【文档说明】《精准解析》河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期第一次大练习理科数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.072 MB，由小赞的店铺上传

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2021—2022学年度高三第一次大练习理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集0Uxx=，20Mxxx=−，2,0x

Nyyx==，则()UMN=ð（）A.)0,+B.()1,+C.)0,1D.()0,1【答案】D【解析】【分析】解不等式确定集合M，求指数函数的值域得集合N，交补由集合的运算法则计算．【详解】由已知{|01}Mxx=(0,1)=，{

|1}[1,)Nyy==+，[0,1)UN=ð，所以()(0,1)UMN=ð．故选：D．2.复数z满足(2i)4zz+=−，则z=（）A.3i+B.3i−+C.1i−+D.1i−−【答案】B【解析】【分析】设()i,Rzabab=+则i

zab=−，然后代入原式得()224abbaab−++=−−ii，然后根据复数相等列方程，解方程即可得到z.【详解】设()i,Rzabab=+，则izab=−，因为()2i4zz+=−，所以()()2iii4abab++=−−，即()224abbaab−++=−−

ii，所以242ababab−=−+=−，解得31ab=−=，则3iz=−+.故选：B.3.甲､乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用1x和2x分别表示甲､乙的平均数，21s，22s分别表示甲､乙的方差，则（）A.12xx=，2212ssB.12x

x=，2212ssC.12xx，2212ss=D.12xx，2212ss=【答案】B【解析】【分析】由平均数和方差的定义和性质判断即可得出结果.【详解】平均数是每个矩形底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积

）再相加，因为两组数据采取相同分组且面积相同，故12xx=，由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即2212ss，故选：B.4.已知双曲线()222:1016xyCbb−=的左､右焦点为1F，2F，过1F的直线交双曲线左支于点A和B，若7AB=，且2ABF△的周长为10b，则C的渐近

线方程为（）A.34yx=?B.yx=C.52yx=D.102yx=【答案】A【解析】的【分析】根据双曲线的定义可求得2ABF△的周长为22||||||477414=10AFBFABaab++=++=+，计算即可求得,ab，进而求得结果.【详解】21

||||2AFAFa−=,21||||2.BFBFa−=2211||(||||)4AFBFAFBFa+−+=,即22||||||4AFBFABa+−=，2ABF△的周长为：22||||||477414=10AFBFABaab++

=++=+，由双曲线的方程为()2221016xybb−=，可知4a=，解得：3b=，C的渐近线方程为：34==byxxa，故选：A.5.已知a，b，,()0c+，145logaa=+，132bb+=，44cc

+=，则（）A.bacB.acbC.c<a<bD.cba【答案】D【解析】【分析】将问题转化为4logyx=，122xy=+，14xy=+与5yx=−的交点横坐标的大小问题，应用数形结合的方法判断a，b，c的大小.【详解】依题意，1445logl

og5aaaa=+=−，1132522bbbb+=+=−，44145cccc+=+=−，在同一坐标系中分别作出4logyx=，122xy=+，14xy=+，5yx=−的大致图象，如图所示，观察可知：cba.故选：D6.已知函数()fx是奇函数且其图象在点()(

)1,1f处的切线方程21yx=−，设函数()()2gxfxx=−，则()gx的图象在点()()1,1g−−处的切线方程为（）A.42yx=+B.46yx=−−C.0y=D.=2y−【答案】A【解析】【分析】先求出()14g−=，再求出切点的坐标，即得解.【详解】解：由已知得()12f=，()

11f=，因为()fx是奇函数，所以()12f−=，()11f−=−又因为()()2gxfxx=−，所以()()1124gf−=−+=，()()1112gf−=−−=−，所以()gx的图象在点()()1,1g−−处的切线方程为()241,42yxyx+=+=

