−=，222l，解得10a−，矛盾，当球心O与点P在平面ABC的异侧时或球心在平面ABC内时，如图所示，ODa=(02)a所以2OPOA==，2224ADOAODa

=−=−,因为()22224aal−+−=，222l，解得01a，所以01a，又因为2π3ADB=，所以234ABBCACa===−，所以21π33sin(4)234ABCSABACa==−，所以232133(4)(2)(2

48)344PABCABCVSPDaaaaa−==−−=−−+，令32()248faaaa=−−+，01a，由2()344(2)(32)0faaaaa=−−=−+所以()fa在0,1递减，又(0)8f=，(1)3f=，所以当0a=时，即22l=

时，三棱锥−PABC的体积取最大值，最大值为23，当1a=时，即2l=时，三棱锥−PABC的体积取最小值，最小值为334，所以正三棱锥体积的取值范围是33,234.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题

5分，共20分：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知nS是na的前n项和，12a=，111(2)nnana−=−，则（）A.20232a=

B.20231013S=C.331321nnnaaa++=D.na是以3为周期的周期数列【答案】ABD【解析】【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可得出D项；根据周期性，即可判断A、C项；求出123aaa++的值，结合周期性，即

可得出B项.【详解】由已知可得，211111122aa=−=−=，321111112aa=−=−=−，143111121aaa=−=−==−，2512aa==，361aa=−=，所以，na是以3为周期的周期数列.对于A项，因为202367431=

+，所以202312aa==，故A项正确；对于B项，因132132122aaa=++=+−，所以20233674210132S=+=，故B项正确；对于C项，因为na的周期为3，所以331naa==−，3112naa+==，32212na

a+==，为所以，3313211212nnnaaa++=−=−，故C项错误；对于D项，由解析可知，na是以3为周期的周期数列，故D项正确.故选：ABD.10.如图，点P在正方体1111ABCDABCD−面对角线1BC上运动，则下列四个结论正确的有（）A.三棱锥1ADPC−的体积不变

B.1AP与平面1ACD所成的角大小不变C.1DPBC^D.1DB⊥1PA【答案】ABD【解析】【详解】正方体中11//BCAD，则有1//BC平面1ADC，∴P到平面1ADC的距离不变，1ADC面积不变，因此三棱锥1ADPC−的体积不变，A正确

；同理1//AB平面平面1ADC，从而可得平面11//ABC平面1ADC，∴可得1AP//平面1ACD，1AP与平面1ACD所成的角大小始终为0，B正确；当P与1C重合时，DP与1BC所成角为60，不垂直，C错；由正方体中11AC⊥11BD，由111ACBB⊥，得

11AC⊥平面11BBDD，可得111ACBD⊥，同理11ABBD⊥，从而可证1BD⊥平面11ABC，必有11BDAP⊥，D正确；故选：ABD．的【点睛】本题考查空间的直线与平面间的平行与垂直的关系，掌握正方

体的性质是解题关键．考查了学生的空间想象能力，逻辑推理能力．11.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，点P在抛物线C上，5,04A−，若PAF△为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（）A.427B

.255C.52D.223−【答案】AB【解析】【分析】由题意知APPF，然后分AFPF=和APAF=两种情况求出点P的坐标，从而可求出直线AP的斜率【详解】由题意知APPF，设(),(0)Pxy

x，若AFPF=，则5114x+=+，解得54x=，则点P的坐标为5,54或5,54−，所以255APk=或255APk=−；若APAF=，则22255144xy++=+.因为24yx=，所以221370x

x+−=，解得12x=或7x=−（舍去），所以点P的坐标为1,22或1,22−，所以427APk=或427APk=−.故选：AB12.设函数1,0()cos,0xxxfxexx−=，下列四个结论中正确的是（）

A.函数()fx在区间),1−上单调递增B.函数()yfxx=−有且只有两个零点C.函数()fx的值域是1,1−D.对任意两个不相等正实数12,xx，若12()()fxfx=，则122xx+【答案】CD【解析

】【分析】利用导数判断0x时，()yfx=的单调性，根据单调性可求值域，然后结合0x时，()cosfxx=，从而可判断选项A，C；首先利用导数判断0x时，()()cosgxfxxxx=−=−的零点

个数；然后再利用单调性判断0x时，()1()exxgxfxxx−=−=−的零点个数，从而可判断选项B；不妨设1201xx，根据题意把要证明122xx+，转化为证明()()112fxfx−；然后构造函数112()

