【文档说明】浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.509 MB，由小赞的店铺上传

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2025年“数海漫游”第一次模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.()ln20lnln2420ln24−=（）A.0B.1C.2024D.2025【答案】A【解析

】【分析】令ln24,ln20xy==，可得20ey=，结合指、对数运算求解.【详解】令ln24,ln20xy==，则20ey=，所以()()()lnln20lnln24ln20ln24ee0xyyyxyyyxxxx−=−=−=−=.故选：A.2.已知π0,2

，cos1tansin1=，则=（）A.1B.2C.π22−D.π2−【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式可得πtantan12=−，即可得结果.【详解】因为πsin

1cos1π2tantan1πsin12cos12−===−−，且πππ0,,10,222−，所以ππ2122−=−=故选：C.3.已知长方体ABCDABCD−

中，24ABBCBB===，则四面体ABCD的体积是（）A.323B.16C.643D.32.【答案】A【解析】【分析】可知四面体ABCD即为长方体ABCDABCD−中去掉4个全等的三棱

锥，结合棱柱、棱锥的体积公式运算求解.【详解】如图所示：可知四面体ABCD即为长方体ABCDABCD−中去掉4个全等的三棱锥，所以四面体ABCD的体积为11324424244323−=.故选：A.4.设a，b是单位向量，则()2abab+−的最小值是（）A

.1−B.0C.34D.1【答案】D【解析】【分析】设a，b的夹角为0,π，则cos1,1ab=−rr，结合数量积的运算律分析求解.【详解】设a，b的夹角为0,π，因为1==abrr，则coscos1,1abab==

−rrrr，可得()2222cos1abababab+−=++=+rrrrrrrr，当且仅当cos1=−时，等号成立，所以()2abab+−的最小值是1.故选：D5.天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的

愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）A.19B.29C.49D.23【答案】C.【解析】【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有4381

=种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有212432CC

A36=种情况，所以所求概率为364819P==.故选：C.6.若数列nnab满足：对于任意正整数n，()()110nnnnabab++−−，则称na，nb互为交错数列．记正项数列nx的前n项和为nS，已知1，1nS+，

nx成等差数列，则与数列nx互为交错数列的是（）A.sinπnann=+B.cosπnbnn=+C.2sinπncnn=+D.2cosπndnn=+【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质和nx与nS的关系，推得21nxn=+，再由互为交错数列的定义，对各个选项分析，可得结论．【详解】

由1，1nS+，nx成等差数列，可得211nnSx+=+，0nx，当1n=时，11121211Sxx+=+=+，解得13x=，当2n时，由24(1)(1)nnSx+=+，可得2114(1)(1)nnSx−

−+=+，上面两式相减可得114(2)()nnnnnxxxxx−−=++−，化为1112()()()nnnnnnxxxxxx−−−+=+−，由0nx，即有12nnxx−−=，nx是3为首项，2为公差的等差数列，可得32(1)21nxnn=+−=+，对A，sinπna

nnn=+=，211()()(21)(123)320nnnnaxaxnnnnnn++−−=−−+−−=++，与数列nx不互为交错数列，故A选项错误；对B，由cosπnbnn=+，可得1122()()(03)(35

)60bxbx−−=−−=，与数列nx不互为交错数列，故B选项错误；对C，由2sinπ2ncnnn=+=，11()()(221)(2223)10nnnncxcxnnnn++−−=−−+−−=，与数列nx不互为交错数列

，故C选项错误；对D，由2cosπndnn=+可得()11()()2cosπ2122cos(ππ)23nnnndxdxnnnnnn++−−=+−−+++−−21cosπ0n=−=，与数列nx互为交错数列，故D正确．

故选：D．7.已知1F，2F分别为椭圆C：()222210+=xyabab的左右焦点，过2F的一条直线与C交于A，B两点，且1AFAB⊥，21BF=，则椭圆长轴长的最小值是（）A.42B.322+C.6D.422+【答案】B【解析】【分析】利

用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可．【详解】设2AFt=，则1ABt=+，121BFa=−，12AFat=−，由1AFAB⊥，可得222(1)(2)(21)tata++−=−，则220