+.故选：A7.已知命题:p“xR，2220xxa−+”，命题:q“函数2lg22ayxax=−+的定义域为R”，若pq为真命题，则实数a的取值范围是（）A.()1,4B.()1,3C.()1,2D.()2,4【答案】A【解析】【分析】由p真得()22

min20xxa+−求出a的取值范围，由q真得xR，2202axax+−，求出a的取值范围，再取它们交集即可．【详解】由xR，2220xxa−+得()22min20xxa+−，则221210a−+，所以1a或1a−由函数2lg22ayx

ax=−+的定义域为R，则xR，2202axax+−，所以a=0或20044202aaaa=−因为pq为真命题，所以,pq均真，则14a故选：A8.设数列na和nb的前n项和分别为nS，nT，已知数列nb的

等差数列，且2nnnanba+=，33a=，4511bb+=，则nnST+=（）A.22nn−B.22nn−C.22nn+D.22nn+【答案】D【解析】【分析】设等差数列nb的公差为d，进而根据等差数列的通项公式计算得121bd

==，故1nbn=+，nan=，再根据等差数列前n项和公式求解即可。【详解】解：由33a=，得2233333343aba++===，设等差数列nb的公差为d，所以3454,11,bbb=+=得1124,2711,bdbd+=+=解得12,1,bd==所以()2

111nbnn=+−=+．则21nnnanbna+==+，所以nan=．所以数列na的前n项和()21222nnnnnS+==+，数列nb的前n项和()2213222nnnnnT++==+，则22nnSTnn+=+．故选：D9.已知函数()()()

sincosfxaxx=+++（0，2）的最小正周期为，其最小值为2−，且满足()2fxfx=−−，则=（）A.6B.3C.6或3D.6−或3−【答

案】B【解析】【分析】根据最小正周期和最小值可求得,a；由已知得到()fx关于点,04对称，分别在3a=和3a=−两种情况下，利用整体代换的方式可构造方程求得.【详解】由()fx最小正周期为，可得：22==．()fx最小值212a−+=

−，3a=；()2fxfx=−−，()fx\关于点,04对称；若3a=，则()()()3sin2cos22sin26fxxxx=+++=++，()246kkZ

++=，()23kkZ=−，2，3=；若3a=−，则()()()3sin2cos22sin26fxxxx=−+++=−+−，()246kkZ+−=，()3kkZ=−，2，3=−；综

上可得：3=．为故选：B.10.已知π,02−，2sin21cos2+=，则1tan21tan2−=+（）A.25B.35+C.25+D.26+【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式化简计算即可得

出结果.【详解】由2sin21cos2+=可得24sincos112sin+=−，则22sincossin=−，又π,02−，sin0，故2cossin=−，又22sinco

s1+=，解得：25sin55cos5=−=，所以：222sin21cossin1tancoscossin222222=1tansincos+sincossin2222221+cos2−−−−==+−2511

sin5255=52cos555+−+===+.故选：C.11.已知(),0,abm，若当ab时，总有baab，则m最大值为（）A.21eB.1eC.1D.e【答案】B【解析】的【分析】baab化简可得lnl

naabb，构造函数()lnfxxx=，由已知条件可知函数为减函数，即()1+ln0fxx=在()0,xm恒成立，解不等式可得1xe，即可求得m的最大值.【详解】由baab，可得11baab，(),0,abm，则11lnlnbaab

，即11lnlnabba，化简可得：lnlnaabb，设()lnfxxx=，()0,xm，lnlnaabb，ab，()fx\为减函数，则()1+ln0fxx=在()0,xm恒成立，由1+ln0x，解得：1xe，m的最

大值为1e.故选：B.【点睛】关键点睛：将已知条件变形为lnlnaabb，构造函数()lnfxxx=，利用导数()1+ln0fxx=求得x的取值范围是解答本题的关键.12.已知ABC的内角A，B，C满足()1sincos1sin22ABCA−=−，则在ABC的外接圆内任取一点，该点取

自ABC内部的概率为（）A.12πB.1πC.32πD.2π【答案】B【解析】【分析】先由余弦的和、差角公式将条件化简可得1sinsinsin2ABC=，由正弦定理结合三角形的面积公式得出2ABCSR=，由几何概率公式可得答案.【详解】由

()1sincos1sin22ABCA−=−可得()sincoscossinsin1sincosABCBCAA+=−()sincoscossinsinsin1sincos1sincoscossinsinsinABCABCABCABCAB