(01)eexxxxxx−−−=−，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D.【详解】当0x时，1()exxfx−=，所以()11211ee1()eexxxxxxfx−−−−−=−=，所以当01x时，()0,()fxyfx=在(0,

1)单调递增，当1x时，()0,()fxyfx=在(1,)+单调递减，故0x时，0()(1)1fxf=，又当0x时，()cosfxx=，所以(0)1f=，1()1fx−，所以函数()fx在[,0),(0,1)−单调递增，所以A错误，C正确；当0x时，令()(

)cosgxfxxxx=−=−，则()sin10gxx=−−，所以()cosgxxx=−在(,0]−单调递减，所以当0x时，()(0)1gxg=，所以函数()yfxx=−在(,0]−上没有零点；当0x时，()1()exxgxfx

xx−=−=−，所以只需求函数11()1exhx−=−在(0,)+上零点个数，又因为11()1exhx−=−在(0,)+上单调递减，且111(1)10eh−=−=，所以函数()yfxx=−在(0,)+上只有一个零点．所以函数()yfxx=−有且仅有一个零点，所以B错误；当0

x时，若()()12fxfx=，因为函数()fx在(0,1)单调递增，在()1,+单调递减，所以不妨设1201xx，则1122x−，所以要证122xx+，只需证122xx−，即只需证()()122fxfx−，又因为()()12fxfx=，所以只

需证()()112fxfx−.因为()()111111111112111222xxxxxxxxfxfxeeee−−−−−−−−−=−=−，所以令函数112()(01)eexxxxxx−−−=−，则()22111(1)ee11()0eeexxxxxxxx

−−+−−−−=−=，所以112()eexxxxx−−−=−在(0,1)单调递增，所以1111121()(1)0eex−−−=−=，即112()0(01)eexxxxxx−−−=−

恒成立，所以1()0x，即()()11111111220xxxxfxfxee−−−−−=−，所以()()112fxfx−，从而122xx+成立.所以选项D正确.故选：CD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.13.使得（3x+1xx）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为__________．【答案】5【解析】【详解】二项式1(3)nxxx+展开式的通项为：532213rnrrrTCxn−+=，令53022

rn−=，据题意此方程有解，∴53nr=，当r=3时，n的最小值为5.故答案为5.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)

已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.若圆:C22620xyxyn++−+=截直线:(2)(21)50lmxmym++−−=所得的最短弦长为42，

则实数n=______．【答案】15−【解析】【分析】求得圆的圆心和半径，求得直线过的定点，根据圆的几何性质，以最短弦长列方程，解方程求得r，进而求得n的值.【详解】易知圆C的圆心为(3,1)C−，半径10rn=−，直线(2)(21)50mxmym++−−=恒过点(1,

2)M.又22||(31)(12)17MC=−−+−=，当MCl⊥时，所得弦最短，此时弦长为222||rMC−=221742r−=，解得=5r，所以105n−=，解得15n=−.故答案为：15−15.已知函数()2sinsin2fxxx=+，则()fx的最小值是______

_______．【答案】332−【解析】【分析】方法一：由()()14cos1cos2fxxx=+−，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导

数法()22()2cos2cos22cos22cos14cos2cos2fxxxxxxx=+=+−=+−2(cos1)(2cos1)xx=+−．令()0fx，得1cos2x，即()fx在区间ππ2π,2π()33kkk−+Z内单调递增；令()0f

x，得1cos2x，即()fx在区间π5π2π,2π()33kkk++Z内单调递减．则minπ33[()]2π32fxfk−=−=．故答案为：332−.［方法二］：三元基本

不等式的应用因为()2sin2sincos2sin(1cos)fxxxxxx=+=+，所以2223()4sin(1cos)4(1cos)(1cos)fxxxxx=+=−+4(33cos)(1cos)(1cos)(1cos)3xxxx=−+++44

4(33cos)(1cos)(1cos)(1cos)432734324xxxx−++++++==．当且仅当33cos1cosxx−=+，即1cos2x=时，取等号．根据()()fxfx−=−可知，()fx奇函数，于是min333333(),,[()]222fxfx

−=−，此时31sin,cos22xx=−=．故答案为：332−.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式2()sinsin22sin(1cos)4sincos2cos222xxxfxxxxx=+=+=，是322622()64sin

cos64sin1sin2222xxxxfx==−422223sin1sin1sin1sin64272222344xxxx+−+−+−=，当且仅当223sin1sin22xx