1ttat+=−，有1t，所以2222(1)332(1)322111ttattttt+==−+++−=+−−−，当且仅当2(1)1tt−=−，即12t=+时取等号．则椭圆长轴长的最小值是322+.故选：B．8.已知2222

22xyxxy+−−=，则（）A.0xB.0yC.2xD.2y【答案】D【解析】【分析】整理可得22222102yxxy−−=，可得22xx，利用图象解不等式可得()()0,24,xx+

，进而可得20112xx−，则22yy，利用图象解不等式可得(0,1,2yy−，对比选项即可得结果.【详解】因为222222xyxxy+−−=，整理可得22222102yxxy−−=，则2

2xx，如图所示：且当()21212121,22−−−−，可知：2xy=与2yx=有3个交点，依次为011,,2,42x−−，可知22xx的解集为()()0,24,x+，即()()0,24,xx+，此时220xx，可得

2012xx，则20112xx−，即222201yy−，整理可得22yy，注意到1021220,222−−，可知2yt=与2ty=有3个交点，依次为01,0,1,22y−，则不等式22yy的解集为(0,1,2y−

，即(0,1,2yy−；对比选项可知：一定成立的只有选项D.故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形

的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且

AC：210xy−+=，则直线AB的方程可能为（）A.310xy++=B.310xy−+=C.310xy++=D.310xy−+=【答案】BC【解析】【分析】由正方形的特征可知，直线AB与直线AC夹角为π4，由直线AC斜率利用两角差的正切公式求出直线

AB的斜率，对照选项即可判断.【详解】设直线AB的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，直线AC斜率为2，有tan2=，则ππ42.依题意有π4−=或π4−=，当π4−=时，()tantanπtantan1tantan4−−==+，即tan2112tan−=+

，解得tan3=−，即直线AB的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；当π4−=时，()tantanπtantan1tantan4−−==+，即2tan112tan−=+，解得1tan3=，

即直线AB的斜率为13，B选项中的直线斜率符合.故选：BC10.已知模长均为1的复数1z，2z满足1212zzzz+=，则（）A.121zz+=B.121zz+=C.33122zz+=D.33122zz+=【

答案】ABC【解析】【分析】设()1i,Rzabab=+，()2i,Rzcdcd=+，由已知复数1z，2z的模长均为1，通过变形可得()1212i1azzzzcbd=+−++=，即1ac+=且0bd+=，

即可判断选项AB，根据()()32331212123zzzzzz=++−+可判断选项CD.【详解】设()1i,Rzabab=+，()2i,Rzcdcd=+，因为1212zzzz+=，所以12121zzzz+=，()()()()1212211111iiiiiiiicd

abcdabzcdcdzababzzzz−−=+=+=+++++−+−2222iicdabcdab−−=+++，因为复数1z，2z的模长均为1，所以221ab+=，221cd+=，所以()22221212iiiii1zc

dabcdabacbdczzdabz−−=+=−+−=+++++−=，即1ac+=且0bd+=，所以()12iii1abcdzacdzb+++=++++==，故选项B正确；所以121zz+=，故选项A正确；因为()()333233121212121212212333zzzzzzzzzzzzz

z+=+++=+++()23312123zzzz+=++，所以()()323312121232131zzzzzz++−+=−==−，故选项D错误；又33122zz+=，故选项C正确.故选：ABC.11.如图，小黄家的墙上固定了一盏圆锥（截面PAB为等腰直角三角形）形状的灯，灯光可以照亮的部分

是个无限大的圆台，其截面的边界分别垂直于PA，PB．已知墙与地板垂直，灯向上或向下转动的极限均为45°（即AB可以绕O点顺时针或逆时针旋转45°）．若地板和墙都充分大，则灯光照在地板上的边界的可能形状有（）A.椭圆B.双曲线的一支C.抛物线D.一条直线【答案】B

C【解析】【分析】根据题意建立用平面截圆台的数学模型进行解答．【详解】根据题意，灯光可以照亮部分是个无限大的圆台，该问题可以转化为用平面截圆台，所得的截面问题，若固定灯不动，则只考虑地板从1MS旋转到2MS，