C+=++=+−所以1sinsinsin2ABC=由正弦定理可得2sinsinsinacbRACB===，其中2R为ABC的外接圆的直径.所以2sin,2sinaRAbRB==,21SR=221sin2sinsinsin2ABCS

abCRABCR===在ABC的外接圆内任取一点，该点取自ABC内部的概率为2211ABCSRPSR===故选：B【点睛】关键点睛：本题考查利用余弦的和、差角公式化简，利用正弦定理结合三角形的面积公式求三角函数面积以及几何概率问题，解答本题的关键是先化简条件得出1sin

sinsin2ABC=，再由正弦定理得出2ABCSR=，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若向量a，b的夹角为60，2a=，6b=r，则2ab−=________．【答案】27【解析】【分析】

根据向量的数量积和模的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】因为222244abaabb−=−+=2242426cos60628−+=，所以227ab−=.故答案为：27.14.随着近年来中国经济､文化的快速发展，越

来越多的国外友人对中国的自然和人文景观表现出强烈的兴趣.一外国家庭打算明年来中国旅行，他们计划在北京､上海､浙江､四川､贵州､云南6个地方选3个去旅行，其中北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为___________.(用数字作答)【答案】16【解

析】【分析】由题意利用组合、组合数公式，分类讨论，计算求得结果.【详解】若北京和上海只选一个，则方法共有122412CC=种，若北京和上海都选，则方法共有21244CC=种，所以北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为1

2416+=种.故答案为:16.15.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点为F，直线2ax=与C交于A，B两点，若120AFB=，则椭圆C的离心率为_______.【答案】45【解析】【分析】先不妨设A的坐标3,22

ab，再求出F到直线2ax=的距离为2ac−，利用等腰三角形的性质，列出31202tan322bac==−，解出即可.【详解】根据题意，把2ax=代入22221xyab+=中，得32by=，不妨设A3,22ab，且(),0Fc，则F

到直线2ax=的距离为2ac−，由120AFB=，得31202tan322bac==−，则2bac=−，平方计算得45ca=.故答案为：45.【点睛】思路点睛：1.不妨设A的坐标3,22ab，再求出F到直

线2ax=的距离为2ac−，2.AFB△为等腰三角形，且120AFB=，列出31202tan322bac==−，解出45ca=.16.已知函数()21exaxbxfx+−=的最小值为–1，函数()3231gxaxbx=++的零点与极小值点相同，则a

b+=___________.【答案】1【解析】【分析】求()fx¢，由()00f=可得b的值，求()gx，讨论0a=、0a、a<0，判断()fx的最值及()gx的单调性，求出()gx的极小值点，由极小值等于0即可得a的值即可

求解.【详解】由()21exaxbxfx+−=可得()()221exaxabxbfx−+−++=，因为()fx的最小值为()01f=−，所以0x=是()fx的极值点，所以()010fb=+=，所以1b=-；当0a=时，()231gxx=−+，由二次函数性质可知该函数无

极小值点，不符合题意；由()3231gxaxx=−+可得()()23632gxaxxxax=−=−，令()()320gxxax=−=，可得10x=或22xa=，当0a时，20a，由()0gx¢>可得

0x或2xa；由()0gx¢<可得20xa，所以()gx在(),0-?单调递增，在20,a单调递减，在2,a+单调递增，所以()gx的极小值点为2xa=，由题意可得32222310gaaaa

=−+=，解得2a=，此时121ab+=−+=；当a<0时，当x→−时，()fx→−，不合题意；所以1ab+=.故答案为：1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第

17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2sin23cos2BCA+=（1）求角A;（2）若4,10cABAC==，求sinB的值.【答案】（1）3A=

；（2）57sin14B=.的【解析】【分析】（1）先利用三角公式得到3tan23A=，即可求出3A=.（2）由10ABAC=求出5b=，利用余弦定理求得a，利用正弦定理即可求得sinB.【详解】（1）由2s

in23cos2BCA+=可得22sin23cos23sin222AAA=−=，即22sincos23sin222AAA=，故3tan23A=，因为()0,A，所以0,22A，所以26A=，所以3A=.（2）由10ABAC=可得cos103AB