=−，即1sin22x=时，2max27()4fx=．根据()()fxfx−=−可知，()fx是奇函数，于是min333333(),,[()]222fxfx−=−．故答案为：332−.［方

法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩2()sinsin22sin(1cos)4sincos2cos222xxxfxxxxx=+=+=2221224238tan8tan8tan3322221111tantan14tan2

333232xxxxxx=−−=−++++，当且仅当213tan,tan2323xx==−时等号成立．故答案为：332−.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设tan2t=，则()fx可化为2222242218()22

11112ttttgtttttt−=+=+++++，当0=t时，()0gt=；当0t时，38()12gtttt=++，对分母求导后易知，当3t3=−时，()gt有最小值332−．故答案为：332−.［方法六］：配方法()22()2sin2sincos2sin2sincos3sincos1

fxxxxxxxxx=+=+++−2223233333cos2sincossinsin2sin3322xxxxxx=+++++−2232333333(3cossin)sin33222xxx=+++−−，当且仅当3cossin0,3

sin0,2xxx+=+=即π2π,3xkk=−Z时，()fx取最小值332−．故答案为：332−.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为()2sinsin2fxxx=+，所以()()()()+2π2s

in+2πsin2+2π=2sinsin2fxxxxxfx=++=，即函数()fx的一个周期为2π，因此0,2πx时，()fx的最小值即为函数的最小值．当0,πx时，()()2sinsin22sin1cos0fxxxxx=+=+，当π,2πx时，因为()22()2cos2co

s22cos22cos14cos2cos2fxxxxxxx=+=+−=+−2(cos1)(2cos1)xx=+−，令()0fx=，解得πx=或5π3x=，由()π0f=，()2π0f=，533π32f=−，所以()fx的最小值为332−．故答案为：3

32−.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法

四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用

函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．16.为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是2m（mN）将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感

染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组12m−人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成

两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定．．．．．．．．．．．．）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待

检测的总人数为()23mm，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.【答案】①.2②.41m−【解析】【分析】利用二分检测法求解.【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮

需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；若待检测的总人数为()23mm，且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需

1221mm+=+次检测；若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为12m−的组，每组1个感染者，此时每组需要()12121mm+−=−次检测，所以此时两组共需()22142mm−=−次检测，

故有2个感染者，且检测次数最多，共需42141mm−+=−次检测，所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为41m−.故答案为：2，41m−四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.17.在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23ABCSBABC=−△，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足3ACD=，3AD=，（1）求B；（2）设BAC=，()BCf=，求函数(

)f的值域．【答案】（1）23B=（2）()0,2【解析】【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入23ABCSBABC=−△计算可得12sin3cos2acBacB=−，化简即可得解；（2）首先找到各个角之间的关系，2CAD

=−，6CDA=+，再由正弦定理可得sin2sinsin6ADADCACACD==+，再在三角形ABC中，由正弦定理得sinsinACBCB=，所以()sin4sinsinsin63ACBCfB===+，利用三角

函数求最值即可得解.【小问1详解】由23ABCSBABC=−△，可得12sin3cos2acBacB=−，即sin3cos=−BB，可得tan3B=−，因为()0,B，所以23B=，【小问2详

解】∵BAC=，则2CAD=−，6CDA=+，在三角形ACD中，由正弦定理得sinsinACADADCACD=，可得3sinsin62sinsin6sin3ADADCACACD+===+，在三角形ABC中，由正

弦定理得sinsinACBCB=，可得()2sinsinsin46sinsin2sin63sin3ACBCfB+====+2431431sincossinsinsincos222233=+=+()21

11cos223sin2sincos23sin2233−=+=+()123sin23cos21sin21333=−+=−+，因为π0θ3<<，可得2333−−，当23

3−=时，即3=，可得23sin1233+=，当233−=−时，即0=，可得23sin1033−+=，所以()f的值域为()0,2．18.数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*.（1）若数列{an}是等差数列

，求数列{bn}的前100项和S100；（2）若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式．【答案】（1）5200；（2）1,22,nnann=−为奇数为偶数.【解析】【分析】（1）