设1SMS=，的则根据圆锥曲线定义，有：截面与圆台的轴平行时，截得双曲线的一支；截面与圆台的母线平行时，截得抛物线；截面不可能只与圆台侧面相交，不能截得椭圆；截面不可能与圆台侧面相切，不能截得直线.故选：BC.【点睛】方法点睛：灯向上或向下转动，判断灯光照在地板上

的边界的可能形状，问题可以转化为用平面截圆台，所得的截面问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列na为等差数列，1a，4a，16a构成等比数列，则32aa的值是______．（任写出一个即可）【答案】1或3

2（任写一个即正确）【解析】【分析】设na公差为d，依题意有24116aaa=，求得0d=或1ad=，可求32aa的值.【详解】设等差数列na公差为d，由1a，4a，16a构成等比数列，则有24116aaa=，即()()2111315adaa

d+=+，解得0d=或1ad=，0d=时，321aa=；1ad=时，312123322aaddaadd+===+.故答案为：1或32（任写一个即正确）13.已知a，b，0c，二次函数()2fxaxbxc=++有零点，则abcbca++的最小值是______．【答案】331004【解析】【分析】

设,,,0bmacnamn==，则1abcmnbcamn++=++，根据二次函数零点可得2mn，设()1,2mfmnmnmn=++，利用对勾函数可得()()2fmfn，再结合基本不等式运算求解.【详解】因为a，b，0c，设,,,0bmacn

amn==，则1abcmnbcamn++=++，的二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐有零点，则2222440bacmana=−=−，可得2mn，设()11,2mnfmnmnmnmnnm=++=++，显然2nn，可

知()fm在)2,n+内单调递增，则()()3355555310023424444fmfnnnnnnnnn=+=++=，当且仅当254mnnn==，即2354n=，1310m=时，等号成立，即331004abcbca++，所以abc

bca++的最小值是331004.故答案为：331004.14.若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2，则它们表面积之比的取值范围是______．【答案】1,42【解析】【分析】设两个圆锥的底面半径分别为2,rr，高分别为0,hh，根据体积关系可得04hh=，进而可得表面积之

比为222441161hrhr++++，利用换元法令2110,21161thr=++，整理可得2222448642121161ttttt+++−+=++，分析可知关于x的方程2432210xtxt−+−=有正根，更换主元法结合一

次函数零点分析求解.【详解】设两个圆锥的底面半径分别为2,rr，高分别为0,hh，由题意可知：22011π4π33hrhr=，可得04hh=，则它们表面积之比为22222222244π24π4π16π1161hrrrhrrrhrhr++

++=++++，令2110,21161thr=++，则2211216hrtt=−，表面积之比为2222244112864212441621161tttttttt+++−+=+−+=+

+，设28642102tttx+−+=，可知关于x的方程2432210xtxt−+−=有正根，即关于t的方程()2232410xtx−+−=在10,2有根，设()()2123241,0,2ftxtxt=−+−，若2320x−=，即116x=时，()

63064ft=−，不合题意；若2320x−，即116x时，则()()()22104141602ffxxx=−−，因为()()()()()22414164212140xxxxxxx−−=+−−，且0x

，则210x+，可得()()2140xx−−，解得142x；综上所述：x的取值范围为1,42.所以表面积之比的取值范围是1,42.故答案为：1,42.【点睛】关键点点睛：对于表面积之比利用换元法分析可知

关于x的方程2432210xtxt−+−=有正根，更换主元可知关于t的方程()2232410xtx−+−=在10,2有根，结合一次函数零点分析求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在正四面体ABCD中，P是ABCV内部

或边界上一点，满足APABAC=+，12+=．（1）证明：当DP取最小值时，DPBC⊥；（2）设DPxDAyDBzDC=++，求222xyz++的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）31,82【解析】【分析】（1）先根据条件确定P点的位置，再证明线

线垂直.（2）先探究,,xyz与,的关系，再利用二次函数的性质求范围.【小问1详解】如图：取AB中点M，AC中点N，连接MN，APABAC=+则2ABAM=，2ACAN=.因为22APABACAMAN=+=+，12+=221+=，所以三点,,PMN共线.又四面体AB

CD为正四面体，所以DMDN=，当P为MN中点时，DPMN⊥，此时DP取得最小值.又//BCMN，所以DPBC⊥.【小问2详解】易知1,0,2，DPDAAPDAABAC=+=++()()DADBDADCDA=+−+−12DADBDC=

