【文档说明】浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试数学试题 Word版无答案.docx，共(4)页，239.012 KB，由小赞的店铺上传

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2025年“数海漫游”第一次模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.()ln20lnln2420ln24−=（）A.0B.1C.2024D.20252.已知π0,2，cos1tansin1=，则=（）

A.1B.2C.π22−D.π2−3.已知长方体ABCDABCD−中，24ABBCBB===，则四面体ABCD的体积是（）A.323B.16C.643D.324.设a，b是单位向量，则()2abab+−的最小值是（）A.1−B.0C.34D.15.天上有三颗星星，地上有四个

孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）A19B.29C.49D.236.若

数列nnab满足：对于任意正整数n，()()110nnnnabab++−−，则称na，nb互为交错数列．记正项数列nx的前n项和为nS，已知1，1nS+，nx成等差数列，则与数列nx

互为交错数列的是（）A.sinπnann=+B.cosπnbnn=+C.2sinπncnn=+D.2cosπndnn=+7.已知1F，2F分别为椭圆C：()222210+=xyabab的左右焦点，过2F的

一条直线与C交于A，B两点，且1AFAB⊥，21BF=，则椭圆长轴长的最小值是（）A.42B.322+C.6D.422+.8.已知222222xyxxy+−−=，则（）A.0xB.0yC2xD.2y二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：210xy−+=，则直线AB的方程可能为（）A.310xy++=B.310xy−+

=C.310xy++=D.310xy−+=10.已知模长均为1的复数1z，2z满足1212zzzz+=，则（）A.121zz+=B.121zz+=C.33122zz+=D.33122zz+=11.如图，小黄家的墙上固定了一盏圆锥（截面PA

B为等腰直角三角形）形状的灯，灯光可以照亮的部分是个无限大的圆台，其截面的边界分别垂直于PA，PB．已知墙与地板垂直，灯向上或向下转动的极限均为45°（即AB可以绕O点顺时针或逆时针旋转45°）．若地板和墙都充分大，则灯光照在地板上的边界的可能形状有

（）A.椭圆B.双曲线的一支C.抛物线D.一条直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列na为等差数列，1a，4a，16a构成等比数列，则32aa值是______．（任写出一个即可）13.已知a，b，0c，二次函数()2fx

axbxc=++有零点，则abcbca++的最小值是______．14.若两个体积相等圆锥底面半径之比为2，则它们表面积之比的取值范围是______．.的的四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在正四面体ABCD中，PABCV内部或边

界上一点，满足APABAC=+，12+=．（1）证明：当DP取最小值时，DPBC⊥；（2）设DPxDAyDBzDC=++，求222xyz++的取值范围．16.设0a，函数()()22lnfxaxax=++−．（1）

若1a，讨论()fx的单调性；（2）求()fx的最大值．17.随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小

林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均120，且抢票结果相互独立（1）为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票；（2）由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小

林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由．18.已知P为双曲线C：2221yxa−=上一点，O为坐标原点，线段O

P的垂直平分线与双曲线C相切．（1）若点P是直线3xy=与圆222xy+=的交点，求a；（2）求OP的取值范围．19.设数列nx单调递增且各项均为正整数，数列ny满足1nnnxyx+=，记数列ny的前n项和为nS，数列2lognnyy−的前n项和为nT．若存在正整数2k，使得1k

S=，则称kT为数列ny的信息熵．（1）已知存在正整数k，满足()21log12nxnn=−，1n=，2，…，k，1kS=，①求1kx+（用含k的表达式表示）；②证明：数列ny的信息熵小于2；是（2）请写出1

lnnx+，nnS−，()1nnSS−，ln2nT四个表达式的大小关系，并说明理由．