根据数列{an}是等差数列{an}，且a1＝1，a2＝2，得到an＝n，然后分n为奇数和n为偶数，得到bn，再利用分组求和法求解.（2）根据{bn}是公差为2的等差数列，且b1＝a2－a1＝1，得到bn＝2n－1，再分n为奇

数和n为偶数，由2122122124341nnnnnnbaanbaan−−+=−=−=+=−求解.【详解】（1）等差数列{an}中，a1＝1，a2＝2，所以d=1，an＝n，当n为奇数时，bn＝an＋1－an＝1，即b1＝b3＝b5＝…＝b

2n－1＝1；当n为偶数时，bn＝an＋1＋an＝2n＋1，则b2＝5，b4＝9，b6＝13，…所以{bn}的前100项和S100＝b1＋b2＋…＋b100，＝(b1＋b3＋…＋b99)＋(b2＋b4＋…＋b100)，＝1×50＋(50×5＋504942)，＝5200.（2）因为{b

n}是公差为2的等差数列，且b1＝a2－a1＝1，所以bn＝2n－1，当n为奇数时，bn＝an＋1－an＝2n－1；当n为偶数时，bn＝an＋1＋an＝2n－1，即2122122124341nnnnnnbaanba

an−−+=−=−=+=−，所以a2n＋1＋a2n－1＝2，所以a2n＋1＝2－a2n－1，又因为a1＝1，所以a1＝a3＝a5＝…＝1，所以a2n－1＝1，a2n＝4n－2；所以1,22,nnann=−

为奇数为偶数【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和分组求和法，还考查了分类思想和运算求解的能力，属于中档题.19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD=，ABC是底面的内接正三角形，且6DO=，P是线段DO上一点.（1）是否存在点P，使得PA⊥平面PBC，若存在，

求出PO的值；若不存在，请说明理由；（2）当PO为何值时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.【答案】（1）6PO=时，PA⊥平面PBC；（2）当6PO=时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.【解析】

【分析】（1）求出43,23,6ADAOAB===,再根据PA⊥平面PBC求出PO即得解；（2）如图所示，建立以点O为坐标原点的空间直角坐标系Oxyz−，设||,(06),POxx=利用向量法求出223sin=36++15xx，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：由题得2222

211,,3624AOADADPOAOADAD==+=+,所以43,23ADAO==.所以△ABC是圆的内接三角形，所以223,6sin60ABAB==，由题得2212PAPO=+.假设PA⊥平面PBC，所以22,361212,6PAPBPOPOPO⊥

=+++=.此时.PAPC⊥所以6PO=时，PA⊥平面PBC.【小问2详解】解：如图所示，建立以点O为坐标原点的空间直角坐标系Oxyz−.设||,(06),(0,0,),(3,3,0),(3,3,0),(23,0,0)POxxP

xEBC=−−，所以(3,3,),(3,3,),(23,0,),EPxPBxPCx→→→=−=−=−−设平面PBC的法向量为(,,)nabc→=，所以·330·230nPBabcxnPCacx=+−==−−=，所以(,3,23)nxx→=−−.设直线EP与面PBC所成

的角为，由题得22222|33323|23sin1231212412xxxxxxxxx+−==+++++2231=336++15xx.当且仅当6POx==时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.20.为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基

金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2018年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：年份20182019202020212022年份代码x12345年借阅量y（册）1y2y3692142（参考数据：51290iiy

==）（1）在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X，求X的分布列和数学期望()EX；（2）通过分析散点图的特征后，计划分别用①3547yx=−和②25yxm=+两种模型作为年借阅量y

关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.【答案】（1）分布列见解析，()65EX=（2）2ˆ53yx=+；模型②的拟合效果更好【解析】【分析】（1）求5年的借阅量的平均数，可得随机变

量X服从超几何分布，求得概率即可得分布列与期望()EX；（2）根据计算样本中心值代入方程求得m，即可得回归方程，计算残差即可得答案.【小问1详解】由题知，5年的借阅量的平均数为：290585=，又12290369214220yy+=−−−=，

则12,58yy所以低于平均值的有3个，所以X服从超几何分布，()()23225CC,0,1,2CkkPXkk−===，所以()023225CC10C10PX===，()113225CC631C105PX====，()203225CC32C10PX===，所以X的分布列为：X012

11035310所以()1336012105105EX=++=；【小问2详解】因为12222251234529011,58555iiy=++++===所以58511m=+，即3m=.所以模型②的经验回归方程为：2ˆ53yx=+根据模型①的经验回归方程可得：1234512,23ˆ,58

,93ˆˆˆˆ,128yyyyy=−====根据模型②的经验回归方程可得：123458,23,4ˆˆˆˆ8,83,128ˆyyyyy=====因为()()()()()()()()()()2222222222121212233658929314212882336489283142128yyyy

++−+−+−+−−−+−+−+−+−()()22222211112822121940340yyy=+−−+−+−=+，且10y所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，所以模型②的拟合效果更好.21.