++xDAyDBzDC=++.所以12x=，y=，z=，故2222214xyz++=++221142=++−2122=−+（102）.根据二次函数的性质，当14=时，222xyz++有最小值，为38；当0=或12时，2

22xyz++有最大值，为12.故222xyz++的取值范围为：31,8216.设0a，函数()()22lnfxaxax=++−．（1）若1a，讨论()fx的单调性；（2）求()fx的最大值．【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1

）求导，利用导数判断()fx的单调性；（2）求导，分01a和1a两种情况，利用导数判断()fx的单调性和最值.【小问1详解】令20ax−，且0a，解得axa−，可知()fx的定义域为(),aa−，且()()2222122xxaxfxxaxax−−

+=−=−−，因为01a，且axa−，则220,10xaax−+−，当0ax−时，()0fx；当0xa时，()0fx；可知()fx在(),0a−内单调递增，在()0,a内单调递减.【小问2详解】由

（1）可知：()fx的定义域为(),aa−，且()()2221xxafxax−−+=−，若01a，可知()fx在(),0a−内单调递增，在()0,a内单调递减，所以()fx最大值为()0lnfaa=+；的若1a，令()

0fx，解得1axa−−−或01xa−；令()0fx，解得10ax−−或1axa−；可知()fx在()(),1,0,1aaa−−−−内单调递增，在()()1,0,1,aaa−−−内单调递减，且()()1121fafaa−−=−=−，所以()fx的最大

值为21a−；综上所述：若01a，()fx的最大值为()0lnfaa=+；若1a，()fx的最大值为21a−.17.随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林

的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均120，且抢票结果相互独立（1）为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票；（

2）由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由．【答案】（1）100（2）18或1

9【解析】【分析】（1）因为这100人均有可能抢到票，根据极大化原则分析判断；（2）设小林额外找()*1kk−N个人帮他一起抢票，可得抢到票的概率为1192020kkkP−=，进而求其最大值即可判断.【小问1详解】因为这100

人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障，所以主办方至少要为该通道预留100张票.【小问2详解】若小林额外找()*1kk−N个人帮他一起抢票，则抢到票的概率为11111919C20202020kkkkkP−−==

，可得()11119191202020192020kkkkkkPPkk+−++==，令11kkPP+，解得19k；令11kkPP+=，解得19k=；令11kkPP+，解得11

9k；即12192021PPPPP=，所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票.18.已知P为双曲线C：2221yxa−=上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．（1）若点P是直

线3xy=与圆222xy+=的交点，求a；（2）求OP的取值范围．【答案】（1）1a=（2）()1,2【解析】【分析】（1）联立方程求出交点坐标，代入双曲线方程运算求解即可；（2）设(),Pmn，rOP=，根据中垂线方程以及双曲线

的切线方程解得224222211aaama−+−+=+，换元令21ta=−，可得()2221rttt=+−+，令21xttt=+−+，可知关于x的方程()2210xtxt−+−=有正根，更换主元法求范围即可.【小问1详解】联立方程：2232xyxy=+

=，解得6222xy==或6222xy=−=−，即点P为62,22或62,22−−，将点P代入双曲线C：2221yxa−=可得213212a−=，解得21a=，所以1a=.【小问2详解】先证：在双曲线22221xydb

−=上一点()00,xy处的切线方程为00221xxyydb−=.因为点()00,xy在双曲线22221xydb−=上，则2200221xydb−=，显然直线00221xxyydb−=过点()00,xy，即2222002bxybd=−，22222200dybxdb−=−，联立方程2222

002211xydbxxyydb−=−=，消去y可得()2222200222004220dybxxbxxbydd−+−−=，即222222220042220xbbxdbxxbbddd−−+−+=，则220020xxxx−

+=，解得0xx=，所以在双曲线22221xydb−=上一点()00,xy处的切线方程为00221xxyydb−=.设(),Pmn，22rOPmn==+，则2221nma−=，可得线段OP的垂直平分线为22:222mmnmmnlyxxnnn+=−−+=−+，即222