AC=，即20bc=，又4,c=知5b=由余弦定理得2222cos25162021abcbcA=+−=+−=，故21a=.从而由正弦定理得5357sinsin21421bBAa===.18.某职业培训学校现

有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：专业机电维修艺术舞蹈汽车美容餐饮电脑技术美容美发招生人数100100300200800500就业率100%

70%90%80%50%80%（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取1人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少m()0400m，将“机电维

修”专业的招生人数增加3m，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高5个百分点，求m的值．【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）120m=．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意求得往年每年的

招生人数为2000，进而求得“餐饮”专业直接就业的学生人数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；（Ⅱ）由表格中的数据，求得往年全校整体的就业率，根据招生人数调整后全校整体的就业率，列出方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年

每年的招生人数为1001003002008005002000+++++=，“餐饮”专业直接就业的学生人数为20008160=．，所以所求的概率为1600082000=．．（Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别

为100，70，270，160，400，400，往年全校整体的就业率为10070270160400400100%70%2000+++++=，招生人数调整后全校整体的就业率为10070270160400400310

0%75%220003mm++++++=−，解得120m=．19.已知数列na，nb满足1118a=，11216nnnnaaaa++−=，116nnba=−.（1）证明nb为等比数列，并求nb的通项公式；（2）求11223377abababab++++L.【答案】（1）证明见解

析，2nnb=；（2）72.【解析】【分析】（1）由11216nnnnaaaa++−=可得11216nnaa+=−，然后得到12nnbb+=即可；（2）可得2216nnnnab=+，然后可算出881kkkkabab−−+=，然后可求出答案.【详解】（1）

由11216nnnnaaaa++−=可得11216nnaa+=−，于是11116216nnaa+−=−，即12nnbb+=，而111162ba=−=，所以nb是首项为2，公比为2的等比数列.所以1222nnnb−==.（2）由（1）知1216n

na=+，所以2216nnnnab=+.因为8488844222112162162122kkkkkkkkkkkabab−−−−−−−+=+=+=++++，所以()112233772abababab++++L()()()1177226677117ababababa

bab=++++++=L，因此1122337772abababab++++=L.20.已知抛物线()2:20Cypxp=，过点()2,0G的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且4OAOB=−.（1）求抛物线C的方程；（2）若线段AB的中点为M，AB的中垂线与C的准线交于

第二象限内的点N，且78MNAB=，求直线MN与x轴的交点坐标.【答案】（1）24yx=；（2）()8,0.【解析】【分析】（1）设直线l的方程为2xmy=+，与抛物线方程联立，写出韦达定理，代入4OAOB=−，得出答案.(2)由

（1）中得出的韦达定理结合p的值，先用m表示出AB的长度，得出点M的坐标，得出AB的中垂线的方程，进一步得出点N的坐标，从而用m表示出AB的长度，由条件求出m的值，从而可得答案.【详解】（1）设直线l的方程为2xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，由222xm

yypx=+=，得2202ymyp−−=，于是124yyp=−.所以221212121244422yyOAOBxxyyyyppp=+=+=−=−，即2p=，故抛物线C的方程为24yx=.（2）由（1）可得2480ymy−−=，显然0

m.则124yym+=，128yy=−，所以()222121212114ABmyymyyyy=+−=++−222211632412mmmm=++=++，点1212,22xxyyM++，即()222,2Mmm+.从而直线M

N的方程为()2222ymmxm−=−−−，令=1x−，可得点()31,52Nmm−+，所以()()()2223223232132MNmmmmm=+++=++，由78MNAB=，得()22227132122mmmm++=++，得

22m=，所以2m=.所以MN的方程为()28yx=−，因此直线MN与x轴的交点坐标为()8,0.【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，结合向量数量积求抛物线的方程，根据弦长公式求直线的

方程，解答本题的关键是由条件表示出22412ABmm=++,以及()222,2Mmm+，从而得到直线MN的方程为()2222ymmxm−=−−−，进一步得出()31,52Nmm−+，得出()22132MNmm=+

+,属于中档题.21.已知函数()()ln1,fxxmxmR=++.（1）若1m=−，求函数()fx的极值；（2）若()()0()fpfqpq==，证明：1pq.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，根据导