已知抛物线21:2(0)Cypxp=与22:2(0)Cxqyq=都经过点(4,8)A．（1）若直线l与12,CC都相切，求l的方程；（2）点,MN分别在12,CC上，且94MANAOA+=，求AMN的面积．【答案】（1）220xy++=（2）27【解析】【分析】（1）根据题意求得

21:16Cyx=，22:2Cxy=，利用导数的几何意义，求得切线l的方程2002xyxx=−，根据l为曲线12,CC的公切线，联立方程组，结合Δ0=，进而求得l的方程；（2）设()211,4Mtt，()2222,2Ntt，根据94MAN

AOA+=，列出方程得到关系式()()()12121220tttttt+−−−=，分类讨论，即可求解．【小问1详解】因为曲线12,CC都过点()4,8A，所以8641616pq==，解得8,1pq==，即21:16Cyx=，22:2Cxy=设直线l与曲线2C相切于点200,2xQx

，令()22xfx=，可得()fxx=，则切线的斜率()00kfxx==，所以切线方程为()20002xyxxx=−+，即2002xyxx=−，由2002216xyxxyx=−=，整理得22001680xyyx−−=，因为l为曲线12,CC的公切线，所以30Δ2

56320x=+=，解得02x=−，所以直线l的方程为22yx=−−，即220xy++=．【小问2详解】设()211,4Mtt，()2222,2Ntt，又()4,8A，()()()221212982,16424,89,184MANAtttt+=−−−−==，所以2122128

29164218tttt−−=−−=，可得212221210210tttt++=++=，两式相减得到()()()12121220tttttt+−−−=，当121tt==−时，()1,4M−，()2,2N−，此

时()3,12MA=，()6,6NA=，则153MA=，62NA=，且90MANA=，可得9015,15362co306sMANAMANAMANA===，所以9,306sinMANA=，所以19,15361sin26227230A

MNSMANAMANA===；当12tt时，122tt+=，此时211250tt−+=方程无解，（舍去），综上，可得AMN的面积为27．22.设函数1()lnfxaxxbx=−++()abR、，（1）讨论()fx的单调性；（2）若

函数()fx有两个零点1x、2x，求证：121222xxaxx++．【答案】（1）当0a时，()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，()fx在114(0,)2aa++上单调递减，在114(,)2aa+++上单调递增；（2）见解析.【解析】【分析

】（1）先求导数，再根据a讨论导函数符号，根据符号确定函数单调性，（2）先根据零点解得a，再构造差函数，设21xtx=，转化为一元函数，最后利用导数研究函数单调性，确定最值，根据最值进行论证.【详解】（1）()222111'(0)axxfxaxxxx−−=−−=，设()21(0)gxaxxx

=−−，①当0a时，()0gx，()'0fx；②当0a时，由()0gx=得1142axa++=或11402axa−+=，记1142axa++=0x=则()()201141,(0)2agxaxxaxxxxa−+=

−−=−−，∵11402axa−+−∴当()00,xx时，()0gx，()'0fx，当()0,xx+时，()0gx，()'0fx，∴当0a时，()fx在()0,+上单调递减；当0a时，()fx在1140,2aa++上单调递减，在114,2aa

+++上单调递增．（2）不妨设12xx，由已知得()10fx=，()20fx=，即1111lnaxxbx=−−，2221lnaxxbx=−−，两式相减得()21212111lnlnaxxxxxx−=−−−

，∴212121lnln1xxaxxxx−=+−，要证121222xxaxx++，即要证2112122121lnln122xxxxxxxxxx−+++−，只需证21121221lnln2xxxxxxxx−+−，只需证222121212lnxxxxxx−

，即要证2121212lnxxxxxx−，设21xtx=，则1t，只需证12lnttt−，设()12ln(1)httttt=−−，只需证()0ht，()()2222211221'10ttthttttt−−+=+−==，()

ht在()1,+上单调递增，()()10hth=，得证．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com