21mnxyrr+=，设直线l与双曲线C切于点(𝑥1,𝑦1)，则直线112:1yylxxa−=，则1212222mxrynar=−=，即1221222mxranyr==−，且22112

1yxa−=，即422442441anmrra−=，整理可得()()22224224manrmn−==+，又因为(),Pmn在双曲线C上，则2221nma−=，即()2221nam=−，可得()()22422224

11mammam−−=+−，解得224222211aaama−+−+=+（舍负），则()()2222222241211rmnmamaaa=+=+−=−+−+，令()21,1ta=−−，则21at=−，可得()2221rttt=+−+，令21xttt=+−+，则关于x

的方程()2210xtxt−+−=有正根，即关于t的方程()21210xtx−+−=在(),1−内有根，设()()2121ftxtx=−+−，若120x−=，即12x=，则()304ft=−，不合题意；若120x−，即12x，则()2120fxx=−，解得0x，不合题意；若1

20x−，即12x，则()2120fxx=−，解得122x；综上所述：122x，则()221,4rx=，即()1,2OPr=.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给

出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之

间的转化．19.设数列nx单调递增且各项均为正整数，数列ny满足1nnnxyx+=，记数列ny的前n项和为nS，数列2lognnyy−的前n项和为nT．若存在正整数2k，使得1kS=，则称kT为数列ny的信息熵．（1）已知存在正整数k，满足()21log12nxnn=−，1

n=，2，…，k，1kS=，①求1kx+（用含k的表达式表示）；②证明：数列ny的信息熵小于2；（2）请写出1lnnx+，nnS−，()1nnSS−，ln2nT四个表达式的大小关系，并说明理由．【答案】（1）①()()12212kkkx−++=；②证明

见解析（2）()11ln2lnnnnnnSSTnSx+−−【解析】【分析】（1）①由()21log12nxnn=−，()211log12nxnn+=+，两式相减可得；②利用错位相减求和即可证明.（2）先令1n=猜测它们的大小顺序，再证明.【小

问1详解】①由()21log12nxnn=−()211log12nxnn+=+，两式相减得：12lognnxnx+=，所以12nny=，1,2,,nk=.由1kS=，所以111111122kkkkik

iySS−−−==−=−=1kkxx+=.所以11x=，212xx=，2322xx=，…，112kkkxx−−=，112kkkxx−+=，以上各式相乘得：()1211122kkkx+++−−+=()

11222kkk−−=()()1222kk−+=.②当1,2,,1nk=−时，22lognnnyyn=−；而当nk=时，1212logkkkyky−−=−，所以23111231122222kkkkkT−−−−=+++++，所以

231112211222222kkkkkkkT−−−−=+++++两式相减，得：2311111122222kkT−=++++21222kkT−=−，所以数列ny的信息熵小于2.【小问2详解】因为11x=，22x=，112y=，所以：112T=，11

2S=.所以，当1n=时，1lnln2nx+=，12nnS−=，()114nnSS−=，ln2ln22nT=，因为1ln21ln2422，故猜测：()11ln2lnnnnnnSSTnSx+−−.证明如下：设()ln1fxxx=−+（0

x），则()111xfxxx−=−=（0x），由()0fx01x；由()0fx1x.所以()fx在上()1,+单调递减，在()0,1上单调递增，又()10f=，所以()0fx（0x）即ln1−xx（当且仅

当1x=时取“=”）首先：易知01iy，所以ln1iiyy−，故()ln1iiiiyyyy−−−.则：1ln2lnnniiiTyy==−()11niiiyy=−−211nniiiiyy===−211nniiiiyy==−

2nnSS=−.又11iy，所以11ln1iiyy−，所以11ln1iiiiyyyy−则：1111ln2ln1nnniiiiiiTyyyy===−nnS=−，因为01

iy，所以ln1iiyy−()ln1iiyy−−−即11lniiyy−.所以()11nniinSy=−=−11lnniiy=11lnniiixx+==11lnnxx+=1lnnx+，得证.所以：()11ln2lnnnnnnSSTnSx+−−.【点睛】方法点睛：

在不知道1lnnx+，nnS−，()1nnSS−，ln2nT大小顺序的情况下，可先利用特殊值的方法判断它们的大小顺序，进一步猜测大小顺序，再想办法证明.