函数的符号得出函数的单调区间，从而可得出函数的极值；（2）根据()()0()fpfqpq==，讨论函数的单调性，可得0m，得()()ln10ln10pmpqmq++=++=，两式相减得lnlnpqmpq−−=−，两式相加得()lnln2ln

ln2pqpqpqpqmpq+++=−=−−−−，欲证1pq，即证lnln0pq+，即证()lnln20pqpqpq+−−−，即证()2lnlnpqpqpq−−+，即证21ln01pqppqq−−+，令(),0,1pttq=，()()21ln1tgttt−=−+，

求出函数()()21ln1tgttt−=−+的最大值即可得证.【详解】（1）解：当1m=−时，()ln1,fxxx=−−定义域为()0,+，()111xfxxx−=−=，由()0fx¢>得1x；由()0fx得01x，()fx\在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增.()fx

\的极小值为()10f=，无极大值；（2）证明：由题意得()()0xmfxxx+=.当0m时，()0xmfxx+=，则函数()fx在()0,+上递增，所以函数()fx最多一个零点，与题意相矛盾；当0m时，由()0fx

¢>得xm−；由()0fx得0xm−，所以()fx在()0,m−上单调递减，在(,)m−+上单调递增，()()0,fpfq==不妨设0pmq−，()()ln10ln10pmpqmq++=++=，两式相减得lnlnpqmpq−−=−，两式相加得()lnln2lnln

2pqpqpqpqmpq+++=−=−−−−，欲证1pq，即证lnln0pq+，即证()lnln20pqpqpq+−−−，即证()2lnlnpqpqpq−−+，即证21ln0.1pqppqq−−+令(),0,1pttq=，()()21ln1tgttt−=−+，则(

)()()()222114011tgttttt−=−=++，()gt在()0,1上单调递增，()10g=Q，()()21ln01tgttt−=−+，所以1pq.【点睛】本题考查了求函数的单

调区间、极值及最值问题，还考查了不等式的证明问题，考查了计算能力、数据分析能力及逻辑推理能力，考查了分类讨论思想及转化思想，难度较大.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标

系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22232xttytt=+−=+−(t为参数且1t)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求AB；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求OAB外接圆的极坐标方程.【答案】（1）5；（2）4sin3cos=

−.【解析】【分析】（1）由参数方程得出,AB的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值；（2）由OAB的外接圆的圆心为AB的中点3,22−，半径为52，得出圆的普通方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令22

30tt+−=，因为1t，所以3t=−，将3t=−代入22ytt=+−，得C与y轴的交点为()0,4.令220tt+−=，因为1t，所以2t=−，代入223xtt=+−得C与x轴的交点为()3,0−.所以22

345AB=+=.（2）由（1）知，OAB的外接圆的圆心为AB的中点3,22−，半径为52，所以其直角坐标方程为()22325224xy++−=，即22340xxyy++−=，所以极坐标方程为23cos4sin0

+−=，即4sin3cos=−.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()124fxxx=−+−.（1）求不等式()2fx解集；的（2）设()fx的最小值为k，若()20,0mkmnn+=，证明：162mn+.【答案】（1）71,3；（2）证

明见解析.【解析】【分析】（1）分别在1x、12x和2x的情况下，去掉绝对值符号，解不等式求得结果；（2）分类讨论可得()fx解析式，由此可确定1k=，即21mn+=，利用柯西不等式可整理得到结论.【详解】（1）当1x时，()142532fxx

xx=−+−=−，解得：1x，1x=；当12x时，()14232fxxxx=−+−=−+，解得：1x，12x；当2x时，()124352fxxxx=−+−=−，解得：73x，723x；综上所述：

()2fx的解集为71,3；（2）由（1）可知：()53,13,1235,2xxfxxxxx−=−+−，()()min21fxf==，即1k=，21mn+=，由柯西不等式得：()()2222

22222mmnn+++（当且仅当12mn=，即23m=，6n=时取等号），即2226mn+，162mn+.【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明；本题证明不等式的关键是能够将式子配凑成符合柯西不等式

的形式，利用柯西不等式证得结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com